一元一次方程等量关系
一元一次方程等量关系(学生版)
一次方程等量关系方法一:根据常见的公式寻找等量关系1、 工作问题和工程问题(1) 单人工作:工作总量=工作效率×工作时间(2) 多人合作:甲的工作总量+乙的工作总量+。
=工作总量【例】某工作甲单独做4天完成,乙单独做8天完成。
现甲先做1天,然后和乙共同完成余下工作。
问甲一共做了几天?【例】一项工程,甲队独做要120天完成,如果甲队先做10天,乙队再做5天,就可以完成这项工程的245,乙队单独做这项工程需要多少天?2、 行程问题路程=速度×时间(特别注意:两地的距离不变)(1)追击问题:①同时不同地出发:前者走的路程+两地间距离=追者走的路程前者走的时间=追者走的路程②同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程前者走的时间=追者走的时间+等待时间【例】甲乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出发。
已知,摩托车速度是自行车速度的3倍,若两人同向而行,骑自行车在先且出发2小时,问摩托车经过多少时间追上自行车?【例】甲乙两人都以不变的速度在400米环形跑道上跑步,两人在同一地方同时出发同向而行,甲的速度为100米/分,乙的速度是甲速度的3/2倍,问经过多长时间后两人首次相遇?第二次相遇呢?(2)相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地间的距离【例】甲乙两站之间相距360千米,上午9点1刻,一辆慢车和一辆快车分别分别从两站相向开往对方车站,经过3小时相遇,已知快车速度是慢车的1.5倍,问两车在什么时刻相距90千米?【例】上午8时,甲乙两人从A、B两地同时出发,相向而行,上午9时,两人相距54km,两人继续前进,到上午11时,两人又相距54km,已知甲每小时比乙多走3km,求A、B两地的距离。
(3)航行问题:①顺风(水)速度=静风(水)中的速度+风(水)速度②逆风(水)速度=静风(水)中的速度-风(水)速度引申:在静风(水)中的速度=1(顺风(水)速度+逆风(水)速度)2风(水)中的速度=1(顺风(水)速度-逆风(水)速度)2【例】一轮船往返于甲、乙两码头之间,顺水航行需要3小时,逆水航行比顺水多用30分钟,若轮船在静水中的速度为26千米/时。
「初中数学」一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系.doc
「初中数学」一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系解应用题时,首要任务是选设未知数,如何准确恰当地设未知数呢?没有固定的方法,但有一点是肯定的,那就是设未知数要有助于表示相关量,有助于简化解题过程。
设什么元需要根据具体问题的条件确定,常见的设元方法有:直接设元法、间接设元法、整体设元法、辅助设元法等。
那么在做题时又如何找等量关系呢?抓住几个原则:(一).分析题中的不变量原则,利用不变量来列方程(二).用不同的方式表示同一个量原则,以此得到相等关系,从而列出方程(三)利用总量等于各个分量之和”原则列方程具体方法上可以利用平时掌握的一些公式等基本数量关系,也可以抓住问题中的和、差、倍、分关系中的关键词来寻找相等关系。
以上所说,并不单指一元一次方程,所说的方法不可能全面,要学会每一部分知识仍需要同学们自己辛苦,多归纳,多总结,会用了才是你的方法。
一.直接设元法1.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆,现在停车场共有50辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费480元,中、小型汽车各有多少辆?【分析】这道题我们抓住小型车的车费十中型车的车费=总车费这一关系列方程,具体设谁为未知数,哪种都可以.解:设中型汽车有x辆,则小型汽车有(50一x)辆.根据题意,得12x+8(50一x)=480解得,x=20则50一x=50一20=30.答:中型汽车有20辆,小型汽车有30辆.(1)和、差、倍、分问题基本数量关系:增长量=原有量×增长率,现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.抓住关键性的词语,多、少、倍、几分之几以及原有量、现有量之间的关系导出相等关系.2.男、女生人数有若干人,男生与女生人数之比为4:3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生人数的2倍,求原来男生和女生的人数.【分析】抓住关键词男生人数恰好是女生人数的2倍”,也可以理解为女生人数恰好是男生人数的一半,等量关系是:男生人数=2(女生原有人数一走了的人数)或女生原来的人数一走了的人数=男生人数的一半.一般看见有比例关系的条件时,未知数设为一份数,所以.解:设原来男生人数为4x人,则女生人数为3x人,根据题意,得3x一12=(4x)/2解得×=12.原来男生人数为4x=48原来女生人数为3x=36答:原来男生人数为x人,原来女生人数为36人.(2)体积变化问题基本数量关系,常见几何图形的面积、周长、体积计算公式.等量关系有,形变体不变,即变形前的体积=变形后的体积;形变体积也变,但质量不变,即变形前的质量=变形后的质量.3.用直径为4厘米的圆柱形钢材,铸造3个直径为2厘米,高为16厘米的圆柱形零件,问需要截取多长的圓柱形钢材?【分析】等量关系是:铸造前圆柱形钢材的体积=铸造后三个圆柱的体积.解:设需截取x厘米的圆柱形钢材,根据题意得π(4/2)²x=3×π×(2/2)²×16解得x=12.答:需要截取12厘米的圓柱形钢材.(3)行程问题这类问题比较复杂,基本数量关系为,路程=速度×时间.①相向问题的等量关系为:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题的等量关系为:第一,同地不同时出发,前者走的路程=追者走的路程;第二,同时不同地出发,前者所走的路程+两地距离=追者所走的路程.③航行问题基本数量关系:路程=速度×时间,顺水速度=静水速度十水流速度,逆水速度=静水速度一水流速度,静水速度=(顺水速度十逆水速度)/2,水流速度=(顺水速度一逆水速度)/2.寻等量关系时,抓住两码头之间距离不变,水流速度不变,船在静水中的速度不变的特点来考虑.