题型6 参数方程求解曲线弦长
抛物线弦长公式推导
抛物线弦长公式推导关于抛物线弦长公式的例子，很多人还不知道抛物线弦长公式。
今天菲菲就为大家解答以上问题。
现在让我们来看看！1、抛物线弦长公式是：弦长=2rsinar是半径,a是圆心角。
2、2、弧长l,半径r。
3、弦长=2rsin(l*180/πr)直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。
4、弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号。
5、ps：圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
6、扩展资料：关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
7.这种整体代换的思想方法，假设不求，对于求直线与曲线相交的弦长非常有效。
但与这种方法相比，求一条过焦的圆锥曲线的弦长有点繁琐，利用圆锥曲线的定义和相关定理推导各种曲线的弦长公式更简单方便。
8、d = 在知道圆和直线方程求弦长时，可利用将直线方程代入圆方程，消去未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的 b^2-4ac ，a为二次项系数。
9.补遗:公式2符合椭圆圆锥曲线，不只是圆。
10、由韦达定理，x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a 代入再通分即可。
11.勾股定理在知道圆和直线方程的弦长时也可以使用。
12、（点到直线距离、半径、半弦）参考资料：百度百科-弦长公式。
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参数方程常见题型的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练(含答案).doc
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第91讲:参数方程常见题型的解法【知识要点】一、参数方程的定义：一般地，在平而直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标兀y 都是某个变数/ 的函数=反过來，对于r 的每个允许值，由函数式|% =所确定的点M （兀，刃都在曲线C 上,\y = g （t ）f y 二g ⑴那么方程I ；爲叫做曲线C 的参数方程，联系变5的变数，是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程.二、常见曲线的参数方程：”0 fx =+ rcos^（1）圆（x-x 0）2+（y-j ；0）2=r 2的参数方程为 ° .心（&为参数人[y = y （）+ r sm &x 2 y 2 [x = a cos & （2）椭圆二+ ― = 1的参数方程为彳 f .八（&为参数）；cr /r\y = bsm022（3）双曲线二—刍=1的参数方程 cr b- （4）抛物线j 2 =2px 参数方程2" （/为参数）; 卜=2刃X = X （｝ +/COSG（5）过定点P （x （）』（））、倾斜角为Q 的直线的参数方程彳 ° . （/为参数）•y = y Q +fsina三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：（1） 代入法：利用解方程的技巧求11!参数f,然后代入消去参数（包括整体消元）.（2） 加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数.（3） 三角恒等式消参法：利用三角恒等式sin 26z+cos 2tz = l 消去参数.温馨提示：化参数方程为普通方程为F （x,y ） = 0：在消参过程屮注意变量兀、y 取值范围的一致性, 必须根据参数的取值范I 韦I,确定/⑴和g ⑴值域得八y 的取值范圉.x - a sec 0 y = b tan &（0为参数）;【题型讲评】2@为参数力又因为；1分兰屈平方得：K = 1 + sma,代入消参 —如G b =2+3得；^=y 2-l-^2<x<^2, gp ； y 2-^=l(\x\<42)【点评】（1）本题使用的是代入消参.（2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意兀、y 的取值范围，实际上这是两个函数x=f （t\y = g （t ）的值域问题.⑶参数方程化成普通方程之后，有时需要兀、y 的范圉都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写.这主要取决于化简之后的普通方程兀、y 是否与 原参数方程中兀、y 的范围一致.如果一致就不写•如果不一致，就要写.本题中只写了兀的范围，因为兀的 范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.【反馈检测1】参数方程=+ 1（t 为参数）表示什么曲线（）y = 1 - 2 &A. 一条直线B. 一个半圆C. 一条射线D. —个圆片=2 + ejn 2 f ） ~（&为参数）化为普通方程是（）y = _i + cos2&A. 2x-y + 4 = 0B. 2x+y -4 = 0C. 2x-y + 4 = 0,xG [2,3]D. 2兀+y-4 = 0,兀w [2,3]【解析】TCOS 2& = l-2sin ? 0, /. y = -l + l-2sin 2 0 = -2sin 2 0, /. sin 2 0 = 一专，代入 兀= 2 + sii?&可得兀=2— 上，整理可得2x+）一4 = 0. vsin 2&w[0,l],.・・2 + sii?[2,3],即｛【例1】参数方程〈 .a ax = sin ——cos —2y = j2 + sina2，（a 为参数）的普通方程为（） A ? 2 A.=1B. x 2 -y 2 = IC. b 一兀21(1诈 V2)D. x 2-y 2 =l(|x|< V2).a aJC=S1D —cos — 2【解析】由xe [2,3]・所以此参数方程化为普通方程为2兀+》-4 = 0,“ [2,3].故D正确.【点评】本题使用是三角恒等式消参.x = 2 + 3cos&【反馈检测2】设曲线C的参数方程为彳&为参数，直线/的方程为x-3j + 2 = 0,[y = —l + 3sin&则曲线c上到直线/的距离为警的点的个数为（A. 1B. 2C. 3D. 4【例3】若直线r=1+r,（/为参数）被圆r = 2+2cosa（。
如何用参数方程解答解析几何问题
考点透视解析几何问题通常较为复杂，且解题过程中的计算量大，出错率高.利用参数方程解答解析几何问题，不仅可以使方程中的变量减少，还能够减小计算量，达到化繁为简的效果.参数方程是曲线或直线的一种重要表示形式.一般地，过定点A()x0,y0，倾斜角为θ的直线的参数方程可以表示为{x=x0+t cosθ,y=y0+t sinθ,其中t为参数，||AB=t；若⊙O的圆心O为()m,n，半径为r，则⊙O的参数方程可表示为{x=m+r cosα,y=n+r sinα,α为参数，表示任意点与圆心O连线段的旋转角度；若椭圆C的中心位于坐标原点O，长轴与短轴分别为a与b，焦点位于x轴，则椭圆的参数方程可表示为{x=a cosα,y=b sinα,α为参数，表示动点T()x,y的离心角.在解答解析几何问题时，我们可根据题意设出或写出直线或曲线的参数方程，并将直线或曲线上的点用参数表示出来，便可将其看作为定点或已知的点，将其坐标代入点到直线的距离公式、弦长公式、两点间的距离公式、韦达定理、直线的斜率公式、直线的方程、圆锥曲线的方程中进行运算，从而将问题转化为三角函数求值、最值问题来求解.最后根据三角函数的性质、公式、图象即可求得问题的答案.例1.（2021全国新高考卷一，第21题）已知点F1()-17,0，F2()17,0，点M满足||MF1-||MF2=2.记点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A,B，P,Q，且||TA∙||TB=||TP∙||TQ，求直线AB与PQ的斜率之和.解：（1）C的方程为x2-y216=1()x>0；（2）设Tæèöø12,m，直线AB的倾斜角为θ1，直线PQ的倾斜角为θ2，且θ1,θ2∈[0,π)，则直线AB的参数方程为ìíîïïx=12+t cosθ1,y=m+t sinθ2,t为参数.