(完整版)(用一)整式的乘法(知识点+例题)(可编辑修改word版)
(完整版)整式的乘法与因式分解考点练习(含答案)
整式的乘法与因式分解复习考点1 幂的运算1．下列计算正确的是( )A ．(a 2)3＝a 5B ．2a －a ＝2C ．(2a)2＝4aD ．a·a 3＝a 42．(铜仁中考)下列计算正确的是( )A ．a 2＋a 2＝2a 4B ．2a 2·a 3＝2a 6C ．3a －2a ＝1D ．(a 2)3＝a 63．计算：x 5·x 7＋x 6·(－x 3)2＋2(x 3)4.A. 124xB. 122xC. 12xD. 64x考点2 整式的乘法 4．下列运算正确的是( )A ．3a 2·a 3＝3a 6B ．5x 4－x 2＝4x 2C ．(2a 2)3·(－ab)＝－8a 7bD ．2x 2÷2x 2＝05．计算：(3x －1)(2x ＋1)＝________．A. 162-+x xB. 162--x xC. 1562-+x xD. 1562-+x x6．计算：(1)(－3x 2y)3·(－2xy 3)； (2)(34x 2y －12xy 2)(－4xy 2)． A. 636y x , 422323y x y x +- B. -636y x , 423323y x y x +-C. 6754y x ,423323y x y x +-D. -6754y x , 422323y x y x +-考点3 整式的除法7．计算8a 3÷(－2a)的结果是( )A ．4aB ．－4aC ．4a 2D ．－4a 28．若5a 3b m ÷25a n b 2＝252b 2，则m ＝____________，n ＝__________. 9．化简：(a 2b －2ab 2－b 3)÷b －(a －b)2.考点4 乘法公式10．下列关系式中，正确的是( )A ．(a ＋b)2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－b 2C ．(a ＋b)(－a ＋b)＝b 2－a 2D ．(a ＋b)(－a －b)＝a 2－b 211．已知(x ＋m)2＝x 2＋nx ＋36，则n 的值为( )A ．±6B ．±12C ．±18D ．±7212．计算：(1)(－2m ＋5)2； (2)(a ＋3)(a －3)(a 2＋9)； (3)(a －1)(a ＋1)－(a －1)2.考点5 因式分解13．(北海中考)下列因式分解正确的是( )A ．x 2－4＝(x ＋4)(x －4)B ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．3mx －6my ＝3m(x －6y)D ．2x ＋4＝2(x ＋2)14．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( )A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)215．(黔西南中考)分解因式：4x 2＋8x ＋4＝________．16．若x －2y ＝－5，xy ＝－2，则2x 2y －4xy 2＝________．综合训练17．(威海中考)下列运算正确的是( )A ．(－3mn)2＝－6m 2n 2B ．4x 4＋2x 4＋x 4＝6x 4C ．(xy)2÷(－xy)＝－xyD ．(a －b)(－a －b)＝a 2－b 218．(毕节中考)下列因式分解正确的是( )A ．a 4b －6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b(a 2－6a ＋9)B ．x 2－x ＋14＝(x －12)2 C ．x 2－2x ＋4＝(x －2)2D ．4x 2－y 2＝(4x ＋y)(4x －y)19．(大连中考)若a ＝49，b ＝109，则ab －9a 的值为________．20．(宁波中考)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________(用a 、b 的代数式表示)[图1 图221．(绵阳中考)在实数范围内因式分解：x 2y －3y ＝________________．22．(崇左中考)4个数a ，b ，c ，d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，则x ＝________． 23．计算：(1)5a 3b ·(－3b)2＋(－ab)(－6ab)2；(2)x(x 2＋3)＋x 2(x －3)－3x(x 2－x －1)．24．把下列各式因式分解：(1)2m(a－b)－3n(b－a)；(2)16x2－64；(3)－4a2＋24a－36.25先化简(a2b－2ab2－b3)÷b－(a＋b)(a－b)，然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值．26．我们约定：a b＝10a÷10b，如43＝104÷103＝10.(1)试求123和104的值；(2)试求(215)×102的值．参考答案1．D2．D3.原式＝x 12＋x 6·x 6＋2x 12＝x 12＋x 12＋2x 12＝4x 12.4．C5.6x 2＋x －16.(1)原式＝－27x 6y 3×(－2xy 3)＝54x 7y 6.(2)原式＝34x 2y ·(－4xy 2)－12xy 2·(－4xy 2)＝－3x 3y 3＋2x 2y 4. 7.D8.4 39. 原式＝a 2－2ab －b 2－a 2＋2ab －b 2＝－2b 2.10. C11. B12. (1)原式＝4m 2－20m ＋25. (2)原式＝(a 2－9)(a 2＋9)＝a 4－81. (3)原式＝a 2－1－a 2＋2a －1＝2a －2.13. D14. A15.4(x ＋1)216.2017. C18. B19.4 90020．ab21.y(x －3)(x ＋3)22.123. (1)原式＝5a 3b ·9b 2＋(－ab)·36a 2b 2＝45a 3b 3－36a 3b 3＝9a 3b 3. (2)原式＝x 3＋3x ＋x 3－3x 2－3x 3＋3x 2＋3x ＝－x 3＋6x.24.(1)原式＝(a －b)(2m ＋3n)． (2)原式＝16(x ＋2)(x －2)． (3)原式＝－4(a －3)2.25.原式＝a 2－2ab －b 2－(a 2－b 2)＝a 2－2ab －b 2－a 2＋b 2＝－2ab.如选择一个喜欢的数为a ＝1，b ＝－1，则原式＝2.26.(1)123＝1012÷103＝109，104＝1010÷104＝106. (2)(215)×102＝(1021÷105)×102＝1018.。
