中考数学复习专项检测：《四边形》基础测试

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中考数学四边形专题训练50题含答案

中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．若一个多边形的内角和是720︒，则该多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形2．下列哪个度数可能成为某个多边形的内角和()A．240°B．600°C．1980°D．21800°3．下列说法中错误．．的是（）A．平行四边形的对边相等B．正方形的对角线互相垂直平分且相等C．菱形的对角线互相垂直平分D．矩形的对角线互相垂直且相等4．有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个四边形，则四边形的最大面积是A．27B．12C．15D．185．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∥DAC＝∥ACD6．每一个外角都等于36︒，这样的正多边形边数是()A．9B．10C．11D．127．如图，点O是ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠ D ．CFE DEF ∠=∠8．对角线互相平分且相等的四边形一定是（）A ．等腰梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 9．如图，在平行四边形ABCD 中，∥B ＝70°，AE 平分∥BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∥1＝（）A ．45°B ．55°C ．50°D ．60° 10．下列说法正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的平行四边形是正方形D ．对角线相等的菱形是正方形 11．如图，ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，ACB ∠的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若10BC =，则PQ 的长为（）A ．32B ．52C ．3D ．412．有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF （如图∥）；再沿过点D 的折痕将角A 翻折，使得点A 落在EF 的H 上（如图∥），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为（）A ．6 B ．3 C ．8﹣D ．4﹣13．下列说法错误的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形B ．四条边都相等的四边形是菱形C ．四个角都相等的四边形是矩形D ．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形14．已知：如图，四边形ABCD 中，90,60A B C ∠=∠=︒∠=︒，2,3CD AD AB ==．在AB 边上求作点P ，则PC PD +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10 15．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOD AD ∠==°，，则AB 的长是（）A ．2B ．4C ．D ．16．如图，菱形ABCD 的对角线12AC =，面积为24，∥ABE 是等边三角形，若点P 在对角线AC 上移动，则PD PE +的最小值为（）A．4 B ．C ． D ．617．如图，ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且8AB =，17BC =，15CA =，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（）A ．4B ．6.25C ．7.5D ．9 18．如图，点E 在边长为5的正方形ABCD 的边CD 上，将ADE 绕点A 顺时针旋转90︒到ABF 的位置，连接EF ，过点A 作FE 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点.G 若2CG =，则CE 的长为（）A ．54B ．154C ．4D ．9219．如图，菱形ABCD 的对角线AC =12，面积为24，∥ABE 是等边三角形，若点P 在对角线AC 上移动，则PD +PE 的最小值为（）A ．4B ．C ．D ．6 20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（）A．2B．53C．54D二、填空题21．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得50mMN=，则池塘的宽度AB为______m．22．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是P A、PR 的中点．如果DR＝5，AD＝12，则EF的长为_____．23．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点则四边形EFGH的周长等于___cm．24．如图，已知矩形ABCD中，8AB=，5πBC=．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为________（用含π的式子表示）25．如图，四边形ABCD的对角线AC BD=，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个）26．如图，在△ABC 中，4BC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，G ，H 分别是AD ，AE 的中点，则GH ＝______．27．已知O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，24AB =，36AD =，则OBC △的周长比AOB 的周长大___________．28．平行四边形ABCD 中，∥A 比∥B 小20°，那么∥C ＝_____．29．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BC =6，AC +BD =14，那么∥BOC 的周长是_____．30．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝6，∥CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为 _____．（结果保留π）31．如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是(0,1)，(2,2)--，(2,2)-，则顶点D 的坐标是_________．32．判断题，对的画“√”错的画“×”(1)对角线互相垂直的四边形是菱形( )(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( )(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( )(4)对角线相等的四边形是菱形( )33．如图，在菱形ABCD 中，2A B ∠=∠，2AB =，点E 和点F 分别在边AB 和边BC 上运动，且满足AE CF =，则DF CE +的最小值为_______．34．如果一个梯形的上底长为2cm ，中位线长是5cm ，那么这个梯形下底长为__________cm ．35．如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，在AD 的延长线上有一点E ，当BE 时，DE 的长是_____cm ．36．如图，在菱形ABCD 中，∥BAD ＝110°，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，点M 为垂足，连接DN ，则∥CDN 的大小是______．37．如图，在▱ABCD 中，BM 是∥ABC 的平分线，交CD 于点M ，且DM =2，平行四边形ABCD 的周长是16，则AB 的长等于______．38．已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上，CE ＝MN ，∥MCE ＝35°，∥ANM 的度数______．39．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且EF ＝6，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP +PM 的最小值是_____．40．如图，在ABC 中，M 是BC 边上的中点，AP 是BAC ∠的平分线，BP AP ⊥于点P ，已知16AB =，24AC =，那么PM 的长为________．三、解答题41．如图，在ABCD 中，AE CF =．求证：ABE CDF ∠=∠．42．已知，如图长方形ABCD 中，3cm AB =，9cm AD =，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求EF 的长．43．如图，在平面直角坐标系内，ABC 的顶点坐标分别为(4,4)A -，(2,5)B -，(2,1)C -．