将其代入x2-y216=1()x>0中，得()16cos2θ1-sin2θ1t2+()16cosθ1-2m sinθ1t-()m2+12=0.由题意知16cos2θ1-sin2θ1≠0，则||TA·||TB=-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1，同理可得||TP∙||TQ=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，又||TA∙||TB=||TP∙||TQ，所以-()m2+1216cos2θ1-sin2θ1=-()m2+1216cos2θ2-sin2θ2，则16cos2θ1-sin2θ1=16cos2θ2-sin2θ2，化简得cos2θ1=cos2θ2.因为直线AB与PQ为不同的直线，则cosθ1=-cosθ2，于是θ1+θ2=π，则k AB+k PQ=0.本题若采用常规方法，需将直线的方程与双曲线的方程联立，根据弦长公式和韦达定理求解，解题过程中的计算量大，不易求出正确答案.而运用直线的参数方程，就能将直线上的点A、B、P、Q用倾斜角表示出来，直接利用直线参数方程的几何意义即可求得||TA∙||TB、||TP∙||TQ的表达式，进而通过三角恒等变换，建立直线AB和PQ倾斜角之间的关系，快速求得问题38的答案.例2.在矩形ABCD 中，AB =1,AD =2，点P 在以C为圆心的圆上，该圆与BD 相切.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.225解：以A 为原点，DA 、BA 为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，由AB =1,AD =2可得A ()0,0,B ()1,0,C ()1,2,D ()0,2,则以C 为圆心的圆的方程为()x -12+(y -22=45,设P æèçöø÷1+θ,2θ，由 AP =λ AB +μ AD ，得ìíîïïïïλ=1θ,2μ=2+θ,则λ+μ=1+θ+1θ=2+sin (θ+ϕ)≤3,其中tan ϕ=2，当θ+ϕ=π2时，λ+μ取得最大值3.先根据题目条件画出相应的图形，并建立平面直角坐标系，便可通过数形结合的方式，将题目中的几何关系以直观的形式表示出来；然后根据圆的参数方程设出圆上的动点P ，并建立关于参数θ的关系式，即将问题转化为三角函数最值问题；再利用三角函数的辅助角公式和正弦函数的有界性进行求解，这样可使得解题中的计算量大大减小，轻松获得问题的答案.例3.已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的左、右顶点，P ,Q 是该椭圆上异于顶点的两点，直线AP 与QB ，PB 与AQ 分别交于点M ,N .（1）求证：MN ⊥AB .（2）若弦PQ 过椭圆的右焦点F 2，求直线MN 的方程.（1）证明：由椭圆的参数方程{x =a cos α，y =b sin α，可设P ()a cos α,b sin α,Q ()a cos β,b sin β，则AP ：y =b sin αa +a cos α(x +a )，AQ ：y =b sin βa +a cos β（x +a )，BP ：y =b sin α-a +a cos α(x -a )，BQ ：y =b sin β-a +a cos β(x -a )，联立直线AP 与BQ 的方程，得x M +a a +a cos αb sin α=x M -a-a +a cos βb sin β，解得x M =sin ()α+β-sin α+sin βsin α+sin β+sin ()β-αa =cos α+β2cos α-β2a ，同理可得，x N =sin ()α+β+sin α-sin βsin α+sin β+sin ()α-βa =cos α+β2cos α-β2a ，故x M =x N ，则MN ⊥AB .（2）解:由（1）得PQ :y -b sin αb sin α-b sin β=x -a cos αa cos α-a cos β,设直线PQ 经过()c ,0，则c a =cos α+sin α()cos α-cos βsin β-sin α=sin ()α-βsin α-sin β=cosα-β2cosα+β2，可得x M =x N =a 2c，故直线MN 的方程为x =a 2c.解答本题，需根据椭圆的参数方程，将椭圆上的点用参数形式表示出来，列出四条直线的方程，通过联立方程求得到点M 、N 的横坐标，进而根据直线的斜率公式建立关系式，从而求得MN 的方程.利用椭圆的参数方程，不仅可使题目中的变量统一，还可以使最终的直线形式简洁、美观，便于计算.可见，在解答解析几何问题时，巧妙利用直线或曲线的参数方程，能使问题中的几何关系以更加简洁的形式呈现，还能简化运算过程，能大大提高解题的效率.但在运用直线或曲线的参数方程解题时，要多关注参数的取值范围和几何意义，这是获得正确答案的有力依据，能为我们解题带来很大的便利.基金项目：基于核心素养下的南充市高中课堂教学研究——以数学学科为例，西华师范大学纵向科研项目，项目编号468020.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）考点透视39。
参数法求曲线方程课件
隐式方程法通过一组代数方程描述曲 线，而参数法则通过参数方程描述曲 线。
05
参数法的扩展应用
在几何图形变换中的应用
参数方程在几何图形变换中有着广泛的应用，例如在平面几何中，通过参数方程可 以描述各种平面曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等。
参数方程还可以用于描述三维空间中的曲面和曲线，例如球面、锥面、柱面等。
抛物线方程的求解
总结词
通过参数法，我们可以将抛物线的方程表示为参数的函数，从而更方便地求解抛物线方程。
详细描述
在求解抛物线方程时，我们可以引入一个参数，例如时间或角度，然后将抛物线上点的坐标表示为该参数的函数 。通过这种方式，我们可以将抛物线的方程表示为一个关于该参数的方程，从而更容易地求解抛物线方程。
详细描述
在求解直线方程时，我们可以引入一个参数，例如时间或角度，然后将直线上 点的坐标表示为该参数的函数。通过这种方式，我们可以将直线的方程表示为 一个关于该参数的方程，从而更容易地求解直线方程。
圆方程的求解
总结词
通过参数法，我们可以将圆的方程表示为参数的函数，从而更方便地求解圆方程。
详细描述
在求解圆方程时，我们可以引入一个参数，例如角度或弧度，然后将圆上点的坐标表示为该参数的函 数。通过这种方式，我们可以将圆的方程表示为一个关于该参数的方程，从而更容易地求解圆方程。
在几何图形变换中，参数方程可以方便地描述平移、旋转、缩放等基本变换，使得 图形的位置和形状更加灵活可控。
在微积分中的应用
参数方程在微积分中也有着重要的应用，例如在求解微分 方程时，常常需要用到参数方程来描述函数的变化规律。
参数方程还可以用于求解定积分和不定积分，例如在计算 弧长、面积、体积等几何量时，常常需要用到参数方程来 简化计算过程。
曲线方程的求法
确定点的位置
通过参数方程可以确定 平面内点的位置，通过 给定参数值计算出对应 的x和y坐标。
解决几何问题
参数方程可以用于解决 几何问题，如求弦长、 切线斜率、面积等。
参数方程在物理问题中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹， 如行星运动轨迹、摆动轨迹等。
总结词：声波传播
详细描述：双曲线方程在声学研究中用于描述声波的传播规律，如声音的传播速 度、衰减等。
抛物线方程在弹道学中的应用
总结词：弹道轨迹
详细描述：抛物线方程在弹道学中用 于描述炮弹、导弹等物体的飞行轨迹 ，是军事领域中非常重要的数学工具 。
感谢您的观看
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截距式方程
$x/a + y/b = 1$，其中a和b分别是 直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程
标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)是圆心，r是半径。
参数方程
$x = h + rcostheta$，$y = k + rsintheta$，其中(h, k)是圆 心，r是半径，$theta$是参数。
04
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的转换
