南航理论力学范钦珊PPT第11章 质点系动能定理
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理论力学质点力学课件
7
五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体---原子） 作用量=能量x时间>>h=6.602X10^(-34)（JS）
8
参考书
❖ 郭士堃：《理论力学》上、下册 ❖ H.戈德斯坦（美）：经典力学 ❖ 费恩曼 （Feynman)：《物理学讲义.第一卷） ❖ 汪家訸：分析力学 ❖ 理论力学习题集
18
加速a 度 表 x 示i ： y j z k a x i a y j a z k
加速度分量为：
a x x a y y
a z z
加速率表示：
a ax2 a2y az2
19
20
21
y
径向单位矢量：i
横向单位矢量：j （指向极角的 增加方向） rri
v dr drir irdiO
求 v,a, 。
35
例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。
解：如图,平抛物体的运动方程为：
x v0t
y 1 gt2 2
O
v0
则，速率 v x 2y 2v0 2g2t2
•( x, y)
x
切向加速度
dv
g2t
a
dt
v02 g2t2
y
加速度大小 a x2y2 g
由法向加速度
an a2a2 v2
v2an
自然坐标系
s f (t)
从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程
f(x,y,z)=0。
14
(Displacement, velocity and acceleration)
z
位移 (displacement)：
B
r
r r C
O rA
五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体---原子） 作用量=能量x时间>>h=6.602X10^(-34)（JS）
8
参考书
❖ 郭士堃：《理论力学》上、下册 ❖ H.戈德斯坦（美）：经典力学 ❖ 费恩曼 （Feynman)：《物理学讲义.第一卷） ❖ 汪家訸：分析力学 ❖ 理论力学习题集
18
加速a 度 表 x 示i ： y j z k a x i a y j a z k
加速度分量为：
a x x a y y
a z z
加速率表示：
a ax2 a2y az2
19
20
21
y
径向单位矢量：i
横向单位矢量：j （指向极角的 增加方向） rri
v dr drir irdiO
求 v,a, 。
35
例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。
解：如图,平抛物体的运动方程为：
x v0t
y 1 gt2 2
O
v0
则，速率 v x 2y 2v0 2g2t2
•( x, y)
x
切向加速度
dv
g2t
a
dt
v02 g2t2
y
加速度大小 a x2y2 g
由法向加速度
an a2a2 v2
v2an
自然坐标系
s f (t)
从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程
f(x,y,z)=0。
14
(Displacement, velocity and acceleration)
z
位移 (displacement)：
B
r
r r C
O rA
理论力学课件 第十一章动能定理,质点的,以及力的功
∑ ∑ T =
i
1 2
mi
vi2
=
i
1 2
mi
(riω
)2
∑ = 1 ω2 2
i
mi ri 2
=
1 2
JOω 2
11.2 质点和质点系的动能
(3) 平面运动刚体的动能
T
=
1 2
J Pω 2
因为JP＝JC + md 2
d
Cω
P
所以
T
=
1 2
(JC
+
md 2 )ω 2
=
1 2
JCω 2
+
1 2
m(d
⋅ω)2
z2
)
z1 O
x
mg M2 y z2
重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心 降低为正,重心升高为负。
重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的 路径无关。
常见力的功
2) 弹力的功
弹性力的大小与其变
形量δ 成正比。设弹 A1
簧原长为l0 , 则弹力 δ
的功为
1
W12
=
1 2
k (δ12
T = 1 mv2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
2. 质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即
T
=
∑
1 2
mi vi2
11.2 质点和质点系的动能
3、刚体的动能 (1) 平动刚体的动能
T
=
∑
1 2
mi vi2
=
1 2
v2
∑
mi
=
1 2
11动量定理
理论力学电子教程
第十一章 动量定理
例11-2 在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg， 面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方 向走动0.5m 。若船重 M ＝150kg ，求船的位移。水的阻力 y 不计。 甲 乙 尾 首 【解】 x 因无水平力 水平方向质心守恒， 又初始静止
（6）
（7）
又 t 0， 0，x A 0 ，代入（7）式得 C 0， 由此存在
ml ml xA sin sin( 0 sin t ) mM mM
理论力学电子教程
第十一章 动量定理
例11-4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量 均为 m，OA杆的长度为 l1，AB杆的长度为 l 2 ，轮的半径为 R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为 ，则整个系统的动量为多少？