(完整版)整式的乘法习题(含详细解析答案)
整式的乘法测试1．列各式中计算结果是x2-6x+5的是( )A.（x-2）（x-3）B.（x-6）（x+1）C.（x-1）（x-5）D.（x+6）（x-1）2．下列各式计算正确的是( )A.2x+3x=5B.2x•3x=6C.（2x）3=8D.5x6÷x3=5x23．下列各式计算正确的是( )A.2x（3x-2）=5x2-4xB.（2y+3x）（3x-2y）=9x2-4y2C.（x+2）2=x2+2x+4D.（x+2）（2x-1）=2x2+5x-24．要使多项式(x2+px+2)(x-q)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是( )A.p=qB.p+q=0C.pq=1D.pq=25．若(y+3)(y-2)=y2+my+n，则m、n的值分别为( )A.m=5，n=6B.m=1，n=-6C.m=1，n=6D.m=5，n=-66．计算：(x-3)(x+4)=_____．7．若x2+px+6=(x+q)(x-3)，则pq=_____．8．先观察下列各式，再解答后面问题：(x+5)(x+6)=x2+11x+30；(x-5)(x-6)=x2-11x+30；(x-5)(x+6)=x2+x-30；(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；(3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果；①(a+99)(a-100)=_____；②(y-500)(y-81)=_____．9．(x-y)(x2+xy+y2)=_____；(x-y)(x3+x2y+xy2+y3)=_____根据以上等式进行猜想，当n是偶数时，可得：(x-y)(x n+x n-1y+y n-2y2+…+x2y n-2+xy n-1+y n)=_____．10．三角形一边长2a+2b，这条边上的高为2b-3a，则这个三角形的面积是_____．11．若(x+4)(x-3)=x2+mx-n，则m=_____，n=_____．12．整式的乘法运算(x+4)(x+m)，m为何值时，乘积中不含x项？m为何值时，乘积中x项的系数为6？你能提出哪些问题？并求出你提出问题的结论．13．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的大长方形，则需要C类卡片()张．14．计算：(1)(5mn2-4m2n)(-2mn)(2)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+1)15．试说明代数式(2x+1)(1-2x+4x2)-x(3x-1)(3x+1)+(x2+x+1)(x-1)-(x-3)的值与x无关．参考答案1．答案：C解析：【解答】A、（x-2）（x-3）=x2-6x+6，故本选项错误；B、（x-6）（x+1）=x2-5x-6，故本选项错误；C、（x-1）（x-5）=x2-6x+5，故本选项正确；D、（x+6）（x-1）=x2+5x-6，故本选项错误；故选C．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，进行计算即可得出正确答案．2．答案：A解析：【解答】A、2x+3x=5x，故A选项正确；B、2x•3x=6x2，故B选项错误；C、（2x）3=8x3，故C选项错误；D、5x6÷x3=5x3，故D选项错误；故选A．【分析】根据整式乘法和幂的运算法则．3．答案：B解析：【解答】A、2x（3x-2）=6x2-4x，故本选项错误；B、（2y+3x）（3x-2y）=9x2-4y2，故本选项正确；C、（x+2）2=x2+4x+4，故本选项错误；D、（x+2）（2x-1）=2x2+3x-2，故本选项错误．故选B．【分析】根据整式乘法的运算法则、平方差公式、完全平方公式的知识求解，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．4．答案：D解析：【解答】（x2+px+2）（x-q）=x3-qx2+px2-pqx+2x-2q=x3+（p-q）x2+（2-pq）x-2q，∵多项式不含一次项，∴pq-2=0，即pq=2．故选D【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，合并同类项得到最简结果，由结果中不含x的一次项，令一次项系数为0即可列出p与q的关系．5．答案：B解析：【解答】∵（y+3）（y-2）=y2-2y+3y-6=y2+y-6，∵（y+3）（y-2）=y2+my+n，∴y2+my+n=y2+y-6，∴m=1，n=-6．故选B．【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算（y+3）（y-2），再根据多项式相等的条件即可求出m、n的值．6．