注意:行程问题,关注出发的时间、地点及行走的方式,往往画路线图,帮助分析等量关系,同时注意相遇和追击的区别.4.小红骑车以每小时10km的速度从甲地到乙地,返回时因事绕路而行,比去时多走了8km,虽然速度增加到每小时12km,但比去时还是多用了10min,水甲、乙两地之间的距离.【分析】注意单位统一,10min=1/6h.设甲、乙两地之间距离为xkm,则去时的时间为x/10,回来的时间为(x十8)/12,根据回来时间比去时多用了1/6h,可列方程解:设甲、乙两地之间的距离为xkm,根据题意可得x/10+1/6=(x十8)/12解得x=30答:甲、乙两地之间的距离为30km.5.一艘轮船从A港到B港顺水航行需要4.5小时,从B 港到A港逆水航行需要6小时,已知水流速度为每小时2千米,求船在静水中的速度.【分析】抓住,从A港到B港顺水航行的路程=从B港到A港逆水航行的速程不变.解:船在静水中的速度为x千米/时,则船在逆水航行的速度为(x一2)千米/时,船在顺水航行的速度为(x+2)千米/时,依题意得4.5(x+2)=6(x一2)解得x=14.答:船在静水中的速度为14千米/时.(4).劳动力调配问题将一处的人员调往另一处,一处的人数减少多少,另一处的人数会增加多少,两处的人数之间往往存在着倍分关系,可从题意中的关键性词语找等量关系6.铸造车间共有工人86人,若每人每天加工A种零件15个或B种零件12个或C种零件9个,应怎样按排加工三种零件的人数,才能使加工后的零件按3个A种零件,2个B 种零件和1个C种零件配套?【分析】等量关系是:加工A种零件的人数十加工B种零件的人数+加工C种零件的人数=86.设有x人加工A种零件,因为3个A零件,2个B零件和1个C零件配套,所以最后A种零件:B种零件:C种零件=3:2:1,也就是15x:(12×加工B 种零件的人数):(9×加工C种零件的人数)=3:2:1.所以加工B 种零件的人数为5x/6人,加工C种零件的人数为5x/9人.(必须学会这种用未知数表示相关的量).解:设按排加工A种零件为x人,根据题意得,x十5x/6+5x/9=86解得x=36加工B种零件人数为:5x/6=30加工C种零件人数为:5x/9=20答:安排36人加工A种零件,30人加工B种零件,20人加工C种零件.(5).利润问题基本数量关系为:商品利润=商品售价一商品进价,利润率=利润/进价×100%,销售额=成本(进价)×(1+利润率).7.某商场以每件80元的价格购进了某种品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?【分析】等量关系为:销售额=进价×(1十利润率)解:设每件衬衫降价x元,依题意得400×120+(500-400)(120-x)=500×80×(1+45℅)解得x=20答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45℅的预期目标.(6)储蓄问题基本量的关系为:利息=本金×利率×期数,税后利息=本金×利率×期数×(1一利息税),本息和=本金【1十利率×期数×(1十利息税)】8.小明买了一年期债券150元,一年到期后小明用本息和正好买了一个价格是162元的书包,问小明买的债券的年利率是多少?(无利息税)【分析】等量关系是:本息和=本金×(1十利率×期数)解:设年利率是x,依题意得150×(1十x)=162解得x=8℅答:小明买的债券的年利率是8℅.(7)工程问题基本数量关系是,工作量=工作效率×工作时间,各部分工作量之和等于工作总量(单位1).9.一项工程,甲队独做10小时完成,乙队独做15小时完成,丙队独做20小时完成,开始时三队合作,中途甲队另有任务,由乙、丙二队完成,从开始到工程完成共用了6小时,问甲队实际做了几小时?【分析】甲队做的时间,也是三队合作的时间,等量关系是,甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1.解:设甲队实际做了x小时,依题意得(1/10+1/15十1/20)x十(1/15十1/20)(6一x)=1解得x=3.答:甲队实际工作了3小时.二.间接设元法(8)数字问题.关键是掌握多位数的表示法,若一个多位数,个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则这个三位数为100c+10b+a.抓住新数与原数之间的关系列方程.10.有一个两位数,它的十位数字比个位数字大5,且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5,求这个两位数.解:设个位数字为x,则十位数字为(x+5),这个两位数为10(x+5)十x.依题意得10(x+5)十x一8(x十5十x)=5解得x=1,x十5=6,这个两位数为61答:这个两位数是61.三.整体设元法11.一个五位数的个位上的数为4,这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数,求原五位数.【分析】此题各数位上数字之间没有明确的数量关系,只是位置发生了改变,所以整体设未知数.解:设原五位数去掉个位数后的四位数为x,则原五位数为10x+4,依题意得(10x+4)十6120=4×10000+x解得x=3764,10x+4=37644答:原五位数是37644.四.辅助设元法当题中直接设未知数,不好表示其他量的关系,或一个未知数也不能满足需要,这时不妨再设一个未知数来列方程.12.某公司只生产普通汽车和新能源汽车,该公司在去年的汽车产量中,新能源汽车占总量的10℅,今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响,计划将普通汽车的产量减少10℅,为保持总产量与去年相等,则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少?【分析】此题汽车的总产量未知,知道所占的百分数也不好表示量的关系,所以多设一个辅助未知数,则关系就明朗.解:设去年的总产量为a,今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x,则去年普通汽车的产量为90℅a,新能源汽车的产量为10℅a,今年普遍汽车的产量为90a(1一10℅),新能源汽车的产量为10%a(1+x),根据题意得90%a(1一10℅)+10℅a(1十x)=a解得x=0.9=90℅答:今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90℅.【总结】以上只是几种常见的题型,还有很多没有列举出来,同学们要活学活用,根据问题的特点,灵活地设未知数,切不可生搬硬套,多总结,多归纳,形成自己的一套设元法。