(1)平移ABC ，使点C 移到点1(2,2)C ，画出平移后的111A B C △；(2)将ABC 绕点(0,0)旋转180︒，得到222A B C △，画出旋转后的222A B C △；(3)连接12A C ，21A C ，求四边形1221A C A C 的面积．44．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为()6,4，E 为AB 的中点，过点()8,0D 和点E 的直线分别与BC 、y 轴交于点F ，G ．（1）求直线DE 的函数关系式；（2）函数2y mx =-的图象经过点F 且与x 轴交于点H ，求出点F 的坐标和m 值；（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG 的面积．45．如图，AMN 是边长为2的等边三角形，以AN ，AM 所在直线为边的平行四边形ABCD 交MN 于点E 、F ，且30EAF ∠=︒．(1)当F 、M 重合时，求AD 的长；(2)当NE 、FM )NE FM EF +=； (3)在（2）的条件下，求证：四边形ABCD 是菱形． 46．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若4AB =，求平行四边形BCFD 的面积．47．阅读下面材料，并回答下列问题：小明遇到这样一个问题，如图，在ABC ∆中，//DE BC 分别交AB 于点D ，交AC 于点E .已知,3,5CD BE CD BE ⊥==，求BC DE +的值. 小明发现，过点E 作//EF DC ，交BC 的延长线于点F ，构造∆BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）请你回答：（1）证明：DE CF =；（2）求出BC DE +的值；（3）参考小明思考问题的方法，解决问题；如图，已知ABCD 和矩形,ABEF AC 与DF 交于点,G AC BF DF ==.求AGF ∠的度数.48．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将A ，B 两点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD .(1)求点C ，D 的坐标；(2)若点P 在直线BD 上运动，连接PC ，PO .∥若点P 在线段BD 上(不与B ，D 重合)时，求S △CDP ＋S △BOP 的取值范围；∥若点P 在直线BD 上运动，试探索∥CPO ，∥DCP ，∥BOP 的关系，并证明你的结论．49．Rt∥ABC 中，∥BAC ＝90°，（1）如图1，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABFG 、ACPE 、BCDE ，其面积分别记为S 1，S 2，S 3，∥若AB ＝5，AC ＝12，则S 3＝；∥如图2，将正方形BCDE 沿C 折，点D 、E 的对应点分别记为M 、M ，若点从M 、N 分别在直线FG 和PH 上，且点M 是GO 中点时，求S 1∥S 2∥S 3；∥如图3，无论Rt∥ABC 三边长度如何变化，点M 必定落在直线FG 上吗？请说明理由；（2）如图4，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正三角形ABD ，ACF ，BCE ，再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB＝保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值．50．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）∥请直接写出图1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；∥将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断∥中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4～6），且，试判断（1）∥中得到的结论哪个成立，哪个不成立？（写出你的判断，不必证明.）（3）在图5中，连结DG、BE，且，则.参考答案：1．C【分析】根据多边形内角和定理进行求解即可．【详解】解；设这个多边形的边数为n ，由题意得；()1802720n ︒⋅-=︒，解得6n =，∥这个多边形是六边形，故选C ．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知对于n 边形其内角和为()1802n ︒⋅-是解题的关键．2．C【分析】本题可根据多边形的内角和为（n ﹣2）×180°来确定解决本题的方法，即判断哪个度数可能是多边形的内角和，就看它是否能被180°整除，从而根据这一方法解决问题．【详解】判断哪个度数可能是多边形的内角和，我们主要看它是否能被180°整除． ∥只有1980°能被180°整除．故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和的计算公式．熟练掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．3．D【分析】根据平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质对每个选项进行分析，即可得出答案．【详解】解：∥平行四边形的对边相等，∥选项A 不符合题意；∥正方形的对角线互相垂直平分且相等，∥选项B 不符合题意；∥菱形的对角线互相垂直平分，∥选项C 不符合题意；∥矩形的对角线相等但不一定互相垂直，∥选项D 符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质是解决问题的关键．4．C【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断出四边形的形状；当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：重叠的四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么重叠的四边形应为菱形；如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=x，EB=9-x，AE=3，则由勾股定理得到：32+（9-x）2=x2，解得x=5，S最大=5×3=15．故选C．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解题的关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程．5．D【分析】根据平行四边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∥，故B正确；∴AD BC∴AD＝BC，故C正确；故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．6．B【分析】根据多边形外角和为360°，然后除以36°即可得到正多边形的边数.【详解】每一个外角都等于36︒，这样的正多边形边数为360°÷36°=10，故选B【点睛】本题考查有关于多边形外角和的计算，记住多边形的外角和是360°是解题关键. 7．A【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO∥∥CFO，从而进行分析即可．【详解】∥点O是ABCD对角线的交点，∥OA=OC，∥EAO=∥CFO，∥∥AOE=∥COF，∥△AEO∥∥CFO（ASA），∥OE=OF，A选项成立；∥AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；∠=∠，则DO=DC，若DOC OCD由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；由△AEO∥∥CFO得∥CFE=∥AEF，但不一定得出∥AEF=∥DEF，则∥CFE不一定等于∥DEF，D选项不一定成立；故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．8．B【详解】分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形,判断即可.详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形,故选B.点睛：考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形.9．B【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∥1的度数即可．【详解】：解：∥AD∥BC，∥B=70°，∥∥BAD=180°-∥B=110°．∥AE平分∥BAD∥∥DAE=12∥BAD=55°． ∥∥AEB=∥DAE=55°∥CF∥AE∥∥1=∥AEB=55°．故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10．D【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定即可判断出正确答案.【详解】A 、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误；B 、对角线相互垂直的四边形有可能是等腰梯形或者是针形；故本选项错误；C 、对角线相等且垂直且相互平分的四边形是正方形，故本选项错误；D 、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确.