汽车在恒定功率下的加速运动模型

汽车在恒定功率下的加速运动模型
上海市五爱高级中学 诸庭飞
摘 要
本文用数学分析方法讨论了高中物理教学中汽车在恒定功率下加速运动的传统模型，指出这一模型会导致运动时间和位移的发散，从而往往产生一些错误结果。

文中指出错误来自所给条件自相矛盾，提出了对传统模型的修正，从而解决这一问题；并将相似的分析方法用于电磁学部分的类似问题中。

在高中物理教学中，讨论汽车在水平公路上起动时，
经常采用的一种模型是恒定功率下的加速运动，即假定汽车自静止或某一初速度开始加速，发动机功率为额定功率P 不变，汽车所受阻力f 为恒力，则汽车的牵引力
F =P /v ，根据牛顿第二定律
ma f v P
=-
(1) 因P 不变，牵引力F 随速度增大而减小，所以加速度减小，
而速度增大，汽车将做变加速运动，经过一段时间，汽车的速度将趋于一极限值，此时，汽车的牵引力与阻力相等，汽车的速度达到最大速度v m
f P
v m =
(2) 问题在于，要过多少时间，才能增大到极限速度呢？可以证明，对于上述模型，不可能在有限时间内加速到v m ，这一时间趋于无限大，证明如下：
将(1)式改写为： dt dv
m f v P
=-
所以 dv fv P mv dt -=dv
fv P f f
mP dv f m )()
(2----=)l n (2fv P d f mP dv f m ---= 令t 0=0时，汽车的初速度为v 0，而时刻t 的速度为
v ，两边积分，得 fv P fv P f mP v v f m t --+--=0
20ln )(
(3) 将(3) 式代入动能定理：
2
022121
mv mv fs Pt -=-
2020202121ln )(mv mv fs fv P fv P f mP v v f
m P -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-- 所以 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛----+--=2020320221211ln )(mv mv f fv P fv P f mP v v f mP s (4) 如果末速度f
P v v m == ，(3)、(4)两式右边第二项发散，所用时间t 及位移s 都将趋于无限大，若v <v m ，则t 、s 均为有限值。

上述结果与汽车的实际运动情况并不相符，汽车的加速运动过程不可能用无限长的时间。

因此，原先的加速阶段和匀速运动阶段功率相同的模型需要加以修改。

观察汽车司机的实际操作，往往是加大油门加速，加速到某一速度时就减小油门，保持做匀速运动，与此对应，可以建立如下模型，即汽车以较大的恒定功
率P 加速，加速到某一速度'm v 时，f
P v m 0'=，这里的P 0 < P ，汽车改以较小的恒定功率P 0 维持匀速直线运动，这样加速运动阶段可以在短时间内完成，不会导致上述发散问题。

可以看出，当功率不变时，加速运动的时间t 和经历的位移s 与v 0、f 、P 、m 等量确定。

但在中学阶段，不可能用微积分来进行运算，s 、t 往往需要事先给定数据，这里就要注意，上述6个物理量必须满足 (3)、(4)两式。

很多物理习题在编写时，没有注意到这两个关系式，结果产生矛盾。

下面举一实例：有一辆可自动变速的汽车，总质量为1000kg ，该车速度在14m/s 至20m/s 内可保持恒定功率20kW 不变。

一位同学坐在驾驶员旁观察车内里程表和速度表，记录了该车在位移120m 至400m 范围内做直线运动时的一组数据如下：
根据上面的数据回答下列问题。

（设汽车在上述范围内受到的阻力大小不变）
1)估算该汽车受到的阻力为多大？
2)在位移120m 至320m 过程中牵引力所做的功约为多大？
3)在位移120m 至320m 过程中所花的时间是多少？[1]
通过以上的分析，已经可以看出，此题假设在20kW 的功率下通过200m 位移而达到最大速度是完全不可能的。

在中学阶段此题通常的解法是：
汽车受到的阻力f 应满足匀速运动时牵引力与阻力平衡，即
1) F = f 且 m v P F =，所以 m
v P f ==1000N 2) 根据动能定理，2022
121mv mv fs W F -=
- 所以 2022121mv mv fs W F -+= ()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯-⨯⨯+-⨯=225.14100021201000211203201000F W J = 294,875 J 3) 因Pt W F =，所以 s s P W t F 74.14000
,20875,294≈== 上述解答中，1)是正确的，2)中用动能定理求出发动机做的功也没有错，但
3)中答案t 显然与表格中列出的加速运动距离只有200m 矛盾，因为即使以表格中列出的最小速度14.5m/s 作匀速运动，加速运动的距离也将为14.5×14.74m=213.73m ！
产生这一问题的原因在于整个过程中功率保持为20kW 不变与表格中给出的数据s 、v 不相符。