(完整word版)一元一次方程中常见的等量关系.docx
七年上一元一次方程1、行程行程的基本公式:速度×= 路程常见的等量关系(1) 相遇一般公式:× 速度和= 相遇路程一、由意得例:甲、乙两地相距 1500千米,两汽同从两地相向而行,其中吉普每小行 60 千米,是客速度的 1.5 倍。
注意数学用,如:等于,⋯⋯与⋯⋯相等,一共有,剩余,是⋯⋯(1)几小后两相遇?(2)若吉普先开 40 分,那么客开出两相遇?的几倍,比⋯⋯多几等等。
例 1:一个数的1与 3 的差等于最大的一位数,求个数。
( 2)追及7一般公式:例 2:一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数字比十出地不同,同出:×速度差 = 路程差(追及路程)位上的数大 7,个位上的数字是十位上的三倍,求个三位数。
出地相同,先后出: A× A速度= B× B速度例 3 :从正方形的皮上,截去一个2cm 的方形条,剩余的面是80cm2,,那么原来皮的是多少?例:小明家距离学校 1000米。
一天小明以80 米每分的速度去上学, 5二、前后不分后爸爸小明没文,开始以180米每分的速度去追小明,并在途中追上了他。
例1:在要将一个底面半径 3,高 12 的柱条重新熔成一个底面半径 9的柱,求熔后的柱高。
例 2:小一本,每天( 3)形跑道20 ,需要 12 天完,如果每天多 4分析意,分析两人路程差或者差,将形跑道直,需要多少天完?如果每天少两,需要几天完?相遇或者追及。
三、算公式例:甲乙两人在形跑道上跑步。
已知跑道一圈400 米,乙每例如面公式,公式等等。
3秒跑 6 米,甲的速度是乙的。
4四、数量关系( 1)若甲、乙两人在环形跑道上相距8 米处同时相向出发,经过几秒( 5)火车问题两人相遇?火车过桥总路程= 桥长 + 火车身长( 2)若甲在乙前 8 米处同时同向出发,那么经过多长时间两人首次相火车完全在桥上时的路程= 桥长 - 火车身长遇?火车过隧道总路程= 隧道长 + 火车身长火车完全在隧道里的路程= 隧道长 - 火车身长(4)顺流(风)逆流(风))以及上下坡问题例:一座桥长1000 米,一列火车从桥上通过,从上桥到离开桥公用1静水速度是指船在静水中的速度,也就是船自身的速度。
一元一次方程如何找等量关系
一元一次方程如何找等量关系列方程找等量关系的关键就是找到题目中的不变量,不变量有不同的表现形式分为两种,题目中的已知数,也就是具体的数值,这种是比较简单的,一眼就能看出来的;有的是通过未知数与题目中的数字运算结果作不变量。
当然理解题意非常重要,只有理解了,才能分清等量关系。
好,下面我就一些例题详细作以讲解1.找题目中已知数或者是题目中的一个或多个数字的运算结果作为不变量,让它作为等量关系的一边,把它放在方程的右边(也可以在左边,为了方便叙述,就把它放在右边),然后设未知数,通过未知数和题目中数字的运算列出代数式,使代数式的意义和右边不变量的意义相同,把代数式放在方程的左边,这样方程就会轻而易举的列了出来。
例题1.甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?这个题目中有两个数字,这两个数字都是不变量,任何题目中的数字都是不变量,找到一个不变量,放在方程的右边,我们再用x与题目中的数字把它表示出来。
这个题目中的我们把98作为不变量放在方程的右边,98代表的含义是甲乙两班共有学生的人数,根据题意可以设甲班人数为x,根据第二个条件“甲班比乙班多6人”,就可以用x表示出乙班的人数为x-6,这样就可以用x把98所代表的含义表示出来x+(x-6),这样就可以把方程列出来了: x+(x-6)=98同样,我们可以把6作为不变量来列方程,这里不再叙述,同学们自己可以根据这个思路列出方程来。
例题2.甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地,甲骑自行车,乙步行,甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时,甲先到达B地后,立即由B 地返回,在途中遇到乙,这时距他们出发时已过了3小时。
求两人的速度。
这个题目中的不变量就是两地之间的距离,这里不做过多解释了。
解:设乙的速度是x 千米/时,3x+3 (2x+2)=25.5×22.先把未知数设出来,然后直接把它放在方程的右边或者与题目中的一个或多个数字的运算结果(代数式)放在方程的右边(也可以在左边,为了方便叙述,就把它放在右边),接着通过未知数和题目中数字的运算列出代数式,使代数式的意义和右边代数式的意义相同,放在方程的左边,这样方程就会轻而易举的列了出来。
一元一次方程知识点总结(供参考)
一元一次方程方程的有关概念夯实基础一.等式用等号(“=”)来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示①等式能够是数字算式,能够是公式、方程,也能够是运算律、运算法那么等,因此等式能够表示不同的意义。
②不能将等式与代数式混淆,等式含有等号,是表示两个式子的“相等关系”,而代数式不含等号,它只能作为等式的一边。
如x x 2735-=+才是等式。
二.等式的性质性质1:等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
即若是b a =,那么c b c a ±=±。
性质2:等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
即若是b a =,那么bc ac =;若是b a =()0≠c ,那么cbc a =。
温馨提示①等式类似天平,当天平两头放有相同质量的物体时,天平处于平稳状态。
假设在天平的两头各加(或减)相同质量的物体,那么天平仍处于平稳状态。
因此运用等式性质1时,当等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式时,才能保证所得的结果仍是等式,应专门注意“都”和“同一个”。
如31=+x ,左侧加2,右边也加2,那么有2321+=++x 。
②运用等式的性质2时,等式两边不能同除以0,因为0不能作除数或分母。
③等式性质的延伸:a.对称性:等式左、右两边互换,所得结果仍是等式,即若是b a =,那么a b =。
