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菱形的判定同步练习

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菱形的判定同步练习(含答案)

菱形的判定同步练习(含答案)

第六章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第2课时菱形的判定基础闯关知识点一：利用定义判定菱形1.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E,使AE=AB,连接ED,EC,AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是( )A.AB=ADB.AB=EDC.CD=AED.EC=AD2.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,要使四边形AFDE为菱形,△ABC应满足的条件是.(添加一个条件即可)知识点二：利用对角线的位置关系判定菱形3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )A.EB⊥ECB.AB⊥ACC.AB=ACD.BF∥CE4.从下图入口处进入，最后到达的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁知识点三：利用边的关系判定菱形5.如图,将平行四边形ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE6.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.如果AE=4cm,那么四边形AEDF的周长为( )A.12cmB.16cmC.20cmD.22cm8.如图，两条笔直的公路l₁，l₂相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C到公路l₁的距离为4千米，则村庄C到公路l₂的距离为.知识点四：菱形判定方法的综合应用9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O，添加下列条件，不能判定▱ABCD是菱形的是( )A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠210.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线能力提升11.如图，在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下列结论错误的是( )A.AD∥BCB.DC=ABC.四边形ABCD是菱形D.将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合12.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点，下列结论：①BE ⊥AC;②EG=EF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.513.如图，四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,若∠C=100°,则∠BAD的度数为.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作▱CDEB,当AD=时,▱CDEB为菱形.15.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA,DC的延长线分别交于点E,F.(1)求证:AE=CF.(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.16.如图,▱ABCD中,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)求证:当AB=AD时,四边形AECF是菱形.17.如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE.(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.培优创新【求解中点四边形的关键——中位线】18.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件,是( )A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是菱形C.对角线AC=BDD.AD=BC19.如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,点P,Q,M,N分别为AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPQ是菱形.参考答案1.B2.示例:AB=AC3.C4.D5.C6.A7.B8.4千米9.C 10.C 11.C 12.C 13.50° 14.2.815.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,BE∥DF,∴∠E=∠F.在△AOE和△COF中,CF.(2)解:示例:当EF⊥BD时,四边形BFDE是菱形.理由:如图,连接BF,DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.∵△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.16.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∠ABM=∠CDN,∴∠ABE=∠CDF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,∴∠AMB=∠CND=90°,∴∠BAM=∠DCN,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA).(2)如图,连接AC.当AB=AD时,四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,AD∥BC.∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,AD∥BC,∴AM∥CN,∴四边形AECF为平行四边形.∵AC⊥EF,∴四边形AECF为菱形.17.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴EB=ED,AB∥CD,∴∠EBP=∠EDQ.在△PBE和△QDE中,(2)如图所示,∵△PBE≌△QDE,∴EP=EQ.同理,△BME≌△DNE(ASA),∴EM=EN,∴四边形PMQN是平行四边形.∵PQ⊥MN,∴四边形PMQN是菱形.18.D19.证明:如图,连接BD,AC.∵△ADE和△BCE都是等边三角形,∴AE=DE,EC=BE,∠AED=∠BEC=60°,∴∠AEC=∠DEB=120°,∴△AEC≌△DEB(SAS),∴AC=BD.∵M,N是CD,DA的中点,∴MN是△ACD的中位线,即同理可得NP=QM,∴四边形MNPQ是菱形.。

沪教版八年级数学下册19.3.2 第2课时 菱形的判定3(同步练习)

沪教版八年级数学下册19.3.2 第2课时 菱形的判定3(同步练习)

19.3 矩形、菱形、正方形2.菱形第2课时菱形的判定一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形7、能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分8、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形二、填空题9、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是_________（只填一个你认为正确的即可）．10、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．11、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）12、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________ =＞ABCD是菱形；_________=＞ABCD是菱形．13、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．14、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是_________．（写四个条件的不给分，只填序号）15、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是_________形，再说明_________（只需填写一种方法）16、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD是菱形，则还需添加一个条件是_________（只需填写一个条件即可）．三、解答题17、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．18、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．19、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．20、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．21、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN 的数量关系，并证明你的结论．22、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．（1）求证：AD=CE；（2）填空：四边形ADCE的形状是_________．23、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．24、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．25、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．26、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．27、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

1.1 菱形的性质与判定 北师大版九年级数学上册同步练习(含解析)

1.1 菱形的性质与判定 北师大版九年级数学上册同步练习(含解析)

北师大版九上1.1菱形的性质与判定同步练习一、选择题（共10题）1. 菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，若其周长为8，则菱形ABCD的高为( )B．4C．1D．2 A．123. 菱形ABCD中，AB=2，∠D=120∘，则对角线AC的长为( )A．1B．3C．2D．234. 菱形ABCD中，AC=10，BD=24，则该菱形的周长等于( )A．13B．52C．120D．2405. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是( )A．12B．16C．20D．246. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使平行四边形ABCD成为菱形的是( )A．AB=BC B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．∠A=∠B=∠C=90∘7. 如图，B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的四边形是菱形8. 点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，AC，BD交于点O，当四边形ABCD的对角线满足( )条件时，四边形EFGH是菱形．A．AC⊥BD B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．OA=OB9. 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(―3,0)，B(0,2)，C(3,0)，D(0,―2)，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA=BC B．AC，BD互相平分C．AC=BD D．AB∥CD二、填空题（共10题）11. 如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是cm．12. 已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为．13. 已知菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是cm2．14. 如图，若菱形的边长为4，∠BAD=120∘，则较短对角线AC长为．15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为DC的中点，若OE=3，则菱形的周长为．16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，反向延长交BC于点F，则EF的长为．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为．18. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥CE．从中选择条件可使四边形BECF是菱形．19. 如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：，使得四边形AEDF是菱形．三、解答题（共7题）21. 【测试4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 连接DG，若DG=BG，则四边形BECF是什么特殊四边形？请说明理由．23. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：(1) ∠CEB=∠CBE；(2) 四边形BCED是菱形．24. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．(1) 求证AB=BC；(2) 若AB=2，AC=23，求平行四边形ABCD的面积．25. 在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF，求证：(1) △ABF≌△DAE．(2) DE=BF+EF．26. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE=DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 试判断四边形AECF的形状，并说明理由．27. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；(2) 若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】B10. 【答案】B二、填空题（共10题）11. 【答案】212. 【答案】1313. 【答案】2414. 【答案】415. 【答案】2416. 【答案】24517. 【答案】618. 【答案】②19. 【答案】AD=BC20. 【答案】如：AB=AC，答案不唯一三、解答题（共7题）21. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO，∵MN 是对角线 BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在 △MOD 和 △NOB 中，∠DMO =∠BNO,∠MOD =∠NOB,OD =OB,∴△MOD ≌△NOB (AAS)，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴ 四边形 BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴ 四边形 BNDM 是菱形．(2) ∵ 四边形 BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12BD =12，OM =12MN =5，在 Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2=52+122=13， ∴ 菱形 BNDM 的周长 =4BM =4×13=52．22. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∠BAE =∠DCF ，在 △ABE 和 △CDF 中，AB =CD,∠BAE =∠DCF,AE =CF,∴△ABE ≌△CDF (SAS)；(2) 四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∵AE =CF ，∴DE =BF ，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，∴OB =OD ，∵DG =BG ，∴EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．23. 【答案】(1) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ ∠ABC =∠ABD ．∵ CE ∥BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∴ ∠CEB =∠CBE ．(2) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ BC =BD ．∵ ∠CEB =∠CBE ，∴ CE =CB ，∴ CE =BD ．∵ CE ∥BD ，∴ 四边形 CEDB 是平行四边形．∵ BC =BD ，∴ 四边形 CEDB 是菱形．24. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥BC ，所以 ∠DAC =∠BCA ，因为 ∠BAC =∠DAC ，所以 ∠BAC =∠BCA ，所以 AB =BC ．(2) 连接 BD 交 AC 于点 O ，因为四边形 ABCD 是平行四边形，AB =BC ，所以四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥BD ，OA =OC =12AC =3，OB =OD =12BD ，所以 OB =AB 2―OA 2=22―(3)2=1，所以 BD =2OB =2，所以 S 平行四边形ABCD =12AC ⋅BD =12×23×2=23．25. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AD ∥BC ，∴∠BOA =∠DAE ，∵∠ABC =∠AED ，∴∠BAF =∠ADE ，∵∠ABF =∠BPF ，∠BPA =∠DAE ，∴∠ABF =∠DAE ，∵AB =DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2) ∵△ABF ≌△DAE ，∴AE =BF ，DE =AF ，∵AF =AE +EF =BF +EF ，∴DE =BF +EF ．26. 【答案】(1) ∵ 正方形 ABCD ，∴AB =AD ，∠ABE =∠ADF =135∘，在 △ABE 和 △ADF 中，AB =AD,∠ABE =∠ADF,BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS)．(2) 四边形 AECF 为菱形．证明：连接 AC ，∵△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF ，∵正方形ABCD，∴EF垂直平分AC，∴EA=EC，FA=FC，∴EA=EC=FA=FC，∴四边形AECF是菱形．27. 【答案】(1) ∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO．在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积=1AC⋅BD=24．2。

2022年湘教版八年级下《菱形的判定》同步练习(附答案)

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2.6.2 菱形的判定一、选择题1．以下四边形中不一定为菱形的是〔〕A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=•BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有〔〕．A．1种B．2种C．3种D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，那么两条对角线的长分别是〔〕A．8cm和43cm B．4cm和83cmC．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．〔只写出符合要求的一个即可〕图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，那么要增加的条件是________．〔只写出符合要求的一个即可〕6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，那么BD=_____，菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，那么BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如下图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．四、思考题9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且OC=OD,PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．参考答案一、1．A 点拨：此题用排除法作答．2．D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3．C 点拨：如下图，假设∠ABC=60°，那么△ABC 为等边三角形，• 所以A C=AB=14×32=8〔cm 〕，AO=12AC=4cm ． 因为AC ⊥BD ，在Rt △AO B 中，由勾股定理，得OB=222284AB OA -=-=43〔cm 〕，• 所以BD=2OB=83cm ．二、4．AB=BC 点拨：还可添加A C ⊥BD 或∠ABD=∠CBD 等． 5．点D 在∠BAC 的平分线上〔或AE=AF 〕6．12cm ；723cm 2点拨：如下图，过D 作DE ⊥AB 于E ， 因为AD ∥BC ，•所以∠BAD+∠ABC=180°． 又因为∠BAD ：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°，因为AB=AD ，所以△ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm ．所以AE=6cm ． 在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE 2+ED 2=AD 2，62+ED 2=122，所以ED 2=108， 所以ED=63cm ，所以S 菱形ABCD =12×63=723〔cm 2〕．7．4；43 点拨：如下图，因为DE 垂直平分AB ，又因为DA=AB ，所以DA=DB=4．所以△ABD 是等边三角形，所以∠BAD=60°， 由可得AE=2．在Rt △AED•中，•AE 2+DE 2=AD 2，即22+DE 2=42，所以DE 2=12，所以DE=23，因为12AC·BD=AB·DE，即12AC·4=4×23，所以AC=43．三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABC D中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．点拨：根据条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．14.1.2 幂的乘方一、选择题1．计算〔-a2〕5+〔-a5〕2的结果是〔〕A．0 B．2a10 C．-2a10 D．2a72．以下计算的结果正确的选项是〔〕A．a3·a3=a9 B．〔a3〕2=a5 C．a2+a3=a5 D．〔a2〕3=a63．以下各式成立的是〔〕A．〔a3〕x=〔a x〕3 B．〔a n〕3=a n+3 C．〔a+b〕3=a2+b2 D．〔-a〕m=-a m4．如果〔9n〕2=312，那么n的值是〔〕A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题5．幂的乘方，底数________，指数________，用字母表示这个性质是_________．•6．假设32×83=2n，那么n=________．7．n为正整数，且a=-1，那么-〔-a2n〕2n+3的值为_________．8．a3n=2，那么a9n=_________．三、解答题9．计算：①5〔a3〕4-13〔a6〕2②7x4·x5·〔-x〕7+5〔x4〕4-〔x8〕2③[〔x+y〕3]6+[〔x+y〕9]2④[〔b-3a〕2]n+1·[〔3a-b〕2n+1]3〔n为正整数〕10．假设2×8n×16n=222，求n的值．四、探究题11．阅读以下解题过程：试比拟2100与375的大小．解：∵2100=〔24〕25=1625375=〔33〕25=2725而16<27∴2100<375．请根据上述解答过程解答：比拟255、344、433的大小参考答案：1．A 2．D 3．A 4．B5．不变；相乘；〔a m〕n=a mn〔m、n都是正整数〕6．14 7．1 8．8 9．①-8a12；②-3x16；•③2〔x+y〕18；④〔3a-b〕8n+5 10．n=3 11．255<433<344。

