2.2常见曲线的参数方程
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
【步步高】2021届高考数学总温习 第二讲 参数方程配套文档 理 新人教A版选修4-4(1)
第二讲 参数方程1．参数方程的概念一样地，在平面直角坐标系中，若是曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，而且关于t 的每一个许诺值，由方程组所确信的点M (x ，y )都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相关于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：通过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情形： 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .(t 为参数)．1．(讲义习题改编)假设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，那么直线的斜率为________．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．3．已知点P (3，m )在以点F 为核心的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，那么|PF |＝________.4．(讲义习题改编)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t co s 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．那么点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________.题型一 参数方程与一般方程的互化例1 已知两曲线参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．思维升华 (1)参数方程化为一般方程经常使用的消参技术有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．关于与角θ有关的参数方程，常经常使用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为一般方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的进程中必然要注意一般方程与参数方程的等价性．(2021·广东)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，那么l 的极坐标方程为________． 题型二 参数方程的应用例2 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 通过点P (2,2)，倾斜角α＝π3.(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程；(2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|PA |·|PB |的值．思维升华 依照直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下经常使用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数别离为t 1，t 2，那么弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，那么点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 2M |及中点坐标)．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为一般方程；(2)假设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N 别离为曲线C 、直线l 上的动点，那么|MN |的最小值为________．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一样方式是别离化为一般方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得加倍直观，它表现了化归思想的具体运用．(2021·湖北)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程别离为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .假设直线l 通过椭圆C 的核心，且与圆O 相切，那么椭圆C 的离心率为________． 参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t (t 为参数)，假设以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位成立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)假设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义致使错误． 标准解答解(1)直线的参数方程能够化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]依照直线参数方程的意义，直线l 通过点(0，22)，倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分]ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]因此圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64.因此|AB |＝102.[10分]温馨提示 关于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来讲，要注意t 是参数，而α那么是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有专门的几何意义，它表示离心角．方式与技术1．参数方程化一般方程经常使用的消参技术：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，常经常使用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题超级简捷方便，是咱们解决这种问题的好方式．3．通过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)．假设A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数别离为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，那么以下结论在解题中常经常使用到：①t 0＝t 1＋t 22；②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22；③|AB |＝|t 2－t 1|；④|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|. 失误与防范在将曲线的参数方程化为一般方程时，不单单要把其中的参数消去，还要注意其中的x ，y 的取值范围．也即在消去参数的进程中必然要注意一般方程与参数方程的等价性． A 组 专项基础训练1．假设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t(t 为参数)，那么直线的倾斜角为________．2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)化为一般方程为________________．3．(2021·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右极点，那么常数a 的值为________．4．(2021·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，那么圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______________．5．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )通过点(m ，12)，那么m ＝________.6．(2021·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB |＝________.7．(2021·天津)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，核心为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________.8．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b(t 为参数，b 为实数)，假设曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，那么b ＝________.9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝________. 10．假设直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝32，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，那么d 的最大值为________．B 组 专项能力提升1．已知抛物线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2y ＝8t (t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，假设斜率为1的直线通过抛物线C 1的核心，且与圆C 2相切，那么r ＝________.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －12(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的直角坐标为________．