b.传递性:若是c b b a ==,,那么c a =(也叫等量代换)。
例1:用适当的数或整式填空,使所得的结果仍为等式,并说明依照等式哪一条性质,和如何变形取得的。
(1)若是51134=-x ,那么+=534x ;(2)若是c by ax -=+,那么+-=c ax ;(3)若是4334=-t ,那么=t 。
三.方程含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示方程有两层含义:①方程必需是一个等式,即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确信的数,即未知的字母,那个字母确实是未知数。
一元一次方程怎么找等量关系式
一元一次方程怎么找等量关系式一、概述1.1 随着数学学习的深入,一元一次方程作为数学中的重要内容,经常出现在日常生活和工作中。
一元一次方程的解题过程中,寻找等量关系式是至关重要的一步。
二、什么是一元一次方程2.1 一元一次方程是指方程中只含有一个未知数,并且该未知数的指数为1。
例如:2x+3=7,3x-5=2,这两个方程就是一元一次方程的例子。
2.2 一元一次方程的解法可以通过加减消去法、乘除消去法、代入法等多种方式进行,但这些方法都离不开寻找等量关系式这一步。
三、什么是等量关系式3.1 等量关系式是指两个或多个量相等的关系。
在一元一次方程中,我们要从已知条件中找到未知数的值,就需要先建立起未知数与已知量的等量关系。
3.2 常见的等量关系式包括:同项等量关系式、同个等量关系式、相似图形等量关系式等。
四、如何找等量关系式4.1 当遇到一元一次方程的问题时,首先要分析题目,找出已知条件和未知条件。
4.2 着重分析题目中的数量关系,例如题目中提到两个量相等,这就是一个等量关系式的线索。
4.3 通过数学语言和符号将已知条件和未知条件表达出来,建立等量关系式。
五、实例分析5.1 题目:一块铁与两块铜的质量之和是950克,铁的质量是铜的质量的4倍,求铁和铜的质量各是多少克?5.2 分析:题目中铁和铜的质量之间存在等量关系式,且已知铁的质量是铜的4倍。
5.3 用x表示铜的质量,则铁的质量为4x,根据题意可得方程:4x+x=950,即5x=950,解得x=190,代入得铜的质量为190克,铁的质量为760克。
5.4 通过这个例子可以看出,找等量关系式是解一元一次方程的关键,只有正确建立了等量关系式,才能有条不紊地进行后续的解题步骤。
六、总结6.1 在解一元一次方程的过程中,找等量关系式是至关重要的一步,是解题的关键。
6.2 在日常学习和工作中,要经常练习找等量关系式的能力,才能更加熟练地解决实际问题。
6.3 这项能力的提高不仅能够帮助我们更好地学习数学,还能培养我们解决实际问题的能力,具有重要的现实意义。
隐藏等量关系初一一元一次方程
隐藏等量关系初一一元一次方程初一数学学科中,等量关系是一个重要的概念,是学生理解代数的基础。
等量关系可以通过一元一次方程的形式来表示和解决。
一元一次方程是初中数学的重要内容,它是一个未知数与常数之间的关系式,其中未知数的最高次数是1,且系数为常数。
隐藏等量关系的一元一次方程是指问题中隐藏着等量关系,通过建立一元一次方程可以解决问题的一类题型。
这类题目要求学生从问题中抽象出未知数与已知数之间的关系,然后建立相应的方程,最终求解未知数的值。
举个例子来说,假设问题是这样的:某班级的学生人数是未知数x,如果每个学生缴纳10元,可以筹集到300元,那么班级里一共有多少学生?对于这个问题,我们可以从问题中找到未知数和已知数。
未知数是学生人数x,已知数是每个学生缴纳的费用10元和筹集到的总费用300元。
然后,我们可以建立一元一次方程来表示未知数与已知数之间的关系。
根据题目的描述,每个学生缴纳的费用10元乘以学生的人数x等于筹集到的总费用300元。
因此,我们可以得到方程:10x = 300。
最后,我们可以通过解这个方程来求解未知数x的值。
将方程进行变形,得到x = 300 ÷ 10,即x = 30。
所以,班级里一共有30名学生。
隐藏等量关系初一一元一次方程的题目可以通过思考问题中的已知条件和未知数之间的关系来解决。
学生可以将问题中的已知数与未知数用字母表示,并建立相应的方程。
然后,通过解方程来求解未知数的值。
在解这类题目的过程中,学生需要注意以下几点:1. 仔细阅读题目,理解问题的要求和条件。
2. 用一个字母表示未知数,例如x,y等。
3. 根据问题的描述,确定已知数与未知数之间的关系,然后建立一元一次方程。
4. 对方程进行变形,以方便求解未知数的值。
5. 解方程,得到未知数的值。
6. 最后,将未知数的值代入原问题,检查是否满足题目的要求。
隐藏等量关系初一一元一次方程的题目可以帮助学生加深对等量关系和一元一次方程的理解。
七年级数学一元一次方程应用题怎么列等量关系
七年级数学一元一次方程应用题怎么列等量关系
一元一次方程的应用题是数学中的一个重要部分,它涉及到实际生活中的各种问题。
为了解决这类问题,我们首先需要找出等量关系。
等量关系是方程的基础,它表示两个量是相等的。
在应用题中,等量关系通常表示两个数学量之间的关系,例如:路程=速度×时间。
以下是一些常见的列等量关系的方法:
1. 直接描述法:如果题目中直接给出了两个量之间的关系,我们可以直接写出这个关系作为等量关系。
例如,题目说“小明走了10分钟,每分钟走100米”,那么等量关系就是“路程=速度×时间”。
2. 列表法:如果题目中有多个未知数和已知数,我们可以先列出所有的已知数和未知数,然后找出它们之间的关系。
例如,题目说“一个工人每小时可以生产10个零件,他工作了3小时”,那么我们可以列出“工人每小时生产的零件数”和“工作的小时数”,然后写出等量关系“生产的零件数=每小时生产的零件数×工作的小时数”。
3. 图示法:对于一些几何问题,我们可以使用图形来帮助我们找出等量关系。
例如,题目说“一个三角形的底是6厘米,高是4厘米”,那么我们可以画出这个三角形,然后写出等量关系“三角形的面积=底×高÷2”。
4. 转化法:有时候题目中的问题不容易直接转化为等量关系,这时我们可以尝试将问题转化为更容易处理的形式。
例如,题目说“一个长方形的长是5厘米,宽是3厘米,求它的周长”,我们可以将问题转化为“求两个长和两个宽的总和”,这样就可以写出等量关系“周长=2×长+2×宽”。
通过以上方法,我们可以更好地理解和解决一元一次方程的应用题。
