7.1 平面向量的概念(公开课)

动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 数量（标量） 数量 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 向量（矢量） 向量 如力、速度、位移等． 向量的大小叫做向量的模．向量a, 模 uuu r uuu r AB 的模依次记作 a ， ． AB 模为零的向量叫做零向量 零向量．记作0， 零向量 零向量的方向是不确定的． 模为1的向量叫做单位向量． 单位向量． 单位向量
2.下列说法正确的是 ( A ) 下列说法正确的是 A) 方向相同或相反的向量是平行向量 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是 . 零向量是0 C)长度相等的向量叫做相等向量 长度相等的向量叫做相等向量. 长度相等的向量叫做相等向量 D) 共线向量是在一条直线上的向量 共线向量是在一条直线上的向量. 3.已知 、b是任意两个向量 下列条件 已知a、 是任意两个向量 下列条件: 是任意两个向量,下列条件 已知 的方向相反; ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反 与 的方向相反 都是单位向量. ④a=0或b=0; 或 ⑤ a与b都是单位向量 与 都是单位向量 其中是向量a与 平行的有 平行的有_____. 其中是向量 与b平行的有 ①③
N B E K A H L C D P F K G
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
M
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 平 行的向量． 行的向量 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定： 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
Z Q
A B
√
C
D
3.向量的关系： 3.向量的关系： 向量的关系
平行向量: 方向相同或相反的非零向量. 平行向量 方向相同或相反的非零向量 r r r 表示为： 表示为： a // b // c 零向量与任一向量平行.
L
r a
r b
r c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 共线向量 任一组平行向量都可平移到同一直线上 即平行向量也叫做共线向量. 即平行向量也叫做共线向量
（4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 ）存在与任何向量都平行的向量吗？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 ）若两个向量在同一直线上， 什么向量？ 什么向量？ 平行向量（共线向量） 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？ ）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同 （7）共线向量一定在同一直线上． × ）共线向量一定在同一直线上．
B A
O
C F
uuu uuu uuuv v v 有CB, FE, DO.
D
E
如下图,与AB有几个？与AB长度相等的 有几个？
B
相等的有 7个 个
A
长度相等 的有9个 的有 个
练习3: 练习
1、下列命题正确的是 （A）共线向量都相等 （B）单位向量都相等 （C）平行向量不一定是共线向量 （D）零向量与任一向量平行 ( D )
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
uuu r （1）找出与向量 DA 相等的向量；
uuur （2）找出向量 DC 的负向量；
D O A 图7－5 7 5 B
C
uuu r （3）找出与向量 AB 平行的向量．
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东
A b a a A
南 b b A a A a b 100km.
B M
E K
A H L C D P F K G
与非零向量 的模相等，且方 向相百度文库的向量叫 做向量的负向量， 记作 －a． 规定： 规定：零向 量的负向量仍为 零向量．
Z Q
图7−4
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
uuu r （1）找出与向量 DA 相等的向量；
相等向量
r r 长度相等且方向相同的向量.表示为 表示为： 长度相等且方向相同的向量 表示为： a = b r a
b
负向量(相反向量 负向量 相反向量) 相反向量
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作 －a．
a
−a
巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
B
a
A
巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
N B M K A H L C D P F K G E
Z Q
图7−４
动脑思考 探索新知
uuu r
uuuu r
观察图7−4中的向量 AB 与 MN ，所在的直线平行，两个向量的
uuu r uuu r CD 与 PQ 所在的直线平行，两个向量的方向相反． 方向相同；向量
Z Q
图7−4
动脑思考 探索新知
r uuu uuuu r 图7−4中的平行向量 AB与 MN ，方向相同，模相等；平行 uuuu uuu r r 向量GH 与TK ，方向相反，模相等．
N
向量只有 大小与方向两 个要素．当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时，称 向量a与向量b 相等，记作a 相等 =b．
数量 向量
距离、身高、 距离、身高、 质量、时间、 质量、时间、 面积、 面积、温度
位移、 位移、力、 速度
Ｆ
三要素：大小，
力方向
Ｆ
，作用点
S
质点做机械运动，从初位置 到末位置的有向线段叫做位移。
速度：物 体运动的 位移与所 用的时间 的比值
Ｖ
二.向量的表示
规定了起点、 线段) 用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段 规定了起点 方向、
始点 终点 始点
r a
终点
A
B
用字母表示
始点
AB, 或
终点
r a
三. 向量的有关概念
1.向量的大小 模): 向量 AB 向量的大小(模 向量的大小 r (模)表示： | AB | 或 | a | 表示： 模 表示
r 或 a 的大小
向量是不能比较大小的,但 向量是不能比较大小的 但 向量的模是可以进行大小比较的. 向量的模是可以进行大小比较的
N B M K A H L C D P F K G E
Z Q
图7−４
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： ．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． ）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行． ）不相等的向量一定不平行．
× ×
零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ ）与零向量相等的向量是什么向量？
平面向量的概念及表示
学校：鹤山职中 教师：麦 群 超
第七章 平面向量
7.１ 平面向量的概念
小组探究 猫与老鼠哪个重?
