集合论部分(板书)

第一部分集合论

第一章集合的基本概念和运算

第一节集合的基本概念

1-1-1 集合

1.定义:集合，元素及成员：可以把集合的内涵概括成一点作为定

义，即至少具有一个共同性质的一些事物构成的的集体，叫

集合。把这些事物叫做该集合的元素与成员。

例如：自然数集合 N；整数集合 Z;有理数集合 Q;实数集合 R;虚数集合 C;26

个英文字母集合 E；等等。

2.集合的表示方法

（1）列元素法。

将集合所有元素列于一个花括号内。这里，元素可以是集合。例如：集合 A = {1，2，3，5，9}；

集合 B = { 1，3，2，1，8，4 ,{1，2}，{3}，4，5 }。

（2）谓词表示法。

如同汉语中的谓语描述主语的性质一样，集合论中用谓语概括集合中元素的性质。

例如：用 R 表示实数集合，则集合 B ={ x│x ∈R 且 x2 – 4 = 0}；

所以，集合 B 又可以如下表示成列元法，即 B = { -2，2 }。

类似，也可以通过 Z 中的整数 k 表示奇数集合。如此等等。

于是我们说，集合的两种表达形式可以相互变换。

3.从上述例子看出集合的构造特点：

（1）集合必须用花括号将其元素括起来（空集合除外，因为空集内没有元素）；

（2）集合的元素之间用逗号分开；

（3）元素在集合中可以重复出现，相同者只一个有效；

（4）集合元素在集合内的位置无序；

（5）集合的元素可以是集合。

要点 A)*****元素与集合的关系*****

集合元素与集合之间的关系是属于或不属于。

例1: 1 属于自然数 N，记做 1 ∈N；而 -1 不属于 N，记做–1 不∈ N。

例2: A ={1,3,{2},4,},则 2 ∈A ?, {2} ∈A ?

1-1-2 子集和幂集

1.以下给出关于子集合的诸定义

（1）子集：设 A、B 为集合，如果集合 A 的每个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 为

B 的子集合，简称子集。

（2）集合相等：设 A、B 为集合，如果集合 A 的每个元素都是集合 B 中的元素，则称

A 为

B 的子集合。同时，如果集合 B 的每个元素都是集合 A 中的元素，则称 B 为

A 的子集合，则称集合 A 与集合

B 相等。

（3）真子集：设 A、B 为集合，如果集合 A 的每个元素都是集合 B 中的元素，且集合

B 中的元素至少有一个不在集合 A 内，则称 A 为 B 的真子集。

（4）n 元集合的 m 元子集：若集合 A 含有 n 个元素，则称其为 n 元集合。他的每个子集含有 m 个元素，称为他的 m 元子集，这里，m = 0，1，2，……，n。

一个 n 元集合共有 2n个子集。于是，有下面的幂集定义:

（5）幂集：设 A 为集合，将 A 的所有子集构成的集合叫 A 的幂集，记做 P（A）。

例 1-1 A = { 1，2，3 } 为一个三元集合，他可以有如下几种子集合

0 元子集，即空集合：Ø；

1 元子集：{ 1 }，{

2 }，{

3 }；

2 元子集：{ 1，2 }，{ 1，

3 }，{ 2，3 }；

3 元子集：{ 1，2，3 }。

例 1-2 幂集计算

（a）A = Ø，则

P（A）={ Ø }；

（b）B = { Ø }，则

P（B）={ Ø，{ Ø }}；

(c) C={1,2,3},则

P(C)= {所有子集}.