七年级一元一次方程常见应用题
七年级一元一次方程常见应用题一元一次方程常见应用题一、课本上常用等量关系:常见等量关系有总量=各部分量的和,暗示同一个量的两个不同的式子相等。
1、某人共用142元买了两种水果共20千克。
已知甲种水果每千克8元,乙种水果每千克6元,问这两种水果各有多少千克?2、解放军战士在一次施工中,要运回75吨砂子。
现出动大、小两种汽车17辆,大小汽车每辆各运砂5吨/次、3吨/次。
这些砂子正好一次运完。
问大、小汽车各几辆?3、把一些图书分给某班学生。
如果每人分4本,则剩余12本;如果每人分5本,则还缺30本。
问该班有多少学生?4、一宿舍,若每间住1人,有10人无处住;若每间住3人,则有10间宿舍无人住。
那么这宿舍有多少间,人有多少个?二、行船问题:常用等量关系有顺流路程=逆流路程,顺流速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度。
1、一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头之间的距离?2、一架飞机飞舞在两个城市之间,风速为每小时24千米。
顺风飞舞需要2小时50分钟,逆风飞舞需要3小时,求两城市间距离。
3、一轮船航行于两个码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时。
已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头间的距离。
4、轮船在静水中的速度为每小时20千米,水流速度为每小时4千米。
从甲码头顺流航行到一码头,再返回到甲码头,共用5小时。
求甲乙两个码头的距离。
三、工程问题:常用等量关系有工作总量=工作效率×工作时间,一般设工作总量为单位1.1、一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成。
现先由甲、乙合作5天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成。
问乙还要几天才能完成全部工程?2、某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天。
如先由甲队做4天,然后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五?3、已知某水池有进水管与出水管各一根。
中考数学复习指导:常见一元一次方程应用题中的等量关系
常见一元一次方程应用题中的等量关系等量关系是列方程解应用题的重要依据.一元一次方程应用题中的等量关系通常有哪些呢?下面结合例题归纳出十类常见的等量关系,供同学们学习时参考:第一类:相遇问题相遇问题中的等量关系:甲(从A出发)所走的路程+乙(从B出发)所走的路程=A、B两地间的路程.在求解时,应注意灵活运用公式:路程=速度×时间.例1 A、B两地相距700千米,甲车从A出发行使120千米后,乙车行使6小时后两车相遇.若乙车速度是甲车速度的32,则甲车速度是多少千米/小时?解设甲车速度是x千米/小时,则乙车速度是32x千米/小时,依题意得:6x+6×32x+120=720,解这个方程得x=40.答:甲车速度是40千米/小时.第二类:追及问题①同地不同时:前者走的路程=追者走的路程;②同时不同地:前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程.例2 小明、小亮两人相距5千米,按照小明在前小亮在后的顺序两人同时出发同向而行.已知小明的速度是3千米/小时,小亮的速度是4千米/小时,那么经过多少小时后小亮能追上小明?解设经过x小时后小亮能追上小明,依题意得:3x+5=4x,解这个方程得x=5.答:经过5小时后小亮能追上小明.第三类:航行问题抓住两地距离不变,静水速度不变的特点考虑相等关系建立方程.在求解时往往会用到以下两道公式:①顺水速度=静水速度+水流速度;②逆水速度=静水速度-水流速度,例3 某轮船往返于A 、B 两个港口之间,逆水航行时需3小时,顺水航行时需2小时,若水流速度是3千米/小时,那么轮船在静水中的速度是多少千米/小时?解 设轮船在静水中的速度是x 千米/小时,则轮船在顺水中的速度是(x +3)千米/小时,轮船在逆水中的速度是(x -3)千米/小时,依题意得:2(x +3)=3(x -3),解这个方程得x =15.答:轮船在静水中的速度是15千米/小时.第四类:立体几何问题当立体几何图形发生变化时,其高度、底面积等都可能随之变化,但是图形的体积保持不变.这是我们列一元一次方程解立体几何图形问题的关键.例4 用直径为90mm 的圆钢,铸造一个底面边长都是131mm ,高度是81mm 的长方体钢锭,请问需要截取多长的一段圆钢?(结果保留π)解 设需要截取x mm 的一段圆钢,依题意得:解这个方程得x =686.44π 答:需要截取686.44πmm 的一段圆钢.第五类:商品销售问题①利润=销售价-成本价;②商品的销售额=销售价×销售量;③销售价=进价×(1+提价的百分数)或者销售价=进价×(1-降价的百分数); ④打折后的销售价=标价×打折的百分数(其中,打几折就是按原价的十分之几出售). 例5 小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子,共用了306元,其中上衣按标价打七折,裤子按标价打八折,上衣的标价为300元,那么裤子的标价为多少元?解 设裤子的标价为x 元,依题意得:300×0.7+0.8x =306,解这个方程得x =120.答:裤子的标价为120元,第六类:利息问题①利息=本金×利率×期数;②本息和=本金+利息,其中本金是指顾客存入银行的钱;利息指银行付给顾客的报酬;期数指存入银行的时间;利率指每个期数内的利息与本金的比,而本金与利息的和叫做本息和.例6 六年前妈妈为小英存了一个6年期的教育储蓄,现在取出时共得本息和18240元.如果当时的年利率为3.6%,请问妈妈当时存入银行多少钱?解设妈妈当时存入银行x元,依题意得:x+x·3.6%×6=18240.解这个方程得x=15000.答:妈妈当时存入银行15000元.第七类:数字调位问题抓住新数与原数之间的联系,寻找相等关系.例7有一个两位数,两个数位上的数字之和是3.如果把个位数字与十位数字对调,得到的新两位数比原数大9,那么这个两位数是多少?解设个位数字为x,则十位数字为3-x,依题意得:10x+(3-x)=10(3-x)+x+9,解这个方程得x=2,则3-x=1.