参数方程转换为极坐标方程
将参数方程中的x和y代入极坐标公式（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到极坐标方程。
极坐标方程转换为参数方程
将极坐标方程中的ρ和θ代入参数方程（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到参数方程。
参数方程在几何问题中的应用
描述平面曲线
03
曲线方程的求解方法
圆锥曲线的弦长问题
THANKS
感谢观看
01
弦长是指连接圆锥曲线上的两点的线段的长度。
02
弦长的计算方法有多种，包括公式法、参数方程法、极坐标法
等。
弦长公式是计算弦长的常用方法，适用于不同圆锥曲线和不同
03
坐标系。
02
圆锥曲线弦长的公式与定 理
圆锥曲线的一般弦长公式
圆锥曲线的一般弦长公式为：$|AB| = frac{2sqrt{D^2 - 4F}}{sqrt{1 - k^2}}$，其中 $D$是曲线的一般方程中x和y的最高次项系数 乘积的一半，$F$是常数项，$k$是弦AB的斜 率。
研究弦长问题在工程学中的应用，如桥梁、建筑的设计等。
弦长问题与其他数学知识的结合
弦长问题与线性代数的结合
探讨弦长问题与线性代数之间的关系，如矩阵 变换、线性方程组等。
弦长问题与解析几何的结合
研究弦长问题与解析几何之间的关系，如参数 方程、极坐标等。
弦长问题与微积分的结合
探讨弦长问题与微积分之间的关系，如求曲线长度、面积等。
函数与导数
在解决函数与导数问题时，有时需要利用弦长公式进行计算。
综合题
在高考数学的综合题中，有时会涉及到弦长问题，需要考生综合 运用所学知识进行解决。
05
弦长问题的变式与拓展
弦长问题的变种形式
弦长与角度的关系
研究弦长与圆锥曲线上的角度之间的关系，如弦的中垂线与曲线的 交点等。
弦长与焦点的关系
探讨弦长与圆锥曲线的焦点距离之间的关系，以及在何种情况下弦 长达到最大或最小值。
实际生活中的弦长问题
01
02
03
桥梁设计
在桥梁设计中，需要计算 通过桥墩的弦长，以确保 桥梁的稳定性和安全性。
高考参数方程常见题型及解题技巧
高考参数方程常见题型及解题技巧
1.参数方程概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个变数t的函数：[1]
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。
相对而言，直接给出点坐标间关系的方程即称为普通方程。
2.直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程
1.当求两动点取值范围
方法：先在任意一个曲线上取一个定点，再有定点到动点距离结合，加减半径长度可得，详情看下面例题第二问。
2.求两曲线相交两点的中点的轨迹参数方程
方法：先求直线的标准参数方程，并带入圆锥曲线中，得出一等式，根据韦达定理，得tp=1/2（t1+t2），最后结合定点求出直线标准参数方程，详情看下面例题第二问。
3.直线与抛物线上两点，求最小值
方法1:设与直线Ax+By+C1=0平行的直线方程Ax+ByC2=0，再联立抛物线与直线直角坐标方程，由b2-4ac=0可得C2，最后线线距离可得
方法2:由抛物线参数方程x，y为抛物线上的点，最后可由点线距离式可得
19年一卷参数方程。
抛物线弦长公式
抛物线弦长公式引言在几何学和数学中，抛物线是一种常见的曲线形状。
抛物线具有许多重要的性质和应用，其中一个重要的性质是它的弦长，也称为抛物线弦长。
本文将介绍抛物线弦长的概念和计算方法，并提供一个用于计算抛物线弦长的公式。
抛物线的定义抛物线是一种平面曲线，定义为所有到一个固定点（焦点）和到一条固定直线（准线）距离恒等的点的轨迹。
抛物线有一个特殊的直线对称轴，过焦点和准线垂直的轴线，称为对称轴。
抛物线的形状由焦点和准线的位置所决定。
抛物线弦长的定义抛物线弦长是抛物线上两个点之间的距离，这两个点是由一个平行于对称轴的线段所确定的。
通常情况下，抛物线弦长是通过两个焦点之间的直线段来确定的。
由于抛物线的对称性，抛物线上任意两个点之间的弦长都是相等的。
抛物线弦长的计算方法对于任意给定的抛物线，我们可以使用以下公式来计算抛物线弦长：L = 2a sin(theta)其中，L是抛物线弦长，a是抛物线的焦点到对称轴的距离，theta是与对称轴垂直的线段与抛物线对称轴的夹角。
在这个公式中，a是抛物线的一个关键参数，称为焦半径或焦距，表示焦点到对称轴的距离。
theta是另一个关键参数，表示焦点到弦的线段与对称轴的夹角。
抛物线弦长公式的推导要理解抛物线弦长公式的推导，我们首先需要了解抛物线的一些基本性质。
•抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数。
•抛物线的焦点的坐标为(h, k)。
•抛物线的准线方程为y = -h + k。
•抛物线的对称轴方程为x = h。
现在，假设我们有一个抛物线，焦点位于原点(0,0)处，对称轴与y轴对齐。
我们要计算抛物线上两个点之间的距离，即弦长。
抛物线弦长抛物线弦长从上图可以看出，我们可以使用三角函数来计算抛物线弦长。
用theta表示线段OP与对称轴的夹角，线段OP与抛物线对称轴的夹角是45度，假设OP的长度为d。
根据三角函数的定义，在直角三角形POQ中，sin(theta) = a/d。
高中数学圆锥曲线弦长公式
安全生产三同时是什么安全生产三同时是指安全生产三个同时，即生产安全、生态环保和节能减排三方面同时推进的工作原则。
它是在实践中总结出来的，旨在保护员工安全、保护环境、节约资源，实现可持续发展的目标。
下面将从安全生产、生态环保和节能减排三个方面详细介绍安全生产三同时的含义和重要性。
一、安全生产是安全生产三同时的重要组成部分。
安全生产是企业生产经营的首要任务，也是保障员工人身安全和财产安全的基本要求。
安全生产涉及到员工的生命安全和健康，对企业的可持续发展也具有重要意义。
在推进安全生产的过程中，需要完善安全管理体系，加强安全培训和教育，建立安全生产责任制，提高员工的安全意识和紧急处理能力，改善工作环境，确保安全设施的完好运行等。
只有安全生产得到有效保障，企业才能够稳步发展，员工才能够安心工作。
二、生态环保是安全生产三同时的重要内容。
生态环境是人类生存的基础，保护和改善生态环境是人类的共同责任。
在推进生态环保的过程中，需要加强环境监测和评估，严格执行环境法规和标准，加强对污染源的监管和治理，推广清洁生产和循环经济，推动绿色发展，改善生态环境质量。
企业应该积极履行环境保护义务，减少污染排放，推动资源的有效利用，保护自然生态系统的平衡，建设美丽中国。
三、节能减排是安全生产三同时的重要任务。
能源是人类生产和生活不可或缺的资源，但也是有限的资源。
能源消耗的过程中会产生大量的二氧化碳等温室气体，对气候和环境造成不利影响。
为了减少对地球的影响，实现可持续发展，需要实施节能减排政策。
在生产经营活动中，企业需要采用节能技术和设备，提高能源利用效率，降低能源消耗。
同时，还需要减少排放的废气、废水和固体废弃物，提高环境保护水平。
只有通过节能减排，才能实现可持续发展的目标。
安全生产三同时的实施涉及到政府、企业和个人的共同努力。
政府应制定相关政策和法规，加强监管和执法力度，提供优惠政策和经济支持，推动企业安全生产、生态环保和节能减排工作的开展。
用椭圆参数方程求弦长