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，那么点P 到直线l 的距离的最大值为________．6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，那么直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．7．(2021·辽宁改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)C 1与C 2交点的极坐标为________；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b2t 3＋1(t ∈R 为参数)，那么a ，b 的值别离为________．答案基础知识自主学习 要点梳理1．任意一点 这条曲线上 参数 一般方程2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ夯基释疑1．－32 2.215 3.4 4.50° 5.M 1题型分类深度剖析例1 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，255解析 将两曲线的参数方程化为一般方程别离为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，255. 跟踪训练1 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的一般方程为x 2＋y 2＝2.那么在点(1,1)处的切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. 例2 解 (1)由圆C 的参数方程可得其标准方程为x 2＋y 2＝16.因为直线l 过点P (2,2)，倾斜角α＝π3，因此直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入圆C ：x 2＋y 2＝16中，得(2＋12t )2＋(2＋32t )2＝16， t 2＋2(3＋1)t －8＝0，设A 、B 两点对应的参数别离为t 1、t 2，那么t 1t 2＝－8，即|PA |·|PB |＝8.跟踪训练2 解 (1)x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，并整理得t 2＋33t －9＝0.设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，那么t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.例3 12解析 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，因此曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为一般方程x －3y ＋3＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52，现在，直线与圆相离，因此|MN |的最小值为52－2＝12.跟踪训练363解析 椭圆C 的标准方程为x 2a2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|m |2＝ba 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63. 练出高分 A 组 1．150°解析 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，因此该直线的倾斜角为150°.2．x －3y －5＝0，x ∈[2,77]解析 化为一般方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 3．3解析 椭圆C 的右极点坐标为(3,0)，假设直线l 过(3,0)，那么0＝3－a ，∴a ＝3.4.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ0≤θ<π解析 由题意得圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，设圆与x 轴的另一交点为Q ，那么Q (1,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，那么OP ＝OQ cos θ＝cos θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝OP cos θ＝cos 2θ＝12＋12cos 2θ，y ＝OP sin θ＝cos θ·sin θ＝12sin 2θ0≤θ<π.5．±154 解析 将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为一般方程为x 2＋y 24＝1，将点(m ，12)代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，因此m ＝±154. 6．16 解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8. 因此A (4,8)，B (4，－8)．因此|AB |＝|8－(－8)|＝16.7．2解析 依照抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ， 因此y 2M ＝6p ，因此E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因此p 2＋3＝p 2＋6p ，因此p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．8．±2解析 将曲线C 和直线l 的参数方程别离化为一般方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，假设要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要知足圆心到直线的距离为1即可，取得|b |2＝1，解得b ＝± 2.9.32解析 将曲线C 1与C 2的方程化为一般方程求解． ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1. 方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32， 将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32. 10．32＋1解析 ρcos(θ－π4)＝32，∴ρcos θ＋ρsin θ＝6， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6.由圆C 的参数方程知圆C 的圆心为C (0,0)，半径r ＝1.圆心C (0,0)到直线l 的距离为62＝32.∴d min ＝32＋1.B 组1.2 解析 抛物线C 1的一般方程为y 2＝8x ，其核心坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y ＝x －2，即x －y－2＝0.圆ρ＝r 的圆心是极点、半径为r ，直线x －y －2＝0与该圆相切，那么r ＝|0－0－2|2＝ 2.2．2解析 将参数方程化为一般方程求解． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0； 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．3．(1,1)解析 化参数方程为一般方程然后解方程组求解． C 1的一般方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的一般方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 解析 化射线的极坐标方程为一般方程，代入曲线方程求t 值．射线θ＝π4的一般方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝t －12，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．因此AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 5.2105解析 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)， 故直线l 的一般方程为x ＋2y ＝0.因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点， 故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22 ＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45.因此当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105. 6．(－1,1)和(1,1)解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋y －12＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1. ∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．7．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4 (2)－1,2 解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 因此C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.。
2.2常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
2.1-2.2：平面曲线和曲面的方程
(x, y) 必是曲线上某一点的坐标; (2) 曲线上任何一点 的坐标(x, y)满足这个方程. 那么这个方程就叫做这条 曲线的方程, 而这条曲线叫做这个方程的图形.
以下只考虑直角坐标系 例1 求圆心在坐标原点,半径为R的圆的方程.
