信号检测与估计第一章课后答案
信号检测与估计答案1
信号检测与估计答案15-2 若观测方程为i i x s n =+()1,2,,i N =，其中信号()2~0,s s N σ，噪声()()2~0,1,2,,i n n N i N σ=独立同分布，且信号与噪声满足{}0i E sn =。
求s 的最大后验概率估计ˆMAP s。
解：依题意，以信号s 为条件的观测样本的概率密度函数为()()()2112221,,|exp 22N i i N Nnnx s f x x s σπσ=⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑信号s 的概率密度函数为()222ss f s σ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则由上面两式可得()()()()()211222212221ln ,,|ln exp 221ln 22N i i N N nn Ni i N n n x s f x x s ss x s s σπσσπσ==⎧⎫⎡⎤⎧⎫-⎪⎪⎢⎥⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎨⎬⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭⎡⎤-⎢⎥∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑()22222ln ln 22s s s s f s s s s s s⎧⎫⎡⎤⎛⎫∂∂⎪⎪=-⎥⎨⎬ ⎪∂∂⎥⎝⎭⎪⎪⎦⎩⎭⎡⎤∂=-⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦=-σσσ最大后验概率准则为()ˆmax |MAP f θθθ=x ，即()ˆ|0MAPf θθθθ=∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦x ，又可表示为()()ˆln |ln 0MAPf f θθθθθθ=∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂⎣⎦x ，将之前结果带入其中可得2221ˆNs MAP ii ns sx N σσσ==+∑ 。
5-4已知观测信号0()cos()()x t A t n t ωθ=++(0)t T ≤≤,式子中()n t 是零均值，功率谱为2N 的高斯白噪声，θ是在[0,2)π上均匀分布的随机变量，求A 的最大似然估计和估计量的均方误差。
解：0()cos()()x t A t n t ωθ=++()x t 的似然函数为：020002220000022000000()cos()()1(|,)exp [()cos()]1exp [()2()cos()cos ()]12exp [()()cos()2TTTTTT x t A t n t f x A F x t A t dt N F x t dt x t A t dt At dt N A A T F x t dt x t t dt N N N ωθθωθωθωθωθ=++⎧⎫=⋅--+⎨⎬⎩⎭⎧⎫=⋅--+++⎨⎬⎩⎭⎧⎫=⋅-++-⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为1(),022f θθππ=≤≤ 所以202200000(|)(|,)()12exp{}exp [()()2Tf x A f x A f d A TAq F x t dt I N N N πθθθ=⎧⎫=⋅--⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 其中22200002200000()sin ()cos 12ln (|)ln ()ln ()2T TT q x t tdt x t tdt A T Aqf x A F x t dt I N N N ωω⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎰⎰⎰令000ln (|)20()0f x A AT AqI A N A N ∂∂=⇒-++∂∂ （1）假设SNR,即02Aq N 足够大，则00022()Aq AqI N N ≈0022ˆ(1)0MLAT q q A N N T⇒-+=⇒=由2220000()sin ()cos T Tq x t tdt x t tdt ωω⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰知22202221()exp(())()242T T TqA T qATf q q I σσσ=-+所以222323240001()2T T qq x x q T q E qf q dq AT e dq e AT x e dx AT σσσ=-+∞+∞+∞-⎛⎫−−−→ ⎪==←−−− ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 所以221ˆ()()2MLE A E q AT A T T ==⋅= （无偏估计） 200024ˆvar(),var()44T ML N T N T N q A T T σ====5-11. 假定已知信号112()cos cos 2...cos p s t a t a t a p t ωωω=+++212()sin sin 2...sin p s t b t b t b p tωωω=+++观测信号12()()()()x t s t s t n t =++，()n t 是均值为0、均方差为1的高斯白噪声。
信号检测与估计理论(复习题解)
H1)
s2 1k
s1k s0k
k 1
k 1
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
Var(l |1H1) Var(l | H
)
E
N
k 1
nk
s1k
N k 1
nk
s0k
2
N
2
2
s n
1k
k1
N
s2 0k k 1
信号检测与估计理论
内容提要 例题解答
第1章 信号检测与估计概论 信号的随机性及其统计处理方法。
内容提要
第1章 信号检测与估计概论
略
例题解答
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
一. 离散随机信号
1. 概率密度函数p(x)及特性： 非负,全域积分等于1,落入[a,b]间的概率。
2. 统计平均量：均值,方差。
解：似然函数为
p(x
|
H0
)
1
2
2 n
N
2
exp
N
k 1
( xk
s0k
2
2 n
)2
p(x
|
H1)
1
2
2 n
N
2
exp
N
k 1
(xk s1k
2
2 n
)2
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
其中,观测噪声n服从对称三角分布,如图3.1(a)所示。
若似然比检测门限 1,求最佳判决式,图示判决域,计算P(H1 | H0 )。
信号检测与估计理论第一章习题讲解
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X xF x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
信号与系统课后习题与解答第一章
信号与系统课后习题与解答第⼀章1-1 分别判断图1-1所⽰各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解信号分类如下：--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所⽰信号分别为（a ）连续信号（模拟信号）；（b ）连续（量化）信号；（c ）离散信号，数字信号；（d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号；（f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所⽰问）（1）)sin(t e at ω-；（2）nT e -；（3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221。
解由1-1题的分析可知：（1）连续信号；（2）离散信号；（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ：（1）)30t (cos )10t (cos -；（2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。
解判断⼀个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为⼀个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为⾮周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。
由于5π为21T T 、的最⼩公倍数，所以此信号的周期5T π=。
（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。
（3）因为[])16t (cos 2252252)16t (cos 125)8t (5sin 2-=-?=所以周期8162T ππ==。
信号检测与估计理论
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
信号检测与估计理论(复习题解)
最大似然估计法具有一致性和渐近无偏性等优点，但在小样本情况下可能存在偏差。此外，该方 法对模型的假设较为敏感，不同的模型假设可能导致不同的估计结果。
最小二乘法
01
原理
最小二乘法是一种基于误差平方和最小的参数估计方法， 它通过最小化预测值与观测值之间的误差平方和来估计模 型参数。
02 03
步骤
首先，构建包含未知参数的预测模型；然后，根据观测数 据计算预测值与观测值之间的误差平方和；接着，对误差 平方和求导并令其为零，得到参数的估计值；最后，通过 求解方程组得到参数的最小二乘估计值。
优缺点
最小二乘法具有计算简单、易于实现等优点，但在处理非 线性问题时可能效果不佳。此外，该方法对异常值和噪声 较为敏感，可能导致估计结果的偏差。
01
小波变换基本原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺
度细化分析，能够同时提供信号的时域和频域信息。
02
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换具有良好的时频局部化特性，可以用于信号的去噪处理。通过
对小波系数进行阈值处理等操作，可以有效去除信号中的噪声成分。
03
小波变换在信号特征提取中的应用
3. 观察相关函数的峰值，判断是否超过预设门限。
实现步骤
2. 将待检测信号与本地参考信号进行相关运算。
优缺点：相关接收法不需要严格的信号同步，但要求参 考信号与待检测信号具有较高的相关性，且容易受到多 径效应和干扰的影响。
能量检测法
原理：能量检测法通过计算接收信号的能量来判断信号 是否存在。在噪声功率已知的情况下，可以通过比较接 收信号的能量与预设门限来判断信号是否存在。 1. 计算接收信号的能量。
经典参数估计方法
信号与系统课后习题答案—第1章
第1章 习题答案1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）；④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。
1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。
解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。
① 线性 1）可加性不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而 |f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)|即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。
由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。
2）齐次性由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数）即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。
② 时不变特性由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|，即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。
信号检测与估计(1)
1
xx
(
s)
[
S xs ( S xx
s)e s (s)
]
22
g(t) 1
2
1 Sxx (s)
[
S xs (s)et S xx (s)
] ds
g(t) 0 (t 0)
(t 0)
I E[e2 ]min
{Sss (s)
Sxx (s) S xx (s)
[
S xs ( S xx
s)et (s)
x(t) s(t) n(t) (0 t T )
1) =0，则为滤波。 2) >0，则为预测（外推）。 3) <0，则为平滑（内插）。
2
例1: 设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。
求 S(t ), 0的估计
S(t ), 0
解: 采用线性最小均方误差估计
Sˆ(t ) aS(t)
Rs (0)
E{[S (t
)
Rs ( ) ]S (t
Rs (0)
)}
Rs
(0)
Rs 2 ( )
Rs (0)
4
例2: 设信号为S(t)为均值为零的平稳随机过程。
用 S(t) 及其导数 S / (t) 对 S(t ), 进0 行预测。
解:
Sˆ(t ) aS(t) bS / (t)
由线性最小均方误差估计和正交原理
S y ( j)
R
y
()e
j
d
1
S y () 2
S
y
(
j)e
j
d
21
如
S
y
(s)
Sy
(s)S
y
(s)
则 G(s)Sxx (s)Sxx (s) Sxs (s)es A(s)
信号检测与估计简答题集
3一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
信号检测与估计简答题集
一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
信号检测与估计作业参考(电子科大)
对于两种假设下的条件概率密度函数为
则似然比
p(x | H0) =
1 2π σ
e−
x2 2σ 2
;
p(x
|
H1)
=
1
e−
(
x −1)2 2σ 2
2π σ
有贝叶斯准则得
Λ(x) =
p(x | H1)
2 x−1
= e 2σ 2
p(x | H0)
Λ0 =
p(H0 ) ⋅ c10 − c00 p(H1) c01 − c11
4
（2）与 β 相应的各假设先验概率。
解：
(1)求判决门限 β ：
由题设可得相应假设的似然函数 p(x | H1) 和 p(x | H0 )
⎧
⎪ ⎪
p(
x
|
H1
)
=
⎨
⎪ ⎪⎩
p(
x
|
H
0
)
=
1
− ( x−1)2
e 2σ 2
2π σ
1
− x2
e 2σ 2
2π σ
则相应的似然比为
Λ(x) =
p(x | H1)
(2)相应的检测概率 P(D1|H1) .
解：
（1）求最佳判决门限 β
单个样本所对应的似然函数为：
p(xi | H0 ) =
1 2π σ
− xi2
e 2σ 2
;
p( xi
|
H1)
=
1
− ( xi −2)2
e 2σ 2
2π σ
由于样本相互独立且服从正态分布，则可得此时依据 M 个独立样本所得似然函数为：
>
1 2
信号检测与估计理论第一章习题讲解
信号检测与估计理论第一章习题讲解1-9已知随机变量某的分布函数为0F某(某)k某21,某0,0某1,某1求：①系数k；②某落在区间(0.3,0.7)内的概率；③随机变量某的概率密度。
解：第①问利用F某(某)右连续的性质k＝1第②问P0.3某0.7PF0.7F00.某3.3某.70.7P0dF某(某)2某第③问f某(某)d某00某1ele1-10已知随机变量某的概率密度为f某(某)ke普拉斯分布），求：某(某)（拉①系数k②某落在区间(0,1)内的概率③随机变量某的分布函数解：第①问f某某1d某11k2F2某F1某某1第②问P某2某某2f某d某随机变量某落在区间(某1,某2]的概率P{某1某某2}就是曲线yf某下的曲边梯形的面积。
P0某1P0某1f某d某0111e12第③问1某e2f某1e某2某0某0F某某f(某)d某1某某0e21某某01e2某0某1某ed某201e某d某某1e某d某022某01-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？(0-1)分布n,p0,np=二项分布泊松分布n成立,p，q0不成立高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率P(k2)1Pk0Pk10.1P(k2)11.1e答案P某k＝n=1实际计算中，只需满足n10kek!p0.1，二项分布就趋近于泊松分布＝np1-12已知随机变量(某,Y)的概率密度为(3某4y)kef某Y(某,y)0,某0,y0,其它求：①系数k？②(某,Y)的分布函数？③P{0某1,0某2}？第③问方法一：联合分布函数F某Y(某,y)性质：若任意四个实数a,a,b,b，满足1212a1a2,b1b2，则P{a1某a2,b1Yb2}F某Y(a2,b2)F某Y(a1,b1)F某Y(a1,b2)F某Y(a2,b1)P{0某1,0Y2}F某Y(1,2)F某Y(0,0)F某Y(1,0)F某Y(0,2)方法二：利用P{(某,y)D}f某Yu,vdudvD20P{0某1,0Y2}0f某Y某,yd某dy11-13已知随机变量(某,Y)的概率密度为1,0某1,y某f(某,y)0,其它①求条件概率密度f某(某|y)和fY(y|某)？②判断某和Y是否独立？给出理由。
2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。
电子科大信号检测与估计课件第一章(孔令讲)
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例：在数字通信中QPSK调制
5、信号估计的概念
) 4 3π A (t)cos(w 0 t + ) 4 5π A (t)cos(w 0 t + ) 4 7π A (t)cos(w 0 t + ) 4 A (t)cos(w 0 t +
⎧ ⎪ H 1 : s(t) = ⎪ ⎪ H : s(t) = ⎪ 2 s( t ) ⇒ ⎨ ⎪ H : s(t) = ⎪ 3 ⎪ ⎪ H 4 : s(t) = ⎩
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2
假设已知s (t )有M个状态 {s1 (t ), s2 (t ),..., sM (t )}
s (t )是 si (t )的 概 率 为 P ( si ) → 先 验 概 率
信号处理机的任务是：对x(t)做某种数学运算T[x(t)]， 得到一个统计量，根据该统计量对x(t)中是s1,s2,…,sM 做出判决。判决结果只可能有M种可能。
t → ∞, N → ∞} n → ∞, N → ∞}
xi (t j ), i = 1, 2,
,∞
的集合构成一个随机变量。随着 t j 的变化， 我们会得到无穷多个随机变量。
所以： 随机信号是依赖于时间 t (or n) 的随机变量。
所以：可用随机变量的方法来描述随机信号。
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三、随机信号
X (t ) = {x1 (t ), X (n) = {x(n,1),
随机信号的特点： 1 是时间 (t , or n) 的函数； 2. 样本无穷多，持续时间无穷长， 所以，随机信号是功率信号；
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
信号检测与估值--给大家的答案
故有
所以
2．设观测到的信号为
其中 是方差为 、均值为零的高斯白噪声。如果 服从瑞利分布，即
求 的最大后验概率估计 。
解：
根据题意， ，所以
，
且
所以 ，解得：
因为
所以
3．给定 ， 是零均值、方差为1的随即变量
（1）求 的最大似然估计 。
（2）对下列 求最大后验概率估计
解：
（1）根据题意， ，所以
又当 时，根据判决表示式
，
解得 时，判决表示式为
，判决假设 成立
，判决假设 成立
而根据判决表示式
解得 时，判决表示式为
，判决假设 成立
，判决假设 成立
这样，判决表示式为
，
，
又由于 都是以纵坐标为对称的函数，所以
2）当约束 时，采用奈曼-皮尔逊准则，也分两种情况进行讨论。
一、当 时，始终判决假设 成立，所以 ，不满足约束条件 ，不存在奈曼-皮尔逊准则。
化简得判决表示式
2）若似然比检验门限 =1，则判决表示式为
所以，判决概率 为
判决概率 为
二、当 时，判决域的划分如题图（a）所示。如果取 ，则 。
这时判决概率
满足约束条件。
判决概率
5．设观测信号在两个假设下的概率密度函数 分别如下图所示
1）若似然比检验门限为 ，求贝叶斯判决表达式。
2）如果 。
解：
1）假设H0下观测信号的概率密度函数为
假设H1下观测信号的概率密度函数为
于是，似然比检验为
（2）根据题意， ， ，
因此
4．考虑一个假设检验问题，已知
1）设 若 ，试求 。
2）设 ，试建立奈曼-皮尔逊准则。
信号检测与估计-习题讲解
T
0
Bx (t ) sin 2 t dt
1 T 1 2 x t A t dt 因 此 ， p (x H 1 ) F exp ( ) cos 1 0 2 N0 B 2T 2 2 T B x t t dt exp exp ( ) sin 2 d 0 0 2N0 N0 1 1 p (x H 0 ) F exp 2 N0
答：（1）其匹配滤波器的冲激相应为： ka h0 (t ) ks(T t ) 0 传输函数: 0t T 其他
sin T / 2 jT e T / 2 ka 2t 0t T 2 输出信号波形：so (t ) s(t )* h0 (t ) ka (2T t ) T t 2T 0 其他 H ( ) kS * ( )e jT kaT 输出峰值信噪比：SNR max Es 2a 2T Pn N0
cos t cos tdt cos t sin tdt 0
0 1 2 0 1 2
T
T
证明：最佳接收机可用 x(t)cos1tdt作为检验统计量并对此加以讨论。
0
T
答：最佳接收机的表达式为： p(x H1) H1 0。其中，x为向量， l x(t) p(x H0 ) H0 1 2 p(x H1) p(x H1 ,)d 2 0 1 T 1 2 2 F exp x(t) Acos1t B cos(2t ) dt d 0 2 0 N0 1 2 p(x H0 ) p(x H0 ,)d 2 0 1 T 1 2 2 F exp x(t) B cos(2t ) dt d 0 2 0 N0
信号检测与估计 张明友 第一二三八章答案
时间：6月16日（星期一）晚上6：30－8：30 地点：六教104室（上课教室）试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。
请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，K －L 展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。
1.1 （付柏成 20060150）在例1.2中，设噪声均方差电压值为σ＝2v ，代价为f c ＝2，m c ＝1。
信号存在的先验概率P ＝0.2。
试确定贝叶斯意义下最佳门限β，并计算出相应的平均风险。
解：根据式（1-15），可以算出00.8280.21f mQc Pc ⨯Λ===⨯ 而判决门限2201ln 0.52ln88.822βσ=+Λ=+= 根据式（1-21）可知平均风险1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+01100.2(|)0.8(|)m f c P D H c P D H =+ 而011(|)(|)D P D H p x H dx =⎰1100(|)(|)D P D H p x Hdx =⎰而212(1)(|)]2x p x H σ-=-202(|)]2x p x H σ=-所以20112(1)(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ-==-⎰⎰22(1)]2x dx βσ-=-⎰＝17.82()()(3.91)22β-Φ=Φ=Φ 同理1121002(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ==-⎰⎰22)2x dx βσ∞=- 8.821()1()1(4.41)22β=-Φ=-Φ=-Φ 所以0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =⨯⨯Φ+⨯⨯-Φ 1．2 (关瑞东 20060155)假定加性噪声()n t 服从均值为零，方差为的正态分布。
此时，两个假设为01:()():()1()H x t n t H x t n t ==+我们根据()x t 的两次独立测量值12,x x 作判断，则12,x x 是统计独立的，在假设1H 下其均值为1a =1，在假设0H 下均值为0a =0，因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写为22/221()(|)(2)exp()2nn i k k i x a p x H πσσ-=-=-∑ (0,1;2)k n == 于是，似然比等于22011012210()(|)()exp[](|)2n ii a a n a a p x H x x p x H σσ=--Λ==-∑如果0()x Λ≥Λ，则选择假设1H ，否则选择假设0H 。
信号检测与估计第一章课后答案