菱形的性质同步练习(含答案)

菱形的性质同步练习(含答案)

第六章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时菱形的性质基础闯关知识点一：菱形的定义与对称性1.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC2.菱形不具备的性质是( )A.是轴对称图形B.对称轴有两条C.对称轴是两条对角线D.是中心对称图形3.如图，菱形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别(0,2),(2,1),(4,2),则顶点D的坐标是( )A.( 2,2)B.( 2,4)C.( 3,2)D.( 2,3)知识点二：菱形的性质4.在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,点E是BC边上的一个动点(点E与点C不重合)，点F,G分别是AE,CE的中点,则线段FG的长度为( )B.35.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状变化的过程中，依次出现的特殊三角形是( )A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形6.如图，五边形ABCDE是正五边形，以AB为边,在五边形ABCDE的内部作菱形ABCF,则∠FAE 的度数为.能力提升7.[空间观念]如图，在边长为的菱形ABCD中,∠BAD=60°,点E,F分别为折线AB-BC,AD-DC上的点(不含菱形顶点),AE=AF,BF,DE相交于点G,作射线AG.甲、乙二人分别对这个问题进行了研究：甲：射线AG不一定经过点C；乙：当DE垂直于菱形的边时，线段AG的长可能为3.下列判断正确的为( )A.甲、乙都对B.甲、乙都错C.甲对，乙错D.甲错，乙对8.如图,在菱形ABCD中,点E在对角线BD上,AE=BE,∠C=120°,若BD=12cm,则DE=__________cm.9.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF,则∠CDF=.10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AB,AO的中点,连接EF,BF.若AF=1,AE=2,则FB的长为.11.如图,含30°角的直角三角板GEF的边GE与菱形ABCD的边AD所在直线重合，GF与BD相交于点H,EF∥CD,则∠FHD的度数是.12.[空间观念]如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的任意两点(E，F不重合)，过点E 作ME∥AD,NE∥AB,点M,N分别在AB,AD上;过点F作RF∥AD,IF∥AB,点I,R分别在BC,DC 上,NE,RF的延长线交于点P，ME，IF的延长线交于点Q.若AC=2,∠B=60°,则图中阴影部分的周长为.13.如图，在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为.14.如图,菱形ABCD中,∠D=135°,BE⊥CD于点E,交AC于点F,FG⊥BC于点G.若△BFG的周长为5,则菱形ABCD的边长为.素养提升【应用意识——菱形性质与三角形全等的综合应用】15.[一题多解]如图,菱形ABCD中,点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF,若∠AED=50°,则∠BCF=度.16.如图,菱形ABCD中,∠ABC=80°,延长BC到点E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为点F,若DF=3,则对角线BD的长为.17.[一题多辨·模型观念]如图，菱形ABCD中,AB=2cm,∠ADC=120°.(1)若E,F分别是AB,BC的中点,连接DE,DF,EF,则△DEF的周长为.(2)[一题多解]若点E,F分别在边AB,BC上,且AE=BF,试判断△DEF的形状并说明理由.(3)若点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为点F的速度为经过ts,△DEF为等边三角形,则t的值为.培优创新18.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E为动点.(1)如图①,当点E在线段AB上,且∠CEN=60°时,求证:CE=EN.(2)如图②，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时,求证:CN⊥AD.参考答案1.D2.C3.D4.A5.C6.36°7.B8.89.60°11.120° 12.813.3 [解析]作点F关于BD的对称点连接交BD于点P，则由两点之间线段最短可知，当E，P，在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时∵四边形ABCD为菱形,周长为12,∴AB=BC=CD=DA=3,四边形是平行四边形，的最小值为3.14.515.50 [解析]方法1:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AD∥BC,∠ADF=∠CDF.在△ADF和△CDF中,=∠DCF.∵∠AED=50°,∴∠DAE+∠ADE=180°-50°=130° ,∴∠ADE+∠DCF=130°.∵AD∥BC,∴∠ADE+∠BCD=180°,∴∠ADE+∠BCF+∠DCF=180°,∴∠BCF=180°-130°=50°.方法2:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB,∠CBF=∠ABF,AB∥CD,∴∠BAE=∠AED=50°.在△CBF和△ABF中,=∠BAF=50°.16.6 [解析]如图,连接AC交BD于点H.由菱形的性质,得∠ADC=∠ABC=80°,∠DCE=80°,∠DHC=90°.又∵∠ECM=30°,∴∠DCF=50°.∵DF⊥CM,∴∠CFD=90°,∴∠CDF=40°.又∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ADC,∴∠HDC=40°,∴易证△CDH≌△CDF,∴DH=DF=3,∴BD=2DH=6.(2)解:△DEF是等边三角形,理由:方法1:如图,连接DB.∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠DBC=∠ADB=60°,∴△ADB,△DBC为等边三角形,∴AD=BD.在△ADE和△BDF 中,△BDF,∴DE=DF,∠ADE=∠BDF,∴∠BDF+∠EDB=∠ADE+∠EDB=∠ADB=60°,∴△DEF是等边三角形.方法2:如图,延长AB至点M,使BM=AE,连接FM,则△BMF是等边三角形,可证△EMF≌△DAE,则DE=EF,∠MEF=∠ADE,∴∠MEF+∠AED=∠ADE+∠AED=120°,∴∠DEF=60°,∴△DEF是等边三角形.(3)218.证明:(1)如图①,在BC上截取BF=BE,连接FE.∵BF=BE,∠B=60°,∴△BFE是等边三角形,∴∠B=∠BFE=∠BEF=60°,∴∠EFC=120°.∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,∴AB=BC,∠A=120°=∠EFC,∴AE=FC.∵∠CEN=∠B=60°,∠AEC=∠B+∠BCE=∠CEN+∠AEN,∴∠BCE=∠AEN.在△AEN和△FCE中.△AEN ≌△FCE(ASA),∴CE=EN.(2)如图②,连接AC,设AD与CN的交点为O.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AB=BC,∠ABD=30°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△AEN是等边三角形,∴AN=AE,∠NAE=60° =∠BAC,∴∠BAE=∠CAN.在△ABE和△ACN中,∴△ABE≌△ACN(SAS),∴∠ABE=∠ACN=30°. ∵∠BAC=∠CAD=60°,∴∠AOC=90°,∴CN⊥AD.。

2020—2021年华东师大版八年级数学下册《菱形的判定》同步训练(含答案).docx

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（新课标）华东师大版八年级下册19.2.1菱形的判定一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直 D．四条边相等的四边形是菱形6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等 B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形 D．矩形的对角线一定互相垂直二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_________ （写出一个即可）．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是_________ ．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_________ （只填写序号）．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= _________ ，平行四边形CDEB为菱形．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是_________ ．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_________ （只填写序号）．．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件_________ ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．18如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．19.如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．19.2.1菱形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形考点：菱形的判定；坐标与图形性质．分析：在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．解答：解：图象如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA=0C，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．点评：本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理．2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定考点：菱形的判定；矩形的性质．分析：求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，得出四边形EGFH为平行四边形，求出GE=GF，根据菱形的判定得出即可．解答：解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即GE∥FH，同理可证EH∥GF，∴四边形EGFH为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于G点，∴GE=GF，∴四边形EGFH为菱形．故选B．点评：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．3．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形考点：菱形的判定．分析：利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．4．如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC=BD考点：菱形的判定；平行四边形的性质．分析：根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形，故本选项正确；由排除法可得D选项错误．故选D．点评：此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．5．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线一定互相垂直D．四条边相等的四边形是菱形考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．分析：A、根据平行线的性质进行判断；B、由平行线的判定定理进行判断；C、由矩形的性质进行判断；D、由菱形的判定定理进行判断．解答：解：A、两直线平行时，同位角才相等．故本选项错误；B、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形的对角线相等．故本选项错误；C、矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故本选项错误；D、根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故本选项正确；故选：D．点评：本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．6．下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直考点：菱形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行四边形的判定；矩形的性质．分析：根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．解答：解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故A选项错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、四边相等的四边形是菱形，故C选项正确；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形、菱形的判定、矩形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．二．填空题（共7小题）7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是AB=AD （写出一个即可）．考点：菱形的判定．专题：开放型．分析：利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．解答：解：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB=AD（答案不唯一），故答案为：AB=AD．点评：本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键．8．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是AD=DC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的定义得出答案即可．解答：解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；故答案为：AD=DC．点评：此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．考点：菱形的判定．专题：推理填空题．分析：首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．解答：解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：③．点评：本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．考点：菱形的判定．分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．解答：解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵AB•OC=AC•BC，∴OC=．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，∴AD=AB﹣2OB=．故答案是：．点评：本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．11．如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是AC⊥BD，AB=BC ．考点：菱形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：在平行四边形ABCD的基础上，邻边相等或对角线互相垂直均可判定．解答：解：在平行四边形ABCD的基础上①∵菱形ABCD是一组邻边相等的平行四边形，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：邻边AB=AD或AD=CD；②∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，∴平行四边形ABCD中，只需添一个条件：AC⊥BD．故答案是：AC⊥BD，AB=BC等．点评：本题主要考查的是平行四边形和菱形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于平行四边形、菱形之间的关系．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有①②③④（只填写序号）．考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定．专题：压轴题．分析：根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．解答：解：①∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；③若AD平分∠BAC，则DE=DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；④若AD⊥BC，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；所以正确的结论是①②③④．点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．13．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，那么再加上条件AB=AD ，此四边形就成为菱形（填上一个正确的条件即可）．考点：菱形的判定．专题：开放型．分析：根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABCD是平行四边形；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可补充条件AB=AD．此题属开放性题目，答案不唯一．解答：解：可添加的条件为AB=AD，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．故答案为：AB=AD．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．三．解答题（共7小题）14．如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC∴∠2=∠E，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED为平行四边形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四边形ACED为菱形．点评：本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．15．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．解答：（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；（2）四边形BCDE是菱形；证明：∵∠1=∠2，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形．点评：本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D 重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF 是菱形．考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．专题：证明题．分析：由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．解答：证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO又∵A点与D点重合，∴AO=DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM ≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB=∠AND=90°，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．18．如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴OB=OD（矩形的对角线互相平分）AE∥CF（矩形的对边平行）∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）又∵△BOE≌△DOF∴OE=OF∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理．19．如图，在▱ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；（2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．考点：菱形的判定；平行四边形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）要说明四边形AECF是平行四边形，我们可以通过说明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO．证△AOE≌△COF可得；（2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明．解答：解：（1）∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE．又AO=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．分析：根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论．解答：证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=DE=BF=CF又∵AD∥BC，∴四边形AECF、BEDF是平行四边形．∴GF∥EH、EG∥FH．∴四边形EGFH是平行四边形．在△AEG和△FBG中，，∴△AEG≌△FBG（AAS）∴EG=GB，AG=GF，在△ABE和△BAF中∵，∴△ABE≌△BAF（SAS），∴AF=BE，∵EG=GB=BE，AG=GF=AF，∴EG=GF，∴四边形EGFH是菱形．点评：考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．。

