南航理论力学范钦珊PPT第11章 质点系动能定理
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理论力学质点力学课件
7
五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体---原子） 作用量=能量x时间>>h=6.602X10^(-34)（JS）
8
参考书
❖ 郭士堃：《理论力学》上、下册 ❖ H.戈德斯坦（美）：经典力学 ❖ 费恩曼 （Feynman)：《物理学讲义.第一卷） ❖ 汪家訸：分析力学 ❖ 理论力学习题集
18
加速a 度 表 x 示i ： y j z k a x i a y j a z k
加速度分量为：
a x x a y y
a z z
加速率表示：
a ax2 a2y az2
19
20
21
y
径向单位矢量：i
横向单位矢量：j （指向极角的 增加方向） rri
v dr drir irdiO
求 v,a, 。
35
例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。
解：如图,平抛物体的运动方程为：
x v0t
y 1 gt2 2
O
v0
则，速率 v x 2y 2v0 2g2t2
•( x, y)
x
切向加速度
dv
g2t
a
dt
v02 g2t2
y
加速度大小 a x2y2 g
由法向加速度
an a2a2 v2
v2an
自然坐标系
s f (t)
从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程
f(x,y,z)=0。
14
(Displacement, velocity and acceleration)
z
位移 (displacement)：
B
r
r r C
O rA
五、理论力学的适用范围 1.物体运动的速度远少于光速 2.宏观物体（天体---原子） 作用量=能量x时间>>h=6.602X10^(-34)（JS）
8
参考书
❖ 郭士堃：《理论力学》上、下册 ❖ H.戈德斯坦（美）：经典力学 ❖ 费恩曼 （Feynman)：《物理学讲义.第一卷） ❖ 汪家訸：分析力学 ❖ 理论力学习题集
18
加速a 度 表 x 示i ： y j z k a x i a y j a z k
加速度分量为：
a x x a y y
a z z
加速率表示：
a ax2 a2y az2
19
20
21
y
径向单位矢量：i
横向单位矢量：j （指向极角的 增加方向） rri
v dr drir irdiO
求 v,a, 。
35
例 求平抛物体任一时刻t的轨道曲率半径。
解：如图,平抛物体的运动方程为：
x v0t
y 1 gt2 2
O
v0
则，速率 v x 2y 2v0 2g2t2
•( x, y)
x
切向加速度
dv
g2t
a
dt
v02 g2t2
y
加速度大小 a x2y2 g
由法向加速度
an a2a2 v2
v2an
自然坐标系
s f (t)
从运动方程中消去时间 t，就得到轨迹方程
f(x,y,z)=0。
14
(Displacement, velocity and acceleration)
z
位移 (displacement)：
B
r
r r C
O rA
理论力学课件 第十一章动能定理,质点的,以及力的功
∑ ∑ T =
i
1 2
mi
vi2
=
i
1 2
mi
(riω
)2
∑ = 1 ω2 2
i
mi ri 2
=
1 2
JOω 2
11.2 质点和质点系的动能
(3) 平面运动刚体的动能
T
=
1 2
J Pω 2
因为JP＝JC + md 2
d
Cω
P
所以
T
=
1 2
(JC
+
md 2 )ω 2
=
1 2
JCω 2
+
1 2
m(d
⋅ω)2
z2
)
z1 O
x
mg M2 y z2
重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心 降低为正,重心升高为负。
重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的 路径无关。
常见力的功
2) 弹力的功
弹性力的大小与其变
形量δ 成正比。设弹 A1
簧原长为l0 , 则弹力 δ
的功为
1
W12
=
1 2
k (δ12
T = 1 mv2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。
2. 质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即
T
=
∑
1 2
mi vi2
11.2 质点和质点系的动能
3、刚体的动能 (1) 平动刚体的动能
T
=
∑
1 2
mi vi2
=
1 2
v2
∑
mi
=
1 2
11动量定理
理论力学电子教程
第十一章 动量定理
例11-2 在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg， 面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方 向走动0.5m 。若船重 M ＝150kg ，求船的位移。水的阻力 y 不计。 甲 乙 尾 首 【解】 x 因无水平力 水平方向质心守恒， 又初始静止
（6）
（7）
又 t 0， 0，x A 0 ，代入（7）式得 C 0， 由此存在
ml ml xA sin sin( 0 sin t ) mM mM
理论力学电子教程
第十一章 动量定理
例11-4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量 均为 m，OA杆的长度为 l1，AB杆的长度为 l 2 ，轮的半径为 R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为 ，则整个系统的动量为多少？