式中 mv——质点动量；矢量，其大小等于质点的 质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位 kg m / s
或N s 。
写成微分形式
d (mv) Fdt
（11－2）
这是微分形式的质点动量定理
Fdt 称之为冲量。
⒉ 质点动量定理的积分形式
在t1与t2时刻， m v2 m v 1
t2
t1
理论力学电子教程
第十一章 动量定理
mv2 z mv z Fz dt S z 1
t1
t2
mv2 y mv y Fy dt S y 1
t1
t2
（11－5）
mv2 x mv x Fx dt S x 1
t1
t2
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零 ，F 0 ， 则 有 m v2 m v 0 ，则质点动量保持不变。 1 若 Fx 0，则有 mv2 x mv x 0 。 1
《理论力学》课件 第11章
ds Rd
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
理论力学课件 动能定理
z m2 m3 C rC O x' x 而
i
mi m1 y
ri
y'
mn
1 2 1 2 T＝ mvC mi vri 2 2
d m v m i ri dt i i 0
质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相 对于质心平移参考系运动的动能之和。
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 4
第13章
动 能 定 理
动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问 题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不 仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机 械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运 动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的 联系，这是一种能量传递的规律。
2012年5月3日 Thursday
Fx =0， Fy =0， Fz =-mg
F mgk
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
对于质点系
2012年5月3日 Thursday
W mg ( z C 1 z C 2 )
理论力学CAI 11
重力的功与重心运动的高度差成正比，与路径无关。
② 弹性力的功
Jz——刚体对轴的转动惯量
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 3
z'
柯尼希（Koenig） 定理
质点系动能计算
1 1 T mi vi2 mi (vC vri ) 2 2 2 1 1 2 2 mi vC mi vri mi (vC vri ) 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri vC mi vri 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri 2 2
第11章 质点系动能定理——【理论力学课件】
⋅
(
mvr )
T
=
1 2
MvC 2
+ TC r
——柯尼希定理
注意：这一结论仅以质心为基点时正确。 12
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mv2
=
1 2
MvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 mv2 = 2
1 m(ωr)2
2
=
1 2
J
zω
2
3. 平面运动刚体T=Fra bibliotek1 2
MvC 2 +
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mg(z1 − z2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= Mg (zC1 − zC 2 )
二、质点系的动能
z
z′
？ ∑ T =
1mv 2 2
=
1 2
Mv
2 C
C y′
rC x′ r′
v m
r
v2 = v ⋅ v = vC2 + vr2 + 2vC ⋅ vr x
O
y
∑ T =
1 2
m(vC2
+
vr2
+
2vC
⋅vr )
v = vC + vr
∑ ∑ =
理论力学第十一章 动能定理[精]
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解:
动能: T m 2 v 2 A m 220 2 2 m 3 v c 2 2 1 r 2 2 m 3c 2 2 1 m 2 v B 2
功Cr:W xB g xCs2m 3 i C rx n A 0 M 0r 0 m 3 0Rg c xAm 2 x g PB m x vA A cg 3 o Mf s x 0 s
vB
B
§11-3 质点系动能定理
i 第 个质点
分别乘以 vid
mi
dvi
dt
tdr
Fi
m iv id v i F id r
d(12mivi2)dWi 叠加
d(12mivi2)dWi
d(12mivi2)dW i
dTdWi
质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和。
O
v
P
M v
dr M F
y
W s(F xd xF yd yF zd)z
M2 M1
dW
x
FR Fi
W F R d s F 1 d s ... ..W .i .