解: 设M(x,y)是圆上任意一点, 则特征条件为
i
当t变化时, 动点P在平面上画出一条曲线,显然, 这条曲线
也可以看作是由动径矢r (t )的终点P画出.也就是说, 一个
起点固定在坐标原点的矢量, 它若随着一个参数变化, 那么它的终点就描画出一条曲线.
r r (t ) 我们称动径矢 r (t ) 是变数t的矢性函数. 记为 at b
Ax By C 0
也叫做一般方程
例2
方程 r (a cos t )i (b sin t ) j ,(a, b 0),
在平面上表示什么曲线?
椭圆
例2 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上的一点 P的轨迹. y 解: 如图, 经过一段
时间的滚动, 圆与直 线的切点移到A点, 圆心移到C点.
配方得:
( x g ) ( y h) ( z k ) g h k l
2 2 2 2 2 2
所以 当 g 2 h2 k 2 l 0, 三元二次方程表示中心在
(-g, -h, -k), 半径为
g h k l
2 2 2
的球面.
当 g 2 h2 k 2 l 0,
上称为虚球面.
三元二次方程无实图形, 习惯
当 g 2 h2 k 2 l 0,
(-g, -h, -k), 例6
参数方程人教版高中数学
参数方程知识精讲一．参数方程的定义在平面直角坐标系中，若曲线上的任意一点满足，并且对于的每个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，变量是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．二．常见曲线的参数方程1．直线标准式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．一般式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），其中．2．圆的常用参数方程为：为参数．3．圆锥曲线的参数方程椭圆的常用参数方程为：为参数．双曲线的参数方程为（为参数）．抛物线的参数方程为（为参数）．三点剖析一．方法点拨1．直线的标准式中，参数有明显的几何意义．经过点，倾斜角为的直线的参数方程为(为参数)，在直线有任一点，，即表示直线上任一点到定点的距离．若是直线上两点，所对应的参数分别为，则．2．已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法、三角法）转化为普通方程解答．3．对于直线与圆锥曲线曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里经常用到的有代数换元或三角换元．4．参数方程与极坐标的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，现将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）．题模精讲题模一参数方程化普通方程例1.1、曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=-2x上C、在直线y=x-1上D、在直线y=x+1上例1.2、参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A、A选项B、B选项C、C选项D、D选项例1.3、曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A、（x-1）2（y-1）=1B、y=C、y=-1D、y=+1题模二直线与圆的参数方程例2.1、设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+y+1=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A、1B、2C、3D、4例2.2、已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．例2.3、在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l:（t为参数）与曲线C:（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．题模三参数方程的应用例3.1、设直线l：（l为参数）与曲线C：（t为参数，实数a≠0）交于不同两点，求实数a的取值范围．例3.2、已知点P（x，y）是圆x2+y2=2y上的动点，（1）求2x+y的取值范围；（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．例3.3、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．随堂练习随练1.1、已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为____．随练1.2、直线y=2x+1的参数方程是（）A、（t为参数）B、（t为参数）C、（t为参数）D、（θ为参数）随练1.3、圆的参数方程为，则此圆的半径为______________．随练1.4、极坐标ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A、直线、直线B、直线、圆C、圆、圆D、圆、直线随练1.5、以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．随练1.6、圆C的极坐标方程为，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标（2）l与C交于A，B两点，求|AB|随练1.7、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．随练1.8、若x，y为实数，且x2+2xy﹣y2=7，则x2+y2的最小值为______．随练1.9、已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M 到直线C3：（t为参数）距离的最小值．自我总结课后作业作业1、参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）A、2x-y+1=0B、2x+y-1=0C、2x-y+1=0，x∈[0，1]D、2x+y-1=0，x∈[0，1]作业2、曲线（t为参数）的直角坐标方程是____．作业3、在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线C：（t 为参数）相交于A、B两点，则|AB|=_______．作业4、已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．作业5、在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．作业6、以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-）．（Ⅰ）求直线l和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的取值范围．作业7、已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．作业8、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：（t 为参数）与曲线C 2：（θ为参数，a＞0）．（Ⅰ）若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．作业9、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．。
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[研一题] [ 例 3]
x＝4secθ， y＝3tan θ
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析]
本题考查椭圆及双曲线的参数方程， 解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可． x2 y2 ∵16－ 9 ＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
p p F(2，0)，准线 x＝－2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF| p ＝2|FA|，即 3＋2＝2p，得 p＝2.