用椭圆参数方程求弦长作者：刘鑫张甲来源：《中学教学参考·理科版》2021年第12期[摘要]文章結合椭圆的参数方程推导出了当直线与椭圆相交时直线斜率存在与不存在时椭圆弦长的6个公式.探讨利用椭圆的参数方程求弦长的方法，有利于提高学生的解题能力.[关键词]参数方程;椭圆;弦长[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）35-0034-03有关椭圆弦长问题的求解方法有很多，文献[1]中就给出了常用的6种求解方法，如弦长[AB=1+k2x1+x22-4x1x2]，该公式就是将椭圆方程和直线方程联立后，再由两点间的距离公式和韦达定理得到的.还有应用直线的参数方程、椭圆的第二定义等方法求解椭圆弦长问题的.文献[1]中的6种求解方法几乎涵盖了涉及此类问题的所有常用方法，但笔者查找了大量有关椭圆弦长问题的文献后，发现在所有常用方法中均没有发现有关应用椭圆的参数方程来求解椭圆弦长问题的，故而笔者考虑将椭圆的参数方程引入有关椭圆弦长的问题中，应用参数方程求解椭圆弦长问题.为行文方便，先引入椭圆的参数方程.[x=acos θ，y=bsin θ.] （1）其中[a]表示椭圆的长半轴、[b]表示椭圆的短半轴，参数[θ]表示[∠AON]的大小（如图1）.一、当直线斜率存在时1.直线过坐标原点如图2，过原点的直线[l]与椭圆交于[A]，[B]两点，直线的斜率为[k且k≠0]，求弦长[AB].由椭圆的性质可得，[AB=2OA].根据椭圆的参数方程，设[A]点坐标为[acos θ，bsin θ]，直线[l]的斜率[k=batan θ].则弦长[AB]就可以表示为：[AB=2OA][=2acos θ-02+bsin θ-02][=2a2cos2θ+b2sin2θcos2θ+sin2θ][=2a2b21+k2a2k2+b2.] （2）2.直线过椭圆焦点如图3，过焦点[Fc， 0]的直线[l]与椭圆交于[A]，[B]两点，直线斜率为[k且k≠0]，求弦长[AB].根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点的坐标为[Aacos θ1，bsin θ1]，[Bacos θ2，bsin θ2]，则直线[l]的斜率[k=bsin θ2-sin θ1acos θ2-cos θ1]，则[sin θ2-sin θ1=akbcos θ2-cos θ1 ].故弦长[AB]可表示为[AB=a2cos θ2-cos θ12+b2sin θ2-sin θ12=a2cos θ2-cos θ121+k2.]又因为直线[l]的斜率与直线[AF]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1-c]，所以可得[sinθ1=kbacos θ1-c].由三角函数的平方关系[sin2θ1+cos2θ1=1]得[k2b2acos θ1-c2+cos2θ1=1][a2k2b2+1cos2θ1-2k2acb2cos θ1+k2c2b2-1=0.]令[x=cos θ1]，则可得关于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2-2k2acb2x+k2c2b2-1=0]，根据一元二次方程判别式[Δ=-2k2acb22-4a2kb2+1k2c2b2-1=4k2+4>0]，得该一元二次方程必有两个不相等的实数根[x=2k2acb2±41+k22a2k2b2+1=k2ac±b21+k2a2k2+b2]，则由椭圆参数方程的相关性质可设[cos θ1=k2ac+b21+k2a2k2+b2]，[cos θ2=k2ac-b21+k2a2k2+b2]，所以弦长[AB]就可表示为[AB=a21+k2k2ac-b21+k2a2k2+b2-k2ac+b21+k2a2k2+b22] [=a21+k24b4（1+k2）a2k2+b22=2ab21+k2a2k2+b2.] （3）3.直线过任意点如图4，设直线[l]的方程为[y=kx+m]与椭圆交于[A]，[B]两点，直线的斜率为[k且k≠0]，与[x]轴交点为[C-mk， 0].求弦长[AB].由上述可得[AB=a21+k2cos θ2-cos θ12].又因为直线[l]的斜率与直线[AC]的斜率相等，即[k=bsin θ1acos θ1+mk]，所以得[sin θ1=akbcos θ1+mb].由三角函数的平方关系[sin2θ1+cos2θ1=1]得[akbcos θ1+mb2+cos2θ1=1a2k2b2+1cos2θ1+2kamb2cos θ1+m2b2-1=0.]令[x=cos θ1]，则可得关于[x]的一元二次方程[a2k2b2+1x2+2kamb2x+m2b2-1=0]，根据判别式[Δ=4k2a2m2b4-4a2k2b2+1m2b2-1=4a2k2-m2b2+4=4a2-m2k2b2k2+4>0]，所以该一元二次方程必有两个不相等的实数根：[x=-2akmb2±4a2k2+b2-m2b22a2k2b2+1=-akma2k2+b2±ba2k2+b2-m2a2k2+b2，]则由椭圆参数方程的相关性质可设[cos θ1=-akma2k2+b2+ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，[cos θ2=-akma2k2+b2-ba2k2+b2-m2a2k2+b2]，所以弦长[AB]就可表示为[AB=a21+k2cos θ1-cos θ22=a21+k24b2a2k2+b2-m2a2k2+b2=2ab1+k2a2k2+b2-m2a2k2+b2.] （4）4.直线斜率为0如图5，设直线[l]的方程为[y=mm<b]与椭圆交于[A]，[B]两点，求弦长[AB].根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点坐标为[Aacos θ，bsin θ]，[B-acos θ，bsin θ]，则可得[m=bsin θ⇒sin θ=mb]，所以弦长[AB]可表示为[AB=2acos θ=2a1-sin2θ=2ab2-m2b2=2ab2-m2b]. （5）二、当直线斜率不存在时1.直线过椭圆焦点如图6，过焦点[Fc， 0]的直线[l]与椭圆交于[A]，[B]两点，求弦长[AB].根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点坐标为[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，则可得[acos θ=c] [⇒cos θ=ca]，所以弦长[AB]可表示为[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-c2a2=2b2a]. （6）2.直线过任意点如图7，直线[x=n]与椭圆交于[A]，[B]两点，求弦长[AB].根据椭圆的参数方程设[A]，[B]两点坐标为[Aacos θ，bsin θ]，[Bacos θ，-bsin θ]，则可得[acos θ=n⇒cos θ=na]，所以弦长[AB]可表示为[AB=2bsin θ=2b1-cos2θ=2ba2-n2a2=2ba2-n2a.] （7）文章利用椭圆的参数方程，推导出了当直线与椭圆相交时直线斜率存在与不存在两种情况共6个公式.这6个公式涵盖了求椭圆弦长的所有类型，其中公式（4）称为椭圆弦长的“万能公式”，当直线斜率存在时都可用它进行计算.在文献[3]中，作者利用直线与椭圆的直角坐标方程也推导出了此公式，不过计算过程较为复杂.文献[1]利用放射变换的方法证明了此公式，虽然在一定程度上简化了计算过程，但对于高中学生来说理解起来也有一定的困难.[ 参考文献 ][1] 钟德光，蔡方明，陈宇鹏.求椭圆弦长，方法知多少？[J].理科考试研究，2018，25（7）：21-23.[2] 鄭庆安，潘玉晓. 椭圆参数方程中参数的几何意义及性质[J]. 南阳师范学院学报，2014，13（3）：12-13.[3] 廖炳江.求椭圆弦长的一个公式[J].安顺师专学报，1999（4）：40-43.（责任编辑黄桂坚）。
参数方程与曲线长度的计算方法研究
参数方程与曲线长度的计算方法研究一、简介参数方程是描述曲线的一种常用方法，它通过引入参数变量，将曲线上每个点的坐标表示为参数的函数。
曲线长度是一个重要的几何性质，它可以用于描述曲线的形状和曲线上点的分布。
本文将研究参数方程与曲线长度之间的关系，探索计算曲线长度的方法。
二、参数方程的基本概念参数方程是将曲线上的点的坐标表示为参数的函数。
常见的参数方程形式为x = f(t)和y = g(t)，其中t为参数，f(t)和g(t)分别表示x和y在t时刻的函数值。
通过改变参数t的取值范围，可以绘制出曲线上的一段或整条曲线。
三、计算曲线长度的方法1. 弧长近似法弧长近似法是通过将曲线划分为若干小段，然后对每段进行近似计算，最后将所有小段的长度相加得到曲线的总长度。
步骤：1) 将曲线分割为n段，每段的起点和终点为(t[i-1], t[i])。
2) 对每段进行长度的近似计算，常用的方法有直线段近似和曲线段近似。
3) 将所有小段的长度相加得到曲线的总长度。
弧长近似法的计算结果会随着小段的数量增加而更加接近曲线的实际长度。
2. 参数累加法参数累加法是通过对参数方程进行积分，计算曲线的长度。
步骤：1) 假设参数方程的自变量范围为[t0, t1]。
2) 将曲线上相邻两点的距离表示为参数t的函数d(t)。
3) 对d(t)从t0到t1进行积分，即可得到曲线的长度。
参数累加法更加精确，但也需要对参数方程进行微分和积分，计算过程较为繁琐。
四、参数方程与曲线长度的关系参数方程与曲线长度之间存在着紧密的联系。
通过参数方程，我们可以描述曲线上任意一点的坐标，从而可以计算出曲线上相邻两点的距离。
通过对这些距离进行求和或积分，就可以得到曲线的长度。