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析课后作业

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析课后作业

2020 年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析．选择题（共 3 小题）1．已知 ?ABCD ，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（ ）A ．AB ＝ AC B ． AB ＝CDC ．对角线互相垂直D ．∠ A+∠C ＝ 180°2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ） A ．对角线互相垂直且相等的四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线相等的平行四边形 D ．对角线互相平分且垂直的四边形5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 ．B ．AC ⊥BD C ．∠ ABC ＝ 90 D ．∠ 1＝∠ 2二．填空题（共 2 小题）4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形， 补充一个条件使其成为菱形， 你补充条件是? ABCD 成为菱形的是（A ．AB ＝ BC需填一个即可） ．6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH ＝EH．求证：四边形EBFC 是菱形．7．如图，AE∥BF，AC 平分∠ BAE，且交BF 于点C，BD 平分∠ ABF，且交AE 于点D ，AC 与BD 相交于点O，连接CD ．（1）求∠ AOD 的度数；（2）求证：四边形ABCD 是菱形．28．如图，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB 延长线上向右运动，同时，点F 从D 点出发，以同样的速度在CD 延长线上向左运动，运动时间为t 秒．1）在运动过程中，四边形AECF 的形状是时，四边形AECF 是矩形；3）求当t 等于多少时，四边形AECF 是菱形．BF 平分∠ ABC 交AD 于点F，AE⊥BF 于点O，交BC 于点E，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD 的面积．10．如图，已知点P为∠ ACB平分线上的一点，∠ ACB＝60°，PD⊥CA 于D，PE⊥CB 于E．点M 是线段CP 上的动点（不与两端点C、P 重合），连接DM ，EM．（1）求证：DM ＝ME；CP 的什么位置时，四边形PDME 为菱形，请说明理由．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；2）求证：EO＝DC．2020 年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析参考答案与试题解析一．选择题（共3 小题）1．已知?ABCD ，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A ．AB＝AC B．AB＝CDC．对角线互相垂直D．∠ A+∠C＝180°【分析】根据菱形的判定方法① 一组邻边相等的平行四边形是菱形；② 四条边都相等的四边形是菱形；③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形” ）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案．【解答】解：A、添加AB＝AC，不能证明? ABCD 是菱形，故此选项错误；B、添加AB＝CD，不能证明? ABCD 是菱形，故此选项错误；C、添加对角线互相垂直，可以证明? ABCD 是菱形，故此选项正确；D、添加∠ A+∠C＝180°不能证明?ABCD 是菱形，故此选项错误；故选：C ．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法．2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A ．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D ．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．3．如图，添加下列条件仍然不能使? ABCD 成为菱形的是（）第4页（共14页）【分析】 根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可． 【解答】 解： A 、∵四边形 ABCD 是平行四边形， AB ＝BC ， ∴平行四边形 ABCD 是菱形，故本选项错误；B 、∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC ⊥BD ，∴平行四边形 ABCD 是菱形，故本选项错误；C 、∵四边形 ABCD 是平行四边形和∠ ABC ＝ 90°不能推出，平行四边形 ABCD 是菱形， 故本选项正确；D 、∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ， ∴∠ 2＝∠ ADB ， ∵∠ 1＝∠ 2， ∴∠ 1＝∠ ADB ， ∴AB ＝AD ，∴平行四边形 ABCD 是菱形，故本选项错误； 故选： C ．【点评】 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有： ① 有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ② 四条边都相等的四边形是菱形， ③ 对角线互 相垂直的平行四边形是菱形． 二．填空题（共 2 小题）4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是 AB ＝BC （答案不唯一） （只需填一个即可）．B ．AC ⊥BD C ．∠ ABC ＝ 90 D ．∠ 1＝∠ 2A ．AB ＝ BC分析】根据菱形的判定可得．【解答】 解：∵ AB ＝BC ，且四边形 ABCD 为平行四边形 ∴四边形 ABCD 是菱形故答案AB ＝BC （答案不唯一）点评】 本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构∴四边形 ABCD 是平行四边形． 故答案为：平行四边形．【点评】 本题考查了平行四边形的判定．关键是掌握平行四边形的判定方法．三．解答题（共 6 小题）6．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC ，点 E 是 AH 上一点，延长 AH 至点 F ， 使 FH＝ EH ．求证：四边形 EBFC 是菱形．【分析】 根据题意可证得△ BCE 为等腰三角形，由 AH ⊥CB ，则 BH ＝HC ，从而得出四 边形EBFC 是菱形．【解答】 证明：∵ AB ＝ AC ，AH ⊥CB ， ∴BH ＝ HC ， ∵FH ＝ EH ，∴四边形 EBFC是平行四边形， 又∵AH ⊥CB ，成了一个四边形，这个四边形是 平行四边形ABCD 是平行四边形．解答】 解：∵ AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形EBFC 是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．7．如图，AE∥BF，AC 平分∠ BAE，且交BF 于点C，BD 平分∠ ABF，且交AE 于点D ，AC 与BD 相交于点O，连接CD ．（1）求∠ AOD 的度数；（2）求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠ BAC，∠ ABD＝∠ DBC ，然后根据平行线的性质得到∠ DAB +∠ CBA＝180°，从而得到∠ BAC+∠ABD＝（∠ DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，得到答案∠ AOD＝90°；（2）根据平行线的性质得出∠ ADB＝∠ DBC ，∠ DAC ＝∠ BCA，根据角平分线定义得出∠ DAC ＝∠ BAC ，∠ ABD ＝∠ DBC ，求出∠ BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD ，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD 是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵ AC、BD分别是∠ BAD、∠ ABC的平分线，∴∠ DAC＝∠ BAC，∠ ABD＝∠ DBC，∵AE∥BF，∴∠ DAB+∠CBA，＝180°，∴∠ BAC+∠ABD ＝（∠ DAB + ∠ ABC ）＝×180°＝90°，∴∠ AOD＝90°；（2）证明：∵ AE ∥BF，∴∠ ADB＝∠ DBC ，∠ DAC＝∠ BCA，∵AC、BD分别是∠ BAD、∠ ABC 的平分线，∴∠ DAC＝∠ BAC，∠ ABD＝∠ DBC，∴∠ BAC＝∠ ACB，∠ ABD ＝∠ ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥ BC，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD 是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD 是平行四边形是解此题的关键．28．如图，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB 延长线上向右运动，同时，点F 从D 点出发，以同样的速度在CD 延长线上向左运动，运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，四边形AECF 的形状是平行四边形；（2）t＝1 时，四边形AECF 是矩形；（3）求当t 等于多少时，四边形AECF 是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD ＝2cm，AB∥CD，由已知条件得出CF＝AE，即可得出四边形AECF 是平行四边形；（2）若四边形AECF 是矩形，则∠ AFC ＝90°，得出AF⊥CD ，由平行四边形的面积得出AF ＝4cm，在Rt△ACF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当AE＝CE时，四边形AECF 是菱形．过C作CG⊥BE 于G，则CG＝4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）四边形AECF 是平行四边形；理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD＝2cm，AB∥CD，∴CF∥ AE，∵DF＝BE，∴CF＝AE，∴四边形AECF 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）t＝1时，四边形AECF 是矩形；理由如下：若四边形AECF 是矩形，∴∠ AFC＝90°，∴AF⊥CD，2∵ S? ABCD＝CD ?AF ＝8cm ，∴ AF＝4cm，2 2 2在Rt△ACF 中，AF 2+CF2＝AC2，即42+（t+2）2＝52，解得：t＝1，或t＝﹣5（舍去），∴ t＝1；故答案为：1；（3）依题意得：AE 平行且等于CF，∴四边形AECF 是平行四边形，故AE＝CE 时，四边形AECF 是菱形．又∵ BE＝tcm，∴ AE＝CE＝t+2 （cm），过C作CG⊥BE于G，如图所示：则CG ＝4cmcm，∵ AG＝＝＝3（cm），∴ GE＝t+2﹣3＝t﹣1（cm），在△CGE 中，由勾股定理得：CG2+GE2＝CE2＝AE2，即42+（t﹣1）2＝（t+2）2，解得：t＝，s 时，四边形AECF 是菱形．【点评】 本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、勾股定理等 知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．9．已知，如图，在 ?ABCD 中，BF 平分∠ ABC 交AD 于点 F ，AE ⊥BF 于点 O ，交 BC 于点E ，连接 EF ．（ 1）求证：四边形 ABEF 是菱形；分析】（ 1）先证明四边形 ABEF 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．?AE?BF ＝BE?FG ，先求出 FG 即可解决问题． ∴AD ∥ BC ，∴∠ EBF ＝∠ AFB ， ∵ BF 平分∠ ABC ， ∴∠ ABF ＝∠ CBF ，∴∠ ABF ＝∠ AFB ，∴AB ＝AF ，∵BO ⊥ AE ，∴∠ AOB ＝∠ EOB ＝ 90∵BO ＝ BO ，∴△ BOA ≌△ BOE （ ASA ），∴AB ＝BE ，∴BE ＝AF ，BE ∥ AF ，∴四边形 ABEF 是平行四边形，∵AB ＝AF ．2）作 FG ⊥BC 于 G ，根据 S 菱形ABEF ＝解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形ABCD 的面积．∴四边形ABEF 是菱形．（2）解：作FG ⊥BC 于G，∵四边形ABEF 是菱形，AE＝6，BF＝8，∴ AE⊥ BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴ BE＝＝5，∵S 菱形ABEF＝?AE?BF＝BE?FG，菱形∴GF＝，【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．10．如图，已知点P为∠ ACB平分线上的一点，∠ ACB＝60°，PD⊥CA 于D，PE⊥CB 于E．点M 是线段CP 上的动点（不与两端点C、P 重合），连接DM ，EM．（1）求证：DM ＝ME；（2）当点M 运动到线段CP 的什么位置时，四边形PDME 为菱形，请说明理由．【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ ACP＝∠ BCP＝30°，再根据角平分线的性质得PD＝PE，则利用“ HL”可证明Rt△DCP ≌Rt△ECP 得到CD ＝CE，然后证明△ DCM ≌△ ECM 得到DM ＝ME；（2）利用∠ DCP＝30°得到PC＝2PD，∠ CPD ＝60°，则当DM＝DP 时，PD ＝PE＝MD ＝ME，则四边形DMEP 为菱形，由于此时△ PDM 为等边三角形，所以PD＝PM，从而得到CM ＝PM ，即当点M 运动到线段CP 的中点时，四边形PDME 为菱形．【解答】（1）证明：∵点P 为∠ACB 平分线上的一点，∴∠ ACP＝∠ BCP＝30°，∵PD⊥CA于D，PE⊥CB 于E，∴PD＝PE，在Rt△DCP 和Rt△ ECP 中∴Rt△DCP≌Rt△ECP，∴CD＝CE，在△ DCM 和△ ECM 中，∴△ DCM ≌△ ECM，∴DM＝ME；（2）解：当点M 运动到线段CP 的中点时，四边形PDME 为菱形．理由如下：∵∠ DCP ＝30°，∴PC＝2PD，∠ CPD＝60°，∵PD＝PE，MD＝ME，∴当DM＝DP 时，PD＝PE＝MD ＝ME，则四边形DMEP 为菱形，此时△ PDM 为等边三角形，∴PD＝PM，∴CM＝PM，∴当点M 运动到线段CP 的中点时，四边形PDME 为菱形．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．11．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由；（2）求证：EO＝DC．【分析】（1）由菱形的性质可证明∠ BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO 为平行四边形，从而可证明四边形AEBO 是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO＝BA，然后依据菱形的性质可得到AB＝CD．【解答】解：（1）四边形AEBO 是矩形．证明：∵ BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO 是平行四边形．又∵菱形ABCD 对角线交于点O∴AC⊥ BD，即∠ AOB＝90°．∴四边形AEBO 是矩形．（2）∵四边形AEBO 是矩形∴EO＝AB，在菱形ABCD 中，AB＝DC ．∴EO＝DC．【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．。