平面曲线的参数与极坐标方程郭孝英
平面曲线的参数与极坐标方程郭孝英一、引言平面曲线的参数与极坐标方程是数学中的两种不同描述曲线的方法。
平面曲线的参数方程使用参数表示曲线上的点，而极坐标方程使用极径和极角描述曲线上的点。
本文将对这两种方法进行详细的探讨，并针对不同的曲线类型给出相应的参数和极坐标方程。
二、参数方程的基本概念参数方程是指用参数表示函数中的自变量和因变量之间的关系。
对于平面曲线，常常使用参数方程来描述曲线上的点的位置。
参数方程的形式为 x = f(t)，y =g(t)，其中 t 是参数，f(t) 和 g(t) 是关于 t 的函数。
2.1 参数方程的优点参数方程具有以下优点：•可以描述更加复杂的曲线形状，如椭圆、双曲线等；•可以对曲线上的点进行更精确的定位和描述；•可以方便地确定曲线的切线和法线等。
2.2 参数方程的示例下面是一些常见曲线的参数方程示例：2.2.1 直线直线的参数方程为 x = at + b，y = ct + d，其中 a，b，c，d 是常数。
2.2.2 圆圆的参数方程为 x = r * cos(t)，y = r * sin(t)，其中 r 是圆的半径，t 是角度参数。
2.2.3 椭圆椭圆的参数方程为 x = a * cos(t)，y = b * sin(t)，其中 a 和 b 是椭圆的两个半轴长度，t 是角度参数。
三、极坐标方程的基本概念极坐标方程是指用极径和极角来描述平面上的点的位置关系。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
极坐标方程的形式为r = f(θ)，其中 r 是极径，θ 是极角。
3.1 极坐标方程的优点极坐标方程具有以下优点：•可以简化曲线的表示，特别适合描述对称性强的曲线；•可以方便地表示圆心对称和直角对称等特殊曲线。
3.2 极坐标方程的示例下面是一些常见曲线的极坐标方程示例：3.2.1 圆圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 是圆的半径。
3.2.2 直线直线的极坐标方程为r = a / cos(θ - b)，其中 a 和 b 是常数。
2.2《圆锥曲线的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】
6.下列参数方程的曲线的焦点在横轴上的是(
)
【解析】选C.将
2x=sin （θ为参数）化为普通方程，得 y=cos
4x2+y2=1，表示焦点在纵轴上的椭圆；将 x=2t （t为参数）
2 y=2t
化为普通方程，得 y= 1 x 2 ，
2
表示焦点在纵轴上的抛物线；由于sec2θ-tan2θ=1， 故将
x=sec y=tan
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
y=2sect 答案： x=3tant (t为参数) y=2sect
三、解答题（共40分）
x 2 y2 10.（12分） 若F1,F2是椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上不 25 16
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程. 【解析】
11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.
x=-4t 2 +1 4.抛物线方程为 (t为参数),则它在y轴正半轴上的截 y=4t
距是( （A）1
) （B）2 （C）4 （D）不存在
2
【解析】选B.当x=-4t2+1=0时，t=〒 1 ,
一、选择题（每小题6分，共36分）
常见曲线的参数方程总结
x
a
曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的
x
来看动点的慢动作
2a
2a
0
y
x
a
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
t 的几何意义如图示
t
a
当 t 从 0 2，x从 0 2a
即曲线走了一拱
a
.
参数方程
o
a
C
A
x
y
这就是旋轮线的参数方程。
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
B
A
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
4.
0
x
y
x+y+a = 0
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
0
x
y
P
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =
.
.
.
.
.