假设匀速运动时的功率为P 0=20kW ，而加速过程中功率为P ，将m =1000kg ，阻力f =1000N ，初速度v 0=14.5m/s ，末速度v =20m/s ，位移s =200m 及W F ＝294,875J 代入(4)式，则加速运动时的功率P 必须满足：
0500,14000,20ln 10
10005.5875,29462=--++P P P P 用近似计算的牛顿法可求出此方程的数值解，运算具体过程从略，计算结果为P ≈26,076W ，因此在加速过程中，汽车的功率实际上为26.076kW.。

所以，解答3)应为s s P W t F 3.1197
.075,26875,294≈== 可以看出，原题中所给条件不自恰，为解决这一问题，可以采用修改以后的模型，即改为在加速过程中保持功率为26kW 不变，而当速度增加到20m/s 时，以后保持20kW 的恒定功率维持匀速运动。

上述问题不但在力学中存在，在中学物理的电磁学部分也有类似情况，可以用相似的方法进行分析。

例如：如图所示，一个U 形导体框，宽为L =0.5m ，电阻不计，所在平面与水平面成α=37º角，磁感强度为B =0.8T 的匀强磁场与U 形导体框平面垂直，今
有一导体棒ab ，其质量为m =0.2kg ，电阻为R =2Ω，
跨放在U 形导体上并与框架底边平行，导体棒与框
架间的摩擦系数μ=0.5，导体棒由静止开始沿框架下
滑7.5 m 时，速度达到最大值，求：(1)速度最大值；
(2)导体棒从开始下滑到达最大值的过程中，感应电
流所做的功。

[2]
容易算得，速度达最大值v m 时，导体棒受力平衡：
R
v L B mg mg m 22cos sin =-αμα 代入数据解得 v m =5m/s
下面计算从开始下滑到最大速度时的位移，从牛顿第二定律：
ds
vdv dt dv m R v L B mg mg ==--22cos sin αμα ()v R L B g vdv
ds 22cos sin --=αμα
()()v R
L B g vdv mR L B L B mR v R L B g vdv ds 2
2222222cos sin cos sin ---⋅-=--=αμααμα
()()v R L B g vdv mR L B g L B R m dv L B mR ds 222
2442222cos sin cos sin ------=αμααμα ()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-----=v mR L B g d g L B R m dv L B mR ds 2
2442222cos sin ln cos sin αμααμα 令t =0时，s =0，v 0=0，两边积分
()()()v m R
L B g g g L B R m v L B m R s 2
2442
222cos sin cos sin ln cos sin ----+-=αμααμααμα (5) 同样可以看出，当()αμαcos sin 2
2-==L B mgR v v m 时，上式右边发散。

所以，同样需要s 趋于无限大，才能达到这一速度。

将已知条件m =0.2kg ，B =0.8T ，L =0.5m ，R =2Ω，α =37°，μ =0.5代入式(5)
，
得此题s 与v 的关系式 v
v s -+-=55ln 5.125.2 令末速度v =0.75v m =3.75m/s 代入上式，解得s =7.95m ；若取v =0.9v m = 4.5m/s ，则s =17.53m 。

原题中仅下滑7.5m ，连v m 的75％都不能达到，显然是错误的。

可以将原题中相关条件修改为“导体棒由静止开始沿框架下滑17.53 m 时，速度达到最大值的90％”。

从以上两个问题可以看出，在编写物理习题时，要注意所给条件之间的一致性，某些条件单纯从中学物理的角度来看似乎没有联系，可以任意给定，然而仔细分析却往往能发现它们之间还存在着一定的函数关系，因此，发现这些规律，从而避免由此发生的错误，对于提高物理问题的科学性是很重要的。

参考文选
[1] 《物理拓展型课程第一册（试验本）
》，华东师范大学出版社，2003年9月第一版，2006年7月第七次印刷，
P.87。

[2]《一课一练（上教版高三物理）
》，华东师范大学出版社，2004年6月第五版，2005年6月第二次印刷，
P.156。