故选D【点睛】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定，熟记和掌握矩形、正方形、菱形的判定是解题关键.11．C【分析】首先判断BAE 、CAD 是等腰三角形，从而得出BA BE =，CA CD =，由ABC 的周长为26，及10BC =，可得6DE =，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】解：由题意得：BQ AE ⊥，BQ 平分ABE ∠，∥ABQ EBQ ∠=∠，90AQB BQE ∠=∠=︒，又∥BQ BQ =，∥()ASA ABQ EBQ ≌，∥,AB BE AQ QE ==，∥BAE 是等腰三角形，Q 为AE 的中点，同法可得：CA CD =，CAD 是等腰三角形，P 为AD 的中点，∥ABC 的周长2026AB BC AC BE BC CD BC BC DE DE =++=++=++=+=， ∥6DE =， ∥132PQ DE ==；故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理．根据已知条件，证明三角形全等，是解题的关键．12．B【分析】由于正方形纸片ABCD的边长为2，所以将正方形ABCD对折后AE=DF=1，由翻折不变性的原则可知AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长，进而求出EH的长，再设EG=x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．【详解】∥正方形纸片ABCD的边长为2，∥将正方形ABCD对折后AE=DF=1，∥∥GDH是△GDA沿直线DG翻折而成，∥AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中，HF==在Rt△EGH中，设EG=x，则GH=AG=1-x，∥GH2=EH2+EG2，即（1-x）2=（2+x2，解得．故选B.【点睛】考查的是图形翻折变换的性质，解答此类题目最常用的方法是设所求线段的长为x，再根据勾股定理列方程求解．13．A【分析】根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案.【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法错误，符合题意，B.四条边都相等的四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意，C.四个角都相等的四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意，D.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项说法正确，不符合题意，故选A.【点睛】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键.14．B【分析】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小；再作D'E∥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∥DCD'=∥DD'C，然后根据平行线的性质得出∥D'CE=∥DD'C，从而求得∥D'CE=∥DCD'，得出∥D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD 的最小值．【详解】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E∥BC于E，则EB=D'A=AD．∥CD=2AD，∥DD'=CD，∥∥DCD'=∥DD'C．∥∥DAB=∥ABC=90°，∥四边形ABED'是矩形，∥DD'∥EC，D'E=AB=3，∥∥D'CE=∥DD'C，∥∥D'CE=∥DCD'．∥∥DCB=60°，∥∥D'CE=30°，∥D'C=2D'E=2AB=2×3=6，∥PC+PD的最小值为6．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．15．C【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OD=AD，然后求出BD，再利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∥OA=OB=OD，∥∥AOD=60°，∥∥AOD是等边三角形，∥OD=AD=2，∥BD=2OD=4，由勾股定理得，AB=．故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并判断出△AOD是等边三角形是解题的关键．16．C【分析】如图，连接BD交AC于O，连接PB．因为AC与BD互相垂直平分，推出PD=PB，推出PE+PD=PE+PB，因为PE+PB≥BE，推出当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，求出BE即可解决问题；【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∥S菱形ABCD=12•AC•BD，∥24=12×12×BD，∥BD=4，∥OA=12AC=6，OB=12BD=2，AC∥BD，∥AB=∥AC 与BD 互相垂直平分，∥PD =PB ，∥PE +PD =PE +PB ，∥PE +PB ≥BE ，∥当E 、P 、B 共线时，PE +PD 的值最小，最小值为BE 的长，∥∥ABE 是等边三角形，∥BE =AB∥PD +PE 的最小值为故选：C ．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的判定和性质、菱形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．D【分析】先根据勾股定理的逆定理判定ABC 是直角三角形，再利用正方形的判定确定四边形OFAE 是正方形，进而利用圆的切线性质可知线段的关系，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：∥8AB =，17BC =，15CA =，∥222AB CA BC +=，∥ABC 为直角三角形，90A ∠=︒，∥O 与AB AC ，分别相切于点F 、E ，∥OF AB ⊥ ，OE AC ⊥，OF OE =，∥四边形OFAE 是正方形，设OE r =，则AE AF r ==，∥ABC 的内切圆O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∥8BD BF r ==-，15CD CE r ==-，∥81517r r -+-=， ∥8151732r +-==， ∥阴影部分的面积是：239=，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心到顶点的连线平分这个内角；勾股定理的逆定理和切线性质等相关知识点．熟练运用知识点是解决问题的关键．18．B【分析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出EG FG =，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG EG x ==-，再根据Rt CEG △中，222CE CG EG +=，即可得到CE 的长．【详解】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，ADE ∥ABF △，AE AF ∴=，DE BF =，又AG EF ⊥，H ∴为EF 的中点，AG ∴垂直平分EF ，EG FG ∴=，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG x =-，8EG x ∴=-，90C ∠=︒，Rt CEG ∴中，222CE CG EG +=，即2222(8)x x +=-，解得154x =， CE ∴的长为154，故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19．C【分析】如图，连接BD交AC于O，连接PB，由菱形的性质可得AC与BD互相垂直平分，可得PD＝PB，于是PE+PD＝PE+PB，因为PE+PB≥BE，故当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，所以求出BE即可解决问题，而根据菱形的面积、菱形的性质和勾股定理即可求出AB的长，再根据等边三角形的性质即得答案．【详解】解：如图，连接BD交AC于O，连接PB．∥S菱形ABCD＝12•AC•BD，∥24＝12×12×BD，∥BD＝4，∥四边形ABCD是菱形，∥OA＝12AC＝6，OB＝12BD＝2，AC∥BD，∥AB=∥AC与BD互相垂直平分，∥PD＝PB，∥PE+PD＝PE+PB，∥PE+PB≥BE，∥当E、P、B共线时，PE+PD的值最小，最小值为BE的长，∥∥ABE是等边三角形，∥BE＝AB＝∥PD+PE的最小值为故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、等边三角形的性质、勾股定理以及轴对称﹣最短问题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．20．