2.2常见曲线的参数方程
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
19-20 第2章 §2 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程
栏目导航
(4)设 MQ 的中点为(x，y)．
∵M(1＋cos θ， 3＋sin θ)，Q(－1，－ 3)，
∴yx＝＝－1＋c3o＋2s θ2－3＋1＝sin21cθo＝s θ12，sin θ
(θ 为参数)．
栏目导航
本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这 是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的 三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体现了椭圆的参数 方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．
栏目导航
2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
栏目导航
[解析] (1)√ 椭圆中，参数φ的几何意义就是离心角． (2)× 在四个顶点处是相同的，在其他任一点处，离心角和旋 转角在数值上都不相等． (3)× 双曲线中，参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π. [答案] (1)√ (2)× (3)×
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
栏目导航
【例 4】 设方程xy＝＝1＋3＋cossinθ，θ (θ 为参数)表示的曲线为 C. (1)判断 C 与直线 x＋ 3y－2＝0 的位置关系； (2)求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小值； (3)点 P 为曲线 C 上的动点，当|OP|最小时(O 为坐标原点)，求点 P 的坐标； (4)点 M 是曲线 C 上的动点，求其与点 Q(－1，－ 3)连线中点的 轨迹．
≤1，且x2＋
y 2
2＝
1－t2 1＋t2
2＋
4t2 1＋t22
＝
1，所以C的直角坐标方程为x2＋y42＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋ 3y＋11＝0.
栏目导航
曲线的参数方程
如果t 是常数,θ 是参数,那么可以利用公式
������
sin2θ+cos2θ=1 消参;如果 θ 是常数,t 是参数,那么适当变形后可以利
用
������ + 1
2
−
������
������-
1 ������
2
= 4 消参.
-13-
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
所以圆的参数方程为
������ ������
= =
3cos������, 3 + 3sin������
(������为参数).
-9-
∗
, 并且对于������的每一个允许值, 由方程组
∗ 所确定的点������ ������, ������ 都在这条曲线上, 那么方程 ∗ 就叫做这条曲
线的参数方程, 联系变数������, ������的变数������叫做参变数, 简称参数. 相对于
参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意
义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.
-4-
一 曲线的参数方程
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
【做一做 1】
若点 P(2,4)在参数方程
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
直线和圆锥曲线的参数方程
3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
自主预习 讲练互动 课堂达标 教材链接
这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
自主预习
讲练互动
课堂达标
教材链接
【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
自主预习
讲练互动
参数方程人教版高中数学
参数方程知识精讲一．参数方程的定义在平面直角坐标系中，若曲线上的任意一点满足，并且对于的每个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，变量是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．二．常见曲线的参数方程1．直线标准式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．一般式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），其中．2．圆的常用参数方程为：为参数．3．圆锥曲线的参数方程椭圆的常用参数方程为：为参数．双曲线的参数方程为（为参数）．抛物线的参数方程为（为参数）．三点剖析一．方法点拨1．直线的标准式中，参数有明显的几何意义．经过点，倾斜角为的直线的参数方程为(为参数)，在直线有任一点，，即表示直线上任一点到定点的距离．若是直线上两点，所对应的参数分别为，则．2．已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法、三角法）转化为普通方程解答．3．对于直线与圆锥曲线曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里经常用到的有代数换元或三角换元．4．参数方程与极坐标的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，现将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）．题模精讲题模一参数方程化普通方程例1.1、曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=-2x上C、在直线y=x-1上D、在直线y=x+1上例1.2、参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A、A选项B、B选项C、C选项D、D选项例1.3、曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A、（x-1）2（y-1）=1B、y=C、y=-1D、y=+1题模二直线与圆的参数方程例2.1、设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+y+1=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A、1B、2C、3D、4例2.2、已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．例2.3、在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l:（t为参数）与曲线C:（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．题模三参数方程的应用例3.1、设直线l：（l为参数）与曲线C：（t为参数，实数a≠0）交于不同两点，求实数a的取值范围．例3.2、已知点P（x，y）是圆x2+y2=2y上的动点，（1）求2x+y的取值范围；（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．例3.3、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．随堂练习随练1.1、已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为____．随练1.2、直线y=2x+1的参数方程是（）A、（t为参数）B、（t为参数）C、（t为参数）D、（θ为参数）随练1.3、圆的参数方程为，则此圆的半径为______________．随练1.4、极坐标ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A、直线、直线B、直线、圆C、圆、圆D、圆、直线随练1.5、以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．随练1.6、圆C的极坐标方程为，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标（2）l与C交于A，B两点，求|AB|随练1.7、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．