S
S
自然坐标形式 ：
WM M 1 2F drM M 1 2Fdrcos dr ds
Jo
1 3
P g
l2
Fy
Fx
（1）式两边对时间求导
Ql2 lPsinJ0 Q gl2
900
QP 2 sin 3 1P glQ gl
P2Q3g P3Q 2l
例11-9：已知：mA=m，mB=m/2，mC=m/3，鼓轮的廻转半径为， 质量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，C轮的半径为r，物体A 接触的摩擦系数为fs，求物体A下落时的速度。
理论力学-11-动能定理及其应用ppt课件
M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ 2时所 作的功为 12 12 2 W k dk k 1 2 1 2 1 2 2
11.1 力的功 3、内力的功
内力作功的情形 日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功； 弹簧力作功等等；摩擦力做功损耗能量。 刚体的内力不作功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
11.1 力的功
W F d r F dx + F dy + F dz 12 i i x y z W
M 2 M 2 M 2 M 1 M 1 M 1
由此得到了两个常用的功的表达式: 重力的功 对于质点：
z
M1 z1
F F 0 x y
重力的元功为
F P mg z=
r = k ( r l ) d r 0 r
r0——沿位矢方向的单位矢量 A k 2 2 2 W W r l r l 12 1 0 2 0 A 1 2
1 、 2 ——弹簧在初始位置和最终位置的变形量 。
k 2 2 W （ ） 12 1 2 2
vO O
C*
FN
W F d r F v d t 0 F C C
约束力为无功力的约束称为理想约束
11.1 力的功
总结： 内力不能改变质点系的动量和动量矩，但 它可能改变质点系的能量； 外力能改变质点系的动量和动量矩，但不 一定能改变其能量。
第11章 动能定理及其应用
11.2 质点与质点系的动能
弹性力作的功只与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
理论力学课件：动能定理
指标之一,一般机械效率η可由机械设计手册查得。
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
《动量定理Hxj》PPT课件
工件发生变形，历时△t=0.01s，求锤对工件的平均压力。
解: 以重锤为研究对象，进行受力分析
重锤所受工件的反力为变力，取其平均反力来表示
由运动学知识知，重锤下落的时间为
t 2h g
取如图所示的坐标轴，则由质点的动量定理有
0 0 mg t t FNt
解之，
FN
=
mg
t t
+1
=
mg
1 t
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC O
C
z
mn
C
rC ri
o
x
m2
m1
mi
y
vC
C
例题1
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为 m，曲柄 OC和连杆AB的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度 绕O轴旋转。图 示位置时，角度 t 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
AB
D
再求其矢量和。
p mAvA mBvB
AB =
C
O
t
vB
B
vA AB DA 2l cost vB AB DB 2l sin t
p mAvA mBvB
2ml( sin t i cost j)
y vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
颗粒形式
例11-2 水流流经变截面弯管的示意图如图11-4所示。设流体是不可压缩的，
流动是稳定的。求管壁的附加动反力。
解:
为分析问题方便，如图所示取aa与
bb之间的流体作为质点系。经过时间dt，该
解: 以重锤为研究对象，进行受力分析
重锤所受工件的反力为变力，取其平均反力来表示
由运动学知识知，重锤下落的时间为
t 2h g
取如图所示的坐标轴，则由质点的动量定理有
0 0 mg t t FNt
解之，
FN
=
mg
t t
+1
=
mg
1 t
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC O
C
z
mn
C
rC ri
o
x
m2
m1
mi
y
vC
C
例题1
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为 m，曲柄 OC和连杆AB的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度 绕O轴旋转。图 示位置时，角度 t 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
AB
D