答案：x2+x-12解析：【解答】（x-3）（x+4）=x2+4x-3x-12=x2+x-12【分析】根据（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn展开，再合并同类项即可．7．答案：10解析：【解答】∵（x+q）（x-3）=x2+（-3+q）x-3q，∴x2+px+6=x2+（-3+q）x-3q，∴p=-3+q，6=-3q，∴p=-5，q=-2，∴pq=10．故答案是10．【分析】等式的右边根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 进行计算，再根据等式的性质可得关于p、q的方程组，求解即可．8．答案：①a2-a-9900；②y2-581y+40500．解析：【解答】（1）两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；（2）（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab．（3）①（a+99）（a-100）=a2-a-9900；②（y-500）（y-81）=y2-581y+40500．【分析】（1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答；（2）根据（1）中呈现的规律，列出公式；（3）根据（2）中的公式代入计算．9．答案：x3-y3；x4-y4；x n+1-y n+1．解析：【解答】原式=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3；原式=x4+x3y+x2y2+xy3-x3y-x2y2-xy3-y4=x4-y4；原式=x n+1+x n y+xy n-2+x2y n-1+xy n-x n y-x n-1y2-y n-1y2-…-x2y n-1-xy n-y n+1=x n+1-y n+1，【分析】根据多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．10．答案：-3a2+2b2-ab．解析：【解答】∵三角形一边长2a+2b，这条边上的高为2b-3a，∴这个三角形的面积为：（2a+2b）（2b-3a）÷2=（a+b）（2b-3a）=-3a2+2b2-ab．【分析】根据三角形的面积=底×高÷2列出表示面积是式子，再根据多项式乘以多项式的法则计算即可．11．答案：1，12．解析：【解答】∵（x+4）（x-3）=x2-3x+4x-12=x2+x-12=x2+mx-n，∴m=1，-n=-12，即m=1，n=12．【分析】将已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件得出m 与n的值，代入所求式子中计算，即可求出值．12．答案：-4，2解析：【解答】∵（x+4）（x+m）=x2+mx+4x+4m若要使乘积中不含x项，则∴4+m=0∴m=-4若要使乘积中x项的系数为6，则∴4+m=6∴m=2提出问题为：m为何值时，乘积中不含常数项？若要使乘积中不含常数项，则∴4m=0∴m=0【分析】把式子展开，若要使乘积中不含x项，则令含x项的系数为零；若要使乘积中x项的系数为6，则令含x项的系数为6；根据展开的式子可以提出多个问题．13．答案：3张．解析：【解答】（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．则需要C类卡片3张．【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．14．答案：（1）10m2n3+8m3n2；（2）2x-40．解析：【解答】（1）原式=-10m2n3+8m3n2；（2）原式=x2-6x+7x-42-x2-x+2x+2=2x-40．【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果；（2）原式两项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．15．答案：代数式的值与x无关解析：【解答】原式=2x-4x2+8x3+1-2x+4x2-9x3-x+x3-1+x-3=-3，则代数式的值与x无关．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断．。
(完整word版)整式的乘除知识点及题型复习
的长方形,则需要A类卡片________张,B类卡片_______张，C类卡片_______张.
解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征,如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解。
1、
2、已知 ，求 的值。
3、
三、课后作业
1、 （1） （2）
（3） (4） （运用乘法公式）
2、（5分）先化简，再求值: ，其中 .
所以：
练习：
1、已知 与 的和是单项式,则 的值是______.
经典题目：
1、已知整式 ,求 的值。
考点2、整式的乘法运算
例:计算： =．
解： ＝ ＝ .
练习：
8、若 ，求 、 的值。
9、已知 ， ，则 的值为（ ）。
A． B． C． D．
10、代数式 的值（ )。
A．只与 有关 B．只与 有关
C．与 都无关 D．与 都有关
考点4、利用整式运算求代数式的值
例:先化简，再求值： ，其中 ．
分析:本题是一道综合计算题，主要在于乘法公式的应用。
解：
当 ， 时， 。
1、 ，其中 ， .
2、若 ,求 、 的值.
3、当代数式 的值为7时,求代数式 的值.
4、已知 ， ， ，求：代数式 的值.
5、已知 时，代数式 ，求当 时，代数式 的值。
练习：
1、已知一个多项式与单项式 的积为 求这个多项式。
2、已知一个多项式除以多项式 所得的商式是 ，余式是 ，求这个多项式。
方法总结:①乘法与除法互为逆运算.