距离之积为a2的点的轨迹
直角系方程
8.双纽线
0
x
y
.
所围面积
.
.
.
由对称性
.
例1 求双纽线
2.2 2~3双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
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4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动
点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．
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解： 根据条件， 设点 M， B 的坐标分别为(x， (2pt2， A， y)， 1 2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且 t1· ≠0)，则 t2
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则：(|F1P|· 2P|)2 |F ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|· 2P|＝|OP|2. |F
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
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2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
x＝2pt2， 的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
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[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
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1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。
高考数学：参数方程+2.2函数的单调性与最大(小)值
1 x＝1＋ 2t， (2) y＝5＋ 3t. 2
(α 为参数)化成
【训练 1】
x＝cos α， (2010· 陕西)参数方程 y＝1＋ sin α
普通方程为________．
考向二 直线与圆的参数方程的应用 【例 2】 ►已知圆
x＝2＋tcos α， y＝ 3＋tsin α x＝1＋cos θ， C： y＝ sin θ
x cos y sin
直角坐标
y tan 极坐标 x 2 2 2 x y
（3）极坐标方程与普通方程的互化
普通方程化极坐标方程
x cos y sin x 2 y2 2 cos x sin y 2 x 2 y
x x 0 r cos (2)圆的参数方程 y y 0 r sin (θ 为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ， x2 y2 椭圆a2＋b2＝1 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝bsin θ x＝asec φ， x2 y2 双曲线a2－b2＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝tan φ
【训练 3】(2011· 南京模拟)过点 P(－3,0)且倾斜角为 30° 的直线 1 x＝t＋ t ， 和曲线 (t 为参数)相交于 A、B 两点， （1）求线段 1 y＝t－ t AB 的长． （2）求点 P 到点 A 和点 B 的距离之和及距离之积
考向四 参数方程与极坐标的综合问题 【例4】（1）（2012·安徽高考）在极坐标系中， 求圆ρ =4sin θ 的圆心到直线 6 (ρ ∈R)的距 离. （2）从极点O作射线，交直线ρ cos θ =3于点M， P为射线OM上的点，且|OM|·|OP|=12，若有且只 有一个点P在直线ρ sin θ -ρ cos θ =m上，求实 数m的值.
参数方程在解析几何中的妙用
参数方程在解析几何中的妙用1. 引言1.1 参数方程的定义参数方程是指以一个或多个参数表示的几何图形的方程。
在解析几何中，通常用参数方程来描述曲线或曲面的形状和特征。
参数方程与传统的代数方程相比，更具有灵活性和直观性，能够更加直观地展现几何图形的特性。
具体来说，如果一个曲线可以用参数t 表示，那么曲线上的每一个点都可以由一对函数关系x=f(t)，y=g(t) 描述，其中x 和y 分别表示该点的横纵坐标。
通过调整参数t 的取值范围，我们可以很方便地控制曲线上的点的位置和走向，从而实现对曲线形状的灵活描述。
参数方程在解析几何中有着广泛的应用。
通过参数方程，我们可以轻松地绘制出各种复杂的曲线，如椭圆、双曲线等。
参数方程也为曲线长度、曲率、面积等性质的计算提供了便利的工具。
参数方程的引入使得解析几何的研究更加灵活多样，为我们深入理解几何图形的特性提供了有力支持。
1.2 参数方程在解析几何中的作用参数方程在解析几何中的作用是十分重要的。
通过参数方程，我们可以更加直观地描述曲线的运动和形状，将几何问题转化为代数问题，并且更加方便地进行计算和分析。
具体来说，参数方程可以帮助我们解决一些传统的几何问题无法轻松解决的问题，比如曲线的长度、曲率和面积计算。
参数方程与代数方程之间有密切的关系。
通过参数方程，我们可以将曲线表示为关于参数的函数，从而将几何问题转化为代数问题。