随练1.8、若x，y为实数，且x2+2xy﹣y2=7，则x2+y2的最小值为______．随练1.9、已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M 到直线C3：（t为参数）距离的最小值．自我总结课后作业作业1、参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）A、2x-y+1=0B、2x+y-1=0C、2x-y+1=0，x∈[0，1]D、2x+y-1=0，x∈[0，1]作业2、曲线（t为参数）的直角坐标方程是____．作业3、在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线C：（t 为参数）相交于A、B两点，则|AB|=_______．作业4、已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．作业5、在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．作业6、以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-）．（Ⅰ）求直线l和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的取值范围．作业7、已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．作业8、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：（t 为参数）与曲线C 2：（θ为参数，a＞0）．（Ⅰ）若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．作业9、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．。
2.2圆和椭圆的参数方程
2.2圆和椭圆的参数方程学习目标：1.圆的参数方程与普通方程的互化；2.了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义；3. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义.学习过程：（一）复习旧知（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数， 即 并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
（二）新课学习：探究1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？例题讲解1、直线y ax b =+通过第一、二、四象限，则圆cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数的圆心位于 （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、圆22(1)4x y -+=上的点可以表示为 （ ）A 、(1cos ,sin )θθ-+B 、(1sin ,cos )θθ+C 、(12cos ,2sin )θθ-+D 、(12cos ,2sin )θθ+ 3、圆cos ()sin 2x r r r y r θθθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,r>0的直径是4，则圆心坐标是 ． 4、点(,)x y 是曲线2cos :()sin x C y θθθπθ=-+⎧≤<⎨=⎩为参数,0上任意一点，则y x 的取值范围是 ．探究3：如图，以原点为圆心，分别以a ，b （0a b >>）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN Ox ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.2．根据以上的解法，可求得椭圆22221b a y x +=（0a b >>）的参数方程是：cos sin x b y a θθ=⎧⎨=⎩为参数（）. 注意：椭圆的参数方程中离心角θ的的几何意义是：是xOA θ∠=，不是xOM θ∠=.5.把下列普通方程化为参数方程.（1）22149x y += （2） 22116y x += 6.已知A 、B 两点是椭圆22194y x +=与坐标轴正半轴的两个交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大.7.点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离． 三、总结提升：1.椭圆的参数方程对于解决与椭圆上的点有关的最值问题，有很大的优越性，具体表现在最大距离、最小距离、最大面积等；在求解过程中，将问题转化为三角函数的问题，利用三角函数求最值.2.椭圆参数方程中的参数θ的几何意义，一定要利用图形观察弄清楚.教学反思：在课堂中，对学生完成课堂练习的情况进行分析，分析学生的解题情况，通过提问其他学生，让全班学生帮助分析错题原因，做到讲、练、评的有效结合。
2.2 2~3双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
返回
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
返回
返回
4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动
点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．
返回
解： 根据条件， 设点 M， B 的坐标分别为(x， (2pt2， A， y)， 1 2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且 t1· ≠0)，则 t2
返回
返回
则：(|F1P|· 2P|)2 |F ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|· 2P|＝|OP|2. |F
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
返回
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
x＝2pt2， 的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
返回
[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
返回
返回
1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。
高考数学：参数方程+2.2函数的单调性与最大(小)值
1 x＝1＋ 2t， (2) y＝5＋ 3t. 2
(α 为参数)化成
【训练 1】
x＝cos α， (2010· 陕西)参数方程 y＝1＋ sin α
普通方程为________．
考向二 直线与圆的参数方程的应用 【例 2】 ►已知圆
x＝2＋tcos α， y＝ 3＋tsin α x＝1＋cos θ， C： y＝ sin θ
x cos y sin
直角坐标
y tan 极坐标 x 2 2 2 x y
（3）极坐标方程与普通方程的互化
普通方程化极坐标方程
x cos y sin x 2 y2 2 cos x sin y 2 x 2 y
x x 0 r cos (2)圆的参数方程 y y 0 r sin (θ 为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ， x2 y2 椭圆a2＋b2＝1 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝bsin θ x＝asec φ， x2 y2 双曲线a2－b2＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝tan φ
【训练 3】(2011· 南京模拟)过点 P(－3,0)且倾斜角为 30° 的直线 1 x＝t＋ t ， 和曲线 (t 为参数)相交于 A、B 两点， （1）求线段 1 y＝t－ t AB 的长． （2）求点 P 到点 A 和点 B 的距离之和及距离之积
考向四 参数方程与极坐标的综合问题 【例4】（1）（2012·安徽高考）在极坐标系中， 求圆ρ =4sin θ 的圆心到直线 6 (ρ ∈R)的距 离. （2）从极点O作射线，交直线ρ cos θ =3于点M， P为射线OM上的点，且|OM|·|OP|=12，若有且只 有一个点P在直线ρ sin θ -ρ cos θ =m上，求实 数m的值.