答:这个两位数是12.第八类:浓度问题利用变化后的溶质的不同表示方法作为等量关系.例8 浓度为25%的一杯盐水中,加入1.25克盐后,盐水浓度为35%,那么原来那杯浓度为25%的盐水的质量为多少克?解设原来那杯浓度为25%的盐水的质量为x克,则其中含盐的质量为25%x,加入1. 25克盐后,盐水的质量为x+1.25克,依题意得:25%x+1.25=(x+1.25)×35%,解这个方程得x=8.125.答:原来那杯浓度为25%的盐水的质量为8.125克.第九类:调派问题此类问题中一般有两个未知数,等量关系也有两个.如果设一个未知数为x,则利用其中一个等量关系把另一个未知数用含x的代数式表示,然后利用另一个等量关系列出方程.例9在甲处工作的有21人,在乙处工作的有12人.为加快进度,又派来18人分到甲、乙两处,使甲处工作的人数是乙处工作人数的2倍,请问应往甲、乙两处各派多少人?解设派往甲处x人,则派往乙处18-x人.调派后甲处有21+x人,乙处有[12+(18-x)]人,依题意得:21+x=2[12+(18-x)],解这个方程得x=13,则18-x=5.答:派往甲处13人,则派往乙处5人.第十类:工程问题两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于工作总量.其中工作量=工作效率×工作时间,而在求解时往往把工作总量看作单位“1”.例10 一项工程,甲队单独做10小时完成,乙队单独做15小时完成,丙队单独做20小时完成,开始时三队合作,中途甲队另有任务,剩下的由乙和丙两队完成,从开始到工程完成共用6小时,请问甲队实际做了多少小时?解设甲队实际做了x小时,则乙和丙两队合作了6-x小时,依题意得:=1.解这个方程得x=3.答:甲队实际做了3小时.综上可见,一元一次方程应用题中的等量关系是多种多样的,我们在解题时要认真审题,仔细分析,找出问题中的等量关系,灵活运用解题策略,才能顺利解决问题.。
等量关系的笔记
等量关系的笔记一、等量关系的定义。
在数学中,等量关系是指表示两个量或者表达式之间具有相等关系的语句。
例如,在等式2 + 3=5中,“2+3”和“5”之间就存在等量关系。
二、等量关系在不同数学内容中的体现。
1. 代数方面。
- 在方程中,等量关系是核心。
例如,对于一元一次方程ax + b=c(a≠0),等号两边就是一种等量关系。
已知小明有x元钱,妈妈又给了他5元后他一共有10元,那么可以列出方程x + 5=10,这里“小明原有的钱数加上妈妈给的钱数”和“小明现有的钱数”就是等量关系。
- 在代数式的恒等变形中也有等量关系。
例如(a + b)^2=a^2+2ab + b^2,等号左边的完全平方(a + b)^2和等号右边展开后的a^2+2ab + b^2是等量关系,无论a和b 取何值,这个等式都成立。
2. 几何方面。
- 在计算图形的周长、面积、体积等时会用到等量关系。
- 对于长方形,周长C = 2×(长+宽),这里的“C”和“2×(长 + 宽)”就是等量关系。
如果已知长方形的长为a,宽为b,周长为20,那么可以列出方程2(a +b)=20。
- 在三角形中,三角形的内角和等于180^∘,这就是一个等量关系。
如果一个三角形的三个角分别为∠ A、∠ B、∠ C,那么∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘。
三、寻找等量关系的方法。
1. 分析题目中的关键语句。
- 像“比……多”“比……少”“是……的几倍”“等于”等词语往往提示等量关系。
例如“甲比乙多5个”,可以得出等量关系:甲的数量=乙的数量 + 5。
2. 利用图形或表格辅助分析。
- 在一些行程问题或者工程问题中,通过画线段图或者制作表格来梳理信息,从而找出等量关系。
例如,在行程问题中,路程 = 速度×时间。
如果甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,经过t小时相遇,甲的速度为v_1,乙的速度为v_2,那么可以通过画线段图得出等量关系v_1t+v_2t = AB之间的距离。
一元一次方程的等量关系
一元一次方程的等量关系1.工程问题(生产、做工等类问题)工作量=工作效率×工作时间合做的效率=各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为1,完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
工程问题常用等量关系:先做的+后做的=完成量.2.行程问题(1)行程问题中的三个基本量及其关系:路程=速度×时间.要特别注意:路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少)(2)基本类型有①单人往返各段路程和=总路程各段时间和=总时间匀速行驶时速度不变②相遇问题(相向而行):快行距+慢行距=原总距两者所走的时间相等或有提前量.③追及问题(同向而行);快行距-慢行距=原总距两者所走的时间相等或有提前量.④环形跑道上的相遇和追及问题:同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程.行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意,并注意两者运动时出发的时间和地点.⑤航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度;逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度.水流速度=(顺水速度-逆水速度)/2抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程.⑥考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然.3. 商品销售问题(1)商品销售额=商品销售价×商品销售量;(2)商品销售利润=(销售价-成本价)×销售量;(3)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.关系式:商品售价=商品标价×折扣率.4. 银行储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数(存期),利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税.⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率(20%)注意利率有日利率、月利率和年利率: 年利率=月利率×12=日利率×3655.配套问题:解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