B【分析】由折叠的性质可得∥DCA＝∥ACF，由平行线的性质可得∥DCA＝∥CAB＝∥ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt∥BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．【详解】解：设BF＝x，∥将矩形沿AC折叠，∥∥DCA＝∥ACF，∥四边形ABCD是矩形，∥CD∥AB，∥∥DCA＝∥CAB＝∥ACF，∥FA＝FC＝8﹣x，在Rt∥BCF中，∥CF2＝BC2+BF2，∥（8﹣x）2＝x2+42，∥x＝3，∥BF＝3，∥AF＝5，∥AF：BF的值为53，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．100【分析】根据三角形中位线的性质定理解答即可．【详解】解：∥点M、N是OA、OB的中点，∥MN是∥ABO的中位线，∥AB=2MN．又∥MN=50m，∥AB=100m．故答案是：100．【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．22．6.5【分析】根据题意，连接AR，在直角∥ADR中，DR＝5，AD＝12，根据勾股定理可得AR.AR=13，又因为E、F分别是PA、PR的中点，即为∥PAR的中位线，故EF＝12【详解】∥∥D＝90°，DR＝5，AD＝12，∥AR，∥E、F分别是PA、PR的中点，AR＝6.5，∥EF＝12故答案为6.5．【点睛】本题考查了三角形中位线长度的求取，本题的解题关键是不要因为动点问题的包装而把题目想的复杂，根据中位线的性质解题即可.23．16．【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．【详解】如图，连接AC、BD，∥四边形ABCD是矩形，∥AC=BD=8cm，∥E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC=4cm，∥HG=EF=12BD=4cm，EH=FG=12∥四边形EFGH的周长=HG+EF+EH+FG=4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，故答案为：16．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是能求出四边形的各个边的长．矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．24．4π【分析】根据阴影面积=三角形面积-2个扇形的面积即可求解．【详解】∥S △ABD =5π×8÷2=20π；设ABD n ∠=︒,S 扇形BAE =64360n π⨯；S 扇形DFM =()9064360n π-⨯； ∥阴影面积=20π-()649064360n n ππ⨯+-⨯=20π-16π=4π．故答案为：4π▱ 【点睛】本题主要是利用扇形面积和三角形面积公式计算阴影部分的面积解题关键是找到所求的量的等量关系．25．菱形【分析】根据三角形中位线定理可得1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥，，，，进一步可得EH FG EH FG =∥，，同理可得EF HG EF HG =∥，，又根据AC BD =即可得EF HG ==EH FG =，进一步即可得证．【详解】解：∥E ，F ，G ，H 分别是各边的中点， ∥1122EH BD EH BD FG BD FG BD ==∥∥，，，， ∥EH FG EH FG =∥，，同理可证EF HG EF HG =∥，，又∥AC BD =，∥EF HG ==EH FG =，∥四边形EFGH 是菱形．故答案为：菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．26．1【分析】利用三角形中位线定理求得GH =12DE ，DE =12BC ．【详解】解：∥D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∥DE 是△ABC 的中位线，∥DE= 12BC=12×4=2，∥G，H分别是AD，AE的中点，∥GH是△ADE的中位线，∥GH=12DE=12×2=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．27．12【分析】根据平行四边形的性质可以得到OA＝OC，BC＝AD，然后根据AB＝24，AD＝36，即可计算出∥OBC的周长与∥AOB的周长之差．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD＝BC，∵AB＝24，AD＝36，∴BC＝36，∴C△OBC﹣C△AOB＝（OB+OC+BC）﹣（OB+OA+AB）＝OB+OC+BC﹣OB﹣OA﹣AB＝BC﹣AB＝36﹣24＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确△OBC的周长与△AOB的差就是BC与AB的差．28．80°【分析】根据平行四边形的性质分别求出∥A和∥B的度数，然后根据平行四边形对角相等的性质可得∥C=∥A，即可求解．【详解】∥四边形ABCD为平行四边形，∥18020A BB A∠∠∠∠+=︒⎧⎨-=︒⎩，解得：80100AB∠∠=︒⎧⎨=︒⎩，∥∥C=∥A=80°．故答案为80°．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．29．13 【分析】先根据平行四边形的性质可得11,22OC AC OB BD ==，从而可得7OB OC +=，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，11,22OC AC OB BD ∴==， 14AC BD +=，()172OB OC BD AC ∴+=+=，又6BC =， BOC ∴的周长为7613OB OC BC ++=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．30．32π 【分析】利用矩形的性质求得OA =OC =OB =OD =3，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∥矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BD =6，∥AC=BD ＝6，∥OA =OC =OB =OD =3， ∥22303236032AOE S S ππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：32π．【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．()41，【分析】首先根据B 、C 两点的坐标确定线段BC 的长，然后根据A 点向右平移线段BC 的长度得到D 点，即可由A 点坐标求得点D 的坐标．【详解】解：∥B ，C 的坐标分别是（−2，−2），（2，−2），∥BC＝2−（−2）＝2＋2＝4，∥四边形ABCD是平行四边形，∥AD＝BC＝4，∥点A的坐标为（0，1），∥点D的坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不大．32．××√×【分析】根据菱形的判定定理即可解答.【详解】(1)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(2)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(3)正确，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.(4)错误，对角线相互垂直且平分的四边形是菱形.【点睛】本题考查菱形的判定定理，熟悉掌握是解题关键.33．4【分析】由“SAS”可证∥ABF∥∥CBE，可得AF＝CE，则DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH，即当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长，由勾股定理可求解．【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示：∥四边形ABCD为菱形，∥，∥AB=BC=CD=AD=2，AD BC∥180BAD ABC ∠+∠=︒，∥∥BAD ＝2∥B ，∥∥B ＝60°，∥∥ABC 是等边三角形，∥点A ，点H 关于BC 对称，∥AH ∥BC ，AN ＝NH ，∥FH ＝AF ，又∥∥ABC 是等边三角形，∥BN ＝NC ＝112BC =，AN ∥AH ＝2AN＝∥AE ＝CF ，AB =BC ，∥BE ＝BF ，∥在∥ABF 和∥CBE 中AB BC B B BF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∥∥ABF ∥∥CBE （SAS ），∥AF ＝CE ，∥DF ＋CE ＝DF ＋AF ＝DF ＋FH ，∥当点F ，点D ，点H 三点共线时，DF ＋CE 的最小值为DH 的长，∥AH ∥BC ，∥90HNC ∠=︒，∥AD BC ∥，∥90HAD HNC ∠=∠=︒，∥4DH ==，即DF CE +的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键．34．8。