五、案例研究：求解心形曲线的长度以心形曲线为例，其参数方程为：x = 16*sin^3(t)y = 13*cos(t) - 5*cos(2*t) - 2*cos(3*t) - cos(4*t) (0 <= t <= 2π)我们可以利用参数累加法来计算心形曲线的长度。
题型 参数方程求解曲线弦长
题型6 求直线与曲线相交弦的长【例17．6．1】求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．【详解】把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．圆心O到直线的距离d ==∴弦长L ===．所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为 【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．【变式1】过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【分析】由已知过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．【详解】直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．AB 12s s =-=．【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即s 为直线上的点到13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．【变式2】直线⎩⎨⎧--=+=ty t x 3141 (为参数t )被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2πθρ+=则需要用两角和的余弦公式展开转化．【详解】消去t 得直线的方程为3410x y ++=，由)cos cos sin sin cos sin 444πππρθθθθθ⎫=+=-=-⎪⎭，两边同乘ρ，得2cos sin ρρθρθ=-，即22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线为圆，圆心为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭=，所以弦长为2221722105⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】57 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得． 【变式3】已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =2p sin 2 θ． 【分析】弦长AB = |t 1 −t 2|． 【详解】由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2 sin 2 θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2sin 2 θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ． 圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a 、b 、c 、e 、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）、双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a ２b ２（a ＞0，b ＞0）、抛物线y ２＝2Px （P ＞0），以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为α，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ／sin ２α．证明过程，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A （对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB ，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ｜cos α｜／sin ２α．证明过程，此处从略．4．焦点三角形的面积：P 是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）或双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（5－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造条件．即由e＝ca＝（1／2）（5－1）可得2c＋a＝5a，两边平方可得b２＝ac，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜x－（16／5）｜＝｜4－（5／4）x｜＋｜4＋（5／4）x｜．结合双曲线的范围x≤－4或x≥4即可得x＝－64／5．例3F是抛物线y２＝2Px（P＞0）的焦点，P为抛物线上一点，抛物线的准线l交x轴于H，若∠PFH＝α，∠PHF＝β，求证：sinα＝tanβ．导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作PQ⊥l，垂足为Q，则有｜PQ｜＝｜PF｜，∠QPH＝β，从而有｜PH｜＝｜PQ｜／cosβ＝｜PF｜／cosβ和｜PH｜／sinα＝｜PF｜／sinβ．由这两个等式易得sinα＝tanβ．二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系．例4经过椭圆（x２／4）＋（y２／2）＝1的长轴顶点A作椭圆的弦AB，若｜AB｜＝8／7，试求弦AB的倾斜角α．导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的．若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成．若教师给予启发诱导，则学生是能解决的．常用方法有：①应用弦长公式｜AB｜＝｜x A－x B｜·和韦达定理；②运用直线参数t的几何意义；③直接应用顶点弦长公式．下面给出两种解法：解法1由对称性，不妨设A为右顶点（2，0），则直线AB的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程得（cos２α＋2sin２α）t２＋4cosα·t＝0．由t的几何意义知｜AB｜＝｜t B｜＝4｜cosα｜／（cos ２α＋2sin２α）＝8／7，从而得2｜cosα｜２＋7｜cosα｜－4＝0α＝60°或120°．解法2 由椭圆顶点弦长公式得8／7＝2·2·2｜cosα｜／（2＋2sin２α）．以下同法1．例5AB是经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的弦MN ∥AB，求证：｜MN｜２∶｜AB｜是定值．导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了．教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具．对于本题，MN、AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有｜MN｜２＝4a２，｜AB｜＝2a．∴｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN、AB的倾斜角为α，则MN的方程为（t为参数），代入椭圆方程后注意到t的几何意义即得｜MN｜２＝4a２b２／（b２＋c２sin２α）．①另一方面，AB的参数方程为（t为参数）．仿①可得｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）．②①÷②得｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．例6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，如图3，其中AP＝100M，BP＝150M，∠APB＝60°，问怎样运土才能最省工?