初二数学―整式的乘法知识点归纳及练习
初二数学―整式的乘法知识点归纳及练习解析《整式乘法》知识点五、同一基数的幂的乘法nn1.n个相同因子（或多个因子）的乘法a记录为a，并读取为a的n次方，其中a是基，n是索引，a的结果称为幂。
2.具有相同基础的权力称为具有相同基础的权力。
mnm+n3.同基幂乘算法：同基幂乘，基不变，指数相加。
即：AQA=a。
m+nmn4.这个规则也可以反过来使用，即a=AQA。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
八、同底数幂的除法mnm-n1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a÷a=a（a≠0）。
m-nmn2、此法则也可以逆用，即：a=a÷a（a≠0）。
十、负指数幂1.任何不等于零的数的DP幂等于该数的P幂的倒数。
注：在相同基幂、零指数幂和负指数幂的除法中，基不是0。
11、整数乘法（一）单项式与单项式相乘1.单项式乘法规则：当一个单项式与一个单项式相乘时，其系数和相同字母的幂分别相乘，剩余字母及其指数作为乘积的因子保持不变。
2.系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6.单个项目的乘法规则也适用于三个或更多单个项目的乘法。
（二）单项式与多项式相乘1.单项式与多项式的乘法规则：单项式与多项式的乘法是根据分布率将多项式的每一项与单项式相乘，然后相加。
也就是说，m（a+B+C）=ma+MB+MC。
2.计算时，注意产品的符号。
多项式的每一项都包含前面的符号。
3.乘积是一个多项式，其项数与多项式相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘1.多项式和多项式乘法规则：当一个多项式与一个多项式相乘时，首先将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后将乘积相加。
即：（M+n）（a+b）=ma+MB+Na+Nb。
(完整版)整式的乘法知识点及练习
整式的乘法知识点及相关习题复习1. 同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用字母表示为a m .a n =a n m +（m 、n 都是正整数）练习：（1）32a a a ⋅⋅ （2）32)(x x ⋅-（3） 32333⨯⨯ （4）312++⋅n n x x（5）()()m m 2224⨯⨯ （6）()()()a a a n n -⨯-⨯-++2312 2.幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
用字母表示为（a m ）n =a mn (m 、n 都是正整数)3.积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为(ab)n =a n .b n (n 为正整数)练习：－(2x 2y 4)3 (－a)3·(a n )5·(a 1－n )5［(102)3］4 ［(a+b)2］4［－(－x)5］2 (x a ·x b )c4.整式的乘法1）单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
练习：)3()21(23322y x z y x xy -⋅-⋅)()()3(343y x y x -⋅-⋅-)104)(105.2)(102.1(9113⨯⨯⨯11215--⋅⋅n n n y x y x2）单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
练习：22(3)(21)x x x --+-= 321(248)()2x x x ---⋅-= 223121(3)()232x y y xy +-⋅- 3212[2()]43ab a a b b --+ 3）多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
练习：(3x －1)(4x ＋5)(－4x －y)(－5x ＋2y)(y －1)(y －2)(y －3)(3x 2＋2x ＋1)(2x 2＋3x －1)2.乘法公式1）平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(完整版)整式的乘法与因式分解--知识点和例题
整式的乘法与因式分解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+-- 按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++- 按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y一、 整式的乘法 （一）幂的乘法运算 1、同底数幂相乘：=•nma a 推广：n n n n n n n n n n a a a a aΛΛ+++=⋅⋅3213211（n n n n n ,,,,321Λ都是正整数）2、幂的乘方：()=nma推广：[]321321)(n n n n n na a =（321,,n n n 都是正整数）3、积的乘方：()=nab推广：nm n n n n m a a a a a a a a ΛΛ321321)(=⋅⋅， 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
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八年级14.1整式的乘法知识点总结【知识点一】整式的混合运算例题一、计算：-a3?a4? a [ a4]23例题二、计算：3x2 2y |y2 ? 2xy例题三、计算：3x 2y 2x 3y x 3y 3x 4y【知识点二】利用幕的运算法则解决问题例题一、已知10a 5，10b 6，求102a 3b的值例题二、解方程：32x 2 32x 1486例题三、已知2x 5y 3 0，求4x?32y的值【知识点三】整式除法的运用例题一、已知 3 2 3-2x3y21 n 22Xy mx7y P，求n,m,p 的值。
例题二、已知一个多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y728x7y47y 2x3y2，求这个多项【知识点四】整式化简求值例题一、先化简，再求值:2 2x x 6x 9 x x 8x 15 2x 3 x，其中x例题二、先化简，再求值:2x y x y 2x 2x 3y 6x x，其中x1, y 2.【知识点五】开放探求题例题一、若多项式X2 mx n x2 3x 4展开后不含有x3项和x2项，试求m,n的值例题二、甲乙二人共同计算一道整式乘法：2x a 3x b，由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2 11x 10 ；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数, 得到的结果为2x2 9x 10。
(1)你能知道式子中a,b的值各是多少吗？(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果。
3 2例题三、若x是整数’求证匕亍是整数。
【知识点六】整式乘除法在实际问题中的应用例题一、某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为2a m，宽为(2a-24 ) m ,试用a表示地基的面积，并计算当a=25时地基的面积例题二、大庆市环保局欲将一个长为2 X103dm ,宽为4 X102dm ,高为8 x iOdm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，(1)__________________________________________________________ 请你考虑一下，这些废水能否刚好装满一个正方体贮水池____________________________ •(请填“能”或“不能”)(2)______________________________________ 若能，贝y该正方体贮水池的棱长_______________________________________________ dm(3)若不能，你能说出理由吗？(不要求作答)例题三、太阳可以近似的看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V3 n R3，太阳的半径约为6X105千米，它的体积大约是多少立方千米？5取3)。
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的知识板块。
它不仅是后续学习代数运算的基础，还在解决实际问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式乘法1、同底数幂相乘同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：＄a^m × a^n ＝ a^｛m＋ n}＄（＄m$、＄n$都是正整数）。
例如：＄2^3 × 2^4 ＝ 2^｛3 ＋ 4} ＝ 2^7$2、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$、＄n$都是正整数）。
比如：＄（3^2)＾3 ＝ 3^｛2×3} ＝ 3^6$3、积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）。
例如：＄（2×3)＾2 ＝ 2^2 × 3^2 ＝ 4×9 ＝ 36$4、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：＄3x^2y × 5xy^2 ＝（3×5)×（x^2 × x)×（y × y^2) ＝15x^3y^3$5、单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