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图第4题图第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°，在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图第8题图第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图第31题图第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求，作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图第6题图第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图第10题图第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图第13题图第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2，又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

中考数学模拟题汇总《四边形》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《四边形》专项练习(附答案解析)一、单选题1．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方期ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且22.5,BAE EF AB ︒∠=⊥为F ，则EF 的长为（）A ．2BC ．D ．4-3．如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①△ADG ≌△FDG ；②GB ＝2AG ；③∠GDB ＝45°；④S △BEF ＝725．在以上4个结论中，正确的有（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE //CD 于点E ，PF //BC 于点F ，连接AP ，EF.给出下列结论：①PD =；②四边形PECF 的周长为8；③APD 一定是等腰三角形；④AP EF =；⑤EF 的最小值为其中正确结论的序号为( )A ．①②④⑤B ．①③④⑤C ．②④⑤D ．②③⑤5．如图，在正方形ABCD 中，点M 是AB 上一动点，点E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接DE ，DF 给出结论：①DE EF =；②45CDF ∠=︒；③75AM DF =；④若正方形的边长为2，则点M 在射线AB 上运动时，CF ．其中结论正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，连接AF 、DE 交于点P ，过B 作BG ∥DE 交AD 于G ，BG 与AF 交于点M ．对于下列结论：①AF ⊥DE ；②G 是AD 的中点；③∠GBP ＝∠BPE ；④S △AGM ：S △DEC ＝1：4．正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，且CE =2BE ，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，下列结论：①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°；②AP =FP ；③AE =10AO ；④若四边形OPEQ 的面积为2，则该正方形的面积为36；⑤CE ·EF =EQ ·DE ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点P 为线段AB 上的动点，E 为AD 的中点，射线PE 交CD 的延长线于点Q ，过点E 作PQ 的垂线交CD 于点H 、交BC 的延长线于点F ，则以下结论：①AEP CHF ；②EHQ CHF ；③当点F 与点C 重合时3PA PB ；④当PA PB =时，CF =( )A ．①③④B ．②③④C ．①③D ．②④二、填空题9．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接BF ．当四边形CDMH 为正方形时，NC =______；若13DF DC =，则折叠后重叠部分的面积为______．10．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFC的位置，则图中阴影部分的面积为_______．11．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠AEB＝75°，③EG＝FG且∠AGE＝90°，④BE＝FG⑤S△ABE＝1 2S△CEF．其中正确结论是_____（填序号）．12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为_____________________ ．13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E，则BE的长为_________．14．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．15．如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG其中正确的结论是_____．（填2入正确的序号）16．如图，以Rt ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，BC=______．连接CO，如果AC=4，CO=三、解答题17．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上．（1）如图1，DE⊥FG，求证：BF＝AE+AG；（2）如图2，DE⊥DF，P为EF中点，求证：BE＝2PC；（3）如图3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为．18．已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于点N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：OM＝ON；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当EN//BD时，求证：四边形DENM是菱形；（3）在（2）的条件下，若正方形边长为4，求EC的长．19．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且∠EAF ＝45°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ，连接EQ ．（1）求证：EA 是∠QED 的平分线；（2）已知BE ＝1，DF ＝3，求EF 的长．20．如图1，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N ．（1）求证AE ＝MN ；（2）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F ．求∠AEF 的度数；（3）如图3，若该正方形ABCD 边长为10，将正方形沿着直线MN 翻折，使得BC 的对应边B ′C ′恰好经过点A ，过点A 作AG ⊥MN ，垂足分别为G ，若AG ＝6，请直接写出AC ′的长________．21．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A 第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N ．θ=︒时，求点A的坐标；（1）若30（2）设MBN△的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论；22．在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC，CD，CF之间的数量关系为：．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝，CD＝1，请求出GE的长．23．如图1，已知正方形ABCD 顶点A ，B 分别在y 轴和x 轴上，边CD 交x 轴的正半轴于点E ．（1）若()20,45A a a -+，且2a =，求A 点的坐标．（2）在（1）的条件下，若34AO EO =，D 点的坐标．（3）如图2，连结AC 交x 轴于点F ，点H 是A 点上方轴上一动点，以AF ，AH 为边作平行四边形AFGH ，使G 点恰好落在AD 边上．求证：22224HG DG BF +=．24．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．25．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB=2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．26．基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为_______．参考答案与解析一、单选题1．