（6）空集：不含任何元素的集合叫空集，记做Ø。也即某集合的 0 元子集，已如上两例。再如：集合 B = { x│x ∈R 且 x2 + 1= 0 }。因为方程 x2 + 1 = 0 的解为-1 的两个平方根，所以无实数解，即集合 B 为空集，即 B = Ø。

按我们上述定义，空集是 0 元集合，是任何集合的 0 元子集。所以说，

空集是一切集合的子集。

要点 B)*****集合与集合之间的关系*****

1）集合与集合间的包含关系。若集合 A 是集合 B 的子集，这时称 A 与 B 的关系为 A⊆B 或 B⊆A，记做 A⊆B。按定义，显然有 A ⊆ A 和 B ⊆ B 等。2）若集合 A 是集合 B 的真子集，记做 A⊂B。

显然有 N ⊆ Z，Z ⊆ Q，Q ⊆ R，R ⊆ C。

3）某集合作为另一集合的元素，则集合与集合也具有隶属关系。

设:A = {{a}，b，c}，则有{a}∈A 这种隶属关系，虽然 {a} 是集合。

又,集合 A 的幂集 P（A）中的每个元素都隶属于 P（A），而每个元素又都是集合。4）全集。一个具体问题的研究中，所涉及的集合都是某集合的子集，则称该集合为全集，记做 E 或 U。

例如，北大应用文理学院计算机系二年级学生都修离散数学课。这里，我们用 A，B，C 分别表示计算机系学生，学院二年级学生，修离散数学学生集合，则全集 E 自然应是应用文理学院。

显然，全集具有相对性。就是说，不同的问题有不同的全集。

空集定理：空集是唯一的。

采用反证法：假设存在两个空集Ø

1和Ø

2

，因为空集是任何集合的子集，必有Ø

1⊆Ø 2

和Ø

2⊆Ø 1；又根据集合相等的定义有Ø 1 = Ø 2 。

第二节集合的基本运算

设 A，B，C 为任意集合，在两集合之间可以有并、交、(相对,绝对)补、(对称)差运算. 1-2-1 集合的五种基本运算定义

1.并集：A∪B = {x│x∈A 或 x ∈B}。

例 1-4 集合的并运算

（1）A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，A ∪ B ={1，2，3，4，5，6}；

2.交集：A∩B = {x│x∈A 且 x∈B}。

两集合的交运算产生的集合中的元素，同时属于两者，所以只能取相交部分。

例 1-5 集合的交运算

（1）A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，A ∩ B = Ø；

（2）A ={ 计算机系全体学生}，B ={全校一年级学生}，

A ∩

B ={计算机系一年级学生}；

3.相对补集：A－B = {x│x∈A 且 x 不∈B }。

相对补集又叫差集，即从 A 中扣除与B 相交部分。若 A，B 两集合无相交部分，则结果等于左边 A，说明 A－B 不等于 B－A，相对补运算不满足交换律。

例 1-6 集合的相对补运算

（1）A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，A－B ={1，2，3}= A；

（2）A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，B－A ={4，5，6}= B；

4.绝对补集：E 为全集，A 被 E 包含，A 的绝对补集~A 定义为全集与

集合 A 的差集，即

～A = E－A = {x│x∈E 且 x不∈A}，即从 E 中扣除 A。

5.对称差集：A⊕B =（A－B）∪（B－A）即并运算的对称两边是两个集合相互做差运算，这与名称相对应，便于记忆。但是，对称差集运算的另一个定义更便于理解，即

A⊕B = （A ∪ B）－（A ∩ B），即从A，B 两集合中取消相交部分。

例 1-7 集合的对称差运算

（1）A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，A ⊕ B ={1，2，3，4，5，6}；

（2）A ={1，2，3}，B ={3，4，5}，A ⊕ B ={1，2，4，5}；

1-2-2 集合的并、交、补和对称差五种运算的文氏（John Venn）图表示

文氏图的最大优点是形象，直观。通过文氏图进行集合运算和运算公式的证明非常方便。

遇到三种以上集合运算时，必须明确运算次序：绝对补优先；其余四种优先级相等。

需要提前的集合运算用括号括起来。总体算式中，括号最优先，如同算术规则一样。

关于集合运算结果的性质，还有几个重要结论，无需加以证明，只需给以分析，因为其正确性是显而易见的。对于这些等式,要求:理解,承认,会用.

例如:

（1）（A ∩B）⊆ A；（A ∩ B）⊆ B。就是说（A ∩B）必是 A 或 B 的子集合。（2）A ⊆（A ∪ B），B ⊆（A ∪ B）。就是说集合 A，B 必定是（A∪B）的子集。