式中 mv——质点动量；矢量，其大小等于质点的 质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位 kg m / s
或N s 。
写成微分形式
d (mv) Fdt
（11－2）
这是微分形式的质点动量定理
Fdt 称之为冲量。
⒉ 质点动量定理的积分形式
在t1与t2时刻， m v2 m v 1
t2
t1
理论力学电子教程
第十一章 动量定理
mv2 z mv z Fz dt S z 1
t1
t2
mv2 y mv y Fy dt S y 1
t1
t2
（11－5）
mv2 x mv x Fx dt S x 1
t1
t2
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零 ，F 0 ， 则 有 m v2 m v 0 ，则质点动量保持不变。 1 若 Fx 0，则有 mv2 x mv x 0 。 1
《理论力学》课件 第11章
ds Rd
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
理论力学课件 动能定理
z m2 m3 C rC O x' x 而
i
mi m1 y
ri
y'
mn
1 2 1 2 T＝ mvC mi vri 2 2
d m v m i ri dt i i 0
质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相 对于质心平移参考系运动的动能之和。
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 4
第13章
动 能 定 理
动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问 题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不 仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机 械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运 动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的 联系，这是一种能量传递的规律。
2012年5月3日 Thursday
Fx =0， Fy =0， Fz =-mg
F mgk
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
对于质点系
2012年5月3日 Thursday
W mg ( z C 1 z C 2 )
理论力学CAI 11
重力的功与重心运动的高度差成正比，与路径无关。
② 弹性力的功
Jz——刚体对轴的转动惯量
2012年5月3日 Thursday 理论力学CAI 3
z'
柯尼希（Koenig） 定理
质点系动能计算
1 1 T mi vi2 mi (vC vri ) 2 2 2 1 1 2 2 mi vC mi vri mi (vC vri ) 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri vC mi vri 2 2 1 2 1 2 mvC mi vri 2 2
第11章 质点系动能定理——【理论力学课件】
⋅
(
mvr )
T
=
1 2
MvC 2
+ TC r
——柯尼希定理
注意：这一结论仅以质心为基点时正确。 12
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mv2
=
1 2
MvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 mv2 = 2
1 m(ωr)2
2
=
1 2
J
zω
2
3. 平面运动刚体T=Fra bibliotek1 2
MvC 2 +
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mg(z1 − z2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= Mg (zC1 − zC 2 )
二、质点系的动能
z
z′
？ ∑ T =
1mv 2 2
=
1 2
Mv
2 C
C y′
rC x′ r′
v m
r
v2 = v ⋅ v = vC2 + vr2 + 2vC ⋅ vr x
O
y
∑ T =
1 2
m(vC2
+
vr2
+
2vC
⋅vr )
v = vC + vr
∑ ∑ =
理论力学第十一章 动能定理[精]
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解:
动能: T m 2 v 2 A m 220 2 2 m 3 v c 2 2 1 r 2 2 m 3c 2 2 1 m 2 v B 2
功Cr:W xB g xCs2m 3 i C rx n A 0 M 0r 0 m 3 0Rg c xAm 2 x g PB m x vA A cg 3 o Mf s x 0 s
vB
B
§11-3 质点系动能定理
i 第 个质点
分别乘以 vid
mi
dvi
dt
tdr
Fi
m iv id v i F id r
d(12mivi2)dWi 叠加
d(12mivi2)dWi
d(12mivi2)dW i
dTdWi
质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和。
O
v
P
M v
dr M F
y
W s(F xd xF yd yF zd)z
M2 M1
dW
x
FR Fi
W F R d s F 1 d s ... ..W .i .