【答案】D【分析】证明△ABE≌△DCE，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得结论②；证明△DCE≌△CBF可得结论③，证明△CHF∽△CBF即可得结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，∴△ABE≌△DCE（SAS）∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴∠BAE=∠BCF，∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，∴∠BCF+∠CED=90°，∴∠CHE=90°，∴CF⊥DE，故②正确，∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴CE=BF，∵CE=12BC=12AB，∴BF=12 AB，∴AF=BF，故③正确，∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC ∴∠BCF+∠DECC=90°，∴∠CHE=90°∴∠CHE=∠FBC又∠DEC=∠BFC∴△CHF∽△CBF∴CH CE BC CF=∵BC=2CE，∴2BC CE CE CE CHCF CF==∴22CE CH CF=⋅故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．2．【答案】D【分析】在AF上取FG=EF，连接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，∠EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可．【详解】解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，∵EF⊥AB，∴△EFG是等腰直角三角形，∴，∠EGF=45°，由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，∴∠BAE=∠AEG=22.5°，∴AG=EG，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=EF，设EF=x，∵AB=AG+FG+BF，∴，解得x=4故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形并根据正方形的边长AB列出方程．3．【答案】C【解析】试题解析：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=12×6×8=24，S△BEF=EFEGS△GBE=62410⨯=725，④正确．故选C．考点：正方形综合题.4．【答案】A【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得PDF是等腰直角三角形，在Rt DPF中，2222222DP DF PF EC EC EC=+=+=，求得DP=；②根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断APD△不一定是等腰三角形；④由PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP EF=；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于【详解】①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠BCD=90°， ∴四边形PECF 为矩形，∴PF=CE ， ∵GF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DBC=45°∴∠DPF=∠DBC=45°， ∴∠PDF=∠DPF=45°， ∴PF=EC=DF ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴．故①正确；②∵四边形PECF 为矩形，∴四边形PECF 的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；③∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45︒， ∴当∠PAD=45︒或67.5︒或90︒时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③错误；④∵四边形PECF 为矩形， ∴PC=EF ，由正方形为轴对称图形， ∴AP=PC ， ∴AP=EF ，故④正确；⑤=由EF=PC ，∴当PC 最小时，EF 最小，则当PC ⊥BD 时，即PC=12BD=12⨯=EF 的最小值等于故⑤正确；综上所述，①②④⑤正确，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．5．【答案】B【分析】①延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角形的性质可得AE＝EF＝EH，即可判断；②由四边形内角和定理可求2∠ADE＋2∠EDF＝270°，可得∠ADF＝135°，即可判断；③由连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，由梯形中位线定理可求PE＝12（AM＋CD），由“AAS”可证△APE≌△ENF，可得AP＝NE＝12AD，即可求AM＝2DG＝2，即可判断；④由垂线段最短，可得当CF⊥DF时，CF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF的最小值，即可判断．【详解】①如图，延长AE交DC的延长线于点H，∵点E是CM的中点，∴ME＝EC，∵AB∥CD，∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE＝EH，又∵∠ADH＝90°，∴DE＝AE＝EH，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴AE＝DE＝EF，故①正确；②∵AE＝DE＝EF，∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，∵∠AEF＋∠DAE＋∠ADE＋∠EDF＋∠EFD＝360°，∴2∠ADE＋2∠EDF＝270°，∴∠ADF＝135°，∴∠CDF＝∠ADF−∠ADC＝135°−90°＝45°，故②正确；③∵EP⊥AD，AM⊥AD，CD⊥AD，∴AM∥PE∥CD，∴AP ME=PD EC＝1，∴AP＝PD，∴PE是梯形AMCD的中位线，∴PE＝12（AM＋CD），∵∠FDC＝45°，FN⊥CD，∴∠DFG＝∠FDC＝45°，∴DG＝GF，DF，∵∠AEP＋∠FEN＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠FEN＝∠EAP，又∵AE＝EF，∠APE＝∠ENF＝90°，∴△APE≌△ENF（AAS），∴AP ＝NE ＝12AD ， ∵PE ＝12（AM ＋CD ）＝NE ＋NP ＝12AD ＋NP ， ∴12AM ＝NP ＝DG ，∴AM ＝2DG ＝2DF ，∴AMDF，故③错误； ④如图，连接AC ，过点E 作EP ⊥AD 于点P ，过点F 作FN ⊥EP 于N ，交CD 于G ，连接CF ，∵EP ⊥AD ，FN ⊥EP ，∠ADC ＝90°， ∴四边形PDGN 是矩形， ∴PN ＝DG ，∠DGN ＝90°， ∵∠CDF ＝45°， ∴点F 在DF 上运动，∴当CF ⊥DF 时，CF 有最小值， ∵CD ＝2，∠CDF ＝45°，∴CF故选：B ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 6．【答案】C【分析】根据正方形性质得出AD BC DC ==；12EC DF BC ==；ADF DCE ∠=∠，证ADF ≌()DCE SAS ，推出AFD DEC ∠=∠，求出90DGF ∠=︒即可判断①；证明四边形GBED 为平行四边形，则可知②正确；由平行线的性质可得③正确；证明AGM ∽AFD ，可得出AGMS：1DECS=：5.则④不正确．【详解】解：∵正方形ABCD ，E ，F 均为中点 ∴AD ＝BC ＝DC ，EC ＝DF ＝12BC ， ∵在△ADF 和△DCE 中，AD DC ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△DCE （SAS ）， ∴∠AFD ＝∠DEC ， ∵∠DEC +∠CDE ＝90°， ∴∠AFD +∠CDE ＝90°＝∠DGF ， ∴AF ⊥DE ，故①正确， ∵//BG DE ，//GD BE ， ∴四边形GBED 为平行四边形， ∴GD ＝BE ， ∵BE ＝12BC ， ∴GD ＝12AD ，即G 是AD 的中点，故②正确， ∵//BG DE ， ∴∠GBP ＝∠BPE ，故③正确．∵//BG DG ，AF ⊥DE ， ∴AF ⊥BG ，∴∠ANG ＝∠ADF ＝90°， ∵∠GAM ＝∠FAD ， ∴△AGM ∽△AFD ，设AG ＝a ，则AD ＝2a ，AF，∴21()5AGM AFDS AG SAF ==． ∵△ADF ≌△DCE ， ∴S △AGM ：S △DEC ＝1：5．故④错误．故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定与和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 7．