这种转化可以简化问题的求解过程，让我们更加容易理解和掌握曲线的性质。
参数方程在曲线的绘制中起到了关键的作用。
我们可以通过改变参数的取值来绘制出不同形状的曲线，从而更好地理解曲线的运动和变化。
这对于学习曲线的性质和特点非常有帮助。
参数方程还可以帮助我们计算曲线的长度、曲率和面积。
通过参数方程，我们可以建立起曲线与坐标轴之间的准确对应关系，从而利用微积分的方法计算曲线的相关属性。
这为我们研究曲线提供了更多的手段和途径。
参数方程在解析几何中扮演着不可或缺的角色，它为我们探索几何世界提供了新的视角和方法。
2.2.2双曲线的参数方程
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
练习：
1、求双曲线{
x 2 3 sec y 4 3 tan
的两个焦点坐标。
(2 15 ,0)
2、双曲线{
x 3 sec y tan
(为参数)的渐近线
2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1) 2 3 5 当 tan 1, 即 或 时, OQ min 3 4 4 PQ min 3 1
小结：
(1)会由三角公式sec 2φ－tan 2φ=1类比 得到双曲线的的参数方程；参数φ是离心 角而不是曲线上动点旋转角！ （2）明白双曲线的参数方程在求与其 相关的最值问题上有其优越性。
y
A
M
B
O
x
y OB sin b sin 当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是
x a cos 为参数 y b sin
这就是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆. 通常规定参数ø∈[0,2π).
互动探究
探究双曲线参数 方程的方法与椭圆类 似，那么，二者在探 究过程中到底有什么 联系与区别呢？
b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA x B sin2 所以MAOB的面积为 SMAOB =|OA||OB|sin2 = cos cos 2 2 a2(sec2 -tan 2 ) = sin2 = a tan a b ab . 4cos2 2 2 a 2
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
曲线的参数方程(教案
教案：曲线的参数方程第一章：引言1.1 参数方程的概念解释参数方程的定义强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程的应用举例说明参数方程在现实生活中的应用引导学生思考参数方程在其他领域的应用潜力第二章：基本概念2.1 曲线的方程回顾曲线的一般方程引入参数方程与一般方程的关系2.2 参数的选取解释参数的选取对曲线形状的影响引导学生探讨如何选择合适的参数第三章：直线参数方程3.1 直线参数方程的基本形式给出直线参数方程的标准形式解释参数t在直线参数方程中的作用3.2 直线参数方程的应用通过实例展示直线参数方程在几何中的应用引导学生思考直线参数方程在实际问题中的应用第四章：圆锥曲线参数方程4.1 椭圆参数方程推导椭圆的参数方程解释参数在椭圆参数方程中的含义4.2 双曲线参数方程推导双曲线的参数方程强调双曲线参数方程的特点4.3 抛物线参数方程推导抛物线的参数方程探讨抛物线参数方程在几何中的应用第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程与图形变换介绍参数方程在图形变换中的应用举例说明参数方程在几何中的变换作用5.2 参数方程与优化问题引导学生思考参数方程在优化问题中的应用通过实例解决实际问题第六章：参数方程与极坐标6.1 极坐标系统回顾极坐标系统的定义和基本概念解释极坐标与直角坐标之间的关系6.2 参数方程与极坐标转换展示如何将参数方程转换为极坐标方程探讨参数方程在极坐标系统中的应用第七章：参数方程在物理学中的应用7.1 物理学中的参数方程介绍物理学中常见的参数方程强调参数方程在描述物理现象中的重要性7.2 参数方程在力学中的应用举例说明参数方程在力学问题中的应用引导学生思考参数方程在其他物理学领域中的应用第八章：参数方程在工程中的应用8.1 工程中的参数方程探讨参数方程在工程领域的应用强调参数方程在设计和分析中的作用8.2 参数方程在电子技术中的应用举例说明参数方程在电子技术中的应用引导学生思考参数方程在其他工程领域中的应用第九章：参数方程在数学分析中的应用9.1 参数方程与微积分介绍参数方程在微积分中的应用强调参数方程在解决极限和导数问题中的重要性9.2 参数方程与优化问题探讨参数方程在优化问题中的应用引导学生思考参数方程在其他数学分析领域中的应用第十章：总结与拓展10.1 参数方程的总结回顾参数方程的重要概念和应用强调参数方程在解决问题中的优势10.2 参数方程的拓展介绍参数方程在其他数学领域的研究进展引导学生思考参数方程在未来发展的潜力重点和难点解析六章：参数方程与极坐标重点：极坐标系统的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的关系。
高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课件北师大版选修4_4
圆 ， 则 圆 心 (1 ， 3 ) 到 直 线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 的 距 离 为
|1＋ 3× 12＋
33－2 2|＝1，故直线和圆相切．
(2)设圆上的点 P(1＋cos θ， 3＋sin θ)(0≤θ<2π)．
|OP|＝ 1＋cos θ2＋ 3＋sin θ2＝ 当 θ＝43π时，|OP|min＝1.