人教版初二数学下册菱形的判定同步练习

人教版初二数学下册菱形的判定同步练习

人教版初二数学下册菱形的判定同步练习1．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标区分是A 〔﹣3，0〕、B 〔0，2〕、C 〔3，0〕、D 〔0，﹣2〕，四边形ABCD 是〔 〕A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形2．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 区分是AD ，BC 中点，衔接AF ，BE ，CE ，DF 区分交于点M ，N ，四边形EMFN 是〔 〕A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定3．以下说法正确的选项是〔 〕A ．对角线相等的平行四边形是菱形B ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C ．对角线相互垂直的四边形是菱形D ．有一个角是直角的平行四边形是菱形4．如图，在平行四边形ABCD 中，添加以下条件不能判定平行四边形ABCD 是菱形的是〔 〕A ．AB=BCB ．AC ⊥BD C ．BD 平分∠ABC D ．AC=BD5．以下说法中，正确的选项是〔 〕A ．同位角相等B ．对角线相等的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线一定相互垂直D ．四条边相等的四边形是菱形6．以下说法中，正确的选项是〔 〕A ．同位角相等B ．对角线相等的四边形是平行四边形C ．四条边相等的四边形是菱形D ．矩形的对角线一定相互垂直7．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA=OC ，OB=OD ，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是 〔写出一个即可〕．AB C D ABC D O8．□ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使□ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是 ．9．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 区分在线段AD 及其延伸线上，且DE=DF ．给出以下条件：①BE ⊥E C ；②BF ∥CE ；③AB=AC ；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你以为这个条件是 〔只填写序号〕．10．如图在Rt △AB C 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD = ，平行四边形CDEB 为菱形．11．如图，在平行四边形ABCD 中，请再添加一个条件，使它成为菱形，那么该条件可以是 ．12．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 区分在边AB 、BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ．以下四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②假设∠BAC =90°，那么四边形AEDF 是矩形；③假设AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④假设AD ⊥BC 且AB=AC ，那么四边形AEDF 是菱形．其中，正确的有 〔只填写序号〕．13．在四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，那么再加上条件 ，此四边形就成为菱形〔填上一个正确的条件即可〕．14．如图：在□ABCD 中，AC 为其对角线，过点D 作AC 的平行线与BC 的延伸线交于E ． 〔1〕求证：△ABC ≌△DCE ；〔2〕假定AC=BC ，求证：四边形ACED 为菱形．15．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AO 上，且OE=OC ．〔1〕求证：∠1=∠2；〔2〕连结BE 、DE ，判别四边形BCDE 的外形，并说明理由．AB C D O A B C D O16．如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕区分交AB、AC于点E、F，衔接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，假定∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．18.如下图，：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延伸线区分交于点E、F．〔1〕求证：△BOE≌△DOF；〔2〕当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论．19.如图，在□ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC区分相交于点E、F．〔1〕试说明四边形AECF是平行四边形；〔2〕当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．20．如图，在矩形ABCD中，E，F区分为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF 与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．。