【答案】B【分析】①先根据正方形的性质证得∠AOP 是直角，再利用三角形的外角的性质即可判定；②直接利用四点共圆可证∠AFP=∠ABP=45°；③设BE=a 则EC=2a ，然后利用勾股定理得到AE 和OA 的长，即可得出结论；④利用相似得到BP 与DP 的比导出BP 与OP 的比，同理求出OQ 与QC 的比，设△BEP 的面积为S ，再利用同高时面积比即为底的比求出△OPE 和△OQE 的面积，表示出四边形OPEQ 的面积，求出S 的值，再通过正方形面积是24S 即可求出结果；⑤如果当E 是BC 边中点时可得△FPE ∽DCE ，可得结论，因为已知中EC=2BE 时，所以△FPE 与△DCE 不相似，所以错误．【详解】解：如图，连接OE 、 AF ， ∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∴∠AOP=90°，∵∠AED+∠EDB=∠APO，∴∠AED+∠EAC+∠EDB=∠APO＋∠EAC=90°，故①正确；∵PF⊥AE，∴∠APF=∠ABF=90°，即A、P、B、F四点共圆，∴∠AFP=∠ABP=45°，∴∠PAF=∠PFA=45°，∴PA=PF，故②正确；设BE=a，则EC=2a，则a，a，∴3AEAO，∴，故③错误；连接OE，∵CE=2BE，∴BE：EC：BC==1：2：3∵AD//BC∴△BEP∽△DAP，△EQC∽△DQA，∴BP：DP=1：3，CQ：AQ=2：3，∴BP：OP=1：1，OQ：CQ=1：4，∴设S△BEP=S，则S△OPE=S，则S△BEO=2S，S△ECO=4S，∴S△OEQ =45S，S△BCO=2S+4S=6S，∵四边形OPEQ的面积是2，∴S+45S=2，∴S=109，∴正方形ABCD的面积=4S△BCO =24S=803，故④错误；∵BE=2EC∴∠PEB≠∠CED，且PE EC PF CD∴△FPE不一定与△DCE相似，∴EF PEED EC≠，又∵EQ≠PE，∴CE·EF≠EQ·DE，故⑤错误；共有2个正确．故选：B．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，灵活运用所学知识解决问题是解答本题的关键．8．【答案】C【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题．二、填空题 9．【答案】32 5512【分析】根据正方形的性质证明MHN BCF △△，令HN x =，则3CN x =-，1FN BN x ==+，求得FGN MHN △△，得到2GN =，再证明MEO NCF △△，得到43EO =，即可得到结果；【详解】解：∵四边形CDMH 为正方形， ∴3MH HC ==， ∴1BH =， ∵MHN BCF △△，∴MH BCHN CF=，令HN x =，则3CN x =-，1FN BN x ==+，∴CF ==∴3x =∴132x =，23x =（不符合题意，舍去）， ∴12HN HC =，即N 为HC 的中点， ∴1322NC CH ==，∵13DF DC =，3AB CD ==，∴1DF =，2CF =，∴BF ===∴BG GF == ∵MHN BCF △△，∴MH BCHN CF=， ∴32HN =， ∴FGN MHN △△，∴GN =，∴52FN ===，∴32CN ===， ∴334122BH BC HN NC =--=--=，∵EMO CNF ∠=∠，90MEO NCF ∠=∠=︒， ∴MEO NCF △△， ∴ME NCEO CF=， ∴43EO =， ∴折叠后重叠部分的面积为：()1122MEO MEFN S S ME FN ME EO +=+-⨯△梯形，151455*********⎛⎫=+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：32；5512．【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．10．【分析】过点M 作MH DE ⊥于点H ，利用正方形的性质和旋转的性质可证得△ADE 为等边三角形，由等腰三角形的判定可得△MDE 为等腰三角形，继而求得12DH EH ==，然后设MH x =，则2DM x =，根据勾股定理列方程求解可得MH =，进而由三角形面积公式即可求解．【详解】如图，过点M 作MH DE ⊥于点H ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴1AB AD ==，90B BAD ADC ∠=∠=∠=︒，∵正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AEFG 的位置， ∴1AE AB ==，30BAE ∠=︒，90AEF B ∠=∠=° ∴60DAE ∠=︒∴△ADE 为等边三角形，∴60AED ADE ∠=∠=︒，1DE AD == ∴30MED MDE ∠=∠=︒， ∴△MDE 为等腰三角形， ∴12DH EH ==. 在Rt MDH 中，设MH x =，则2DM x =，∴221(2)4x x =+解得：16x =，26x =-（舍去），∴MH =， ∴1.2MDE S DE MH ∆=⨯⨯1126=⨯⨯12=．故答案为：12【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形判定与性质，解直角三角形，利用等边三角形和等腰三角形的性质求出12DH EH ==，30MED MDE ∠=∠=︒是解题的关键．11．【答案】①②③⑤．【分析】通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE ＝∠DAF ，BE ＝DF ，∠AEB ＝75°；由正方形的性质就可以得出EC ＝FC ，得AC 垂直平分EF ，得EG ＝FG 且∠AGE ＝90°；设EC ＝x ，BE ＝y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和2S △ABE ，再通过比较大小就可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°． ∵△AEF 等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°． ∴∠BAE +∠DAF ＝30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AFAB AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ）， ∴BE ＝DF ，所以故①正确；∵∠BAE ＝∠DAF ，∠BAE +∠DAF ＝30°， ∴∠BAE ＝∠DAF ＝15°， ∴∠AEB ＝75°，所以②正确； ∵BC ＝CD ，∴BC ﹣BE ＝CD ﹣DF ，即CE ＝CF ， ∵AE ＝AF ， ∴AC 垂直平分EF ， ∴EG ＝FG 且∠AGE ＝90°，所以③正确；设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ，∴AE ＝EF ，∴FG ＝BG ＝CG ＝2x ， ∵∠EAG ＝30°，AG ，∴AC ＝AG +CG +2x ，∴AB＝2x ，∴BE ＝BC ﹣CE ﹣x ＝， ∴BE ≠FG ，所以④错误； ∵S △CEF ＝12CE 2＝12x 2，S △ABE ＝12AB •BE ＝12•2x ＝14x 2，∴S △ABE ＝12×12x 2＝12S △CEF ，所以⑤正确．综上所述，①②③⑤正确，故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．12．【答案】72【分析】由直角三角形的中线，求出DE 的长度，利用三角形中位线定理和勾股定理，求出BE 的长度，即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DCE=90°，OD=OB ， ∵DF=FE ， ∴CF=FE=FD ，∵EC+EF+CF=18，EC=5， ∴EF+FC=13， ∴DE=13，∴12=， ∴BC=CD=12， ∴BE=BC-EC=7， ∵OD=OB ，DF=FE ，∴OF=12BE=72；故答案为：72．【点评】本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．【答案】2【分析】过E 作EM AB ⊥于M ，根据正方形性质得出AO BD ⊥，AO OB OC OD ===，由勾股定理求出AO OB ==Rt BME ∆中，由勾股定理得：222ME BE =，求出即可．【详解】解：过E 作EM AB ⊥于M ，四边形ABCD 是正方形，AO BD ∴⊥，AO OB OC OD ===，则由勾股定理得：222AO BO AB +=， ∴AO OB ==EM AB ⊥，BO AO ⊥，AE 平分CAB ∠，∴,90OAE MOE AOE AME ∠=∠∠=∠=︒， ∵AE=AE,∴AOE AME ≅△△,EMEO ，AM AO ==四边形ABCD是正方形，∴∠=︒=∠，MBE MEB45∴==，BM ME OE在Rt BME∆中，由勾股定理得：22=，2ME BE即22=，2(2BEBE=，2故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质和正方形性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到线段两个端点的距离相等．14．【答案】【分析】连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，证明△DCE≌△BCE和△BEF为等腰三角形，设AF=x，用x表示DE与EF，由根据四边形ADEF的面积为4，列出x的方程求得x，进而求得四边形ADEF的周长．