S
S
自然坐标形式 ：
WM M 1 2F drM M 1 2Fdrcos dr ds
Jo
1 3
P g
l2
Fy
Fx
（1）式两边对时间求导
Ql2 lPsinJ0 Q gl2
900
QP 2 sin 3 1P glQ gl
P2Q3g P3Q 2l
例11-9：已知：mA=m，mB=m/2，mC=m/3，鼓轮的廻转半径为， 质量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，C轮的半径为r，物体A 接触的摩擦系数为fs，求物体A下落时的速度。
理论力学-11-动能定理及其应用ppt课件
M k
其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ 2时所 作的功为 12 12 2 W k dk k 1 2 1 2 1 2 2
11.1 力的功 3、内力的功
内力作功的情形 日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功； 弹簧力作功等等；摩擦力做功损耗能量。 刚体的内力不作功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。
11.1 力的功
W F d r F dx + F dy + F dz 12 i i x y z W
M 2 M 2 M 2 M 1 M 1 M 1
由此得到了两个常用的功的表达式: 重力的功 对于质点：
z
M1 z1
F F 0 x y
重力的元功为
F P mg z=
r = k ( r l ) d r 0 r
r0——沿位矢方向的单位矢量 A k 2 2 2 W W r l r l 12 1 0 2 0 A 1 2
1 、 2 ——弹簧在初始位置和最终位置的变形量 。
k 2 2 W （ ） 12 1 2 2
vO O
C*
FN
W F d r F v d t 0 F C C
约束力为无功力的约束称为理想约束
11.1 力的功
总结： 内力不能改变质点系的动量和动量矩，但 它可能改变质点系的能量； 外力能改变质点系的动量和动量矩，但不 一定能改变其能量。
第11章 动能定理及其应用
11.2 质点与质点系的动能
弹性力作的功只与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。
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§11-4 势能 · 机械能守恒定律
一、势力场 力场 若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方
向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。 势力场 在力场中，若作用于质点的力所作功仅决定于质点
的始末位置，而与运动路径无关，这种力场称为势力场。
例如： 重力场，弹性力场，万有引力场。
在势力场中质点受到的力称为有势力或保守力。
13
质点系动能定理
[例11-2] 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 ， 杆AB长度为 l ，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线
夹角为θ ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块 A作直线平移，有
TA
=
1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以 A
为基点，则B点速度为
vB = v A + vBA
解：（1）取整个系统为研究对象 （2）受力分析，计算力的功 W12 = mgh （3）运动分析，计算功能 T1 = 0
因 ∑ Fxe = 0，故C点铅垂落下。
C
vC
h
mg mg
A
B
FA
FB
由A、C两点速度方向，可 知A即为杆AC的速度瞬心。
28
质点系动能定理
当铰C落地时
ω AC
=
vC l
,
ω BC
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mi g(zi1 − zi2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= mg(zC1 − zC 2 )
=
1 2
m2 R2 2
+
m2 R2 2
=
3 2
m2 R2 2
设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有 23
质点系动能定理
ω1
=
vC R1
,
ω2
=
vC R2
∴
T2
=
1 4
(2m1
+
3m2 )vC2
（4）应用质点系动能定理
P
T2 − T1 = W12
1 4
(2m1
+
3m2
)vC2
−0= M
s R1
−
2
• 正标量，与速度方向无关； • 量纲与功相同，单位也是焦耳（J）； • 与动量的比较
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
10
质点系动能定理
二、质点系的动能
∑ ？ T =
1 2
mi
vi
2
=
1 2
mv
2 C
vi2 = vi ⋅ vi = vC2 + vi2r + 2vC ⋅ vir x
25
质点系动能定理
[例11-4] 行星齿轮机构 （在水平面内）
已知：动齿轮半径 r ，质量 m1，视 为均质圆盘；曲柄质量 m2 ，长 l ， 作用常力偶矩M。由静止开始转动。
求：曲柄的角速度和角加速度。
（表示为转角ϕ 的函数）
解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析，并计算力的功 系统具有理想约束，内力作功和为零，
质点系动能定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 11 章 质点系动能定理
2014年12月15日Monday
1
质点系动能定理
第11章 质点系动能定理
§11-1 力的功 §11-2 质点系的动能 §11-3 质点系动能定理 §11-4 势能 · 机械能守恒定律 §11-5 动力学普遍定理综合应用 §11-6 本章讨论与小结
盘质量为m2 ，半径为 R。初始时两者静止，下落至图示
位置时杆的角速度为ω0 ，求系统的总动能。
解：杆OA作定轴转动，故有
T杆
=
1 2
(
1 3
m1l
2
)ω02
由盘相对于质心的动量矩
O
ω0
A A
定理，可知盘作平移，故有 ωA = ?