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一元一次方程等量关系方法一:根据常见的公式寻找等量关系1、 工作问题和工程问题(1) 单人工作:工作总量=工作效率×工作时间(2) 多人合作:甲的工作总量+乙的工作总量+。
=工作总量【例】某工作甲单独做4天完成,乙单独做8天完成。
现甲先做1天,然后和乙共同完成余下工作。
问甲一共做了几天?甲单独一天可以完成总量的1/4,乙单独一天完成1/8;甲干1天后剩余:1-1*1/4=3/4设甲乙共同完成余下的需要X 天则X*(1/4+1/8)=3/4解得X=2天所以甲一共干了:1+2=3天【例】一项工程,甲队独做要120天完成,如果甲队先做10天,乙队再做5天,就可以完成这项工程的245,乙队单独做这项工程需要多少天? 解:设乙队的工作效率为X ,得:5X+10/120=5/24解得X=1/40答:乙队单独做这项工程需要40天2、 行程问题路程=速度×时间(特别注意:两地的距离不变)(1)追击问题:①同时不同地出发:前者走的路程+两地间距离=追者走的路程前者走的时间=追者走的路程②同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程前者走的时间=追者走的时间+等待时间【例】甲乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出发。
已知,摩托车速度是自行车速度的3倍,若两人同向而行,骑自行车在先且出发2小时,问摩托车经过多少时间追上自行车?解:设摩托车经过时间x 追上自行车自行车行驶的路程:S 自=15*(x+2)摩托车行驶的路程:S 摩=15*3x由于S 自=S 摩+180,代入数据,得x=7答:摩托车7小时追上【例】甲乙两人都以不变的速度在400米环形跑道上跑步,两人在同一地方同时出发同向而行,甲的速度为100米/分,乙的速度是甲速度的3/2倍,问经过多长时间后两人首次相遇?第二次相遇呢?首先要相遇,肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度:100*3/2=150m/min 设第一次相遇经过时间为X150X -100X=400X=8设第二次相遇经过时间为Y150Y -100Y=400*2Y=16(2)相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地间的距离【例】甲乙两站之间相距360千米,上午9点1刻,一辆慢车和一辆快车分别分别从两站相向开往对方车站,经过3小时相遇,已知快车速度是慢车的1.5倍,问两车在什么时刻相距90千米?设慢车速度为V,则快车速度为 1.5V,相约90千米所用时间为t列方程1。
vt+1.5vt=360km(t=3h) 求得慢车速度V=120km/h列方程2。
vt+1.5vt=250km(v=120km/h,t为两车运行时间)求得时间t=5/6小时【例】上午8时,甲乙两人从A、B两地同时出发,相向而行,上午9时,两人相距54km,两人继续前进,到上午11时,两人又相距54km,已知甲每小时比乙多走3km,求A、B两地的距离。
分析如下:两地距离不变,据此可列等式。
9时的时候,甲走的距离加乙走得距离加54就等于两地的距离11时的时候,根据题意,甲乙已经相遇了一次,两人走得距离相加比两地距离还多了一个54.解:设乙速度Xkm/小时,则甲速度(X+3)km/小时.根据题意可列方程X+(X+3)+54=3X+3(X+3)-54解得X=25.5所以两地距离为X+(X+3)+54=108km(3)航行问题:①顺风(水)速度=静风(水)中的速度+风(水)速度②逆风(水)速度=静风(水)中的速度-风(水)速度引申:在静风(水)中的速度=顺风(水)速度+逆风(水)速度)风(水)中的速度=顺风(水)速度-逆风(水)速度)【例】3、利润问题销售毛利率=(销售收入-营业成本)/销售收入*100%(1)商品利润=商品售价-商品成本价(进价)=商品的成本价(进价)×商品利润率(2)商品利润率=商品利润/商品成本价(进价)×100%(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量(5)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.【例】某商品的进价是250元,标价为320元,商店要求保持利润率15.2%的售价打折出售,则可以打几折出售此商品?设打折x销售,则320*x=250*(1+15.2%)320x=288x=288÷320x=0.9【例】一种商品的买入单价为1500元,如果出售一件商品获得的毛利润是卖出单价的15%,那么这种商品出售单价应定为多少元?(精确到1元)这种商品出售单价应定为x元,0.15x=x-1500x=1764.71≈1765【例】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品.经过市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况,如何购销获利最多?设商场的资金为x元月初出售,获利为:x*(1+15%)(1+10%)-x=0·265x 月末出售,获利为:x*0·3-700=0·3x-700 令0·265x=0·3x-700 解得x=20000 当商场的资金为20000元时,月初出售和月末出售获利一样多令0·265x>0·3x-700 解得x<20000 当商场的资金少于20000元时,月初出售获利多令0·265x<0·3x-700 解得x>20000 当商场的资金多于20000元时,月末出售获利多【例】某商店有一套运动服,按标价的8折出售仍可获利20元,已知这套运动服的成本价为100元,问这套运动服的标价是多少元?考点:一元一次方程的应用.专题:销售问题.分析:设这套运动服的标价是x元.此题中的等量关系:按标价的8折出售仍可获利20元,即标价的8折-成本价=20元.解答:解:设这套运动服的标价是x元.