再求其矢量和。
p mAvA mBvB
AB =
C
O
t
vB
B
vA AB DA 2l cost vB AB DB 2l sin t
p mAvA mBvB
2ml( sin t i cost j)
y vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
颗粒形式
例11-2 水流流经变截面弯管的示意图如图11-4所示。设流体是不可压缩的，
流动是稳定的。求管壁的附加动反力。
解:
为分析问题方便，如图所示取aa与
bb之间的流体作为质点系。经过时间dt，该
动能定理
T1 0
从动杆件运动到极右位 置时，系统的动能
1 1 1 2 r 2 2 3 2 2 2 T J O1 [ mr m( ) ] mr 2 2 2 2 8
在此运动过程中 W M ( 1 k 2 1 k 2 ) 12 max 0
2 2
弹簧的最大压缩量 由动能定理
功率 ·功率方程
W
力矩的功率：
二．功率方程：
W M d M M n N z z z
dt dt
N W F dr F v F v dt dt
30
dT dt
W
dt
dT 即 N N 输入 N 有用 N 无用 dt
例7 车床电动机的功率 ，当稳定运转时主轴的转速 为 ，设转动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%， 工件的直径 ，求此转速下的切削力。
B e
1 1 4 2 T mv m r mr 2 2 9 9
2 2 2 2
2
例4 已知均质轮Ⅱ由OA杆带动在固定的轮Ⅰ上只滚不滑。轮 Ⅱ的质量为2m，OA杆的质量为m，转动的角速度为ω0。试求系 统的动能。设R=2r。 1 1 2 T2 (2m)v A J A 2 解: 轮Ⅱ作平面运动， 其中 vc=vA=3rω0，Jc＝JA＝(2m)r2/2=mr2, 因(R+r)ω0=rω，故ω=(R+r)ω0／r=3ω0 1 J O m( R r ) 2 3mr 2 杆OA绕定轴转动， 3 于是得系统的动能
2 2 2 c c
1 1 Ml 0 Mg (1 cos ) 6 2
2 2
3g (1 cos ) l 3g (1 cos ) l
理论力学11动能定理
F dr Xdx Ydy Zdz)
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
9
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi 则合力 R
F d (rA rB ) F d (BA)
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
不可伸长的绳索内力功之和等于零。
功的计算公式中力作用点的含义应包括三方面： （1）受力点：受力物体（分析对象）上直接受到力的那个点； （2）加力点：施力物体上加力的那个点，该瞬时与受力点的接触点； （3）力点：力作用点的空间位置。 任何瞬时这三个点都是重合的，但在很多情况下，这三个点具有不同的运 动和轨迹。 功的正确计算： dr 和 v应当为受力点的位移和速度。
即 dT Wi 质点系动能定理的微分形式 将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W 质点系动能定理的积分形式
在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
dT W (F) ; T2 T1 W (F)
5
若将质点系中的受力分为外力、内力，则有外力功和内力功
T2 T1 W12
W12 i
ri 2 ri1
F (e)
i
dri
i
ri 2 ri1
F (i)
i
dri
南航理论力学范钦珊PPT第10章 质点系动量矩定理
2014年12月10日基础部分——动力学第10 章质点系动量矩定理上章内容提要质点系动量定理：质心运动定理：p=？？？？第10章质点系动量矩定理质点系对定点的动量矩定理质点系对质心的动量矩定理质点系对定点的动量矩定理一、动量矩)(v M m O vr m ×=Q v m r O )(v M m O Aϕz 方向指向大小)(m M O v z 定位矢量思考：Qv m r O )(v M m O A ϕx z y)(v m M Oz =z O m )]([v M )(v M m O vr m ×=轴O L Oz LOzz O L =][L Oz L O L ？∑=2ii r mCL O？rC C L L =[例10-1]'解：33设逆为正?[思考题]R二、质点系相对定点的动量矩定理质点相对定点的动量矩定理定点质点相对定点定点质点对定轴的动量矩定理)()(d d F M v M O O m t =定坐标系FM)(=Oz∑+)(i i O F M 2m im nm 1m ii v m ir OiF 质点系相对定点的动量矩定理∑定点ieii i F F F +=∑)(i i O m v M即：作用于质点系的外力系对同一点的主矩。