(完整版)菱形的判定专项练习30题.doc

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菱形的判定专项练习30 题（有答案）1．如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，BA=AD=DC=BC ，点 E 为 BC 的中点．（1）求证：四边形 ABED 是菱形；（2）过 A 点作 AF ⊥ BC 于点 F，若 BD=4cm ，求 AF 的长．2．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，且 AC ⊥ BD ．点 M ，N 分别在 BD 、AC 上，且 AO=ON=NC ，BM=MO=OD ．求证： BC=2DN ．3．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D ，E， F 分别是 BC ，AB ， AC 的中点．（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；（2）若 AB=12cm ，求菱形 AEDF 的周长．4．如图，在 ?ABCD 中， EF∥ BD ，分别交 BC ， CD 于点 P， Q，交 AB ，AD 的延长线于点 E， F．已知 BE=BP ．求证：（ 1）∠ E= ∠F；（ 2） ?ABCD 是菱形．5．如图，在△ ABC 中， D 是 BC 的中点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC ， AF 与 CE 的延长线相交于点 F，连接BF．（ 1）求证： AF=DC ；（ 2）若∠ BAC=90 °，求证：四边形AFBD 是菱形．6．已知平行四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ ABC ，求证：四边形ABCD 是菱形．7．如图，在一个含 30°的三角板 ABC 中，将三角板沿着 AB 所在直线翻转 180°得到△ ABF ，再将三角板绕点 C 顺时针方向旋转 60°得到△ DEC ，点 F 在 AC 上，连接 AE ．（1）求证：四边形 ADCE 是菱形．（2）连接 BF 并延长交 AE 于 G，连接 CG．请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥ AB ， DF ⊥BC ，垂足分别是为E F，并且 DE=DF ．求证：四边形 ABCD 是菱形．9．如图，在△ ABC 中， DE∥ BC，分别交 AB ，AC 于点 D ， E，以 AD ， AE 为边作 ?ADFE 交 BC 于点 G， H，且EH=EC ．求证：（ 1）∠ B= ∠ C；（2） ?ADFE 是菱形．10．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 °， CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的平分线AE 交 CD 于 F， EG⊥ AB 于 G．（1）求证：△ AEG ≌ △ AEC ；（2）△ CEF 是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形 GECF 是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E、 F 分别是△ABC 三边的中点．求证：四边形ADEF 是菱形．12．如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD ， M 、 N、 E、 F 分别为 AD 、 BC 、BD 、 AC 的中点，求证：四边形 MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AB=AD ，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，连接 DE ．求证：四边形ABED 是菱形．14．如图，在△ ABC 中， AB=AC ， M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点．求证：四边形AMON 是菱形．15．如图：在△ ABC 中，∠BAC=90 °， AD ⊥ BC 于 D， CE 平分∠ ACB ，交 AD 于 G，交 AB 于 E， EF⊥ BC 于 F．求证：四边形AEFG 是菱形．16．如图，矩形ABCD 绕其对角线交点旋转后得矩形AECF ， AB 交 EC 于点 N ， CD 交 AF 于点 M ．求证：四边形ANCM 是菱形．17．如图，四边形 ABCD 、 DEBF 都是矩形， AB=BF ， AD 、BE 交于 M ， BC 、DF 交于 N，那么四边形 BMDN 是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ∥ AC 交 AB 于 E， DF∥AB 交 AC 于 F，四边形 AEDF 是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD 是△ABC 的角平分线， EF 是 BD 的垂直平分线，且交AB 于 E，交 BC 于点 F．求证：四边形 BFDE 是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD 中， O 是对角线AC 的中点，过点O 作 AC 的垂线与边AD 、 BC 分别交于E、 F．求证：四边形AFCE 是菱形．21．如图，在矩形ABCD 中， EF 垂直平分BD ．（1）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由．（2）已知 BD=20 ， EF=15 ，求矩形 ABCD 的周长．22．如图所示，在?ABCD 中，点 E 在 BC 上， AE 平分∠BAF ，过点 E 作 EF∥ AB ．求证：四边形ABEF 为菱形．23．已知，如图，矩形 ABCD 中， AB=4cm ， AD=8cm ，作∠ CAE= ∠ ACE 交 BC 于 E，作∠ ACF= ∠ CAF 交 AD 于F．（ 1）求证： AECF 是菱形；（ 2）求四边形AECF 的面积．24．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E、F．问四边形 AFCE 是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形 ABCD 中， E、F 分别是边 AB 、CD 的延长线上一点，且 BE=DF ，连接 EF 交 AC 于 O．（ 1） AC 与 EF 互相平分吗？为什么？（ 2）连接 CE、AF ，再添加一个什么条件，四边形AECF 是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC 和△ DBC 的顶点在 BC 边的同侧， AB=DC ，AC=BD 交于 E，∠ BEC 的平分线交 BC 于 O，延长EO 到 F，使 EO=OF ．求证：四边形 BFCE 是菱形．27．如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点，CF∥ BE．（1）求证：△ BDE ≌ △ CDF ；（2）请连接 BF， CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（ 2）下要使 BECF 是菱形，则△ABC 应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 °， BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于 E， F 在 DE 上，并且AF=CE ．（ 1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（ 2）当∠ B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F．求证：四边形AEDF 是菱形．30．如图，△ ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN ∥ BC，设 MN 交∠ BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．（ 1）探究：线段OE 与 OF 的数量关系并加以证明；（ 2）当点 O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（ 3）当点 O 在边 AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30 题参考答案：1． 1）证明：∵点 E 为 BC 的中点，∴BE=CE= BC，∵BA=AD=DC= BC ，∴AB=BE=ED=AD ，∴四边形 ABED 是菱形；（ 2）解：过点 D 作 DH ⊥BC ，垂足为H ，∵CD=DE=CE ，∴ ∠ DEC=60 °，∴ ∠ DBE=30 °，在 Rt△ BDH 中， BD=4cm ，∴ DH=2cm ，∵AF=DH ，∴AF=2cm ．2．∵ AO=ON ，BM=MO ，∴ 四边形 AMND 是平行四边形，∵ AC ⊥ BD ，∴ 平行四边形 AMND 是菱形，∴ MN=DN ，∵ ON=NC ， BM=MO ，∴ MN= BC ，∴ BC=2DN3．（ 1）∵ D， E 分别是 BC ， AB 的中点，∴DE∥ AC 且 DE=AF= AC ．同理 DF∥ AB 且 DF=AE=AB ．又∵ AB=AC ，∴DE=DF=AF=AE ，∴四边形 AEDF 是菱形．（ 2）∵ E 是 AB 中点，∴ AE= AB=6cm ，因此菱形AEDF ∴∠1=∠2，在△AEF 和△DEC 中，∴ △ AFE ≌ △ DCE（ AAS ），∴AF=DC ；（2）证明：∵ D 是 BC 的中点，∴ DB=CD= BC，∵AF=CD ，∴ AF=DB ，∵AF ∥BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵∠ BAC=90 °， D 为 BC 中点，∴AD= CB=DB ，∴四边形 AFBD 是菱形．6．∵对角线 BD 平分∠ ABC ，∴∠1=∠2，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ 3=∠ 1，∴∠ 3=∠ 2，∴DC=BC ，又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是菱形．的周长为 4×6=24cm ．4．（ 1）∵ BE=BP ，∴∠ E=∠BPE，7．（ 1）∵三角板 ABC 中，将三角板沿着AB 所在直线∵BC∥AF ，翻转 180°得到△ ABF ，∴ ∠ BPE=∠ F，∴ ∠ E=∠ F．∴ △ ABC ≌ △ABF ，且∠BAC= ∠BAF=30 °，（2）∵EF∥BD ，∴ ∠ FAC=60 °，∴ ∠ E=∠ABD ，∠ F=∠ ADB ，∴ AD=DC=AC ，∴∠ABD= ∠ADB ，又∵ △ ABC ≌△ EFC，∴ AB=AD ，∴ CA=CE ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，又∵ ∠ ECF=60 °，∴ □ABCD 是菱形．∴ AC=EC=AE ，（2）证明：由（ 1）可知：△ ACD ，△ AFC 是等边三角形，△ACB ≌△ AFB ，∴ ∠ EDC= ∠BAC=∠ FAC=30°，且△ ABC为直角三角形，∴BC= AC ，∵EC=CB ，∴EC= AC，∴E为AC 中点，∴DE⊥ AC ，∴AE=EC ，∵AG∥BC，∴ ∠ EAG= ∠ ECB ，∠AGE= ∠ EBC ，∴△AEG≌△CEB ，∴AG=BC ，（ 7 分）∴四边形 ABCG 是平行四边形，∵ ∠ ABC=90 °，∴四边形 ABCG 是矩形8．在△ ADE 和△CDF 中，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥ AB ， DF⊥ BC，∴ ∠ AED= ∠ CFD=90 °．又∵ DE=DF ，∴△ADE ≌△CDF（AAS ）∴DA=DC ，∴平行四边形 ABCD 是菱形9．（ 1）∵在 ?ADFE 中， AD ∥EF，∴ ∠ EHC= ∠B （两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC （已知），∴ ∠ EHC= ∠C（等边对等角），∴ ∠ B=∠ C（等量代换）；（ 2）∵ DE ∥ BC （已知），∴∠AED= ∠C，∠ADE= ∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED= ∠ADE ，∴AD=AE ，∴?ADFE 是菱形．10． 1）证明：∵ ∠ACB=90 °，在 Rt△AEG 与 Rt△ AEC 中，，∴Rt△AEG ≌ Rt△ AEC （HL ）；（ 2）解：△ CEF 是等腰三角形．理由如下：∵CD 是 AB 边上的高，∴CD⊥AB ．又∵ EG⊥AB ，∴EG∥ CD ，∴∠ CFE=∠ GEA ．又由（ 1）知， Rt△ AEG ≌ Rt△ AEC ，∴∠GEA= ∠ CEA，∴ ∠ CEA= ∠ CFE，即∠ CEF=∠ CFE，∴ CE=CF ，即△CEF 是等腰三角形；（ 3）解：四边形GECF 是菱形．理由如下：∵由（ 1）知，Rt△AEG ≌ Rt△ AEC ，则 GE=EC ；由（ 2）知， CE=CF ，∴GE=EC=FC ．又∵ EG∥CD ，即 GE∥ FC，∴四边形 GECFR 是菱形．11．∵ D、 E、F 分别是△ ABC 三边的中点，∴DE AC，EF AB ，∴四边形 ADEF 为平行四边形．又∵ AC=AB ，∴DE=EF ．∴四边形 ADEF 为菱形．12．∵ M 、 E、分别为AD 、 BD 、的中点，∴ME∥AB ，ME= AB ，同理： FH∥AB ， FH=AB ，∴四边形 MENF 是平行四边形，∵M．F 是 AD ，AC 中点，∴MF= DC，∵AB=CD ，∴MF=ME ，∴四边形 MENF 为菱形∴平行四边形 AEFG 是菱形．∵，证法二：∵ AD ⊥BC，∠ CAB=90 °， EF⊥ BC， CE 平分∴ △ BAE ≌△ DAE （ SAS）（ 2 分）∠ACB ，∴ BE=DE ，（ 3 分）∴ AD ∥EF，∠ 4=∠ 5，AE=EF ，∵AD ∥BC，∵ ∠ 1=180°﹣ 90°﹣∠ 4，∠ 2=180 °﹣ 90°﹣∠ 5，∴ ∠ DAE= ∠ AEB ，（ 4 分）∴∠1=∠2，∴ ∠ BAE= ∠AEB ，∵ AD ∥EF，∴ AB=BE ，（ 5 分）∴∠2=∠3，∴ AB=BE=DE=AD ，（6 分）∴∠1=∠3，∴四边形 ABED 是菱形．∴ AG=AE ，∵ AE=EF ，∴ AG=EF ，∵ AG ∥EF，∴四边形 AGFE 是平行四边形，14．∵ AB=AC ，M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC、 CA 的中∵ AE=EF ，点，∴平行四边形 AGFE 是菱形．∴AM= AB= AC=AN ，M0 ∥ AC ， NO ∥AB ，且 MO= AC=AN ，NO= AB=AM （三角形中位线定理），16．∵ CD∥ AB ，∴ AM=MO=AN=NO ，∴∠FMC= ∠FAN，∴四边形 AMON 是菱形（四条边都相等的四边形是菱∴ ∠ NAE= ∠ MCF （等角的余角相等），形）在△ CFM 和△ AEN 中，15．证法一：∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ ADB=90 °，，∵ ∠ BAC=90 °，∴ ∠ B+∠ BAD=90 °，∠ BAD+ ∠ CAD=90 °，∴ △ CFM ≌△ AEN （ASA ），∴∠B=∠CAD ，∴ CM=AN ，∵ CE 平分∠ ACB ， EF⊥ BC，∠ BAC=90 °（ EA ⊥CA ），∴四边形 ANCM 为平行四边形，∴ AE=EF （角平分线上的点到角两边的距离相等），在△ADM 和△CFM 中，∵ CE=CE ，∴由勾股定理得： AC=CF ，，∵△ACG 和△FCG 中∴△ADM ≌△CFM （AAS ），，∴ AM=CF ，∴四边形 ANCM 是菱形∴△ACG≌△FCG，17．四边形 BMDN 是菱形．∴ ∠ CAD= ∠ CFG，∵AM ∥BC，∵∠B=∠CAD ，∴∠AMB= ∠MBN ，∴ ∠ B=∠ CFG，∵BM ∥FN∴GF∥AB ，∴∠MBN= ∠BNF ，∵AD ⊥BC，EF⊥ BC，∴∠AMB= ∠BNF ，∴AD ∥EF，又∵ ∠ A= ∠ F=90°， AB=BF ，∴DM=DN ，∵ED=BF=AB ，∠ E=∠ A=90 °，∠ AMB=∠EMD ，∴△ABM ≌△ EDM，∴ BM=DM ，∴ MB=MD=DN=BN ，∴四边形 BMDN 是菱形18．如图，由于 DE ∥ AC ，DF∥ AB ，所以四边形 AEDF 为平行四边形．∵DE∥ AC ，∴ ∠3=∠ 2，又∠ 1=∠ 2，∴∠ 1=∠3，∴ AE=DE ，∴平行四边形 AEDF 为菱形．19．∵ EF 是 BD 的垂直平分线，∴EB=ED ，∴∠ EBD= ∠EDB ．∵BD 是△ ABC 的角平分线，∴ ∠ EBD= ∠FBD ．∴ ∠ FBD=∠EDB ，∴ED∥BF．同理， DF∥ BE ，∴四边形 BFDE 是平行四边形．又∵ EB=ED ，∴四边形 BFDE 是菱形．20．方法一：∵ AE ∥ FC．∴ ∠ EAC= ∠FCA ．（ 2 分）又∵ ∠ AOE= ∠ COF， AO=CO ，∴△AOE≌△COF．（5 分）∴EO=FO ．又 EF⊥AC ，∴AC 是 EF 的垂直平分线．（ 8 分）∴AF=AE ， CF=CE ，又∵ EA=EC ，∴AF=AE=CE=CF ．∴四边形 AFCE 为菱形．（ 10 分）方法二：同方法一，证得△ AOE ≌ △ COF．（ 5 分）∴AE=CF ．∴四边形 AFCE 是平行四边形．（ 8 分）方法三：同方法二，证得四边形 AFCE 是平行四边形．（ 8 分）又 EF⊥ AC ，（9 分）∴四边形 AFCE 为菱形21．（ 1）四边形 BEDF 是菱形．在△ DOF 和△BOE 中，∠FDO= ∠ EBO ，OD=OB ，∠ DOF=∠BOE=90 °，所以△ DOF ≌ △BOE ，所以 OE=OF ．又因为 EF⊥BD ， OD=OB ，所以四边形 BEDF 为菱形．（5 分）（2）如图，在菱形 EBFD 中， BD=20 ， EF=15，则 DO=10 ， EO=7.5 ．由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 ．S 菱形EBFD= EF?BD=BE ?AD ，即所以得 AD=12 ．根据勾股定理可得AE=3.5 ，有 AB=AE+EB=16 ．由 2（AB+AD ） =2（ 16+12 ）=56 ，故矩形 ABCD 的周长为 5622．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AF ∥ BE，又∵EF∥AB ，∴四边形 ABEF 为平行四边形，∵AE 平分∠ BAF ，∴∠ BAE= ∠ FAE，∵∠FAE=∠BEA ，∴∠BAE= ∠ BEA ，∴BA=BE ，∴平行四边形 ABEF 为菱形23．（ 1）证明：在矩形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAC= ∠ DCA ，又∠CAE= ∠ ACE，∠ACF= ∠CAF，∴∠EAC= ∠ FCA．∴AE ∥ CF．∴四边形 AECF 为平行四边形，又∠CAE= ∠ ACE，∴AE=EC ．∴?AECF 为菱形．（2）设 BE=x ，则 EC=AE=8 ﹣ x，在 Rt△ABE 中，222菱形的判定 ---第10页共12页所以 EC=5 ，即 S 菱形AECF=EC ×AB=5 ×4=20．24．四边形 AFCE 是菱形，理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC，∴= ，∵AO=OC ，∴ OE=OF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵EF⊥AC ，∴平行四边形AFCE 是菱形25．（ 1） AC 与 EF 互相平分，连接CE，AF ，∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥ CD ，AB=CD ，又∵BE=DF ，∴AB+BE=CD+DF ，∴AE=CF ，∴AE ∥ CF， AE=CF ，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AC 与 EF 互相平分；（ 2）条件： EF⊥ AC ，∵EF⊥AC ，又∵四边形 AECF 是平行四边形，∴平行四边形AECF 是菱形．26．∵ AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC ≌△DCB ，∴∠DBC= ∠ACB ，∴BE=CE ，又∵ ∠ BEC 的平分线是EF，∴EO 是中线（三线合一），∴BO=CO ，∴四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分），又∵ BE=CE ，∴四边形 BFCE 是菱形．27．（ 1）证明：∵ CF∥BE ，∴∠ EBD= ∠ FCD ，D是 BC 边的中点，则 BD=CD ，∠BDE= ∠CDF ，∴△BDE ≌△CDF ．（ 2）如图所示，由（ 1）可得 CF=BE ，又 CF∥ BE ，所以四边形 BECF 是平行四边形；（ 3）△ ABC 是等腰三角形，即 AB=AC ，理由：当AB=AC 时，则有 AD ⊥ BC，又（ 2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（ 1）∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ ∠ EDB=90 °， BD=DC ，又∵ ∠ ACB=90 °，∴DE∥AC ，∴E 为 AB 的中点，∴在 Rt△ ABC 中， CE=AE=BE ，∴∠ AEF= ∠ AFE ，且∠ BED= ∠AEF ，∠ DEC= ∠ DFA ，∴AF ∥ CE，又∵ AF=CE ，∴四边形 ACEF 为平行四边形；（ 2）要使得平行四边形ACEF 为菱形，则 AC=CE 即可，∵DE∥AC ，∴∠BED= ∠BAC ，∠DEC=∠ECA，又∵ ∠ BED= ∠ DEC，∴∠EAC= ∠ ECA，∴ AE=EC ，又 EB=EC ，∴ AE=EC=EB ，∵CE= AB ，∴AC= AB 即可，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °，∴当∠ B=30 °时， AB=2AC ，故∠ B=30 °时，四边形ACEF 为菱形．29．∵ AD 平分∠BAC∴ ∠ BAD= ∠CAD又∵EF⊥AD ，∴ ∠ AOE= ∠ AOF=90 °∵在△AEO 和△ AFO 中，∴ △ AEO ≌ △AFO （ ASA ），∴EO=FO即 EF、 AD 相互平分，∴四边形 AEDF 是平行四边形又 EF⊥AD ，∴平行四边形AEDF 为菱形30． 1）解： OE=OF ．理由如下：∵ CE 是∠ACB 的角平分线，∴ ∠ ACE= ∠BCE ，又∵ MN ∥BC，∴ ∠ NEC= ∠ECB ，∴ ∠ NEC= ∠ACE ，∴OE=OC ，∵ OF 是∠ BCA 的外角平分线，∴ ∠ OCF= ∠FCD ，又∵ MN ∥BC，∴ ∠ OFC= ∠ECD ，∴ ∠ OFC= ∠COF，∴OF=OC ，∴OE=OF ；（ 2）解：当∠ ACB=90 °，点 O 在 AC 的中点时，∵OE=OF ，∴四边形 AECF 是正方形；（ 3）答：不可能．解：如图所示，∵CE 平分∠ ACB ，CF 平分∠ ACD ，∴ ∠ ECF=∠ ACB+∠ ACD=（∠ACB+∠ACD）=90 °，若四边形BCFE 是菱形，则BF ⊥ EC，但在△ GFC 中，不可能存在两个角为 90°，所以不存在其为菱形．。

人教版初二数学下册182菱形的判定同步练习

人教版初二数学下册182菱形的判定同步练习

人教版初二数学下册182菱形的判定同步练习1．在平面中，以下命题为真命题的是( )A ．四个角相等的四边形是矩形B ．只要对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，C ．对角线相互平分且垂直的四边形是矩形D ．四边相等的四边形是菱形2．如图，要使□ABCD 成为菱形，那么需添加的一个条件是( )A ．AC =ADB ．BA =BC C ．∠ABC =90°D ．AC =BD3．依次连结对角线相等的四边形的四边中点所得图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．以上都不对4．如图，在菱形ABCD 中，AB =5，∠B =60°，那么对角线AC 的长等于( )A ．8B ．7C ．6D ．55．红丝带是关注艾滋病防止效果的国际性标志，人们将等宽红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前．图中红丝带堆叠局部构成的图形一定是 ．6．如图在□ABCD 中，E ，F 区分为边AB ，CD 的中点，衔接DE 、BF 、BD ．(1)求证：ADE CBF △≌△．(2)假定AD ⊥BD ，那么四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．7．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延伸线于点F ，衔接CF ．(1)求证：AF =DC ；(2)假定AB ⊥AC ，试判别四边形ADCF 的外形，并证明你的结论．8．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延伸线于点F ．(1)求证：△AEF ≌△DEB ；AB CD EF(2)证明四边形ADCF是菱形；(3)假定AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．1．如图，以下条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD②∠BAD=90°③AB=BC④AC=BDA．①③B．②③C．③④D．①②③2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H区分是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，那么四边形ABCD只需求满足一个条件，是( )A．四边形ABCD是梯形B．四边形ABCD是菱形C．对角线AC=BD D．AD=BC3．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再翻开，失掉的菱形的面积为( )A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm24．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移失掉△A1C1D1，衔接AD1、BC1．假定∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1堆叠局部面积为S，那么以下结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形；其中正确的选项是(将一切正确答案的序号都填写在横线上)5．如图，在△ABC中，点D、E、F区分在边AB，BC，CA上，且DE//CA，DF//BA．以下四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②假设∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③假设AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④假设AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有(只填写序号)．6．依次衔接矩形四条边的中点，所失掉的四边形一定是形．7．如图，□ABCD中，AE，CF区分是∠BAD，∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF 为菱形．8．如图，依次衔接第一个矩形各边的中点失掉一个菱形，再依次衔接菱形各边的中点失掉第二个矩形，依照此方法继续下去．第一个矩形的两条邻边长区分为6和8，那么第n个菱形的周长为．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF ＝CE．(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；(2)当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．10．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延伸线于点E，衔接AE．(1)求证：EC=DA；(2)假定AC⊥CB，试判别四边形AECD的外形，并证明你的结论．11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F区分在线段A D及其延伸线上，且DE=DF．给出以下条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；请你从中选择一个恰当的条件使四边形BECF是菱形，并证明．12．如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．(1)求证：四边形AECF是菱形．(2)假定AB＝2，BE＝1，求四边形AECF的面积．。