导析：这是一道解析几何建模应用题．即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识．“最省工”的含义是：到点P的距离最近，所以半圆内的点有三类：①沿AP到P较近；②沿BP到P接近；③沿AP、BP到P等距．其中第③类点集是第①、②类点集之交集（分界线）．设M是分界线上任一点，则有｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜MP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜＝50（定值）．∴M在以A、B为焦点的双曲线右支上．由题设可得｜AB｜２＝17500，于是以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（x２／625）－（y２／3750）＝1（x≥25）．故运土时在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．例7l是椭圆的右准线，F１、F２是左、右焦点，P∈l．若椭圆的离心率e＝／2，试求∠F１PF２的最大值．导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立e与∠F１PF２（记为α）的关系式．教师可引导学生画图分析，步步追踪．如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（x２／a２）＋（y２／b２）＝1（a ＞b＞0），l为右准线且P在x轴上方，由此可设点P为（a２／c，y）（y＞0），又在F１（－c，0）、F２（c，0），在△PF１F２中，由两条直线所成的角得tanα＝（kPF２－kPF１）／（1＋kPF１·kPF２．①又∵kPF１＝y∶（（a２／c）＋c），kPF２＝y∶（（a２／c）－c），代入①得tanα＝2c３y／（a４－c４＋c２y２），∵y＞0，a４－c４＞0，∴tanα＞0．又∵α∈（0，π），∴α为锐角．由基本不等式得tanα≤当且仅当a４－c４＝c２y２，即y P＝（1／c）时取“＝”．从而可得cot２α≥（a４－c４）／c４＝e－４－1，∴csc２α≥e－４．∴sinα≤e２＝（／2）２．∵sinα在（0，π／2）上是增函数，∴α的最大值为π／6．三、强化训练1．已知A为双曲线x２－y２＝1的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）．A．3／3B．（3／2）3C．33D．63（2000年全国联赛）2．P是椭圆上的一点，F１、F２是两个焦点，若恒有∠F１PF２＝60°，则该椭圆的离心率e的范围是（）．A．（0，1）B．［／2，1）C．［／3，1）D．［1／2，1）．3．圆x２＋y２＝ｒ２过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的两个焦点F１（－c，0）、F２（c，0），它们有四个交点，其中一个交点为P，若△PF１F２的面积为26，椭圆长轴为15，则a＋b＋c＝_____．（2000年“希望杯”赛题）4．设O为抛物线的顶点，F为焦点，PQ为过F的弦，已知｜OF｜＝a，｜PQ｜＝b，则S△POQ＝_____．5．双曲线的离心率e＝2＋－－，过双曲线的右焦点F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点P，F１为左焦点，试求∠PF１F２的大小．（1998年河南省、重庆市高中赛题）6．经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的长轴顶点A作倾斜角为45°的弦AB，若弦AB的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率e．7．l是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的左准线，在椭圆上放置n个点（n＞1）使每相邻两点与左焦点F连线所成的夹角均相等，如图5，∠P１FP２＝∠P２FP３＝…＝∠P n FP１＝2π／n，试证明：这n 个点到l的距离的倒数之和为一个仅与n有关的常数．参考答案与提示：1．C．由对称性知∠BAx＝∠CAx＝30°，｜AB｜＝｜AC｜．从而可按求弦长的思路求得｜AB｜＝2，也可运用顶点弦长公式知｜AB｜＝2·1·1·cos30°／｜1－2sin２30°｜＝2．∴S△ABC＝（1／2）｜AB｜２sin60°＝3．2．D．可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．3．a＋b＋c＝13＋．易知∠F１PF２＝90°，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．4．S△POQ＝a．本题可用焦点弦长公式求出弦PQ的倾斜角，然后再用三角形的面积公式求解．也可建立极坐标系利用极径及极角求解．5．设∠PF１F２＝α，双曲线方程为b２x２－a２y２＝a２b２，∵PF２⊥F１F２，∴x P＝c，由焦半径公式得｜PF２｜＝｜a－ex P｜＝｜a－ec｜＝ec－a＝（1／a）（c２－a２）．又∵｜F１F２｜＝2c，∴tanα＝｜PF２｜∶｜F１F２｜＝（1／a）（c２－a２）∶（2c）．∴tanα＝（c２－a２）／2ac＝（1／2）（e－（1／e））…＝2－．∴α＝15°．6．可按求弦长的方法求出通径和｜AB｜的表达式，也可直接应用通径长为2b／a和顶点弦长公式．所求离心率e＝7．设在椭圆上的n个点为P１、P２、…，P n，它们到l：x＝－（a２／c）的距离记为D１、D２，…，D n，α＝2π／n，∠P１FO＝β，由椭圆定义得｜P i F｜＝eD i（i＝1，2，…，n）．如图5知D i－｜P i F｜cos［（i－1）α＋β］＝（a２／c）－c，即D i－eD i cos［（i－1）α＋β］＝b２／c，∴D i＝．经计算知故（是仅与n有关的常数）．。
极坐标与参数方程题型二：弦长问题
极坐标与参数方程题型二：弦长问题5. 已知曲线C的极坐标方程是. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线l的参数方程是: (是参数).(Ⅰ) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 将直线的参数方程化为普通方程; (Ⅱ) 若直线l与曲线C相交于A、B两点, 且, 试求实数m值.6.已知曲线(t为参数) ，(为参数) ．(I) 化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ) 过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.7、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．直线的参数方程是315415x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（为参数），曲线C的极坐标方程为)4πρθ+． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C 相交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．8、曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋4t ，y ＝2＋3t(t 为参数)．(1)将C 1化为直角坐标方程．(2)C 1与C 2是否相交？若相交求出弦长，不相交说明理由．9、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 的方程为ρ2＝123cos 2 θ＋4sin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求|P A |＋|PB |.10、在极坐标系中，已知圆心C (3,)6π，半径r =1．（1）求圆的直角坐标方程； （2）若直线1(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）与圆交于B A ,两点，求弦AB 的长.11.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数）。