根据题意得:0.8x-100=20,解得:x=150.答:这套运动服的标价为150元.点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.【例】某企业生产一种产品,每件成本为400元,销售价为510元,本季度销售了m件,为进一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售将提高10%,要使销售利润(销售利润=销售价-成本价)保持不变,该产品每件的成本价应降低多少元?考点:一元一次方程的应用.专题:应用题;经济问题.分析:此题文字叙述量大,要审清题目,找到等量关系:销售利润(销售利润=销售价-成本价)保持不变,设该产品每件的成本价应降低x元,则每件产品销售价为510(1-4%)元,销售了(1+10%)m件,新销售利润为[510(1-4%)-(400-x)]×(1+10%)m元,原销售利润为(510-400)m元,列方程即可解得.解答:解:设该产品每件的成本价应降低x元,则根据题意得[510(1-4%)-(400-x)]×m(1+10%)=m(510-400),解这个方程得x=10.4.答:该产品每件的成本价应降低10.4元.4、利息问题利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息税后利息=利息-利息×利息税率【例】小华将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元来购买学习用品,剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入银行,若存款的年利率又下调到原来的一半,这样到期后可得本息和63元,求第一次存款的年利率(不计利息税).考点:一元一次方程的应用.专题:应用题;增长率问题.分析:要求存款的年利率先设出未知数,再通过等量关系就是两年的本金加上利息减去够买学习用品的钱等于最后的本息之和.解答:解:设第一次存款的年利率为x,则第二次存款的年利率为x2,第一次的本息和为(100+100×x)元.由题意,得(100+100×x-50)× x2+50+100x=63,解得x=0.1或x= -135(舍去).答:第一次存款的年利率为10%.点评:解题的关键要理解题的大意,特别是第二次到期的本息为50+100x,很多同学都会忽略100x,根据题目给出的条件【例】某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个0.6元,按每个面包1.0元的价格出售,卖不完的以每个0.2元于当天返还厂家,在一个月(30天)里,小店有20天平均每天卖出面包80个,其余10天平均每天卖出面包50个,这样小店老板获纯利600元,如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包,求这个数量是多少?考点:一元一次方程的应用.专题:经济问题.分析:由题意得,他进的包子数量应在50-80之间;等量关系为:(20×进货量+10×50)×每个的利润-(进货量-50)×10×每个赔的钱=600;据此列出方程解可得答案.解答:解:设这个数量是x个.由题意得:(20x+500)×(1-0.6)-(x-50)×10×(0.6-0.2)=600,解得:x=50.故这个数量是50个.方法二:抓住数学术语找等量关系1、和差关系和倍数关系常用“一共有”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”等术语表示,增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量。
在解题时可抓住这些术语去找等量关系,按叙述顺序来列方程。
【例】2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?考点:一元一次方程的应用.专题:应用题.分析:等量关系为:居民家庭用水=生产运营用水的3倍+0.6.解答:解:设生产运营用水x亿立方米,则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米.依题意,得 5.8-x=3x+0.6,解得:x=1.3,∴5.8-x=5.8-1.3=4.5.答:生产运营用水1.3亿立方米,居民家庭用水4.5亿立方米.点评:解题关键是弄清题意,找到合适的等量关系.本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米”来列等量关系.【例】小刚在商场发现他喜欢的随身听和书包单价之和是452元,并且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.求小刚喜欢的随身听和书包的单价.考点:一元一次方程的应用.专题:应用题;经济问题.分析:本题的关键语“随身听和书包单价之和是452元,并且随身听的单价比书包单价的4倍少8元”,即随身听的单价=书包单价×4-8.依此等量关系列方程求解.解答:解:设随身听单价为x元,则书包的单价为(452-x)元,列方程得:x=4(452-x)-8,解得:x=360.当x=360时,452-x=92【例】有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥,过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒,又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米,试求各铁桥的长.解:设第一铁桥的长为x米,那么第二铁桥的长为(2x-50)米,∴过完第一铁桥所需的时间为分.过完第二铁桥所需的时间为分.依题意,可列出方程+ = 解方程x+50=2x-50 得x=100 ∴2x-50=2×100-50=150 答:第一铁桥长100米,第二铁桥长150米.【例】《一千零一夜》中有这样一个段文字:有一群鸽子,其中有一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食,树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就是整个鸽子群的三分之一;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子一样多”。