2022年湘教版八年级下《菱形的判定2》同步练习(附答案)

2022年湘教版八年级下《菱形的判定2》同步练习(附答案)

2.6.2 菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是〔 〕A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如图，AD 是△ABC 的角平分线。

DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F.四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由。

4、如图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，四边形AFCE 是否是菱形？为什么？5、DE ∥AC 、DF ∥AB ，添加以下条件后，不能判断四边形DEAF 为菱形的是〔 〕 A. AD 平分∠BACB. AB ＝AC ＝且BD ＝CDC. AD 为中线D. EF ⊥AD6、 如右图，四边形ABCD 为菱形，AE＝CF. 求证：四边形BEDF 为F DECBAEO BCF DA 菱形。

7、ABCD 为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。

小刚说只要过BD 中点作BD 的垂线交AD 、BC 于E 、F ，沿BE 、DF 剪去两个角，所得的四边形BFDE 为菱形。

你认为小刚的方法对吗？为什么？8、如右上图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的局部ABCD 是菱形吗？为什么？9、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，点M 、N 分别在BD 、AC 上，且AO ＝ON ＝NC ，BM ＝MO ＝OD. 求证：BC ＝2 DN.F EC DBADACF H E B10、如图，四边形ABCD 为矩形，AD ＝20㎝、AB ＝10㎝。

M 点从D 到A ，P 点从B 到C ，两点的速度都为2㎝/s ；N 点从A 到B ，Q 点从C 到D ，两点的速度都为1㎝/s 。

假设四个点同时出发。

〔1〕判断四边形MNPQ 的形状。

八年级数学下19.2.2菱形的判定同步练习(华师大版附答案和解释)

八年级数学下19.2.2菱形的判定同步练习(华师大版附答案和解释)

八年级数学下19.2.2菱形的判定同步练习（华师大版附答案和解释）华师大版数学八年级下册第十九第二节1922菱形的判定同步练习一、选择题1、下列说法中，错误的是（）A、平行四边形的对角线互相平分B、对角线互相平分的四边形是平行四边形、菱形的对角线互相垂直D、对角线互相垂直的四边形是菱形2、如图，矩形ABD的对角线A、BD相交于点，E∥BD ，DE ∥A ，若A＝4，则四边形DE的周长（）A、4B、6、8D、103、如图，菱形ABD的对角线的长分别为2和，P是对角线A上任一点（点P不与点A、重合）且PE∥B交AB于E ，PF∥D交AD于F ，则阴影部分的面积是（）A、2B、、3D、4、如图，在平行四边形ABD中，A平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABD的周长为（）A、4B、6、8D、12、如图，将等边△AB沿射线B向右平移到△DE的位置，连接AD、BD ，则下列结论：①AD＝B；②BD、A互相平分；③四边形AED是菱形；④BD⊥DE；其中正确的个数是（）A、1B、2、3D、46、如图△AB中，AD是角平分线，DE∥A交AB于E ，DF∥AB 交A于F ，若AE＝4，那么四边形AEDF周长为（）A、12 B、16、20D、227、下列命题中，真命题是（）A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B、有一条对角线平分对角的四边形是菱形、菱形是对角线互相垂直平分的四边形D、菱形的对角线相等8、如图，是菱形ABD的对角线A、BD的交点，E、F分别是A、的中点．下列结论：①S△ADE＝S△ED；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABD的面积为EF×BD；④∠ADE＝∠ED；⑤△DEF是轴对称图形；其中正确的结论有（）A、个B、4个、3个D、2个9、平面直角坐标系中，四边形ABD的顶点坐标分别是A（－3，0）、B（0，2）、（3，0）、D（0，－2），四边形ABD是（）A、矩形B、菱形、正方形D、梯形10、如图，在矩形ABD中，E ，F分别是AD ，B中点，连接AF ，BE ，E ，DF分别交于点，N ，四边形EFN是（）A、正方形B、菱形、矩形D、无法确定11、下列说法正确的是（）A、对角线相等的平行四边形是菱形B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形是菱形D、有一个角是直角的平行四边形是菱形12、如图，在平行四边形ABD中，添加下列条不能判定平行四边形ABD是菱形的是（）A、AB＝BB、A⊥BD、BD平分∠ABD、A=BD13、下列说法中，正确的是（）A、同位角相等B、对角线相等的四边形是平行四边形、矩形的对角线一定互相垂直D、四条边相等的四边形是菱形14、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形、矩形D、菱形1、如图，在△AB中，点D、E、F分别在边AB、B、A上，且DE ∥A ，DF∥BA ．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BA＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BA ，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥B且AB=A ，那么四边形AEDF是菱形；其中，正确的有（）A、①②③④B、②③④、③④D、④二、填空题16、如图，在△AB中，∠AB＝90°，BD为A的中线，过点作E⊥BD 于点E ，过点A作BD的平行线，交E的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG＝BD ，连接BG、DF ．若AG＝13，F＝6，则BG＝________．17、如图，在四边形ABD中，对角线A ，BD交于点，A＝，B＝D ，添加一个条使四边形ABD是菱形，那么所添加的条可以是________（写出一个即可）．18、如图，在菱形ABD中，过对角线BD上任一点P ，作EF∥B ，GH∥AB ，下列结论正确的是________．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPF的周长．19、如图，两张宽为1的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABD ，已知∠BAD＝60゜，则重叠部分的面积是________2 ．20、如图在Rt△AB 中，∠AB＝90°，A＝4，B＝3，D为斜边AB上一点，以D、B为边作平行四边形DEB ，当AD＝________，平行四边形DEB为菱形．三、综合题21、如图，在Rt△AB中，∠AB＝90°，D、E分别为AB ，A边上的中点，连接DE ，将△ADE绕点E旋转180°得到△FE ，连接AF ，A ．求证：四边形ADF是菱形；22、如图，四边形ABD中，∠A＝90°，AD∥B ，BE⊥D于E交AD的延长线于F ，D＝2AD ，AB＝BE ．(1)求证：AD＝DE ．(2)求证：四边形BFD是菱形．23、如图，在△AB中，D、E分别是AB、A的中点，BE＝2DE ，过点作F∥BE交DE的延长线于F ．求证：四边形BFE是菱形24、如图，在四边形ABD中，AB＝AD ，B＝D ，E是D上一点，BE交A于F ，连接DF ．(1)证明：∠BA＝∠DA ，∠AFD＝∠FE ．(2)若AB∥D ，试证明四边形ABD是菱形．2、已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN ，DE＝DN ．(1)将两个矩形叠合成如上图，求证：四边形ABD是菱形；(2)若菱形ABD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积．答案解析部分一、选择题1、【答案】D【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】根据平行四边形和菱形的性质得到A、B、均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选D．【分析】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．2、【答案】【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质【解析】【解答】∵E∥BD ，DE∥A ，∴四边形DE是平行四边形，∵四边形ABD是矩形，∴BD＝A＝4，A＝，B＝D ，∴D ＝＝A＝2，∴四边形DE是菱形，∴四边形DE的周长为：4＝4×2＝8．【分析】首先由E∥BD ，DE∥A ，可证得四边形DE是平行四边形，又由四边形ABD是矩形，根据矩形的性质，易得＝D＝2，即可判定四边形DE是菱形，继而求得答案．3、【答案】B【考点】三角形的面积，菱形的判定与性质【解析】【解答】∵PE∥B交AB于E ，PF∥D交AD于F ，∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AE的面积等于△FP的面积，∴阴影部分的面积等于△AB的面积，∵△AB的面积等于菱形ABD的面积的一半，又∵菱形ABD的面积为A&#8226;BD＝，∴图中阴影部分的面积为÷2＝2．【分析】由四边形AFPE为平行四边形，可得△AE的面积＝△FP的面积，所以阴影部分的面积等于△AB的面积，因为△AB的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．4、【答案】【考点】菱形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ABD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵A平分∠DAB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝D ，四边形ABD为菱形，∴四边形ABD的周长＝4×2＝8．【分析】在平行四边形ABD中，A平分∠DAB ，利用平分线的性质可证△AD ，△AB为等腰三角形，又AB＝D ，则四边形ABD为菱形，根据菱形的性质求周长．、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定与性质，平移的性质【解析】【解答】∵△AB、△DE是等边三角形，∴∠AB＝∠DE＝60°，A＝D ，∴∠AD＝180°－∠AB－∠DE＝60°，∴△AD是等边三角形，∴AD＝A＝B ，故①正确；由①可得AD＝B ，∵AB＝D ，∴四边形ABD是平行四边形，∴BD、A互相平分，故②正确；由①可得AD＝A＝E＝DE ，故四边形AED是菱形，即③正确；∵四边形AED是菱形，∴A⊥BD ，∵A∥DE ，∴∠BDE＝∠D＝90°，∴BD⊥DE ，故④正确；综上可得①②③④正确，共4个，故选D．【分析】先求出∠AD＝60°，继而可判断△AD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得A⊥BD ，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE＝∠D＝90°，进而判断④正确．6、【答案】B【考点】平行四边形的性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】∵DE∥A ，DF∥AB ，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD ，∵AD是△AB的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠EAD＝∠EDA ，∴EA＝ED ，∴平行四边形AEDF是菱形，∴四边形AEDF周长为4AE＝16，故选B．【分析】由角平分线的定义及平行四边形的性质，可得∠EAD＝∠DAF＝∠ADE ，进而可得AE＝ED ，由平行四边形的性质可得答案．7、【答案】【考点】菱形的判定与性质【解析】【解答】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A选项错误；有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，故B选项错误；菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，故选项正确；菱形的对角线不一定相等，故D选项错误．【分析】本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性8、【答案】B【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】①正确∵E、F分别是A、的中点．∴AE＝E ，∵S△ADE＝×AE×D＝×E×D＝S△ED∴S△ADE＝S△ED；②正确，∵四边形ABD是菱形，E ，F分别是A ，的中点，∴EF⊥D ，E ＝F ，∵D＝D ，∴DE＝DF ，同理：BE＝BF ，∴四边形BFDE 是菱形；③正确，∵菱形ABD的面积＝A&#8226;BD ，又∵E、F 分别是A、的中点，∴EF＝A ，∴菱形ABD的面积＝EF&#8226;BD；④不正确，由已知可求得∠FD＝∠ED ，而无法求得∠ADE＝∠ED；⑤正确，∵EF⊥D ，E＝F ，D＝D ，∴△DE≌△DF ，∴△DEF是轴对称图形；∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．【分析】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．9、【答案】B【考点】坐标与图形性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】图形如图所示：∵A（－3，0）、B（0，2）、（3，0）、D（0，－2），∴A＝，B＝D ，∴四边形ABD为平行四边形，∵BD⊥A ，∴四边形ABD为菱形，故选B．【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABD ，再根据图形特点进行判断．10、【答案】B【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ABD为矩形，∴AD∥B ，AD＝B ，又∵E ，F分别为AD ，B中点，∴AE∥F ，AE＝F ，ED∥BF ，DE＝BF ，AE∥BF ，AE＝BF ，∴四边形AEF为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，四边形ABFE为平行四边形，∴AF∥E 即F∥EN ，BE∥FD ，即E∥FN ，∴四边形EFN为平行四边形，又∵四边形ABFE为平行四边形，∠AB为直角，∴ABFE为矩形，∴AF ，BE互相平分于点，∴E＝F ，∴四边形EFN为菱形．【分析】求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD ，即E∥FN，同理可证EN∥F ，得出四边形EFN为平行四边形，求出E＝F ，根据菱形的判定得出即可．11、【答案】B【考点】菱形的判定【解析】【解答】对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误；故选B．【分析】利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．12、【答案】D【考点】平行四边形的性质，菱形的判定【解析】【解答】∵四边形ABD是平行四边形，∴当AB＝B时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABD是菱形，故A选项正确；当A⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABD是菱形，故B选项正确；当BD平分∠AB时，易证得AB＝AD ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABD是菱形，故选项正确；由排除法可得D选项错误．【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．13、【答案】D【考点】平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的性质【解析】【解答】两直线平行时，同位角才相等．故A选项错误；对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形的对角线相等，故B选项错误；矩形的对角线不一定互相垂直，菱形的对角线一定垂直．故选项错误；根据菱形的定义知，四条边相等的四边形是菱形．故D选项正确；故选D．【分析】本题考查了菱形、平行四边形的判定，矩形的性质等．熟记四边形的性质和定义是解题的关键．14、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定【解析】【解答】由题意可得到的四边形的四条边相等，即是菱形，故选D．【分析】本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．1、【答案】A【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定【解析】【解答】∵DE∥A ，DF∥BA ，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；若∠BA＝90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；若AD平分∠BA ，则DE＝DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；若AD⊥B ，AB＝A；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BA；由③知：此时平行四边形AEDF是菱形，故④正确；所以正确的结论是①②③④．【分析】此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；一组邻边相等的平行四边形是菱形．二、填空题16、【答案】【考点】菱形的判定【解析】【解答】∵AG∥BD ，BD＝FG ，∴四边形BGFD是平行四边形，∵F⊥BD ，∴F⊥AG ，又∵点D是A中点，∴BD＝A＝DF ，∴四边形BGFD是菱形，设GF＝x ，则AF＝13－x ，A＝2x ，∵在Rt△AF中，∠FA＝90°，∴，即，解得：x＝，即BG＝．【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD ，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x ，则AF＝13－x ，A＝2x ，在Rt△AF中利用勾股定理可求出x的值．17、【答案】AB＝AD（答案不唯一）．【考点】菱形的判定【解析】【解答】∵A＝，B＝D ，∴四边形ABD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条是AB＝AD（答案不唯一）．【分析】利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．18、【答案】①②④【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【解答】∵图中有三个菱形，如菱形ABD、菱形HPFD、菱形BEPG ，∴①正确；∵EF∥B ，GH∥AB ，∴四边形BEPG 是平行四边形，∴PE＝BG ，PG＝BE ，在△BEP和△PGB中，，∴△BEP≌△PGB（SSS），∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABD是菱形，∴AB∥D ，AD∥B ，∵EF∥B ，GH ∥AB ，∴AD∥EF∥B ，AB∥GH∥D ，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFG是平行四边形，∵四边形ABD 是菱形，∴∠EBP＝∠GBP ，∵PE∥BG ，∴∠EPB＝∠GBP ，∴∠EBP＝∠EPB ，∴BE＝PE ，∴PE＝PG ，同理HP＝PF ，∴四边形AEPH的周长等于四边形GPF的周长，∴④正确；故答案为：①②④．【分析】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是比较容易出错．19、【答案】【考点】菱形的判定与性质【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E ，BF⊥D于点F ，根据题意得：AD∥B ，AB∥D ，BE＝BF＝1，∴四边形ABD是平行四边形，∵∠BAD＝∠BD＝60°，∴∠ABE＝∠BF＝30°，∴AB＝2AE ，B＝2F ，∵AB2＝AE2＋BE2 ，∴AB＝，同理：BF＝，∴AB＝B ，∴四边形ABD是菱形，∴AD＝，∴S菱形ABD＝AD&#8226;BE＝（2）．【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E ，BF ⊥D于点F ，由题意可得四边形ABD是平行四边形，继而求得AB ＝B的长，判定四边形ABD是菱形，则可求得答案．20、【答案】【考点】勾股定理，菱形的判定【解析】【解答】如图，连接E交AB于点．∵Rt△AB中，∠AB ＝90°，A＝4，B＝3，∴AB＝（勾股定理）．若平行四边形DEB为菱形时，E⊥BD ，且D＝B ，D＝B ．∵AB&#8226;＝A&#8226;B ，∴＝．∴在Rt△B中，根据勾股定理得，B＝，∴AD＝AB－2B＝．【分析】首先根据勾股定理求得AB＝；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知D＝B ，D＝B；最后Rt△B中，根据勾股定理得，B的值，则AD＝AB－2B ．三、综合题21、【答案】解答：证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△FE ，∴AE＝E ，DE＝EF ，∴四边形ADF是平行四边形，∵D、E分别为AB ，A边上的中点，∴DE是△AB的中位线，∴DE∥B ，∵∠AB＝90°，∴∠AED＝90°，∴DF⊥A ，∴四边形ADF是菱形．【考点】三角形中位线定理，菱形的判定，旋转的性质【解析】【分析】根据旋转可得AE＝E ，DE＝EF ，可判定四边形ADF是平行四边形，然后证明DF⊥A ，可得四边形ADF是菱形．22、【答案】（1）解答：证明：∵∠A＝∠DEB＝90°，在Rt△BDA与Rt△BDE中，，∴△BDA≌△BDE ，∴AD＝DE ．（2）解答：证明：∵AD＝DE ，D＝DE＋E＝2AD ，∴DE＝E ，又∵AD∥B ，∴△DEF≌△EB ，∴DF＝B ，∴四边形BFD为平行四边形，又∵BE⊥D ，∴四边形BFD是菱形．【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【分析】（1）由，利用“HL”可证△BDA≌△BDE ，得出AD＝DE；（2）由AD＝DE ，D＝DE＋E＝2AD ，可得DE＝E ，又AD∥B ，可证△DEF≌△EB ，得出四边形BFD为平行四边形，再由BE⊥D证明四边形BFD是菱形．23、【答案】解答：证明：∵D、E分别是AB、A的中点，∴DE∥B ，B＝2DE ．∵F∥BE ，∴四边形BFE是平行四边形，∵BE＝2DE ，B＝2DE ，∴BE＝B ，∴平行四边形BFE是菱形．【考点】三角形中位线定理，菱形的判定与性质【解析】【分析】由题意易得，EF与B平行且相等，故四边形BFE 是平行四边形．又邻边EF＝BE ，则四边形BFE是菱形．24、【答案】（1）解答：证明：在△AB和△AD中，，∴△AB≌△AD（SSS），∴∠BA＝∠DA ，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD＝∠AFB ，∵∠AFB＝∠FE ，∴∠AFD＝∠FE ．（2）解答：证明：∵AB∥D ，∴∠BA＝∠AD ，又∵∠BA＝∠DA ，∴∠AD＝∠AD ，∴AD＝D∵AB＝AD ，B＝D ，∴AB＝B＝D＝AD ，∴四边形ABD是菱形．【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质【解析】【分析】（1）首先利用SSS定理证明△AB≌△AD可得∠BA ＝∠DA ，再证△ABF≌△ADF ，可得∠AFD＝∠AFB ，进而得到∠AFD＝∠FE；（2）首先证明∠AD＝∠AD ，再根据等角对等边可得AD＝D ，再有条AB＝AD ，B＝D可得AB＝B＝D＝AD ，可得四边形ABD是菱形．2、【答案】（1）解答：证明：作AR⊥B于R ，AS⊥D于S ，由题意知：AD∥B ，AB∥D ，∴四边形ABD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN ，DE＝DN ，∴AR＝AS ，∵AR&#8226;B＝AS&#8226;D ，∴B＝D ，∴平行四边形ABD 是菱形．（2）解答：解：∵菱形ABD的周长为20，∴AD＝AB＝B=D＝，∵BE＝3，∴AE＝4，∴DE＝＋4＝9，∴矩形BEDG的面积为：3×9＝27．【考点】菱形的判定与性质，矩形的性质【解析】【分析】（1）作AR⊥B于R ，AS⊥D于S ，根据题意先证出四边形ABD是平行四边形，再由B＝D得平行四边形ABD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。