一只猫的重量是1.5千克 一只老鼠的重量是 一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是 千克, 0.2公斤,谁更重? 公斤, 公斤 谁更重?
猫能捉住老鼠吗?
• 老鼠由 向东北方向以每秒 米的速度逃窜 老鼠由A向东北方向以每秒 米的速度逃窜, 向东北方向以每秒6米的速度逃窜 而猫由A向正南方向每秒 米的速度追. 向正南方向每秒10米的速度追 而猫由 向正南方向每秒 米的速度追 • 问猫能否抓到老鼠 问猫能否抓到老鼠? 速度是既有大小又有方向的量
a
b
r r | a |>| b |
r r a >b
√ ×
2.两个基本向量： 2.两个基本向量： 两个基本向量 零向量: 模为零的向量(方向不确定 方向不确定). 零向量 模为零的向量 方向不确定 表示： 表示：
r 0,
r | 0 |= 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量 个单位长度的向量. 单位向量 模为 个单位长度的向量
（1 ）错 （4 ）对
（2 ）错 （5 ）错
（3 ）错
如图,设 是正六边形 是正六边形ABCDEF的中心 分别 的中心,分别 例2:如图 设O是正六边形 如图 的中心 写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向 量 u u ur B A 与 O A相 等 的 向 量 有 u u uu u u ur r D O,C B.
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
uuu r （1）找出与向量 DA 相等的向量；
uuur （2）找出向量 DC 的负向量；
D O A 图7－4 7 4 B
C
uuu r （3）找出与向量 AB 平行的向量．
解 由平行四边形的性质，得 uuu uuu r r （1） CB = DA；
④
课堂小结: 课堂小结
1、向量定义：既有大小又有方向的量。 向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
→
A
B
→
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长 向量的长度： 度
| AB |
（或称为模）。记作 或称为模）。记作 ）。 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 零向量：长度为0的向量叫做零向量， → 作 0 手写体）。 （手写体）。
uuuv 与 O B相 等 的 向 量 有 C uuur uuur E O, D C. uuur 与 O C相 等 的 向 量 有 u u ur u u ur FA,E D.
O
F
D
E
练习2: 练习 如图
问题:(1) OA 与 FE 问题 相等吗? 相等吗 (2) OB 与 AF 相等吗? 相等吗 (3) 与 OA 长度相等 的向量有几个? 的向量有几个 12 (4) 与 OA 共线的 向量有哪几个? 向量有哪几个
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 数量（标量） 数量 例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 向量（矢量） 向量
如力、速度、位移等．
请说出下列一些量那些是数量那些是向量? 请说出下列一些量那些是数量那些是向量 距离、位移、身高、 距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度. 质量、时间、速度、面积、温度
uuu r uuur uuur uuur CD （2） BA = − DC， = − DC； uuu uuu uuur uuu uuur uuu r r r r DC CD （3） BA // AB， // AB， // AB．
练习 ：判断下列各命题是否正确？ 1 u u r r u uu r r ,则 （1） = b , 则a = b; a (2)若 (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； uuur uuur CD,则 ABCD是 （3）若AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形； u u u r u r r r r r c,则 （4）若a = b,b = c, 则a = c; u r u r u u r r r r (5)若a//c,b//c,则 (5)若a//c,b//c, 则a//b
uuur （2）找出向量 DC 的负向量；
D O A 图7－5 7 5 B
C
uuu r （3）找出与向量 AB 平行的向量．
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 相等向量： 做相等向量。 做相等向量。 注意： 零向量与零向量相等。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 任意两个相等的非零向量， 用一条有向线段来表示， 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 无关。 a
b
a=b
图7−4
动脑思考 探索新知
下图中，哪些向量是共线向量？
N B E TK A H L C D P F K G
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
M
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 平 行的向量． 行的向量 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定： 规定：零向 量与任何一个向 量平行．