参数法求曲线方程
即a=0时，消去a得
x 2 − y 2 + 2x − 2 y + 1 = 0
小结：
利用参数方程求轨迹 的关键是选择参数，而选择 参数在于对动点运动规律的分析，即动点与那个几何 量或物理量取值有关。
(t为参数）
x2 + y 2 = 1, 得 代入椭圆的普通方程 4
(t cos α − 3) 2 + 4(t sin α + 3) 2 − 4 = 0
∴ (cos 2 α + 4 sin 2 α )t 2 + 6(4 sin α − cosα )t + 41 = 0
41 164 ∴ PA ⋅ PB = t1t 2 = = 2 2 7 (cosα ) + 4(sinα )
一、复习提问：
x = x0 + t cosα y = y + t sin α 1、过点P ( x 0 , y 0 ), 倾斜角为α的直线的参数方程为— —0— —。
x = r cosθ −−−− θ 2、圆心在原点，半径为 r的圆的参数方程为 − y = r sin− − −
3、长半轴长a, 短半轴长b, 焦点在x轴上，中心在原点 的椭圆的参数方程为 − − − − − − − − x = a cosθ y = b sin θ
x 4y
x2 + ( y − 1) 2 = 1 （在椭圆内的部分） 4
解：设B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ),中点P( x, y )，则 x12 + 4 y12 = 4
2 2 x2 + 4 y 2 = 4
y 2 − y1 x 2 + x1 x 两式相减得： =− =− x 2 − x1 4( y 2 + y 1 ) 4y
运用参数方程求双曲线弦长
运用参数方程求双曲线弦长陕西理工大学数学与计算机科学学院（723001）郝秋梅［摘要］求双曲线的弦长是几何与代数的综合运用，也是高中数学的考点和难点之一。
运用双曲线的参数方程求弦长，不但能简化计算过程，而且能提高计算准确率，锻炼学生的数学思维和数学运算能力。
［关键词］参数方程；双曲线；弦长［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2022）02-0014-03参数方程是以参变量来表示曲线上点的运动轨迹的坐标方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。
双曲线是高中数学的重要组成部分，与向量、解析几何、直线方程等知识联系紧密。
在教学中，教师基本上只讲解用公式||AB=1+k2||x2-x1=|y2-y1求解弦长，其他方法一概略过。
在考试中，一旦双曲线方程或弦所在直线方程复杂、不易化简时，采用传统解法（联立双曲线方程与弦所在直线方程，再利用韦达定理和两点间距离公式）求解，会使计算难度增加，求解过程烦琐，学生往往会因为计算量过大而半途而废或出错。
为了解决此类问题，本文引进参数方程求解双曲线的弦长。
虽然定理证明过程比较复杂，但结论比传统解法更加简洁，同时也体现了解决数学问题方法的多样性。
一、性质推导性质1直线l：y=kx+m过双曲线{x=a cosφ,y=b tanφ（φ为参数）的焦点F2(c,0)与双曲线交于A，B两点，则l被双曲线截得的弦长||AB=2ab2(1+k2)||b2-k2a2。
（如图1）图1证明：设A(a secφ1,b tanφ1)，B(a secφ2,b tanφ2)。
因为直线l的斜率为k=b(tanφ2-tanφ1)a(secφ2-secφ1)，则tanφ2-tanφ1=ka b(secφ2-secφ1)。
故弦长||AB=(a secφ2-a secφ1)2+(b tanφ2-b tanφ1)2=a1+k2||secφ2-secφ1。
因为直线l与直线AF2的斜率相同，即k=b tanφ1a secφ1-c，所以tanφ1=kb(a secφ1-c)。
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^ 2)[(y1+y2)^2-4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入，化为关于x(或关于y)的，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
弦长公式及其运用
弦长公式在职业高中数学解题中的应用邹志勇摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容之一，而弦长公式的应用是其中的一个重要知识点，也是高考的热点，如何培养学生的创新思维，找到求解弦长的有效方法，在数学教学中显得尤为重要。
关键词：弦长、弦长公式、弦长公式的应用。
与“求弦长”有关的知识点在职高数学教学中经常遇到，而弦长公式是求弦长的最快捷方法之一，在实际应用中，如何让学生灵活地应用弦长公式求弦长在解题中显得至关重要。
一、弦长：这里指的是直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交所截的线段。
二、弦长公式：这里指的是弦长计算公式，弦长公式有好几个，而这里所要讲的是简化后的弦长公式（Ｌ＝ a k ∆+21 ）（1）弦长公式的推导设直线y=kx+t 与圆锥曲线相交于A （1x ，1y ） B （2x ，2y ）两点。
则弦长为AB ,把y=kx+t 代入圆锥曲线方程消去y 化简整理得到一个关于x 的一元二次方程 2x α+bx+c=0 （α≠0）则1x +2x =－a b ，1x 2x =ac ∴ AB =212212)()(y y x x -+-=[]212212)()()(t kx t kx x x +-++-=2122))(1(x x k -+=)1(2k +212214)(x x x x -+ =)1(2k + ac a b ⋅--4)(2=)1(2k + 224a ac b -=a k ∆+21 ∴ 弦长公式为 =ak ∆+21 （其中k 表示直线的斜率，△=2b -4ac ，α表示一元二次方程中2x 的系数）（2）弦长公式的应用①直线与圆相交时，弦长公式的应用举例。
例1：已知直线y=2x-5与圆x 2+y 2=25相交于A ，B 两点，求AB解：把y=2x-5代入x 2+y 2=25化简得x 2—4x=0∴ k=2 α=1 △= 2)4(--4×1×0=16 ∴ AB =ak ∆+21=116212+=45②直线与椭圆相交时，弦长公式的应用例2：已知直线y=x+2与椭圆92x +2y =1相交于A ，B 两点，求AB 解：把y=x+2代入92x + y 2=1化简得10x 2+36x+27=0 ∴ AB =ak ∆+21=1027104361122⨯⨯-+=536 ③直线与双曲线相交时，弦长公式的应用 例3：已知直线y=x-2与双曲线2x —22y =1化简得2x +4x-6=0 ∴ AB =a k ∆+21=1)6(1441122-⨯⨯-+=45 ④直线与抛物线相交时，弦长公式的应用例4：已知直线y=2x+m 与抛物线y 2 =4x 相交于Ａ，Ｂ两点，若AB ＝３5，求ｍ的值 解：把ｙ＝2x+m 代入y 2 =4x 化简得42x +（4m —4）x ＋2m =0∵ AB =35 ∴ 444)44(21222m m ⨯⨯--+=35 解得m =—4弦长公式的推导是一个难点，如果弄清了公式的来龙去脉，定能加深对公式的理解和记忆，弦长公式是一个实用性很强的公式，如果能够灵活地应用弦公式，在解题中往往能取到事半功倍的效果。
曲线的交点和弦长公式
曲线的交点和弦长公式
2 2
关 1 于弦长计算 方法小结
6
课堂练习: 1.若直线 4x-3y-2＝0 与圆 x 2 y 2 2ax 4 y a 2 12 0 有两 个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（ B） (A)-3＜a＜7 (B)-6＜a＜4 (C)-7＜a＜3 (D)-21＜a＜19
2.过点 ( 1,1) 的直线被圆 x 2 y 2 2 x 0 截得的弦长为 2 ， 则 此直线的方程为
x+y=0 或 x+7y-6=0
7
课外练习: 1. 已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称， 则圆 C 的方程为(C ) (A) (x+1)2+y2=1 (B) x2+y2=1 2 2 2 2 (C)x +(y+1) =1 (D)x +(y-1) =1
2. 已知圆 x 2 y 2 4 和两点 A（0，4） ，B（4，0） 当点 P 在圆上运动时， 求 ABC 的重心的轨迹方程.