菱形的判定专项练习30题

菱形的判定专项练习30题

菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C；（2）▱ADFE是菱形．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30题参考答案：1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵CD=DE=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC，∵AF=CD，∴AF=DB，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE，又∵∠ECF=60°，∴AC=EC=AE，∴AD=DC=CE=AE，（2）证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C（等边对等角），∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB，∴四边形MENF是平行四边形，∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC，∵AB=CD，∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∵，∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，，∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，，∴△ADM≌△CFM（AAS），∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC，∴∠AMB=∠MBN，∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF，又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴DM=DN，∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分）又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．（8分）∴AF=AE，CF=CE，又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB，所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，则DO=10，EO=7.5．由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD，即所以得AD=12．根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．由2（AB+AD）=2（16+12）=56，故矩形ABCD的周长为5622．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴BA=BE，∴平行四边形ABEF为菱形23．（1）证明：在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，∴∠EAC=∠FCA．∴AE∥CF．∴四边形AECF为平行四边形，又∠CAE=∠ACE，∴AE=EC．∴▱AECF为菱形．（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，所以EC=5，即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．24．四边形AFCE是菱形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形25．（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，又∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，∴AE=CF，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）条件：EF⊥AC，∵EF⊥AC，又∵四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形．26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴BE=CE，又∵∠BEC的平分线是EF，∴EO是中线（三线合一），∴BO=CO，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又∵BE=CE，∴四边形BFCE是菱形．27．（1）证明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=AB，∴AC=AB即可，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．29．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形30．1）解：OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，∵OE=OF，∴四边形AECF是正方形；（3）答：不可能．解：如图所示，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．。

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菱形的判定专项练习30题(有答案)ok菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C；（2）▱ADFE是菱形．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．参考答案：1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵CD=DE=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC，∵AF=CD，∴AF=DB，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE，又∵∠ECF=60°，∴AC=EC=AE，∴AD=DC=CE=AE，（2）证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C（等边对等角），∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB，∴四边形MENF是平行四边形，∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC，∵AB=CD，∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∵，∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，，∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，，∴△ADM≌△CFM（AAS），∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC，∴∠AMB=∠MBN，∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF，又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴DM=DN，∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分）又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．（8分）∴AF=AE，CF=CE，又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB，所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，则DO=10，EO=7.5．由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD，即所以得AD=12．根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．由2（AB+AD）=2（16+12）=56，故矩形ABCD的周长为5622．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴BA=BE，∴平行四边形ABEF为菱形23．（1）证明：在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，∴∠EAC=∠FCA．∴AE∥CF．∴四边形AECF为平行四边形，又∠CAE=∠ACE，∴AE=EC．∴▱AECF为菱形．（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，所以EC=5，即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．24．四边形AFCE是菱形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形25．（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，又∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，∴AE=CF，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）条件：EF⊥AC，∵EF⊥AC，又∵四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形．26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴BE=CE，又∵∠BEC的平分线是EF，∴EO是中线（三线合一），∴BO=CO，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又∵BE=CE，∴四边形BFCE是菱形．27．（1）证明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=AB，∴AC=AB即可，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．29．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形30．1）解：OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，∵OE=OF，∴四边形AECF是正方形；（3）答：不可能．解：如图所示，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．。

18.2.2.2 菱形的判定-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)

18.2.2.2 菱形的判定-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)