比如：＄2x(3x^2 5x ＋ 1) ＝ 2x×3x^2 2x×5x ＋ 2x×1 ＝ 6x^3 10x^2 ＋ 2x$6、多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：＄（x ＋ 2)（x 3) ＝ x×x ＋ x×（－3) ＋ 2×x ＋ 2×（－3) ＝x^2 3x ＋ 2x 6 ＝ x^2 x 6$二、整式除法1、同底数幂相除同底数幂相除，底数不变，指数相减。
整式的乘法(含例题)
1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．（2）同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）．2．幂的乘方（1）幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． （2）幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】（1）幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnp a a =（m ，n ，p 都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）．3．积的乘方（1）积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3． 积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn abab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()n n n ab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘．4．单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． （2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．5．单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．6．多项式与多项式相乘（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ．【注意】（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．7．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）．8．零指数幂的性质零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0． 于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________． 【注意】（1）底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义．（2）底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． （3）a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0．9．单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．10．多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．K知识参考答案：1．相加2．相乘3．乘方4．相乘5．相加6．相加7．相减8．1 9．相除10．相加K—重点幂的运算，整式的乘法，整式的除法K—难点多项式与多项式相乘K—易错同底数幂的乘法一、同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用．2．单个字母或数字可以看成指数为1的幂．3．底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．【例1】计算（-a）4·a的结果是A．-a5 B．a5 C．-a4 D．a4【答案】B【解析】（-a）4·a=a4·a=a4+1=a5，故选B．【例2】计算-（a-b）3（b-a）2的结果为A．-（b-a）5 B．-（b＋a）5 C．（a-b）5 D．（b-a）5【答案】D【解析】-（a-b）3（b-a）2=（b-a）3（b-a）2=（b-a）5，故选D．二、幂的乘方与积的乘方1．每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．2．要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略． 【例3】计算24()a 的结果是 A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ． 【例4】下列等式错误的是 A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D三、整式的乘法1．单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．2．单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式． 【例5】计算：3x 2·5x 3的结果为 A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ． 【例6】下列各式计算正确的是 A ．2x （3x -2）=5x 2-4x B ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2 C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误；B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确；C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．四、同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列． 【例7】计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ． 【例8】计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是 A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy x y x y x y ------÷-=+=+．故选B ．五、整式的化简求值1． 化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．2．在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来． 【例9】先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-． 当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．。
初二整式的乘法与因式分解知识点(完整版)
初二整式的乘法与因式分解知识点总结（含答案解析）知识点：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m na a a+⨯=⑵幂的乘方：()n m mn=a a⑶积的乘方：()n n n=ab a b2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22-⨯+=-a b a b a b⑵完全平方公式：()2222-=-+a b a ab b+=++；()2222a b a ab b4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n÷=a a a-⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22-=+-a b a b a b②完全平方公式：()222±+=±a ab b a b2③立方和：3322+=+-+()()a b a b a ab b④立方差：3322-=-++a b a b a ab b()()⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q+++=++⑷拆项法⑸添项法常考题：一．选择题（共12小题）1．下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2 2．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b63．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x64．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+96．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+97．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）28．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．110．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b211．