∑=(d d F M L O O te d d O O tM L =2m im nm 1m ii v m ir O iF xzyOz Ox 定轴的动量矩定理定点定轴绝对量外力系的主矩ed d OzOz M tL =注意：ed d O O tM L =e =OzM O Oz 质点系动量矩守恒定律ABOR[例10-2] e d d OzOzM tL =解：受力分析eOzMgA m gB m NF gm ox F oyF （设逆转为正）gm F B =NABORgA m gB m NF gm oxF oyF 运动分析OzL Oz ）Rvω=A （）运动学关系：Bv Av ω其它解法？解题步骤？vv v B A ==OBv Av ABR[例10-3] 解：Aa v Bav ×g m A gm B oxF oyFOBv A v ABRAav Bav g m A gm B oxF oyF 2B A v v v −=vv即思考：？？？？zM M z ′=)(F zrM MzM ′'ωω质点系动量矩守恒ωF带尾桨单旋翼直升机共轴双旋翼直升机纵列双旋翼直升机F 2F 1F iF n1N F 2N F 由质点系对转轴z 的动量矩定理z ωz z J L =一、刚体定轴转动微分方程即：讨论：）与质点的运动微分方程作比较∑=Fa m e zz MJ =α==ωα,00e =zM 转动惯量是刚体转动形式相似=α=e zMO1F 2F [例10-4]α解：α受力分析：g F F m ,,21gm 运动分析：RJF F 21−=α[思考]二、刚体对轴的转动惯量mJ z z ρmJ zz均质细直杆z均质薄圆环z均质圆板[例10-5]解：注意：负值[例10-6]CAB OC ´A ´B ´z 解：微小扭转振动θϕϕF T F T F TWWlJ Rz π2应用刚体定轴转动微分方程，有CAB OC ´A ´B ´z θϕF T F T F TW[例10-7 ]轮A 解：1O 1P 1O X 1O Y 1M 1α2O 2ω3P 2P 2O X2O Y TT ′1由定轴转动微分方程，有v 轮B +物体C =2O L 23(3222r +⋅ω由质点系动量矩定理，有13222r +⋅α运动学条件1122ααr a r ==TT =′gP P P P r M a 22/321311⋅++−=)2()1(r 2ωv =2O L 231O 1P 1O X 1O Y 1α2O 2α3P 2P 2O X2O Y TT ′a 1Med d OO tM L =定轴定点ed d OO tM L =ed d OzOz M tL =思考：动点？一、质点系对质心的动量矩im OxyzCCr i r ′ir iv 二、质点系对质心的动量矩定理edtd OO M L =定点质点系对质心的动量矩定理x ′y ′z ′。
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§11-4 势能 · 机械能守恒定律
一、势力场 力场 若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方
向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。 势力场 在力场中，若作用于质点的力所作功仅决定于质点
的始末位置，而与运动路径无关，这种力场称为势力场。
例如： 重力场，弹性力场，万有引力场。
在势力场中质点受到的力称为有势力或保守力。
13
质点系动能定理
[例11-2] 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 ， 杆AB长度为 l ，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线
夹角为θ ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块 A作直线平移，有
TA
=
1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以 A
为基点，则B点速度为
vB = v A + vBA
解：（1）取整个系统为研究对象 （2）受力分析，计算力的功 W12 = mgh （3）运动分析，计算功能 T1 = 0
因 ∑ Fxe = 0，故C点铅垂落下。
C
vC
h
mg mg
A
B
FA
FB
由A、C两点速度方向，可 知A即为杆AC的速度瞬心。
28
质点系动能定理
当铰C落地时
ω AC
=
vC l
,
ω BC
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mi g(zi1 − zi2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= mg(zC1 − zC 2 )
=
1 2
m2 R2 2
+
m2 R2 2
=
3 2
m2 R2 2
设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有 23
质点系动能定理
ω1
=
vC R1
,
ω2
=
vC R2
∴
T2
=
1 4
(2m1
+
3m2 )vC2
（4）应用质点系动能定理
P
T2 − T1 = W12
1 4
(2m1
+
3m2
)vC2
−0= M
s R1
−
2
• 正标量，与速度方向无关； • 量纲与功相同，单位也是焦耳（J）； • 与动量的比较
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