T盘
=
1 2
m2vA2
=
1 2
m2
(ω
0l
)
2
T系统 = T杆 + T盘
d riC
Fi
dϕ
Mi
d rC C
= FR ⋅ d rC + M C ⋅ d ϕ
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
∫ ∫ W12 =
C2 C1
FR
d rC
+
ϕ2 ϕ1
MC
dϕ
力系主矢的功
力系对质心主矩的功
9
质点系动能定理
§11-2 质点系的动能
一、质点的动能 1 mv 2
质点系动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
dW = F ⋅dr = Ft d s = Ft R dϕ ∵ Ft R = M z (F ) = M z
∴ dW = Mz dϕ
当刚体从 ϕ1到ϕ2的转动过程
中力F 所作的功为
∫ W12 =
ϕ2 ϕ1
M
z
dϕ
上式也适用于力偶。 7
质点系动能定理
可见：质点系重力作功仅与质心运动始、末位置的高度 差有关，而与质心运动路径无关。
5
质点系动能定理
2. 弹性力的功
直线弹簧
FF = k−δk (=rk−(rl0−)lr00)
W12
=
k 2
(δ12
−
δ
2 2
)
——δ1和δ2为弹簧变形量 扭转弹簧Fra bibliotekW12
=
k 2
(θ12
−θ22)
可见：弹簧力的功也与运动路径无关。 6
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri = d rC + d riC
d riC θ Fi
dϕ
Mi
d rC C
式中： d riC = M iC ⋅ dϕ
力Fi 作的元功为
d rC —质心无限小位移
dϕ —刚体无限小转角
dWi = Fi ⋅ d ri = Fi ⋅ d rC + Fi ⋅ d riC
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mi
vi2
=
1 2
mvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 2
mivi2
=
1 2
mi
(ωri
)
2
=
1 2
J zω 2
3. 平面运动刚体
T
=
1 2
mvC
2
+
1 2
J
Czω
2
=
1 2
J Pzω 2
12
质点系动能定理
[例11-1] 质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其 另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA= l，圆
19
质点系动能定理
dW = −FA ⋅ drAB
(1) drAB ≠ 0
dW ≠ 0
即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。
例如：变形体的内力； 汽车发动机的内力；
机器中轴和轴承之间的摩擦力。
(2) drAB = 0
dW = 0
即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。
例如： 刚体内力；
其中： Fi ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ MiC ⋅dϕ = M C (Fi ) ⋅ dϕ
8
质点系动能定理
dWi = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
∑ 力系元功：dW = dWi ∑ ∑ = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
=
vC l
T2 =
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
AC
2
+
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
BC
2
=
1 3
mvC
2
（4）应用质点系动能定理，得
1 3
mvC 2
−
0
=
mgh
vC = 3gh
思考：若要求铰C到达地面时的加速度，则能否直接对 上式求导？
思考：若杆AC质量为2m，其它条件不变，则结果如何？
29
质点系动能定理
m2 g
⋅ sinθ
⋅
s
解得
vC = 2
(M − m2 gR1 sinθ )s
R1(2m1 + 3m2 )
24
质点系动能定理
应用动能定理的解题步骤： （1）选取研究对象；（ 一般取整个系统） （2）分析受力，计算力的功；
z 区分主动力与约束力 z 在理想约束情况下约束力不做功 z 考虑内力作功和是否为零 （3）分析运动，计算质点系在起点和终点的动能； （4）应用质点系动能定理建立方程，求解未知量。
1 2
mv22
−
1 2
mv12
=
W12
二、质点系动能定理
——微分形式 ——积分形式
一、势力场 力场 若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方
向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。 势力场 在力场中，若作用于质点的力所作功仅决定于质点
的始末位置，而与运动路径无关，这种力场称为势力场。
例如： 重力场，弹性力场，万有引力场。
在势力场中质点受到的力称为有势力或保守力。
13
质点系动能定理
[例11-2] 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 ， 杆AB长度为 l ，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线
夹角为θ ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块 A作直线平移，有
TA
=
1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以 A
为基点，则B点速度为
vB = v A + vBA
解：（1）取整个系统为研究对象 （2）受力分析，计算力的功 W12 = mgh （3）运动分析，计算功能 T1 = 0
因 ∑ Fxe = 0，故C点铅垂落下。
C
vC
h
mg mg
A
B
FA
FB
由A、C两点速度方向，可 知A即为杆AC的速度瞬心。
28
质点系动能定理
当铰C落地时
ω AC
=
vC l
,
ω BC
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mi g(zi1 − zi2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= mg(zC1 − zC 2 )
=
1 2
m2 R2 2
+
m2 R2 2
=
3 2
m2 R2 2
设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有 23
质点系动能定理
ω1
=
vC R1
,
ω2
=
vC R2
∴
T2
=
1 4
(2m1
+
3m2 )vC2
（4）应用质点系动能定理
P
T2 − T1 = W12
1 4
(2m1
+
3m2
)vC2
−0= M
s R1
−
2
• 正标量，与速度方向无关； • 量纲与功相同，单位也是焦耳（J）； • 与动量的比较
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
10
质点系动能定理
二、质点系的动能
∑ ？ T =
1 2
mi
vi
2
=
1 2
mv
2 C
vi2 = vi ⋅ vi = vC2 + vi2r + 2vC ⋅ vir x
25
质点系动能定理
[例11-4] 行星齿轮机构 （在水平面内）
已知：动齿轮半径 r ，质量 m1，视 为均质圆盘；曲柄质量 m2 ，长 l ， 作用常力偶矩M。由静止开始转动。
求：曲柄的角速度和角加速度。
（表示为转角ϕ 的函数）
解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析，并计算力的功 系统具有理想约束，内力作功和为零，
质点系动能定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 11 章 质点系动能定理
2014年12月15日Monday
1
质点系动能定理
第11章 质点系动能定理
§11-1 力的功 §11-2 质点系的动能 §11-3 质点系动能定理 §11-4 势能 · 机械能守恒定律 §11-5 动力学普遍定理综合应用 §11-6 本章讨论与小结
盘质量为m2 ，半径为 R。初始时两者静止，下落至图示
位置时杆的角速度为ω0 ，求系统的总动能。
解：杆OA作定轴转动，故有
T杆
=
1 2
(
1 3
m1l
2
)ω02
由盘相对于质心的动量矩
O
ω0
A A
定理，可知盘作平移，故有 ωA = ?
