小学奥数精讲：对策问题之必胜策略

小学奥数精讲：对策问题之必胜策略

小学奥数精讲：必胜策略对策问题

知识点总结：

1.一取余制胜（取棋子，报数游戏）

1.1.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢

策略：总数÷（1+n）

如果有余数，先拿必胜，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可。如果无余数，则后拿，总与对手凑成1+n即可。

1.2.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输

策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。

问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。

2.抢占制胜点（倒推法）

2.1.能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位

2.2.处处为别人着想。自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。

3.对称法

3.1.同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。

3.2.不同等情况下，创造对等局面方可制胜。

例题：

1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

分析：100÷（1+5）=16……4，有余数，先拿必胜。

甲先拿4个；乙拿a个，甲就拿6-a个。

2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。请问必胜的策略是什么？

分析：80÷（1+7）=10，无余数，后拿必胜。

甲拿a个，乙就拿8-a个必胜。

3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。规定将棋子移到最后一格者谁赢。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7，有余数，先走必胜。

甲先走7格；乙走a格，甲就拿8-a个必胜。

4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。谁取最后一张谁输。必胜的策略是什么？

分析：先拿4张，留给别人1张就行。

5.现有1000根火柴，甲乙两人轮流去拿，每人每次最少拿1根，最多拿7根，谁取最后一根谁输。试问：先拿获胜，还是后那获胜？怎么拿法？

分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7，有余数，先拿必胜。

甲先拿7个；乙拿a个，甲就拿8-a个。

6.这是一个棋盘游戏，棋子最初放在左下角，双方轮流移

动棋子，每次只能向右、向上或向右上方移动任意多格。谁能把棋子移进顶格就胜利了。根据数学分析，后手必胜。

7.这是一个火柴游戏，有两堆火柴，每堆都有36根。两

人轮流从其中一堆里拿火柴，取得最后一根火柴的人获胜。根据数学分析，后手必胜。

8.这是一个类似于上一个游戏的火柴游戏，但是火柴的数

量不同。其中一堆有25根火柴，另一堆有38根火柴。两人轮流从其中一堆里拿火柴，取得最后一根火柴的人获胜。根据数学分析，先手必胜。

9.这是一个棋盘游戏，棋子最初放在左下角，两人轮流移

动棋子，每次可以向上、向右或沿对角线向右上方移动一格。谁能把棋子移进右上角的顶格中就获胜了。根据数学分析，先手必胜。

1.这是一个火柴游戏，有30根火柴，两人轮流从中取火柴，每人每次可以取1-3根，最后取到最后一根火柴的人获胜。

根据数学分析，先手可以保证获胜，先取2根火柴，之后每次与对手凑成4根火柴即可。

2.这是一个报数游戏，甲乙两人轮流报数，每人每次可以

报1-4个数，谁先报到第888个数谁获胜。根据数学分析，甲

可以保证获胜，先报3个数，之后每次与乙合报5个数即可。

3.这是一个棋盘游戏，有1111个空格排成一行，最左端

空格中放有一枚棋子，甲乙两人轮流向右移动棋子，每次移动

1-7格，谁把棋子移到最后一格就输了。根据数学分析，甲可

以保证获胜，第一步必须向右移5格，之后无论乙移动几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。

4.（1）这是一个火柴游戏，有两对火柴，每堆都有97根。两人轮流从其中一堆里拿火柴，取得最后一根火柴的人获胜。根据数学分析，先手可以保证获胜，先取一堆中的任意数量的火柴，之后每次与对手拿的火柴数量相同即可。

2）这是一个球游戏，有两个箱子，分别装有63和108个球。两人轮流从任一箱中取球，取得最后一个球的人获胜。根

据数学分析，后手可以保证获胜，先手先取一个箱子中的任意数量的球，之后每次与对手取得的球数之和为171即可。

1.后拿必胜的策略是先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人

就从另外一堆中拿几根。先拿必胜的策略是后拿的人从108个球中拿走45个球，留给对方相同的两堆球。接下来策略同上。

2.先走者有必胜的策略。甲先将红棋向右移动5格，这样

红与黑之间的距离都是对称的。以后乙移动黑棋几格，甲就在相应的一行移动红旗几格。

3.后走必胜。

4.先走必胜。

5.后走必胜。

6.后走必胜。

7.先走必胜。

8.甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数。这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划。因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。

9.先取。从4枚棋子的行中取走1枚。将1,2,3,留给乙。那么乙不能从1中取1个，否则甲从3中取1个，留给乙对称的（2,2），乙就输了。那么乙不能从2中取1个，否则甲从3中取3个，留给乙对称的（1,1），乙又输了。那么乙不能从3中取1个，否则甲从1中取1个，留给乙对称的（2,2），乙又输了。那么乙不能从2中取2个，否则甲从3中取2个，留给乙对称的（1,1），乙又输了。

1.如果乙从3中取2个，则甲从2中取2个，留下对称的（1,1），乙又输了。

2.如果乙从3中取3个，则甲从2中取1个，留下对称的（1,1），乙又输了。

3.无论乙怎么选，最终都会输。

4.如果先碰到的是（1,2,3），那么先碰到的人就会输。