微积分 第九章 第四节 幂级数

性质 1 性质 2
S( x) 在 an xn 的收敛域 D 内连续. n0
S( x) 在 an x n 的收敛域 D 内可积,且有逐 n0
项积分公式：
x
x
S(x)dx (
0
0 n0
an xn1 ，
n0 n 1
an xn )dx
x 0
an
x
n
n0
且收敛半径仍为R.
dx
21
性质 3 S( x) 在( R, R) 内可导,且有逐项求导公式：
lim | an1 | n | an |
|
x
|
0
1,
an
级数 an xn (绝对) 收敛 . 收敛半径 R ;
n0
(3) 如果 , 则对 x 0 ,
lim
n
| |
an1 xn1 an1 xn1
| |
lim
n
| an1 | | an |
|
x
|
,
级数 an xn 发散，收敛半径 R 0. n0
22
例6 求 (n 1)xn在1，1的和函数.
n1
解 设 s( x) (n 1)xn
n1
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则
x
s( x)dx
xn1
x
x 1,1
0
n1
1 x
s( x)
x 1
x
1
1
x2
x 1,1
例 7 求级数 (1)n1 x n 的和函数.
n1
n
解 显然，级数的收敛域为（–1，1]
s( x) (1)n1 xn ,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
故收敛域为(0,1].
收敛
例5
求幂级数
n1
x 2n1 2n
的收敛域.
解
级数为 x 2
x3 22
x5 23
缺少偶次幂的项
直接应用达朗贝尔判别法，
x 2n1
lim | un1( x) | lim
n un ( x)
n
2n1 x 2n1
3
例1
求级数
(1)n (
1
)n的收敛域.
n1 n 1 x
解
(2)
当 1 1, |1 x|
|1
x | 1,
即 2 x 0 时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0 或 x 2 ,
当 x 0 时 , 级数 (1)n 收敛;
n1 n
当 x 2 时 , 级数 1
第四节 幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义： 设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在 I R 上的
函数,则 un ( x) u1( x) u2 ( x) un ( x)
n1
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
2
例1
求级数
(1)n (
1
)n的收敛域.
n1 n 1 x
解 由达朗贝尔判别法，
| un1( x) | n 1 1 (n ) | un ( x) | n 1 | 1 x | | 1 x |
(1) 当 1 1, | 1 x | 1,
|1 x|
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛.
例1
一般，
n0
np
,
R lim | an a n
n1
(n 1) p
| lim n
np
1，
若 p 1 , 收敛域为[1, 1] ； 若0 p 1 , 收敛域为[1, 1) ；
若 p 0 , 收敛域为(1, 1) .
15
xn
例2 n0 n !
1 解 lim
n (n 1) !
1 n!
当 y 1时，级数发散；
所以，当 1 2x 3 1， 2 x 1时， 原级数收敛；
所求收敛域为 2， 1.
例5 求 (1)n 2n (x 1 )n的收敛域.
n1
n2
解 lim an1 lim 2 n 2 R 1 ,
n an n n 1
2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
此时正数 R 称为幂级数的收敛半径.
规定 (1) 幂级数只在 x 0处收敛: R 0
(2) 幂级数对一切 x 都收敛: R , 收敛域 (,).
问题 如何求幂级数的收敛半径?
10
定理 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
n0
设
lim | an1 |
n an
(或
lim n
n1
n
例6
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
逐项求导,
nx n1
n1
1 (1 x)2
,
| x|1
再逐项求导,
n(n 1) xn2
n2
2 (1 x)3
,
| x|1
26
例6
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
逐项积分, x xndx x x ndx 1 xn1
0 n0
|n
| x | | x1 |,
等比级数 M |
n0
x x1
n
| 收敛,
由正项级数的比较判别法知, | an xn | 收敛,
n0
因此级数 an xn (绝对)收敛 ;
n0
8
(2) 设当x x2时级数发散 ,
假如有一点x0 适合| x0 | | x2 | 使级数收敛,
由(1)结论, 则级数当 x x2 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
• • •• • • ••• • •
发散区域 R O
R 发散区域 x
9
幂级数 an xn 的收敛情况必为以下三种情形之一： n0
（1）仅在 x 0 处收敛；
（2）在整个数轴上收敛；
（3） R 0 ,在| x | R 处绝对收敛,在| x | R 处发 散,在 | x | R 处可能收敛也可能发散.
S( x) n xn x n xn1 x( xn )
n1
n1
n1
x( x ) x( 1 1)
1 x
1 x
x (1 x)2
,
x (1, 1)
29
例8
求幂级数 (1)n n0 3n
xn
的和函数.
解
(1)n
3n
n0
xn
(
n0
x )n 3
1
1 (
x
)
3 ,
3 x
| x| 3
证毕.
13
求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
xn
例1
n0 n
解 R lim | an | lim n 1 1，
a n n1
n n
x 1时, 级数为 1 , 发散； n0 n
x 1时,
级数为
(1)n ,
收敛.
n0 n
收敛域为[1, 1) .