一、知识学习
思考1问题 分析 关于弦长 1 计算
问题提出
直线与曲线位 置关系判断
二、例题分析
三、课外练习
思考2
课堂练习
1
曲线的交点和弦长公式
自学《随堂通》 P34 例 4 会产生一个疑问： 点到直线的距离 d 与半径 R 的大小来判 断直线与圆的交点情况的方法计算例 4 可不可 以？
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题型6 求直线与曲线相交弦的长【例17．6．1】求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．【详解】把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．圆心O 到直线的距离22d ==∴弦长22229227L R d =-=-=．所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为7 【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．【变式1】过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【分析】由已知过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长． 【详解】直线的参数方程为33,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得263100s s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴12126310s s s s +==，． AB 2121212()4s s s s s s =-=+-217．【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即s 为直线上的点到13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．【变式2】直线⎩⎨⎧--=+=ty t x 3141 (为参数t )被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2πθρ+=则需要用两角和的余弦公式展开转化．【详解】消去t 得直线的方程为3410x y ++=， 由2)2cos cos sin sin cos sin 444πππρθθθθθ⎫=+=-=-⎪⎭，两边同乘ρ，得2cos sin ρρθρθ=-，即22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线为圆，圆心为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭=，所以弦长为2221722105⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】57 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得．【变式3】已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =2p sin 2 θ． 【分析】弦长AB = |t 1 −t 2|． 【详解】由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2 sin 2 θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2sin 2 θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ． 圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a 、b 、c 、e 、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）、双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a ２b ２（a ＞0，b ＞0）、抛物线y ２＝2Px （P ＞0），以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为α，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ／sin ２α．证明过程，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A （对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB ，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB｜＝2P｜cosα｜／sin２α．证明过程，此处从略．4．焦点三角形的面积：P是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）或双曲线b２x２－a２y２＝a ２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（5－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造条件．即由e＝ca＝（1／2）（5－1）可得2c＋a＝5a，两边平方可得b２＝ac，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜x－（16／5）｜＝｜4－（5／4）x｜＋｜4＋（5／4）x｜．结合双曲线的范围x≤－4或x≥4即可得x＝－64／5．例3F是抛物线y２＝2Px（P＞0）的焦点，P为抛物线上一点，抛物线的准线l交x轴于H，若∠PFH＝α，∠PHF＝β，求证：sinα＝tanβ．导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作PQ⊥l，垂足为Q，则有｜PQ｜＝｜PF｜，∠QPH＝β，从而有｜PH｜＝｜PQ｜／cosβ＝｜PF｜／cosβ和｜PH｜／sinα＝｜PF｜／sinβ．由这两个等式易得sinα＝tanβ．二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系．例4经过椭圆（x２／4）＋（y２／2）＝1的长轴顶点A作椭圆的弦AB，若｜AB｜＝8／7，试求弦AB的倾斜角α．导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的．若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成．若教师给予启发诱导，则学生是能解决的．常用方法有：①应用弦长公式｜AB｜＝｜x A－x B｜·和韦达定理；②运用直线参数t的几何意义；③直接应用顶点弦长公式．下面给出两种解法：解法1由对称性，不妨设A为右顶点（2，0），则直线AB的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程得（cos２α＋2sin２α）t２＋4cosα·t ＝0．由t的几何意义知｜AB｜＝｜t B｜＝4｜cosα｜／（cos２α＋2sin２α）＝8／7，从而得2｜cosα｜２＋7｜cosα｜－4＝0α＝60°或120°．解法2 由椭圆顶点弦长公式得8／7＝2·2·2｜cosα｜／（2＋2sin２α）．以下同法1．例5AB是经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的弦MN ∥AB，求证：｜MN｜２∶｜AB｜是定值．导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了．教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具．对于本题，MN、AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有｜MN｜２＝4a２，｜AB｜＝2a．∴｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN、AB的倾斜角为α，则MN的方程为（t 为参数），代入椭圆方程后注意到t的几何意义即得｜MN｜２＝4a２b２／（b２＋c２sin２α）．①另一方面，AB的参数方程为（t为参数）．仿①可得｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）．②①÷②得｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．例6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，如图3，其中AP＝100M，BP＝150M，∠APB＝60°，问怎样运土才能最省工?导析：这是一道解析几何建模应用题．即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识．“最省工”的含义是：到点P的距离最近，所以半圆内的点有三类：①沿AP到P较近；②沿BP到P接近；③沿AP、BP到P等距．其中第③类点集是第①、②类点集之交集（分界线）．设M是分界线上任一点，则有｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜MP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜＝50（定值）．∴M在以A、B为焦点的双曲线右支上．由题设可得｜AB｜２＝17500，于是以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（x２／625）－（y２／3750）＝1（x≥25）．故运土时在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．例7l是椭圆的右准线，F１、F２是左、右焦点，P∈l．若椭圆的离心率e＝／2，试求∠F１PF２的最大值．导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立e与∠F１PF２（记为α）的关系式．教师可引导学生画图分析，步步追踪．如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（x２／a２）＋（y２／b２）＝1（a ＞b＞0），l为右准线且P在x轴上方，由此可设点P为（a２／c，y）（y＞0），又在F１（－c，0）、F２（c，0），在△PF１F２中，由两条直线所成的角得tanα＝（kPF２－kPF１）／（1＋kPF１·kPF２．①又∵kPF１＝y∶（（a２／c）＋c），kPF２＝y∶（（a２／c）－c），代入①得tanα＝2c３y／（a４－c４＋c２y２），∵y＞0，a４－c４＞0，∴tanα＞0．又∵α∈（0，π），∴α为锐角．由基本不等式得tanα≤当且仅当a４－c４＝c２y２，即y P＝（1／c）时取“＝”．从而可得cot２α≥（a４－c４）／c４＝e－４－1，∴csc２α≥e－４．∴sinα≤e２＝（／2）２．∵sinα在（0，π／2）上是增函数，∴α的最大值为π／6．三、强化训练1．已知A为双曲线x２－y２＝1的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）．A．3／3B．（3／2）3C．33D．63（2000年全国联赛）2．P是椭圆上的一点，F１、F２是两个焦点，若恒有∠F１PF２＝60°，则该椭圆的离心率e的范围是（）．A．（0，1）B．［／2，1）C．［／3，1）D．［1／2，1）．3．圆x２＋y２＝ｒ２过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的两个焦点F１（－c，0）、F２（c，0），它们有四个交点，其中一个交点为P，若△PF１F２的面积为26，椭圆长轴为15，则a＋b＋c＝_____．（2000年“希望杯”赛题）4．设O为抛物线的顶点，F为焦点，PQ为过F的弦，已知｜OF｜＝a，｜PQ｜＝b，则S△POQ＝_____．5．双曲线的离心率e＝2＋－－，过双曲线的右焦点F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点P，F１为左焦点，试求∠PF１F２的大小．（1998年河南省、重庆市高中赛题）6．经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的长轴顶点A作倾斜角为45°的弦AB，若弦AB 的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率e．7．l是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的左准线，在椭圆上放置n个点（n＞1）使每相邻两点与左焦点F连线所成的夹角均相等，如图5，∠P１FP２＝∠P２FP３＝…＝∠P n FP１＝2π／n，试证明：这n 个点到l的距离的倒数之和为一个仅与n有关的常数．参考答案与提示：1．C．由对称性知∠BAx＝∠CAx＝30°，｜AB｜＝｜AC｜．从而可按求弦长的思路求得｜AB｜＝2，也可运用顶点弦长公式知｜AB｜＝2·1·1·cos30°／｜1－2sin２30°｜＝2．∴S△ABC＝（1／2）｜AB｜２sin60°＝3．2．D．可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．3．a＋b＋c＝13＋．易知∠F１PF２＝90°，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．4．S△POQ＝a．本题可用焦点弦长公式求出弦PQ的倾斜角，然后再用三角形的面积公式求解．也可建立极坐标系利用极径及极角求解．5．设∠PF１F２＝α，双曲线方程为b２x２－a２y２＝a２b２，∵PF２⊥F１F２，∴x P＝c，由焦半径公式得｜PF２｜＝｜a－ex P｜＝｜a－ec｜＝ec－a＝（1／a）（c２－a２）．又∵｜F１F２｜＝2c，∴tanα＝｜PF２｜∶｜F１F２｜＝（1／a）（c２－a２）∶（2c）．∴tanα＝（c２－a２）／2ac＝（1／2）（e－（1／e）） (2)．∴α＝15°．6．可按求弦长的方法求出通径和｜AB｜的表达式，也可直接应用通径长为2b／a和顶点弦长公式．所求离心率e＝7．设在椭圆上的n个点为P１、P２、…，P n，它们到l：x＝－（a２／c）的距离记为D１、D２，…，D n，α＝2π／n，∠P１FO＝β，由椭圆定义得｜P i F｜＝eD i（i＝1，2，…，n）．如图5知D i－｜P i F｜cos［（i－1）α＋β］＝（a２／c）－c，即D i－eD i cos［（i－1）α＋β］＝b２／c，∴D i＝．经计算知故（是仅与n有关的常数）．。