2.2.2双曲线的参数方程
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
练习：
1、求双曲线{
x 2 3 sec y 4 3 tan
的两个焦点坐标。
(2 15 ,0)
2、双曲线{
x 3 sec y tan
(为参数)的渐近线
2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1) 2 3 5 当 tan 1, 即 或 时, OQ min 3 4 4 PQ min 3 1
小结：
(1)会由三角公式sec 2φ－tan 2φ=1类比 得到双曲线的的参数方程；参数φ是离心 角而不是曲线上动点旋转角！ （2）明白双曲线的参数方程在求与其 相关的最值问题上有其优越性。
y
A
M
B
O
x
y OB sin b sin 当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是
x a cos 为参数 y b sin
这就是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆. 通常规定参数ø∈[0,2π).
互动探究
探究双曲线参数 方程的方法与椭圆类 似，那么，二者在探 究过程中到底有什么 联系与区别呢？
b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA x B sin2 所以MAOB的面积为 SMAOB =|OA||OB|sin2 = cos cos 2 2 a2(sec2 -tan 2 ) = sin2 = a tan a b ab . 4cos2 2 2 a 2
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
各种曲线PROE的参数方程
45.梅花线(圆角五星)
方程：theta = t*360 r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
9.双弧外摆线 方程： l=2.5
b=2.5 x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)
10.星形线 方程：a=5
x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^3 11.心脏线
方程：a=10 r=a*(1+cos(theta))
theta=t*360 12.圆内螺旋线 方程：theta=t*360
r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta)
13.正弦线 方程：x=50*t y=10*sin(t*360) z=0
14.太阳线 (发光的太阳，见 73) 15.费马曲线（有点像螺纹线） 数学方程：r＊r = a*a*theta
方程：a = 10 b = 20
theta = t*360*3 x = a*cos(theta) y = b*sin(theta)
z=t*12 49.空间螺旋梅花线 方程：theta = t*360*4 r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
z = t*16 50 鼓形线 方程：r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10
方程：r = 5 theta = t*1800 z =(cos(theta-90))+24*t 21.三叶线 方程：a=1
2017_2018学年高中数学第二章参数方程2_2圆的参数方程2_3椭圆的参数方程2_4双曲线的参数
(2)线段AB的中点M对应的参数t＝ (解题时能够作为大体结论利用)．
3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 (t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程 (t为参数)代入抛物线方程y2＝4x，
(t为参数)．①
设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点，M点对应的参数为t，那么|M0M|＝|t|＝2，
∴t＝±2.将t的值代入①式：
当t＝2时，M点在M0点上方，其坐标为(－2－ ，3＋ )；
当t＝－2时，M点在M0点下方，其坐标为(－2＋ ，3－ )．
1．过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 (t为参数)，|t|的几何意义是有向线段 的长度，即P与M间的距离．
2．问题1中取得的参数方程中参数何时与 (t∈R)中参数t具有相同的几何意义？
提示：当a2＋b2＝1时．
[对应学生用书P24]
直线参数方程的确定
[例1] 已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．
[思路点拨] 此题考查如何依照已知条件确信直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入 取得直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．
1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，假设涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的一般方程来解决更为方便．
2．在求直线l与曲线C：f(x，y)＝0的交点间的距离时，把直线l的参数方程 代入f(x，y)＝0，能够取得一个关于t的方程f(x0＋tcosα，y0＋tsinα)＝0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 3 解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－5. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． 3 4 sin φ＝－5时，cos φ＝± . 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4，－4)或(－4，4)．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程导学案
2.2圆锥曲线的参数方程【知识链接】将下列参数方程化成普通方程1、)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2、)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x【学习过程】（一）椭圆的参数方程 1、焦点在x 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2、焦点在y 轴:)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x （二）双曲线的参数方程1双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的参数方程___________________________注：（1）ϕ的范围____________________ （2）ϕ的几何意义___________________________2双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的参数方程___________________________(三)抛物线的参数方程抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (四)典型例题例1．参数方程与普通方程互化 1把下列普通方程化为参数方程.(1)19422=+y x (2)11622=+y x2把下列参数方程化为普通方程(1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x (2))(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_________。
例2、在椭圆8822=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.【达标检测】 ( )____________________),(,0cos 3sin 2cos 42222方程为那么圆心的轨迹的普通为参数、已知圆的方程为θθθθ=+--+y x y x2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(1πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P 方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
二、双曲线的参数方程1、以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上，标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>的双曲线的参数方程为sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0,0)y x a b a b-=>>的双曲线的参数方程为tan (sec x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、双曲线参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,(0,0)a b a b >>为半径分别作同心圆12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作直线OA ，过点A 作圆1C 的切线'AA 与x 轴交于点'A ，过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线'BB 与直线OA 交于点'B 。