10
质点系动能定理
二、质点系的动能
∑ ？ T =
1 2
mi
vi
2
=
1 2
mv
2 C
vi2 = vi ⋅ vi = vC2 + vi2r + 2vC ⋅ vir x
25
质点系动能定理
[例11-4] 行星齿轮机构 （在水平面内）
已知：动齿轮半径 r ，质量 m1，视 为均质圆盘；曲柄质量 m2 ，长 l ， 作用常力偶矩M。由静止开始转动。
求：曲柄的角速度和角加速度。
（表示为转角ϕ 的函数）
解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析，并计算力的功 系统具有理想约束，内力作功和为零，
质点系动能定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 11 章 质点系动能定理
2014年12月15日Monday
1
质点系动能定理
第11章 质点系动能定理
§11-1 力的功 §11-2 质点系的动能 §11-3 质点系动能定理 §11-4 势能 · 机械能守恒定律 §11-5 动力学普遍定理综合应用 §11-6 本章讨论与小结
盘质量为m2 ，半径为 R。初始时两者静止，下落至图示
位置时杆的角速度为ω0 ，求系统的总动能。
解：杆OA作定轴转动，故有
T杆
=
1 2
(
1 3
m1l
2
)ω02
由盘相对于质心的动量矩
O
ω0
A A
定理，可知盘作平移，故有 ωA = ?
T盘
=
1 2
m2vA2
=
1 2
m2
(ω
0l
)
2
T系统 = T杆 + T盘
d riC
Fi
dϕ
Mi
d rC C
= FR ⋅ d rC + M C ⋅ d ϕ
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
∫ ∫ W12 =
C2 C1
FR
d rC
+
ϕ2 ϕ1
MC
dϕ
力系主矢的功
力系对质心主矩的功
9
质点系动能定理
§11-2 质点系的动能
一、质点的动能 1 mv 2
质点系动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
dW = F ⋅dr = Ft d s = Ft R dϕ ∵ Ft R = M z (F ) = M z
∴ dW = Mz dϕ
当刚体从 ϕ1到ϕ2的转动过程
中力F 所作的功为
∫ W12 =
ϕ2 ϕ1
M
z
dϕ
上式也适用于力偶。 7
质点系动能定理
可见：质点系重力作功仅与质心运动始、末位置的高度 差有关，而与质心运动路径无关。
5
质点系动能定理
2. 弹性力的功
直线弹簧
FF = k−δk (=rk−(rl0−)lr00)
W12
=
k 2
(δ12
−
δ
2 2
)
——δ1和δ2为弹簧变形量 扭转弹簧Fra bibliotekW12
=
k 2
(θ12
−θ22)
可见：弹簧力的功也与运动路径无关。 6
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri = d rC + d riC
d riC θ Fi
dϕ
Mi
d rC C
式中： d riC = M iC ⋅ dϕ
力Fi 作的元功为
d rC —质心无限小位移
dϕ —刚体无限小转角
dWi = Fi ⋅ d ri = Fi ⋅ d rC + Fi ⋅ d riC
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mi
vi2
=
1 2
mvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 2
mivi2
=
1 2
mi
(ωri
)
2
=
1 2
J zω 2
3. 平面运动刚体
T
=
1 2
mvC
2
+
1 2
J
Czω
2
=
1 2
J Pzω 2
12
质点系动能定理
[例11-1] 质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其 另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA= l，圆
19
质点系动能定理
dW = −FA ⋅ drAB
(1) drAB ≠ 0
dW ≠ 0
即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。
例如：变形体的内力； 汽车发动机的内力；
机器中轴和轴承之间的摩擦力。
(2) drAB = 0
dW = 0
即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。
例如： 刚体内力；
其中： Fi ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ MiC ⋅dϕ = M C (Fi ) ⋅ dϕ
8
质点系动能定理
dWi = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
∑ 力系元功：dW = dWi ∑ ∑ = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
=
vC l
T2 =
