晶体学基础(第三章)

上述对称概念只是朴素的定义。实际上，对称不仅 是自然科学最普遍和最基本的概念之一，它也是建 造大自然的一种神秘的密码，同时也是人类文明史 上永恒的审美要素。
3.1 对称的概念
形象对称
七律－早春〔对称回文〕
m1 m2 F G r0 2 r
q1q2 F K 2 r0 r
万有引力公式 库伦公式
1 2 3 5 6[001] 2 0
3 2 1 2 0
0 0 1
3.3.3 对称轴 选用仿射坐标系
1 1 0 6[001] 1 0 0 0 0 1 0 1 0 6[001]2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 6[001]3 0 1 0 0 0 1
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
称为对称变换矩阵。对任一对称操作，都有惟 一的对称变换矩阵与之对应。
3.3.1 对称心 对称心为一假想的几何 点，相应的对称操作是 对于这个点的反伸。这 个对称操作的习惯符号 为C，国际符号记为 1
3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作
如果设空间中一点的坐标为（x，y，z），经过 对称操作后变化到另一点（X，Y，Z），则有： X x X a11 x a12 y a13 z Y a21 x a22 y ห้องสมุดไป่ตู้23 z 或 Y y Z a x a y a z Z z 31 32 33 其中
1 0 0 4[001]2 0 1 0 0 0 1
4
3
[001]
0 1 0 1 0 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
六次轴的变换矩阵:
6[001] 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1 1 2 3 2 6[001] 2 0
3.3.4 倒转轴
3.3.4 倒转轴
3.3.4 倒转轴 我们可以得出各次倒转轴与其它对称要素（或 对称要素的联合）间的等效关系如下： Li1=L1+C=C Li2=L2+P=P (P Li2)
Li3=L3+C
Li6=L3+P
(L3 Li3)
(L3 Li6, P L3)
只有Li4是一个独立的对称要素，不能由其 他简单或它们的联合来等效代替。
3.3.2 对称面 对称面为假想的平面，相 应的对称操作为对此平面 的反映。习惯符号为P，国 际符号为m。 如果m和xy平面一致，那么 对称变化矩阵为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.3.2 对称面
如果m和xz以及yz平面一致，那么相应的对 称转换矩阵则可分别表示为：
3.3.4 倒转轴
对于倒转轴，通常只考虑其中的Li4和Li6两者， Li4作为一种独立的对称要素，自然是必须考虑 的。Li6虽与L3+P的联合等效，但它在对称分类中 有特定的意义（属六方晶系），所以我们采用 Li6代替L3+P的联合。
在晶体中，独立的Li4和Li6出现的可能情况是：一 个晶体，如没有C，但有一L3，且垂直此L3还有一 个P时，则在此L3的方向上肯定有一个Li6存在； 一个晶体，如没有C，但有L2时，则此L2可能就是 一个Li4，但并非必定就是一个Li4；若确为Li4时， 则此L2将被包含在Li4之间而不再独立存在。
3.3.3 对称轴
二次轴的变换矩阵：
1 0 0 2[001] 0 1 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
三次轴的变换矩阵:
3.3.3 对称轴 因为三次旋转轴也常选用 仿射坐标系：a1、a2轴的 单位矢量长度相同夹角为 120o，a1、a2轴都垂直于c 轴。
早春寒谷寒春早 林木香茶香木林 叠叠青山青叠叠 森森暮竹暮森森 美兰雨舍雨兰美 金果田中田果金 燕喜天霄天喜燕 音回一曲一回音
3.2 晶体的对称 晶体的对称具有如下特点： 晶体的对称不仅仅体现在外形上，同时也体现在其物 理性质上（如光学、力学和电学性质等）。其对称不 仅包含几何意义，也包含了物理意义。 晶体的对称性主要特征在于，晶体是由在三维空间规 则排列的原子或原子基团组成的。通过平移，可使之 重复。这种规则的重复就是平移对称的一种形式。所 以说，从微观角度，所有的晶体都是对称的。 晶体的对称性同时受到格子构造的限制，只有符合格 子构造规律的对称才能在晶体上出现，因此，晶体的 对称是有一定限制的。
1 1 0 4 6[001] 1 0 0 0 0 1
0 1 0 5 6[001] 1 1 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
一个晶体可以没有对称轴，也可以有一个和若 干个对称轴，且对称轴的数目也可以不同。如 果在对称轴的方向上有不同轴次的对称轴，那 么只取轴次最高的那一个。
3 0 2 1 0 2 0 1
3 2 1 2 0
0 0 1
1 0 0 6[001]3 0 1 0 0 0 1
1 2 3 4 6[001] 2 0
二、三、四、六次轴，国际符号分别记为2，3， 4，6。对称轴的习惯符号用Ln表示。
3.3.3 对称轴
晶体对称定律（law of crystal
symmetry）：在晶体中，只可能出现轴
次为一次、二次、三次、四次和六次的
对称轴，而不存在五次及高于六次的对 称轴。
3.3.3 对称轴
a 2a cos ma cos ( m 1) / 2
3.3.3 对称轴