过点','A B 分别作y 轴，x 轴的平行线','A M B M 交于点M 。
设Ox 为始边，OA 为始边的角为ϕ，点(,)M x y ，那么点'(,0),'(,)A x B b y 因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程的点A 的坐标为(cos ,sin )a a ϕϕ。
所以(cos ,sin )OA a a ϕϕ=，'(cos ,sin )AA x a a ϕϕ=--，因为'OA AA ⊥，所以'0OA AA ⋅=，从而2cos (cos )(sin )0a x a a ϕϕϕ--=，解得cos a x ϕ=，记1sec cos ϕϕ= 则sec x a ϕ=。
因为点'B 在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有tan ybϕ=，即tan y b ϕ=⋅ 所以点M 的轨迹的参数方程为sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。
3、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角，成为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈，且2,23ππϕϕ≠≠4、双曲线的参数方程中参数ϕ的意义因为2221sin 1cos cos ϕϕϕ-=，即22sec tan 1ϕϕ-=，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化① 由双曲线的参数方程sec (tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），易得sec ,tan x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去，得到普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>② 在双曲线的普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>中，令sec ,tan x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程sec (tan x a y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）三、抛物线的参数方程1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22y px =(0)p >的参数方程为22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线22(0)x py p =>的参数方程是22(2x pt t y pt=⎧⎨=⎩为参数）2、抛物线参数方程的推导：如图设抛物线的普通方程为22y px =(0)p >，其中p 表示焦点到准线的距离。
设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角为α。
当α在(,)22ππ-内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M 与之对应，故可取α为参数来探求抛物线的参数方程。
由于点M 在α的终边上，根据三角函数的定义可得tan yxα=，即tan y x α=，代入抛物线普通方程可得22tan (2tan p x p y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） 这就是抛物线22y px =(0)p >（不包括顶点）的参数方程。
如果令1,(,0)(0,)tan t t α=∈-∞+∞，则有22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数） 当0t =时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)(0,)t ∈-∞+∞时，参数方程就表示整条抛物线。
3、抛物线参数方程中参数t 的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
四、例题：例1、已知椭圆的参数方程为2cos (4sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），点M 在椭圆上，对应的参数3πϕ=，点O 为原点，则直线OM 的斜率为____________.解：当3πϕ=时，2cos 134sin 233x y ππ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩故点M 的坐标为(1,23)，所以直线OM 的斜率为23。
例2、已知椭圆的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，R θ∈），则该椭圆的焦距为________.解：由参数方程得cos 4sin 5xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将两式平方相加得椭圆的标准方程为2211625x y +=所以焦距为6= 例3、O 是坐标原点，P 是椭圆3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数）上离心角为6π-所对应的点，那么直线OP 的倾斜角的正切值是_________ 解;把ϕ=6π-代入椭圆参数方程3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数），可得P点坐标为(1)2-，所以直线OP的倾斜角的正切值是tan 9ϕ==- 例4、已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+⎧⎨=+⎩为参数），28cos :(3sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；解：221:(4)(3)1C x y ++-=，2:C 221649x y +=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
例5、设M 为抛物线22y x =上的动点，定点0M (1,0)-，点P 为线段0M M 的中点，求点P 的轨迹方程。
解：设点(,)P x y ，令2y t =，则2222y x t ==，得抛物线的参数方程为222x t y t⎧=⎨=⎩，则动点2(2,2)M t t ，定点0M (1,0)-，由中点坐标公式知点P 的坐标满足方程组21(12)21(02)2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即212x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数） 这就是P 点的轨迹的参数方程。
消去参数化为普通方程是212y x =+，它是以x 轴为对称轴，顶点为1(,0)2-的抛物线。
例6、在椭圆22194x y+=上求一点M，使点M到直线2100x y+-=的距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为3cos(2sinxyϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)ϕϕ由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：d==)10ϕϕ=--其中ϕ满足于0034cos,sin55ϕϕ==由三角函数的性质知，当ϕϕ-=时，d93cos3cos5ϕϕ==，82sin2sin5ϕϕ==，因此，当点M位于98(,)55时，点M与直线2100x y+-=例7、已知抛物线22(0)y px p=>，O为坐标原点，,M N是抛物线上两点且MN=若直线,OM ON的倾斜角分别为2,33ππ，求抛物线方程。
解：设(,)M x y，由抛物线参数方程可知22cot32cot3x py pππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即23x py p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故2()3pM p，同理知2(,)3N p p，因为MN=所以16p=，得抛物线方程为213y x=例8、已知两曲线的参数方程分别为sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ≤<和25()4x tt Ry t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.解：5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，表示椭圆221(5501)5x y x y +=-≤≤≤≤且 25()4x tt R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =，联立得2221(5501)545x y x y y x ⎧+=-≤≤≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且解得245015()x x x x +-=⇒==-或舍 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)5例9、如图所示，设M 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，试求平行四边形MAOB 的面积。