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
AC
2
+
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
BC
2
=
1 3
mvC
2
（4）应用质点系动能定理，得
1 3
mvC 2
−
0
=
mgh
vC = 3gh
思考：若要求铰C到达地面时的加速度，则能否直接对 上式求导？
思考：若杆AC质量为2m，其它条件不变，则结果如何？
29
质点系动能定理
m2 g
⋅ sinθ
⋅
s
解得
vC = 2
(M − m2 gR1 sinθ )s
R1(2m1 + 3m2 )
24
质点系动能定理
应用动能定理的解题步骤： （1）选取研究对象；（ 一般取整个系统） （2）分析受力，计算力的功；
z 区分主动力与约束力 z 在理想约束情况下约束力不做功 z 考虑内力作功和是否为零 （3）分析运动，计算质点系在起点和终点的动能； （4）应用质点系动能定理建立方程，求解未知量。
1 2
mv22
−
1 2
mv12
=
W12
二、质点系动能定理
——微分形式 ——积分形式
一、势力场 力场 若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方
向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。 势力场 在力场中，若作用于质点的力所作功仅决定于质点
的始末位置，而与运动路径无关，这种力场称为势力场。
例如： 重力场，弹性力场，万有引力场。
在势力场中质点受到的力称为有势力或保守力。
13
质点系动能定理
[例11-2] 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 ， 杆AB长度为 l ，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线
夹角为θ ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块 A作直线平移，有
TA
=
1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以 A
为基点，则B点速度为
vB = v A + vBA
解：（1）取整个系统为研究对象 （2）受力分析，计算力的功 W12 = mgh （3）运动分析，计算功能 T1 = 0
因 ∑ Fxe = 0，故C点铅垂落下。
C
vC
h
mg mg
A
B
FA
FB
由A、C两点速度方向，可 知A即为杆AC的速度瞬心。
28
质点系动能定理
当铰C落地时
ω AC
=
vC l
,
ω BC
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mi g(zi1 − zi2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= mg(zC1 − zC 2 )
=
1 2
m2 R2 2
+
m2 R2 2
=
3 2
m2 R2 2
设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有 23
质点系动能定理
ω1
=
vC R1
,
ω2
=
vC R2
∴
T2
=
1 4
(2m1
+
3m2 )vC2
（4）应用质点系动能定理
P
T2 − T1 = W12
1 4
(2m1
+
3m2
)vC2
−0= M
s R1
−
2
• 正标量，与速度方向无关； • 量纲与功相同，单位也是焦耳（J）； • 与动量的比较
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
10
质点系动能定理
二、质点系的动能
∑ ？ T =
1 2
mi
vi
2
=
1 2
mv
2 C
vi2 = vi ⋅ vi = vC2 + vi2r + 2vC ⋅ vir x
25
质点系动能定理
[例11-4] 行星齿轮机构 （在水平面内）
已知：动齿轮半径 r ，质量 m1，视 为均质圆盘；曲柄质量 m2 ，长 l ， 作用常力偶矩M。由静止开始转动。
求：曲柄的角速度和角加速度。
（表示为转角ϕ 的函数）
解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析，并计算力的功 系统具有理想约束，内力作功和为零，
质点系动能定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 11 章 质点系动能定理
2014年12月15日Monday
1
质点系动能定理
第11章 质点系动能定理
§11-1 力的功 §11-2 质点系的动能 §11-3 质点系动能定理 §11-4 势能 · 机械能守恒定律 §11-5 动力学普遍定理综合应用 §11-6 本章讨论与小结
盘质量为m2 ，半径为 R。初始时两者静止，下落至图示
位置时杆的角速度为ω0 ，求系统的总动能。
解：杆OA作定轴转动，故有
T杆
=
1 2
(
1 3
m1l
2
)ω02
由盘相对于质心的动量矩
O
ω0
A A
定理，可知盘作平移，故有 ωA = ?