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b212．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2二．填空题（共13小题）13．分解因式：3x2﹣27= ．14．分解因式：a2﹣1= ．15．因式分解：x2﹣9y2= ．16．分解因式：x3﹣4x= ．17．因式分解：a3﹣ab2= ．18．分解因式：x2+6x+9= ．19．分解因式：2a2﹣4a+2= ．20．分解因式：x3﹣6x2+9x= ．21．分解因式：ab2﹣2ab+a= ．22．分解因式：2a3﹣8a2+8a= ．23．分解因式：3a2﹣12ab+12b2= ．24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= ．25．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．三．解答题（共15小题）26．计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）27．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．28．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．30．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．31．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．32．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）34．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．35．分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．37．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．38．因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．39．因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．初二整式的乘法与因式分解知识点总结(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•甘南州）下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x2）3=x6，本选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2．（2021•南京）计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．（2021•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．故选：A．【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；C、提公因式法，故C选项正确；D、右边不是积的形式，故D选项错误；故选：C．【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．5．（2021春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．6．（2021•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．7．（2021•眉山）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；B、是完全平方公式，故B选项正确；C、是提公因式法，故C选项正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．8．（2021•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．9．（2021秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．10．（2021•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a ＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．11．（2021•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．12．（2021•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2 B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．二．填空题（共13小题）13．（2021•黄石）分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．14．（2021•上海）分解因式：a2﹣1= （a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．15．（2021•邵阳）因式分解：x2﹣9y2= （x+3y）（x﹣3y）．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．16．（2021•大庆）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．17．（2021•乐山）因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．18．（2021•三明）分解因式：x2+6x+9= （x+3）2．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．19．（2021•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（2021•西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．21．（2021•大庆）分解因式：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．22．（2021•安顺）分解因式：2a3﹣8a2+8a= 2a（a﹣2）2．【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．故答案为：2a（a﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．（2021•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．24．（2021•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= 3 ．【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．25．（2021•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70 ．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．【解答】解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．故答案为：70．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．三．解答题（共15小题）26．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．27．（2021春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．28．（2021•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．29．（2021•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．30．（2021秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．32．（2021春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．33．（2021春•乐平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）【分析】把（2a+b）看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可．【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），=（2a+b）2﹣1，=4a2+4ab+b2﹣1．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用．34．（2021•贺州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．35．（2021•雷州市校级一模）分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．【分析】（1）两次运用平方差公式分解因式；（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，=（a2﹣4）（a2+4），=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．