14
求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
x n
|
x
|
|
x
|
,
(1) 如果 0
lim | an1 |
n
当|
x|
1
时, an xn
n0
绝对收敛；
an
当|
x|
1
时, an xn
n0
发散；
故 0 时, R 1 ；
12
(2) 如果 0, 则对 x 0 ,
lim | an1 |
n
| lim n |
an1 xn1 an1 xn1
| |
0 1 x
S(0) 0 , 所以 S( x) ln(1 x) , x [ 1, 1)
31
例10 求幂级数
xn 1 x x2 的和函数.
n0 n 1
23
解 xn 的收敛半径为R 1 , 和函数记为 S( x) ,
n0 n 1
x n1
xS( x)
, 逐项求导,
n0 n 1
0 n0
n0 n 1
1 xn x 1 dx ln(1 x) , x [ 1, 1)
n1 n
0 1 x
注意:在 x 1 处,
x n 发散,但
1 xn
收敛,
n0
n1 n
1 1 1 1 (1)n (1)n
234
n
n1 n
ln(1 x) x1 ln 2 .
收敛域关于原点对称.
6
定理 (阿贝尔Abel定理)
(1) 如果级数 an x n 在 x x1( x1 0) 处收敛, n0
则它在满足不等式 | x | | x1 | 的一切 x 处绝对收敛;
(2) 如果级数 an xn 在x x2 处发散,则它在满足不 n0
等式| x | | x2 | 的一切 x 处发散.
2n
1 | x |2 , 2
当 1 x2 1 , 即 | x | 2 时, 级数收敛；
2
19
当 1 x2 1 , 即 | x | 2
2 时,
级数收敛；
x 2n1 n1 2n
当 1 x2 1 , 即 | x | 2 时, 级数发散；
2
当 x
2 时, 级数为
1 , 级数发散,
n1 2
S( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1 ，
n0
n0
n1
且收敛半径仍为R.
注: (1) 实际上, S(x) 在(R, R) 内任意阶可导.
(2) 逐项积分或求导后,端点处的收敛性可能发生 如下变化：
逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛； 逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散.
n1
n
显然 s(0) 0,
s( x) 1 x x2 1 , (1 x 1)
1 x
两边积分得
x
0 s(t)dt ln(1 x)
即 s( x) s(0) ln(1 x)
s( x) ln(1 x),
又 x 1时,
(1)n1 1 收敛.
n1
n
(1)n1 xn ln(1 x). (1 x 1)
称为关于x的幂级数，其中an称为幂级数系数.
5
2.幂级数的收敛半径和收敛域
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 | x | 1时, 收敛; 当 | x | 1时, 发散;
收敛域 (1,1) .
显然，任何幂级数 an xn 在x 0 处收敛； n0
下面证明，在不考虑端点的情况下， an xn 的 n0
27
例6
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
换元， ( x)n
1
, |x|1
n0
1 x
(1)n
n0
x2n
1 1 x2
,
| x|1
再逐项积分，
n0
(1)n 2n 1
x
2n1
arctan
x
,
| x|1
28
例7 求幂级数 nxn 的和函数. n1
解 收敛半径为 R 1 , 收敛域为(1, 1) ,
xS( x) xn 1 , | x | 1
n0
1 x
两边从 0 到 x 积分,
xS( x) x 1 dx ln(1 x) ,x [ 1, 1)
lim 1 0， n n 1
R , 即收敛域为(,) .
例3
n! xn
n0
解 R lim n! 0 , 仅在 x 0 处收敛. n (n 1)!
16
例4 求幂级数 (1)n (2x 3)2n的收敛域. n0
解 令(2 x 3)2 y 得 (1)n yn n0 当 y 1时，级数收敛；
n1 n
发散;
故级数的收敛域为 (,2) [0,).
4
二、幂级数及其收敛性
1.幂级数的定义
级数 a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
an ( x x0 )n n0
称为关于 x x0 的幂级数；
特别，取 x0 0 ，
a0 a1 x an xn an xn n0
n0
1
2.收敛点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称 x0 为级数 un ( x)的收敛点,
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
3.和函数
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 S(x), 称 s(x)为函数项级数的和函数.
S( x) u1( x) u2( x) un( x)
3
xn
1
,| x | 1
n0
1 x
| x |1 3
30
例9
求幂级数
xn x x2 x3 的和函数.
n1 n
23
解 收敛半径为 R 1 , 收敛域为[1, 1) ,
和函数记为 S( x) , S( x)
xn , 逐项求导,
n1 n
S( x) xn1
1
, |x|1
n1
1 x
两边从 0 到 x 积分, S( x) S(0) x 1 dx ln(1 x) ,
n
| an
|
)
则幂级数 an xn 的收敛半径为
n0
1/ , 0 R , 0
0 ,
简单地讲，就是 R lim | an | a n
n1
11
证 对级数 | an xn | 应用达朗贝尔判别法， n0
lim
n
| |
an1 xn1 an1 xn1
| |
lim
n
| an1 | | an |
证 (1) an x1n 收敛 , n0
O
x1
lim
n
an
x1n
0,
7
证
(1) an x1n 收敛 ,
n0
lim
n
an
x1n
0
,
M , 使得 | an x1n | M (n 0,1,2,)
| an xn
| | an x1n
xn x1n
| | an x1n
||
x x1
|n
M
|
x x1
所以原级数的收敛域为 ( 2, 2).
一般,若 an x n 的收敛半径为 R,
n0
则 an x2n 及 an x2n1 的收敛半径为 R .
n0
n0
20
3.幂级数和函数的性质
设幂级数 an xn 的收敛半径为 R, 收敛域为 D, n0
且和函数为 S(x) .下面介绍 S(x) 的三个性质.