3.3.3 对称轴 物体绕某个轴转动的变换 在X坐标系有一点r(x1, x2, x3)，它也是从原点到此 点的矢量。 如果这一矢量绕X3轴转动 角，点到达的新位置为 r(x'1, x'2,, x'3)。 新位置的坐标为： x'1 = -r sin( -) = -r(sincos-cos sin) x'2 = rcos( -) = r(coscos +sin sin ) cos = x2/r 及sin = x1/r ，即 x'1=x1cos -x2sin x'2=x1sin+x2cos
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.3.2 对称面
如果垂直于对称面作任一直线，则在此直 线上，位于对称面的两侧，并且距对称面 等距离的地方，必可找到性质完全相同的 对应点。 晶体中如有对称面的存在，则必经过晶体 的几何中心，并能将晶体等分为互成镜像 反映的两个相同部分。
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.3.1 对称心
如果通过对称中心作任意一直线，则此直 线上距对称直线等距离的两端，必为可找 到的对应点。 一个具有对称心的图形，其相对应的面、 棱、角都体现为反向平行。 可以推论出，晶体中若存在对称心，其晶 面必然两两平行而且相等。这一点可以用 作判别晶体或晶体模型有无对称心的依据。
对称面可以是垂直等分某些晶面的平面， 或是包含某些晶棱的平面。
3.3.3 对称轴 对称轴为一假想的直线，对应的对称变换为围绕此 直线的旋转，每转过一定角度，各等同部分就发生 一次重复。旋转一周重合的次数叫轴次，用n表示； 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角。
n
360


n=1，为一次轴，国际符号为1。
3.3.4 倒转轴 倒转轴同样遵守晶体对称定律，只有一次、 二次、三次、四次和六次，国际符号分别 记为 1 ， 2 ， 3 ， 和 6 。习惯符 4 号为Lin，n为轴次。 变换矩阵
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
3.1 对称的概念
3.1 对称的概念
对称（symmetry）:物体（或图形）中相同部分之 间有规律的重复。对称的定义说明，对称的物体或 图形，至少由两个或两个以上的等同部分组成，对 称的物体通过一定的对称操作(即所谓的“有规 律”)后，各等同部分调换位置，整个物体恢复原 状，分辨不出操作前后的差别。例如建筑物的左右 两边可以通过中平面反映彼此重合。
3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作
晶体的宏观对称主要表现在外部形态上，如晶体的 晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。 要使对称图形中等同部分重复，就必须通过一定的 操作，这种操作就称为对称操作（symmetry operation），或者说对称操作使能够使对称物体 （或图形）中等同部分作有规律重复的变换动作。 在进行对称操作中所凭借的辅助几何要素（点、线、 面）称为对称元素（symmetry element）。
3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作 对称操作和对称元素共五类:
反伸操作和对称心（center of symmetry）
反映操作和对称面（symmetry plane）
旋转操作和对称轴（symmetry axis） 旋转反伸操作和倒转轴（rotoinversion axis） 旋转反映操作和映转轴（rotoreflection axis）
在晶体中如有对称轴存在，其可能的位置是， 通过晶体的几何中心，并且为某两顶角的连线， 或两平行晶面中心的连线，或某两晶棱中心的 连线；如晶体无对称中心时，则还可能是某一 晶面的中心、晶棱的中点及顶角三者任意两者 之间的连线。
3.3.3 对称轴
3.3.4 倒转轴 倒转轴亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴。 辅助的几何要素有两个：一根假想的直线和此直线 上的一个定点。相应的对称操作就是围绕此直线旋 转一定的角度及对于此定点的倒反（反伸）。 倒转轴的两个变换动作是构成整个对称变换的不 可分割的两个组成部分，无论是先旋转后倒反， 或是先倒反后旋转，两者的效果完全相同，但都 是在两个变换动作连续完成以后而使晶体复原。
第三章 晶体的宏观对称
3.1 对称的概念 3.2 晶体的对称 3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作 3.4 对称元素的组合 3.5 晶体的32种点群及其符号 3.6 晶体的对称分类 3.7 准晶体的对称分类
对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都 对称的。晶体的对称性首先最直观地表现在它们 的几何多面体外形上，但不同晶体的对称性往往 又是互有差异的。因此，可以根据晶体对称特点 的差异来对晶体进行科学分类。此外，晶体的对 称性不仅包含宏观几何意义上的对称，而且也包 含物理性质等宏观意义上的对称。对称性对于理 解晶体的一系列性质和识别晶体，以至对晶体的 利用都具有重要的意义。 本章将只限于讨论晶体在宏观范畴内所表现 的对称性，即晶体的宏观对称。
0 1 0 1 1 0 3[001] 0 0 1
1 1 0 1 0 0 2 3[001] 0 0 1
3.3.3 对称轴 四次轴的变换矩阵:
0 1 0 4[001] 1 0 0 0 0 1
3.3.3 对称轴 因此，r到r'变换的解析式是∶
又可写成r'=Rr ，式中R是变换矩阵
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
教材P.26
3.3.3 对称轴
更一般的情况，r绕任意方向的单位矢量 S=uX1+vX2+wX3（把S记作[uvw]）转动角到达r 的变换矩阵是: