1.4 逻辑联结词“且”“或”“非” 课件(北师大选修2-1)

[思路点拨]
要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先
要确定命题的构成形式，再根据p、q的真假判断命题的真假． 返回
[精解详析]
(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p
且q”为假，“非p”为真； (2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假， “非p”为假；
(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，
“非p”为真； (4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真， “非p”为假． 返回
[一点通]
判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：
(1)确定命题的形式； (2)判断构成该命题的两个命题的真假； (3)根据“p或q”、“p且q”、“綈p”的真假性与命题p、
q的真假性的关系作出判断．
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4．设p，q是两个命题，则“p或q为真，p且q为假”的充要条 件是 ( )
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1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用 语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联 结词中的“或”是指两个中至少选一个． 2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件
又否定结论，要注意二者的区别．
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7．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0，对一切x∈R恒 成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q
为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋ 4＞0对一切x∈R恒成立， 所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点， 故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.
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解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数； “p且q”：π是无理数且e不是无理数． (2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根 的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等
的实数根且两根的绝对值相等．
(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的 外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的 任何一个内角． 返回
③面积相等的两个三角形一定相似或全等．
④对角线垂直且相等的四边形是正方形． 解析：①③为“或”连接的命题，①为真，③为假；②为綈 p形式的命题，为真．对角线垂直且相等(不一定互相平分) 的四边形不一定是正方形．故④为假．故真命题个数为2.
答案：2
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[例3]
(12分)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不
等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若
“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围． [思路点拨] “p或q”为真，“p且q”为假，则p，q
中必一真一假；可分p真q假，p假q真两种情况处理．
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[精解详析] 等的负实根， 则p
由题意，p：方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不
Δ＝m2－4>0， 为真时： －m<0，
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[例1] 式的命题．
分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形
(1)p：6是自然数；q：6是偶数．
(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．
(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数． [思路点拨] 先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再
用数学语言综合叙述． 返回
∴m>2.
(3 分)
q：方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实根， 则 q 为真时：Δ＝16(m－2)2－4× 4<0， 即 1<m<3. (6 分)
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①若 p 真 q ∴m≥3. ②若 p 假 q
m>2， 假，则 m≤1或m≥3，
(8 分)
m≤2， 真，则 1<m<3，
[精解详析]
(1)p或q：6是自然数或是偶数．
p且q：6是自然数且是偶数．
綈p：6不是自然数．
(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直． p且q：菱形的对角线相等且互相垂直． 綈p：菱形的对角线不相等． (3)p或q：3是9的约数或是18的约数．
p且q：3是9的约数且是18的约数．
綈p：3不是9的约数． 返回
(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个
新命题“ p或q ”． (3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题， 记作 綈p ，读、丙三种电路图中，若开关p、q
的闭合与断开分别对应着命题p、q的真与假，则灯亮与不亮 分别对应着p且q，p或q，非p的真与假． 问题1：什么情况下，p且q为真命题？ 提示：当p真，且q真时． 问题2：什么情况下，p或q为假命题？ 提示：当p假，且q假时．
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如图所示，有三种电路图．
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问题1：甲图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合且q闭合． 问题2：乙图中，什么情况下灯亮？ 提示：开关p闭合或q闭合． 问题3：丙图中什么情况下灯不亮？ 提示：开关p不闭合．
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用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题 (1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个 新命题“ p且q ”．
问题3：什么情况下，綈p为真命题？
提示：当p为假时． 返回
含有逻辑联结词的命题的真假判断 p 真 q 真 非p 假 假 真 p或q 真 真 真 p且q 真 假 假
真
假 假
假
真 假
真
假
假
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1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假； 2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真； 3．新命题綈p与命题p的真假相反．
A．p，q中至少有一个为真
B．p，q中至少有一个为假 C．p，q中有且只有一个为真 D．p为真，q为假 解析：“p或q为真，p且q为假”则p，q中必一真一假，而由
p，q中一真一假也可推得“p或q为真，p且q为假”．
答案：C 返回
5．下列命题中，真命题个数为________． ①5或7是30的约数 ②方程x2＋2x＋3＝0无实数根
[一点通]
用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命
题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活 中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可 以进行适当的省略和变形．
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1．下列命题是“p或q”的是 A．3≤2 C．6是合数，也是自然数 解析：3≤2意指3<2或3＝2.
( B．3是12的约数 D．2<4<5
的约数． (3)是“綈p”形式的命题，其中p：x＝1是不等式x2－5x＋ 6>0的解. 返回
[例2]
指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真
假．
(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解； (2)p：x2＋1≥1，q：3＞4； (3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等； (4)p：1∈{1,2}，q：{1}{1,2}．
函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a＞1，即a＜1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假． 返回
－2＜a＜2， (1)若p真q假，则 a≥1，
∴1≤a＜2.
a≤－2，或a≥2， (2)若p假q真，则 a＜1，
∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
)
答案：A
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2．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题． (1)p：π是无理数，q：e不是无理数； (2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根， q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
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1 6．p： ＜0，q：x2－4x－5＜0，若p且q为假命题，则 x－3 x的取值范围是________．
解析： x＜3； －1＜x＜5.当 p 且 q p： q：
x<3， 为真命题时， －1<x<5，
即－1<x<3，则 p 且 q 为假命题时，x≥3 或 x≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
3．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词 “且”“或”“非”，请指出其中的p、q.
(1)菱形的对角线互相垂直平分；
(2)2是4和6的约数； (3)x＝1不是不等式x2－5x＋6>0的解． 解：(1)是“p且q”形式的命题．其中p：菱形的对角线互相 垂直．q：菱形的对角线互相平分．
(2)是“p且q”形式的命题，其中p：2是4的约数；q：2是6
∴1<m≤2.
(10 分)
综上所述：m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． (12 分)
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[一点通]
根据p、q的真假求参数的范围时，要充分
利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特 别注意“p假”时，一般不从綈p为真求参数的范围，而利用 补集的思想，求“p真”时参数的集合的补集．