(完整版)(用一)整式的乘法(知识点+例题)(可编辑修改word版)

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整式的乘除与因式分解复习

一、整式的乘法

1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即： a m ⋅ a n = a m +n （m ，n 都是正整数）。

例 1：计算

（1）108 ⨯102 ；（2）（- x ）2（⋅ - x ）3 ；（3） a n +2 ⋅ a n +1 ⋅ a n ⋅ a （4） (-x )10 ⨯(-x )3 = （5） -2-3

⨯(-3)-2

（6） ⎛ 1 ⎫-2

-3

=

。

-

⎪ ⎝ ⎭

例 2：计算

+ 3

（1）（b + 2）3（⋅ b + 2）5（⋅ b + 2）；（2）（x - 2y ）2（⋅ 2y - x ）3

例 3：已知2x +2 = m ，用含 m 的代数式表示2x 。

例 4 已知 x a = 2 ， x b = 3 ，求 x

2a -3b

的值。

例 5 已知3m = 6 ， 9n = 2 ，求32m -4n -1 的值。

1 整式的除法运算

例： (-a 10 )3

÷(-a )10

÷(-a 3 )2

÷ a 6 =

。

例 2：已知4a 3b m ÷ 36a n b 2 = 1 b 2 ，则m 、n 的取值为（

）

9

A 、 m = 4, n = 3

B 、m = 4, n = 1

C 、m = 1, n = 3

D 、m = 2, n = 3

例 3 若5x - 3y - 2 = 0 ，则105x ÷103y = 。

例 4 若93m +1 ÷ 32m = 27 ，则m =

。

2. 幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3 是三个a 5 相乘，读作 a 的五次幂的三次方。

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即（a m ）n = a mn （m ，n 都是正整数）。

例 4：计算

（1）（a m ）2

；（2） ⎡(-m )3 ⎤4

；（3）（a 3-m ）2

3. 积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。如：

(ab )

3

= (ab )⋅(ab )⋅(ab )

积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。如：（ab ）n

=a n ⋅ b n

例 5：计算

（1） (

-x 3 )2 ⋅ (

-x 2 )

3

；（2） (-xy )4

；（3）

-(

3a 2b 3 )

3

⨯ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭

例 6：已知10a = 5,10b = 6 ，求102a +3b 的值。

例 7：计算（1）

⎛ 99 ⎫

2011

⎛ 100 ⎫2010 ；（2） 0.12515 ⨯(215 )3

100 ⎪ 99 ⎪ 4. 单项式与单项式相乘（重点）

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同

它的指数作为积的一个因式。 例 8：计算

（1） 3ab 2 ⋅⎛ - 1 a 2b ⎫

⋅ 2abc ;

(2) (-2x n +1y n )

⋅(-3xy )⋅⎛ - 1

x 2

z ⎫ ;

3 ⎪ 2 ⎪

(3) ⎝

⎭ ⎝

⎭

-6m 2n ⋅ (x - y )3 ⋅ 1 mn 2 ⋅ ( y - x )2

3

5. 单项式与多项式相乘（重点）

法则： 单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加。用式子表示为

m (a + b + c ) = ma + mb + mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）。

例 9：计算

⎛ 3 ⎫ ⎛ 2 4 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫2

（1） - xy ⎪⋅ x 2

y - 4xy 2

+ y ⎪ ；

（2） 6mn 2

⋅ 2 - mn 4 ⎪ + - mn 3 ⎪

⎝ 2 ⎭ ⎝ 3

3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭

题型一：整式乘法与逆向思维

若a = 78 ， b = 87 ，则5656 =

（用含 a ，b 的代数式表示）

例：已知： 2a = 3 ， 32b = 6 ，求 23a +10b 的值；

题型二：解不等式或方程

求出使(3x + 2)(3x - 4) > 9(x-2)(x + 3) 成立的非负整数解。

题型四：整体变化求值

已知2x + 5y - 3 = 0 ，求4x ⋅ 32y 的值。

题型五：整式乘法的综合应用

已知x 2 + 3x + 3 与x 2 - 3x + k 的乘积中不含x 2 项，求 k 的值。

二、乘法公式

1. 平方差公式（重点）

平方差公式： (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2

即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。

例：下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果。 （1） (2a - 3b )(3b - 2a ) ；（2） (-2a + 3b )(2a + 3b ) ；（3） (-2a + 3b )(-2a - 3b ) ； （4） (2a + 3b )(2a - 3b ) ；（5） (-2a - 3b )(2a - 3b ) ； （6） (2a+3b )(-2a - 3b )