【点评】（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．36．（2021春•利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．【分析】显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x2﹣1），=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．37．（2021秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．38．（2021春•扶沟县期中）因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，=﹣8a（x2﹣2xy+y2），=﹣8a（x﹣y）2；（2）（a2+1）2﹣4a2，=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），=（a+1）2（a﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．39．（2021秋•桐梓县期末）因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．【分析】（1）先提取公因式3x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．【解答】解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）6xy2+9x2y+y3=y（6xy+9x2+y2）=y（3x+y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．40．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．。
整式的乘除知识点总结及针对练习题精编版
思维辅导整式的乘除知识点及练习基础知识：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：nm n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+【基础过关】1．下列计算正确的是（ ）A ．y 3·y 5=y 15B ．y 2+y 3=y 5C ．y 2+y 2=2y 4D ．y 3·y 5=y 82．下列各式中，结果为（a+b ）3的是（ ）A ．a 3+b 3B ．（a+b ）（a 2+b 2）C ．（a+b ）（a+b ）2D ．a+b （a+b ）23．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ）A ．（a+b ）（a+b ）2B ．（a+b ）（a －b ）2C ．－（a －b ）（b －a ）2D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）24．下列计算中，错误的是（ ）A ．2y 4+y 4=2y 8B ．（－7）5·（－7）3·74=712C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5【应用拓展】5．计算：（1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4（3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）76．已知a x =2，a y =3，求a x+y 的值．7．已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．知识点归纳：二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总1.一元整式的乘法：一元整式是只含有一个变量的整式，例如3x^2+2x+1、一元整式的乘法就是将两个一元整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-102.多项式的乘法：多项式是含有多个项的整式，例如(3x+2)(2x-5)。
多项式的乘法可以通过将每个项相乘，并使用分配律和合并同类项的方法进行简化。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-103.完全平方公式：完全平方公式是一种特殊的乘法形式，将一个一元二次多项式乘积进行简化。
完全平方公式为(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(x+3)(x+3)=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9因式分解知识点汇总：1.因式分解的基本思想：因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积称为一个因式。
通过因式分解，可以简化计算和解决问题。
2.因式分解的基本方法：2.1提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式为公因式的多项式。
例如：2x^2+4x=2x(x+2)2.2公式法：使用已知的公式，例如完全平方公式、差平方公式等，将多项式进行因式分解。
例如：x^2-9=(x+3)(x-3)2.3分组分解法：将多项式中的各项进行分组，并找出可以进行因式分解的共同因式。
例如：ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)2.4平方差公式：将一个二次多项式表示为两个平方的差。
例如：x^2-4=(x+2)(x-2)2.5公因式平方差公式：将一个二次多项式表示为公因式的平方减去另一个平方。
例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)2.6公式的逆运算：将一个多项式进行展开，得到可以进行因式分解的形式。
整式的乘法(基础)知识讲解.doc
整式的乘法（基础）责编：某老师【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】【高清课堂 397531 整式的乘法 知识要点】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘【高清课堂397531 整式的乘法 例1】1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解： （1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-．（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦ 3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）．【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3）=2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； （3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 【答案与解析】 解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-． （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭g 23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42332444235a b a b a b =--+． 【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．举一反三： 【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭ 26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+= 因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-；（2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+- 322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x +a ）（x +2）=x 2﹣5x +b ，则a +b 的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可．【答案与解析】解：（x +a ）（x +2）=x 2+（a +2）x +2a ，则a +2=﹣5，2a=b ，解得，a=﹣7，b=﹣14，则a +b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：22912689(6)x x x x x -+->+-， 229689954x x x x -->+-，229699854x x x x --->-，1546x ->-，4615x <． ∴ x 取非负整数为0，1，2，3．。
整式的乘法(含答案及笔记)
课 题 整式的乘法（二）课型 新授课具体内容学习目标1、理解并熟记整式的乘法中单项式与多项式乘法法则；2、能熟练利用法则进行单项式与多项式相乘运算。