§18.2.2.2菱形的判定一、知识导航菱形的判定二、重难点突破重点1利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定例1.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE =BF ，AC ⊥EF ，求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明【详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，DE BF = ，AE CF ∴=，//AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF ⊥ ，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．类别判定方法符号语言图形边有一组邻边相等的平行四边形是菱形在ABCD 中，AB BC = ，ABCD ∴ 是菱形四条边相等的四边形是菱形在四边形ABCD 中，∵AB BC CD DA===∴四边形ABCD 是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形在ABCD 中，AC BD⊥ ABCD ∴ 是菱形变式1-1如图，在▱ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF ，垂足为O ，分别交AD ，BC 于E ，F ，连接BE ，DF ．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE ≌△BOF ，得到OE=OF ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【详解】∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，EOD FBO OD OB EOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）,∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF 是解题关键．变式1-2已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．【分析】（1）由矩形的性质：OB =OD ，AE //CF ，进一步即可证明△BOE ≌△DOF ；重点点拨：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．（2）若四边形为菱形，则对角线互相垂直，因此可添加条件：EF ⊥AC ，再根据（1）的结论和题目条件证明OA =OC ，OE =OF ，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形得判定等知识，证明定理的综合运用能力是解决问题的关键．重点2利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定例2.如图，在平行四边形ABCD 中，DB DA =，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE .求证：四边形AEBD是菱形；【分析】由△AFD ≌△BFE ，推出AD=BE ，可知四边形AEBD 是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC ，∴ADE DEB∠=∠∵F 是AB 的中点，∴AF BF=∴在AFD ∆与BFE ∆中，,,ADE DEB AF BF AFD BFE∠=∠=∠=∠∵//AD BC ，∴四边形AEBD 是平行四边形∵DB DA =，∴四边形AEBD 是菱形【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．变式2如图，在 ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，过点C 作CF ∥DB ，且CF ＝DE ，连接AE ，BF ，EF（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若∠ABE +∠BFC ＝180°，则四边形ABFE 是什么特殊四边形？说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．∵CF ∥DB ，∴∠BCF =∠DBC ，∴∠ADB =∠BCF在△ADE 与△BCF 中DE CF ADE CBF AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△ADE ≌△BCF （SAS ）．（2）四边形ABFE 是菱形理由：∵CF ∥DB ，且CF =DE ，∴四边形CFED 是平行四边形，∴CD =EF ，CD ∥EF ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴AB =EF ，AB ∥EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．∵△ADE ≌△BCF ，∴∠AED =∠BFC ．∵∠AED +∠AEB =180°，∴∠ABE =∠AEB ，∴AB =AE ，∴四边形ABFE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定知识点是解题的关键．重点3利用四条边相等的四边形是菱形进行判定例3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ，（1）证明：∠BAC=∠DAC ．（2）若∠BEC=∠ABE ，试证明四边形ABCD是菱形．【分析】由AB=AD ，CB=CD 结合AC=AC 可得△ABC ≌△ADC ，由此可得∠BAC=∠DAC ，再证△ABF ≌△ADF 即可得到∠AFB=∠AFD ，结合∠AFB=∠CFE 即可得到∠AFD=∠CFE ；（2）由AB ∥CD 可得∠DCA=∠BAC 结合∠BAC=∠DAC 可得∠DCA=∠DAC ，由此可得AD=CD 结合AB=AD ，CB=CD 可得AB=BC=CD=AD ，即可得到四边形ABCD 是菱形.【详解】（1）在△ABC 和△ADC 中，∵AB=AD ，CB=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中，重点点拨：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．变式3如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．【分析】(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB 得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．【详解】(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED在△AED 与△CFDEAC ＝∠FCA ，AED ＝∠CFD ，＝CD ，∴△AED ≌△CFD(AAS)∵△AED ≌△CFD∴AE ＝CF∵EF 为线段AC 的垂直平分线∴EC ＝EA ，FC ＝FA∴EC ＝EA ＝FC ＝FA∴四边形AECF 为菱形．【点睛】判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．难点4菱形的性质与判定的综合例4.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且32BE DF ==.（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）求线段EF 的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到4CD AB ==，2AD BD ==，CD AB ，90D B ∠=∠=︒，求得35422CF AE ==-=，根据勾股定理得到52AF CE ==，于是得到结论；（2）过F 作FH AB ⊥于H ，得到四边形AHFD 是矩形，根据矩形的性质得到32AH DF ==，2FH AD ==，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，∴4CD AB ==，2AD BD ==，CD AB ，90D B ∠=∠=︒，重点点拨：在无法确定一个四边形是平行四边形的情况下，要证明该四边形是菱形，可考虑利用“四条边相等的四边形是菱形”进行证明.∵32 BE DF==，∴35422 CF AE==-=，∴52 AF CE==，∴52 AF CF CE AE====，∴四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FH AB⊥于H，则四边形AHFD是矩形，∴32AH DF==，2FH AD==，∴53122EH=-=，∴EF==【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．变式4如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC=12AB•AC，结合条件可求得答案．【详解】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AEF和△DEB中AFE DBE DEB AEF AE DEìÐ=ÐïïïïÐ=Ðíïïï=ïî∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB．∵D是BC的中点，∴BD=CD=AF，∴四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，∴AD＝CD＝12 BC．∴四边形ADCF是菱形；(2)解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴S菱形ADCF ＝CD•h＝12BC•h＝S△ABC＝12AB•AC＝168242⨯⨯=．【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．难点点拨：利用菱形的性质和判定解决问题，一般是先判定一个四边形是菱形，再根据菱形的性质解决其他问题.判定一个四边形是菱形的思路：三、提升训练1.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AC ⊥BDB ．AB ⊥BC C ．AC ＝BD D ．∠1＝∠2【答案】A 【分析】根据菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质逐项判断即可得．【详解】解：A 、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加AC BD ⊥能判定ABCD 是菱形，不一定是矩形，则此项符合题意；B 、由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知，添加AB BC ⊥能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；C 、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加AC BD =能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；D 、12∠=∠ ，OA OD ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，2,2AC OA BD OD ∴==，AC BD ∴=，ABCD ∴ 是矩形，即添加12∠=∠能判定ABCD 是矩形，则此项不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了菱形和矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．2.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形【答案】B【分析】题中给出的条件是中点，所以利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【详解】解：连接A C 、BD ，在△ABD 中，∵AH =HD ，AE =EB ，∴EH =12BD ，同理FG =12BD ，HG =12AC ，EF =12AC ，又∵在矩形ABCD 中，AC =BD ，∴EH =HG =GF =FE ，∴四边形EFGH 为菱形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质和菱形的判定方法，解题的关键是掌握菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形称为菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．3.如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF =3，那么菱形ABCD 的周长为（）A．24B．18C．12D．9【答案】A【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．4.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD 于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．13B．14C．15D．16【答案】D【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE =∠BAE ，∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，同理可得AB =AF ，∴AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OA =OE ，OB =OF =12BF =6，∴OA ，∴AE =2OA =16．故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF 是菱形是解决问题的关键．5.如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S = ．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C 【分析】证明△OFB ≌△CFB ，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB ，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM ，故结论④是错误的；证NE ∥BM ，AN=NO=OM ，所以BM=3NE ，AO=2OM ，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，AC 、BD 互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四边形EBFD是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ，∴11::22BOM AOE S S OM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.6.如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形（是，或不是）．【答案】是【分析】如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出//,//,AB CD AD BC BE DF =，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD 是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AB AD =，最后根据菱形的判定即可得．【详解】如图，过点B 作BE AD ⊥，交DA 延长线于点E ，过点D 作DF AB ⊥，交BA 延长线于点F由题意得：//,//,AB CD AD BC BE DF=∴四边形ABCD 是平行四边形在ABE △和ADF 中，90BAE DAF AEB AFD BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≅ AB AD∴=∴平行四边形ABCD 是菱形故答案为：是．【点睛】本题考查了平行四边形与菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形与菱形的判定是解题关键．7.已知四边形ABCD 是矩形，点E 是矩形ABCD 的边上的点，且EA EC =．若6AB =，AC =DE 的长是___．【答案】83或3【分析】根据EA EC =，则E 在AC 的中垂线上，作AC 的中垂线交,DC AB 于12,,E E 交AC 于O ，所以：如图的12,E E 都符合题意，先证明四边形12AE CE 是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案．【详解】EA =EC ，E ∴在AC 的中垂线上，作AC 的中垂线交,DC AB 于12,,E E 交AC 于O ，所以：如图的12,E E 都符合题意，矩形,ABCD //,AB DC ∴12,CE O AE O ∴∠=∠21,,OA OC AOE COE =∠=∠ 21,AOE COE ∴ ≌21,OE OE ∴=12,,OA OC AC E E =⊥ ∴四边形12AE CE 是菱形，1122,AE E C CE AE ∴===6AB = ，210AC =，90ABC ∠=︒，()22210642,BC ∴=-==2,AD ∴=设1,DE x =则116,CE AE x ==-()22262,x x ∴-=+8,3x ∴=18,3DE ∴=218106,33AE AE ∴==-=222102342,33DE ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭DE ∴的长为：83或234.3【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．8.如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有_____．【答案】①③⑤⑥【分析】根据平行四边形的性质可得证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，根据直角三角形斜边中线定理得GE＝12AB，由三角形中位线得EF＝12CD，进而得到EG＝EF，可判断①；证明四边形AGEF是菱形可判断②③⑥；④易证BE⊥AE，四边形BEFG是平行四边形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判断④；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可判断⑤．【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝12 BD，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝12 AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝12 CD，∴EG＝EF，故①正确；②连接AF，Rt△AEB中，G是AB的中点，∴EG＝12AB＝AG，∵EG＝EF，∴AG＝EF，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//CD，∵AB//CD，∴AG//EF，∴四边形AGEF是菱形，∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，故②错误，③⑥正确；③∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//DC，∵DC//AB，∴EF//AB，∴∠EFG＝∠AGF，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∴∠EGF＝∠AGF，∴GF平分∠AGE，故③正确；④由①知：BE⊥AE，由②、③得：EF//AB，EF＝12CD＝12AB＝BG，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EG＝EF，∴要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④错误；⑤∵AD//BC，∴∠ADB ＝∠CBD ＝2∠CBE ，∴故⑤正确；本题正确的有：①③⑤⑥．故答案为：①③⑤⑥．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．9.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF是菱形．【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．【详解】（1）∵//BC AF ，∴AFE DBE ∠=∠，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，在△AEF 与△DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEF DEB AAS ≅△△；（2）由（1）可知，AF BD =，∵D 是BC 的中点，∴BD CD =，∴AF CD =，∵//AF CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又∵△ABC 为直角三角形，∴DA DC =，∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．10.如图，已知，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ，连接AF 、CE ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）求证：四边形AFCE 为菱形；（3）求菱形AFCE的周长．【分析】（1）求出AO =OC ，∠AOE =∠COF ，根据平行的性质得出∠EAO =∠FCO ，根据ASA 即可得出两三角形全等；（2）根据全等得出OE =OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ⊥AC 即可推出四边形是菱形；（3）设AF =x cm ，则CF =AF =x cm ，BF =（8-x ）cm ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得出方程42+（8-x ）2=x 2，求出x 的值，进而得到菱形AFCE 的周长．【详解】（1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ．在△AOE 和△COF 中，EAO FCO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；（2）证明：∵△AOE ≌△COF ，∴OE =OF ，∵OA =OC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形；（3）解：设AF=x cm，则CF=AF=x cm，BF=（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．所以菱形AFCE的周长为5×4=20cm．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质等知识.根据勾股定理并建立方程是解题的关键.。

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菱形的判定同步练习
一、选择题
1.下列命题中，真命题是（ ）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形iu
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是菱形
2.菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）
A.6 cm
B.1.5 cm
C.3 cm
D.0.75 cm
3.如下左图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图1）则∠EAF 等于（ ）
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
4.上右图，已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24，且AE =6，则菱形的边长为（ ）
A.12
B.8
C.4
D.2
5.菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（ ）
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.23 cm
二、判断正误：（对的打“√”错的打“”）
1.两组邻边分别相等的四边形是菱形.（ ）
2.一角为60°的平行四边形是菱形.（ ）
3.对角线互相垂直的四边形是菱形.（ ）
4.菱形的对角线互相垂直平分.（ ）
三、填空题
1.如下左图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =
2
1AD ，则四个内角为________.
2.若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如上右图，其他三边长为________；周长
为________.
3.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________.
4.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm 2.
5.菱形ABCD 中，如下左图，∠BAD =120°，AB =10 cm,则AC =______ cm,BD =_______ cm.
四、如图，已知：△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥AC 交BC 于E ，DF ∥BC 交AC 于F .请问四边形DECF 是菱形.吗?说明理由.。

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