T盘
=
1 2
m2vA2
=
1 2
m2
(ω
0l
)
2
T系统 = T杆 + T盘
d riC
Fi
dϕ
Mi
d rC C
= FR ⋅ d rC + M C ⋅ d ϕ
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
∫ ∫ W12 =
C2 C1
FR
d rC
+
ϕ2 ϕ1
MC
dϕ
力系主矢的功
力系对质心主矩的功
9
质点系动能定理
§11-2 质点系的动能
一、质点的动能 1 mv 2
质点系动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
dW = F ⋅dr = Ft d s = Ft R dϕ ∵ Ft R = M z (F ) = M z
∴ dW = Mz dϕ
当刚体从 ϕ1到ϕ2的转动过程
中力F 所作的功为
∫ W12 =
ϕ2 ϕ1
M
z
dϕ
上式也适用于力偶。 7
质点系动能定理
可见：质点系重力作功仅与质心运动始、末位置的高度 差有关，而与质心运动路径无关。
5
质点系动能定理
2. 弹性力的功
直线弹簧
FF = k−δk (=rk−(rl0−)lr00)
W12
=
k 2
(δ12
−
δ
2 2
)
——δ1和δ2为弹簧变形量 扭转弹簧Fra bibliotekW12
=
k 2
(θ12
−θ22)
可见：弹簧力的功也与运动路径无关。 6
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri = d rC + d riC
d riC θ Fi
dϕ
Mi
d rC C
式中： d riC = M iC ⋅ dϕ
力Fi 作的元功为
d rC —质心无限小位移
dϕ —刚体无限小转角
dWi = Fi ⋅ d ri = Fi ⋅ d rC + Fi ⋅ d riC
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mi
vi2
=
1 2
mvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 2
mivi2
=
1 2
mi
(ωri
)
2
=
1 2
J zω 2
3. 平面运动刚体
T
=
1 2
mvC
2
+
1 2
J
Czω
2
=
1 2
J Pzω 2
12
质点系动能定理
[例11-1] 质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其 另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA= l，圆
19
质点系动能定理
dW = −FA ⋅ drAB
(1) drAB ≠ 0
dW ≠ 0
即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。
例如：变形体的内力； 汽车发动机的内力；
机器中轴和轴承之间的摩擦力。
(2) drAB = 0
dW = 0
即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。
例如： 刚体内力；
其中： Fi ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ MiC ⋅dϕ = M C (Fi ) ⋅ dϕ
8
质点系动能定理
dWi = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
∑ 力系元功：dW = dWi ∑ ∑ = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
=
vC l
T2 =
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
AC
2
+
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
BC
2
=
1 3
mvC
2
（4）应用质点系动能定理，得
1 3
mvC 2
−
0
=
mgh
vC = 3gh
思考：若要求铰C到达地面时的加速度，则能否直接对 上式求导？
思考：若杆AC质量为2m，其它条件不变，则结果如何？
29
质点系动能定理
m2 g
⋅ sinθ
⋅
s
解得
vC = 2
(M − m2 gR1 sinθ )s
R1(2m1 + 3m2 )
24
质点系动能定理
应用动能定理的解题步骤： （1）选取研究对象；（ 一般取整个系统） （2）分析受力，计算力的功；
z 区分主动力与约束力 z 在理想约束情况下约束力不做功 z 考虑内力作功和是否为零 （3）分析运动，计算质点系在起点和终点的动能； （4）应用质点系动能定理建立方程，求解未知量。
1 2
mv22
−
1 2
mv12
=
W12
二、质点系动能定理
——微分形式 ——积分形式