【知识回顾】1.回顾法则：（1）把它们的系数相乘，作为积系数的；（2）相同字母的幂相乘，作为积的因式；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2.快速口答解：（1）()33232a b a -⋅-=6a 5b3（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-322232y x xy =-3x 3y 5（3）2332xy yz x ⋅=6x 4y 3z【自主探究】宁宁也作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左右两边各留了xm 81的空白，这幅画的画面面积是多少？（1)若先表示画面的长与宽，则画面的面积为 ⎪⎭⎫⎝⎛-x mx x 41 .（2)若用纸的面积减去空白处的面积为 2241m x x - .（3）通过同一面积的不同表达，可以得到： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x nx x 41= 2241x nx - .法则：单项式与多项式相乘，就是根据（乘法分配律）用单项式去乘多项式的（每一项）,再把所得的积（相加）。
例1 计算：（1）()b a ab ab 22352+ （2）ab ab ab 212322⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：原式=2ab ·5ab 2+2ab ·3a 2b ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅ab ab ab ab 2122132=解：原式2 =10a 2b 3+6a 3b 2223231b a b a -=（3）⎪⎭⎫⎝⎛+-22212b ab a （4）()xyz z xy z y x ⋅++3222 ()222221-2a =原式:解b a ab ⋅-+⋅ 解：原式=2xyz(x+y 2z+xy 2z 3) = -a 3b-2a 2b 2 =2xyz ·x+2xyz ·y 2z+2xyz ·xy 2z 3=2x 2yz+2xy 3z 2+2x 2y 3z 4。
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；
2 ⎣ ⎦
整式的乘除与因式分解复习
一、整式的乘法
1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即： a m ⋅ a n = a m +n （m ，n 都是正整数）。
例 1：计算
（1）108 ⨯102 ；（2）（- x ）2（⋅ - x ）3 ；（3） a n +2 ⋅ a n +1 ⋅ a n ⋅ a （4） (-x )10 ⨯(-x )3 = （5） -2-3
⨯(-3)-2
（6） ⎛ 1 ⎫-2
-3
=。
-
⎪ ⎝ ⎭
例 2：计算
+ 3
（1）（b + 2）3（⋅ b + 2）5（⋅ b + 2）；（2）（x - 2y ）2（⋅ 2y - x ）3
例 3：已知2x +2 = m ，用含 m 的代数式表示2x 。
例 4 已知 x a = 2 ， x b = 3 ，求 x
2a -3b
的值。
例 5 已知3m = 6 ， 9n = 2 ，求32m -4n -1 的值。
1 整式的除法运算
例： (-a 10 )3
÷(-a )10
÷(-a 3 )2
÷ a 6 =。
例 2：已知4a 3b m ÷ 36a n b 2 = 1 b 2 ，则m 、n 的取值为（
）
9
A 、 m = 4, n = 3
B 、m = 4, n = 1
C 、m = 1, n = 3
D 、m = 2, n = 3
例 3 若5x - 3y - 2 = 0 ，则105x ÷103y = 。
例 4 若93m +1 ÷ 32m = 27 ，则m =。
2. 幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3 是三个a 5 相乘，读作 a 的五次幂的三次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即（a m ）n = a mn （m ，n 都是正整数）。
例 4：计算
（1）（a m ）2
；（2） ⎡(-m )3 ⎤4
；（3）（a 3-m ）2
3. 积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。
如：
(ab )
3
= (ab )⋅(ab )⋅(ab )
积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
如：（ab ）n
=a n ⋅ b n
例 5：计算
（1） (
-x 3 )2 ⋅ (
-x 2 )
3
；（2） (-xy )4
；（3）
-(
3a 2b 3 )
3
⨯ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
例 6：已知10a = 5,10b = 6 ，求102a +3b 的值。
例 7：计算（1）
⎛ 99 ⎫
2011
⎛ 100 ⎫2010 ；（2） 0.12515 ⨯(215 )3
100 ⎪ 99 ⎪ 4. 单项式与单项式相乘（重点）
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同
它的指数作为积的一个因式。
例 8：计算
（1） 3ab 2 ⋅⎛ - 1 a 2b ⎫
⋅ 2abc ;
(2) (-2x n +1y n )
⋅(-3xy )⋅⎛ - 1
x 2
z ⎫ ;
3 ⎪ 2 ⎪
(3) ⎝
⎭ ⎝
⎭
-6m 2n ⋅ (x - y )3 ⋅ 1 mn 2 ⋅ ( y - x )2
3
5. 单项式与多项式相乘（重点）
法则： 单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加。
用式子表示为
m (a + b + c ) = ma + mb + mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）。
例 9：计算
⎛ 3 ⎫ ⎛ 2 4 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫2
（1） - xy ⎪⋅ x 2
y - 4xy 2
+ y ⎪ ；
（2） 6mn 2
⋅ 2 - mn 4 ⎪ + - mn 3 ⎪
⎝ 2 ⎭ ⎝ 3
3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭
题型一：整式乘法与逆向思维
若a = 78 ， b = 87 ，则5656 =
（用含 a ，b 的代数式表示）
例：已知： 2a = 3 ， 32b = 6 ，求 23a +10b 的值；
题型二：解不等式或方程
求出使(3x + 2)(3x - 4) > 9(x-2)(x + 3) 成立的非负整数解。
题型四：整体变化求值
已知2x + 5y - 3 = 0 ，求4x ⋅ 32y 的值。
题型五：整式乘法的综合应用
已知x 2 + 3x + 3 与x 2 - 3x + k 的乘积中不含x 2 项，求 k 的值。
二、乘法公式
1. 平方差公式（重点）
平方差公式： (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做平方差公式。
例：下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果。
（1） (2a - 3b )(3b - 2a ) ；（2） (-2a + 3b )(2a + 3b ) ；（3） (-2a + 3b )(-2a - 3b ) ； （4） (2a + 3b )(2a - 3b ) ；（5） (-2a - 3b )(2a - 3b ) ； （6） (2a+3b )(-2a - 3b )
2.完全平方公式（重点）
⎧⎪(a + b)2= a2+ 2ab + b2⎫⎪
完全平方公式⎨ 2 2 2 ⎬
⎪⎩(a - b) = a - 2ab + b ⎪⎭
即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积得2 倍。
这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式
例10：化简
（1）(a + 3b)2；（2）(-x + 3y)2；（3）(-m - n)2；（4）(2x+3)(-2x - 3)。
例11：计算
（1）99992；（2）20112
3.添括号（难点）
法则：添括号时，如果括号前面是正号。
括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
例12：按要求把多项式5a3b - 2ab + 3ab3- 2b2添上括号：
（1）把前两项括到前面带有“+”的括号里，后两项括到前面带有“-”的括号里；
（2）把后三项括到前面带有“-”的括号里；
（3）把四次项括到前面带有“+”的括号里，把二次项括到前面带有“-”的括号里。
例13：运用乘法公式计算：
（1）(a - b + c)(a + b - c)；（2）(2x - y +1)(y-1+ 2x)；（3）(x - y + z)2 ；（4）(2a + 3b -1)(1- 2a -3b)
题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用
解方程： (2x +1)(2x -1)+ 3(x - 2)(x + 2)=(7x +1)(x -1)
题型二：应用完全平方公式求值
设m+n=10，mn=24，求m2+ n2和(m - n)2的值。
题型三：巧用乘法公式简算
计算：（1）3(22+1)(24+1)(28+1)+1；（2）99 ⨯101⨯10001
题型四：利用乘法公式证明
对任意整数n，整式(3n +1)(3n -1)-(3 - n)(3 + n)是不是10 的倍数？为什么？
题型五：乘法公式在几何中的应用
已知△ABC 的三边长a，b，c 满足a2+ b2+ c2- ab - bc - ac = 0 ，试判断△ABC 的形状。