22]exp[22228.8)])R pp101022]p x x H ss 22]1x x s +似然函数为221/22()(|)(2/2)exp[]2/2x k x k m a P m H ps s --= （k=1，0）虚警概率100(|)(|)[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥==ò漏报概率0111(|)1(|)1[]/2x x P D H P m H dm erfc bb s ¥-=-=-ò平均风险011001Pr (|)(|)f m R Qr Qc P D H Pc P D H =+=+=1[]{1[]}/2/2f m Qc erfc Pc erfc b b s s -+-其中b 为（1）式确定1.3只用一次观测x 来对下面两个假设作选择，0H ：样本x 为零均值、方差20s 的高斯变量，1H ：样本x 为零均值、方差21s 的高斯变量，且21s >20s 。
根据观测结果x ，确定判决区域0D 和1D 。
画出似然比接收机框图。
1H 为真而选择了0H 的概率如何？ 解：（1）似然函数221(|)exp()2*2k k kx P x H s s p -= （k=1，0） 似然比2100220101(|)111exp[()](|)2P x H x P x H s s s s =-³L 判为1H 化简得2220101221002ln 0x s s sb s s s L³=>- （21s >20s ） 判为1H得 1:||D x b ³ 0:||D x b <0L 根据选取准则而定21exp()2bbbbs s p(2s p12s p 222lns ps=b ||1x b > |1b £则||x—bx ³0 判为1H<0 判为0H1001(|)(|)2P D H P x H dx dx bbbbb a --====òò所以得判决区域为1:||||1D x x a £> 0:||1D x a <£1.7 1.7 根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断1H ：()1()x t n t =+0H ：()()x t n t =设n （t ）为零均值和功率为2s 的高斯过程，且00111001,1c c c c ===。
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虚警概率
漏报概率
平均风险 =
其中为（1）式确定 1.3只用一次观测x来对下面两个假设作选择，：样本x为零均值、方差
的高斯变量，：样本x为零均值、方差的高斯变量，且>。 根据观测结果x，确定判决区域和。 画出似然比接收机框图。为真而选择了的概率如何？ 解：（1）似然函数
（k=1，0） 似然比
习题一 1.1在例1.2中，设噪声均方差电压值为=2V，代价为=2，=1。信号存在 的先验概率P=0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限，并计算出相应的平 均风险。 解：由题意得Q=0.8，P=0.2 根据例1.2推得的贝叶斯准则下门限（书1-15）
（1）
由（1-18），并将（1）代入得最佳门限
（2）
由（1-19）（1-20a）（1-20b）（1-21）得平均风险
判为 化简得
（>） 判为 得 根据选取准则而定 （2）框图
0 判为
<பைடு நூலகம் 判为
x
—— 为真而选择了的概率，即漏报概率为 1.4设计一个似然比检验，对下面两个假设作选择。
： ：={ 1/2 （|x|1）
0 其他 假定=1，确定判决区域和。 应用纽曼-皮尔逊准则，并设，则判决区域如何？ 解：（1）根据两种假设概率密度的图示可以看出，必然存在<且> （如果>=1/2，则对积分将大于1；如果<，则对积分将小于1，均不符 合概率密度函数物理意义）
1.2在例1.2中，如果不是进行一次观测，而是进行二次独立观察，得到 和，并取为一给定常数。试确定在平面上划分判决区域的曲线方程， 确定对数据和应进行的最佳运算步骤，并计算虚警概率、漏报概率和 平均风险。 解：此题为书中例1.4的特例n=2的情况 由（1-43）得
= 判为 （其中） 化简得到
判为 （1） 即曲线方程为
将代入得：
两边求微分得 =1/2 为判决门限 =
解得 =1/2=
1.8 若上题假定=3，=6，则
（1）每个假设的先验概率为何值时达到极大极小化风险？
（2）根据一次观测的判决区域如何？
解：与上题求解类似得
=
=2/3
，=1/3
1.9 设两种假设为： ： ：
其中n（t）为零均值和功率为2的高斯白噪声。根据M个独 立样本（1，2，……，M），应用纽曼-皮尔逊准则进行检验。 令=0.05，试求：
|x|1时似然比为 判为
化简得 = 判为
所以得判决区域为
（2）应用纽曼-皮尔逊准则 所以得判决区域为
1.7 根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断 ： ：
设n（t）为零均值和功率为的高斯过程，且。试求： （1） 判决门限 （2） 与相应的各假设先验概率。
解：因为采用极大极小化准则，所以要求
（1） 最佳判决门限； （2） 相应的检测概率。 解：由（1-43）得似然比
将，n=M代入得
化简得
服从均值为2（下）和0（下），方差为2/M的高斯分布
从中解得 相应的
= =0.05