的参数方程为xy＝＝23scions
φ， φ
(φ 为参数)，
设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，
则 P 点的坐标是 P(3cos φ，2sin φ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.
当 sin 2φ＝1，即 φ＝45°时，面积 S 有最大值 12，
这时 x＝3cos 45°＝322，y＝2sin 45°＝ 2.
故面积最大的内接矩形的长为 3 2，宽为 2 2，最大面积为
12.
与椭圆上的动点 M 有关的最值、定值、轨迹等 问题一般利用其参数方程求解．
2．在平面直角坐标系 xOy 中 ，设 P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1 上一个动点，求 x＋y 的最大值． 解：椭圆方程x32＋y2＝1 的参数方程为xy＝＝sin3cθos θ， (θ 为参数)． 设椭圆上任一点 P( 3cos θ，sin θ)， 则 x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π3. ∵sinθ＋π3∈[－1,1]， ∴当 sinθ＋π3＝1 时，x＋y 取最大值 2.
x＝rcos α， OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，即 y＝rsin α (α 为参
数)．这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程．参数
α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角．
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2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
二、双曲线的参数方程1、以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上，标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>的双曲线的参数方程为sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0,0)y x a b a b-=>>的双曲线的参数方程为tan (sec x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、双曲线参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,(0,0)a b a b >>为半径分别作同心圆12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作直线OA ，过点A 作圆1C 的切线'AA 和x 轴交于点'A ，过圆2C 和x 轴的交点B 作圆2C 的切线'BB 和直线OA 交于点'B 。
过点','A B 分别作y 轴，x 轴的平行线','A M B M 交于点M 。
设Ox 为始边，OA 为始边的角为ϕ，点(,)M x y ，那么点'(,0),'(,)A x B b y 因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程的点A 的坐标为(cos ,sin )a a ϕϕ。
所以(cos ,sin )OA a a ϕϕ=，'(cos ,sin )AA x a a ϕϕ=--，因为'OA AA ⊥，所以'0OA AA ⋅=，从而2cos (cos )(sin )0a x a a ϕϕϕ--=，解得cos a x ϕ=，记1sec cos ϕϕ= 则sec x a ϕ=。
因为点'B 在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有tan ybϕ=，即tan y b ϕ=⋅ 所以点M 的轨迹的参数方程为sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。
3、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角，成为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈，且2,23ππϕϕ≠≠4、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义因为2221sin 1cos cos ϕϕϕ-=，即22sec tan 1ϕϕ-=，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化① 由双曲线的参数方程sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），易得sec ,tan x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去，得到普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>② 在双曲线的普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>中，令sec ,tan x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程sec (tan x a y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）三、抛物线的参数方程1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22y px =(0)p >的参数方程为22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线22(0)x py p =>的参数方程是22(2x pt t y pt=⎧⎨=⎩为参数）2、抛物线参数方程的推导：如图设抛物线的普通方程为22y px =(0)p >，其中p 表示焦点到准线的距离。
设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角为α。
当α在(,)22ππ-内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M 和之对应，故可取α为参数来探求抛物线的参数方程。