T盘
=
1 2
m2vA2
=
1 2
m2
(ω
0l
)
2
T系统 = T杆 + T盘
d riC
Fi
dϕ
Mi
d rC C
= FR ⋅ d rC + M C ⋅ d ϕ
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
∫ ∫ W12 =
C2 C1
FR
d rC
+
ϕ2 ϕ1
MC
dϕ
力系主矢的功
力系对质心主矩的功
9
质点系动能定理
§11-2 质点系的动能
一、质点的动能 1 mv 2
质点系动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
dW = F ⋅dr = Ft d s = Ft R dϕ ∵ Ft R = M z (F ) = M z
∴ dW = Mz dϕ
当刚体从 ϕ1到ϕ2的转动过程
中力F 所作的功为
∫ W12 =
ϕ2 ϕ1
M
z
dϕ
上式也适用于力偶。 7
质点系动能定理
可见：质点系重力作功仅与质心运动始、末位置的高度 差有关，而与质心运动路径无关。
5
质点系动能定理
2. 弹性力的功
直线弹簧
FF = k−δk (=rk−(rl0−)lr00)
W12
=
k 2
(δ12
−
δ
2 2
)
——δ1和δ2为弹簧变形量 扭转弹簧Fra bibliotekW12
=
k 2
(θ12
−θ22)
可见：弹簧力的功也与运动路径无关。 6
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri = d rC + d riC
d riC θ Fi
dϕ
Mi
d rC C
式中： d riC = M iC ⋅ dϕ
力Fi 作的元功为
d rC —质心无限小位移
dϕ —刚体无限小转角
dWi = Fi ⋅ d ri = Fi ⋅ d rC + Fi ⋅ d riC
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mi
vi2
=
1 2
mvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 2
mivi2
=
1 2
mi
(ωri
)
2
=
1 2
J zω 2
3. 平面运动刚体
T
=
1 2
mvC
2
+
1 2
J
Czω
2
=
1 2
J Pzω 2
12
质点系动能定理
[例11-1] 质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其 另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA= l，圆
19
质点系动能定理
dW = −FA ⋅ drAB
(1) drAB ≠ 0
dW ≠ 0
即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。
例如：变形体的内力； 汽车发动机的内力；
机器中轴和轴承之间的摩擦力。
(2) drAB = 0
dW = 0
即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。
例如： 刚体内力；
其中： Fi ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ MiC ⋅dϕ = M C (Fi ) ⋅ dϕ
8
质点系动能定理
dWi = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
∑ 力系元功：dW = dWi ∑ ∑ = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
=
vC l
T2 =
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
AC
2
+
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
BC
2
=
1 3
mvC
2
（4）应用质点系动能定理，得
1 3
mvC 2
−
0
=
mgh
vC = 3gh
思考：若要求铰C到达地面时的加速度，则能否直接对 上式求导？
思考：若杆AC质量为2m，其它条件不变，则结果如何？
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质点系动能定理
m2 g
⋅ sinθ
⋅
s
解得
vC = 2
(M − m2 gR1 sinθ )s
R1(2m1 + 3m2 )
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质点系动能定理
应用动能定理的解题步骤： （1）选取研究对象；（ 一般取整个系统） （2）分析受力，计算力的功；
z 区分主动力与约束力 z 在理想约束情况下约束力不做功 z 考虑内力作功和是否为零 （3）分析运动，计算质点系在起点和终点的动能； （4）应用质点系动能定理建立方程，求解未知量。
1 2
mv22
−
1 2
mv12
=
W12
二、质点系动能定理
——微分形式 ——积分形式