由于点M 在α的终边上，根据三角函数的定义可得tan yxα=，即tan y x α=，代入抛物线普通方程可得22tan (2tan p x p y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） 这就是抛物线22y px =(0)p >（不包括顶点）的参数方程。
如果令1,(,0)(0,)tan t t α=∈-∞+∞，则有22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数） 当0t =时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)(0,)t ∈-∞+∞时，参数方程就表示整条抛物线。
3、抛物线参数方程中参数t 的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点和原点连线的斜率的倒数。
四、例题：例1、已知椭圆的参数方程为2cos (4sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），点M 在椭圆上，对应的参数3πϕ=，点O 为原点，则直线OM 的斜率为____________.解：当3πϕ=时，2cos 134sin 233x y ππ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩故点M 的坐标为(1,23)，所以直线OM 的斜率为23。
例2、已知椭圆的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，R θ∈），则该椭圆的焦距为________.解：由参数方程得cos 4sin 5xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将两式平方相加得椭圆的标准方程为2211625x y += 所以焦距为225166-= 例3、O 是坐标原点，P 是椭圆3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数）上离心角为6π-所对应的点，那么直线OP 的倾斜角的正切值是_________ 解;把ϕ=6π-代入椭圆参数方程3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数），可得P 点坐标为33(1)2-，所以直线OP 的倾斜角的正切值是23tan 933ϕ==- 例4、已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），28cos :(3sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；解：221:(4)(3)1C x y ++-=，2:C 221649x y +=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
例5、设M 为抛物线22y x =上的动点，定点0M (1,0)-，点P 为线段0M M 的中点，求点P 的轨迹方程。
解：设点(,)P x y ，令2y t =，则2222y x t ==，得抛物线的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩，则动点2(2,2)M t t ，定点0M (1,0)-，由中点坐标公式知点P 的坐标满足方程组21(12)21(02)2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即212x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数） 这就是P 点的轨迹的参数方程。
消去参数化为普通方程是212y x =+，它是以x 轴为对称轴，顶点为1(,0)2-的抛物线。
例6、在椭圆22194x y +=上求一点M ，使点M 到直线2100x y +-=的距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为3cos (2sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），所以可设点M 的坐标为(3cos ,2sin )ϕϕ由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为：345(cos sin )103cos 4sin 105555d ϕϕϕϕ⋅+⋅-+-==01)105ϕϕ=-- 其中0ϕ满足于0034cos ,sin 55ϕϕ== 由三角函数的性质知，当00ϕϕ-=时，d 5093cos 3cos 5ϕϕ==，082sin 2sin 5ϕϕ==，因此，当点M 位于98(,)55时，点M 和直线2100x y +-=5例7、已知抛物线22(0)y px p =>，O 为坐标原点，,M N 是抛物线上两点且23MN =若直线,OM ON 的倾斜角分别为2,33ππ，求抛物线方程。
解：设(,)M x y ，由抛物线参数方程可知22cot 32cot 3x p y p ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2323x p y p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故223()3p M p ，同理知223(,)3N p p ，因为23MN =所以16p =，得抛物线方程为213y x = 例8、已知两曲线的参数方程分别为5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ≤<和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.解：5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，表示椭圆221(5501)5x y x y +=-≤≤≤≤且 25()4x tt R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =，联立得2221(5501)545x y x y y x ⎧+=-≤≤≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且解得245015()x x x x +-=⇒==-或舍 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)5例9、如图所示，设M 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别和两渐近线交于A ，B 两点，试求平行四边形MAOB 的面积。