【详解】解：如图，连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD ，∠BCE=∠DCE=45°，在△BEC 和△DEC 中，DC BC DCE BCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DCE ≌△BCE （SAS ）， ∴DE=BE ，∠CDE=∠CBE ， ∴∠ADE=∠ABE ，∵∠DAB=90°，∠DEF=90°， ∴∠ADE+∠AFE=180°， ∵∠AFE+∠EFB=180°， ∴∠ADE=∠EFB ， ∴∠ABE=∠EFB ， ∴EF=BE ， ∴DE=EF ，设AF=x ，则BF=3-x ，∴FN=BN=12BF=32x -，∴AN=AF+FN=32x+， ∵∠BAC=∠DAC=45°，∠ANF=90°，∴EN=AN=32x+，∴=∵四边形AFED 的面积为4， ∴S △ADF +S △DEF =4，∴12×3x+12×24=⎝⎭，解得，x=-7（舍去），或x=1， ∴AF=1，DE=EF=2= ∴四边形AFED 的周长为：故答案为：4+【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是由面积列出x 的方程，属于中考选择题中的压轴题． 15．【答案】①②③【分析】依据四边形AEGF 为平行四边形，以及AE GE =，即可得到平行四边形AEGF 是菱形；依据1AE =，即可得到HED 的面积)11111122DH AE =⨯=+=边形AEGF 是菱形，可得267.5135AFG GEA ∠=∠=⨯︒=︒；根据四边形AEGF 是菱形，可得1FG AE ==，进而得到11BC FG +=+=．【详解】解：正方形ABCD 的边长为1，90BCD BAD ∴∠=∠=︒，45CBD ∠=︒，BD =，1AD CD ==．由旋转的性质可知：90HGD BCD ∠==︒，45H CBD ∠=∠=︒，BD HD =，GD CD =，1HA BG ∴==，45H EBG ∠=∠=︒，90HAE BGE ∠=∠=︒，HAE ∴和BGE 1的等腰直角三角形，AE GE ∴=．在Rt AED 和Rt GED 中， DE DEAD GD =⎧⎨=⎩， Rt AED ∴≌()Rt GED HL ，()118067.52AED GED BEG ∴∠=∠=︒-∠=︒，AE GE =， 1801804567.567.5AFE EAF AEF AEF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠， AE AF ∴=．AE GE =，AF BD ⊥，EG BD ⊥， AF GE ∴=且//AF GE ，∴四边形AEGF 为平行四边形， AE GE =，∴平行四边形AEGF 是菱形，故①正确；21HA =，45H ∠=︒，1AE ∴=，HED ∴的面积)11111122DH AE =⨯=+=②正确；四边形AEGF 是菱形，267.5135AFG GEA ∴∠=∠=⨯︒=︒，故③正确；四边形AEGF 是菱形，1FG AE ∴==，11BC FG ∴+==④不正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 16．【答案】8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ． ∵根据题意，四边形ABED 为正方形， ∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°， ∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边， ∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ， ∴CO ＝GO=7=∠6， ∵∠7+∠8=90°， ∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形， ∴，∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3 【分析】（1）作GM ⊥BC 于M ．证△DAE ≌△GMF ，得AE ＝FM ，AG ＝BM ．所以BF ＝AE+AG ．（2）作EQ ∥CP 交BC 于Q ．证EQ ＝2CP ，EQ可得BE ．（3）作BM ∥GF 交AD 于M ，作BN ∥EH 交CD 于N ，得BM ＝GF ，BF ＝MG ＝1，BN ＝EH ，延长DC 到P ，使CP ＝AM ＝2，证△BAM ≌△BCP 得∠ABM ＝∠CBP ，BM ＝BP ，再证△MBN ≌△PBN 得MN ＝PN ，设CN ＝x ，则MN ＝PN ＝CN+PC ＝x+2，DN ＝4﹣x ，在Rt △DMN 中，由DM 2+DN 2＝MN 2求得x ＝43，再在△BCN 中利用勾股定理求解可得．【详解】解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M，则∠GMB＝∠GMF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABMG是矩形，∴AG＝BM，∵DE⊥GF，∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DGF，又∠DGF＝∠MFG，∴∠AED＝∠MFG，∴△DAE≌△GMF（AAS），∴AE＝MF，则BF＝BM+MF＝AG+AE；（2）如图2，过点E作EQ∥PC，交BC于点Q，∵P是EF的中点，∴PC是△EQF的中位线，则EQ＝2PC，QC＝CF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，又∵∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF＝QC，∵AB＝BC，∴BE＝BQ，则∠BEQ＝45°，∴EQ，则2PC BE，∴BE；（3）如图3所示，作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，∴BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，∵DG＝1，CD＝AD＝4，∴AM＝2，延长DC到P，使CP＝AM＝2，∵BA＝BC，∠A＝∠BCP＝90°，∴△BAM≌△BCP（SAS），∴∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，∵∠GOH＝45°，BN∥EH，BM∥GF，∴∠MBN＝45°，∴∠ABM+∠CBN ＝45°，∴∠CBP+∠CBN ＝45°，即∠PBN ＝45°， ∴△MBN ≌△PBN （SAS ）， ∴MN ＝PN ，设CN ＝x ，则MN ＝PN ＝CN+PC ＝x+2，DN ＝4﹣x ，在Rt △DMN 中，由DM 2+DN 2＝MN 2可得22+（4﹣x ）2＝（x+2）2，解得x ＝43，则EH ＝BN ＝3，．【点评】本题考查正方形背景中的线段和差，线段倍分，求线段长问题，掌握垂线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，引垂线构造全等，转化线段的相等关系，利用平行线，构造中位线与等腰直角三角形，确定倍数关系，利用勾股定理解决线段的长度问题．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8-．【分析】（1）先证明：ODN NAH ∠=∠，再证明：DON AOM ≌，可得结论；（2）利用正方形的性质证明：AC BD ⊥， 45CDO ∠=︒，结合：DON AOM ≌，利用全等三角形的性质证明：45NMO ∠=︒，可得：//,ED MN 结合：//EN BD ， DH AE ⊥，从而可得结论；（3）利用正方形的性质先求解AC = 再利用菱形的性质可得：AH 是DN 的垂直平分线，证明4AN AD ==，求解4NC =，再证明：,CN EN = 利用勾股定理可得答案．【详解】（1）证明：∵DH ⊥AE ， ∴∠DHA ＝90°， ∴∠NAH +∠ANH ＝90°，∵∠ODN +∠DNO ＝90°，∠ANH ＝∠DNO ， ∴∠ODN ＝∠NAH ，在DON △和AOM 中，ODN HAN DON AOM OD OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DON AOM ≌（AAS ）， ∴OM ＝ON ；（2）证明：正方形ABCD ，AC BD ∴⊥， 45CDO ∠=︒，由（1）可知，DON AOM ≌， ∴OM ＝ON ，∴∠NMO ＝45°＝∠CDO ， ∴ED ∥NM ， ∵EN ∥DM ，∴四边形DENM 是平行四边形， ∵DN ⊥AE ，∴平行四边形DENM 是菱形；（3）∵四边形ABCD 为正方形，AD ＝4， ∴AC= ∵四边形DENM 是菱形，∴AH 是DN 的垂直平分线， ∴AN ＝AD ＝4， ∴NC＝4， ∵EN ∥DM ，∴∠ENC ＝∠DOC ＝90°， ∵∠ECN ＝45°，∴EC＝8==-【点评】本题考查的是三角形全等的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 19．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE ≌△AFE （SAS ），进而得出∠AEQ ＝∠AEF ，即可得出答案；（2）由全等三角形的性质可得QE ＝EF ，∠ADF ＝∠ABQ ，再结合勾股定理得出答案．【详解】证明：（1）∵将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ， ∴QB ＝DF ，AQ ＝AF ，∠BAQ ＝∠DAF ， ∵∠EAF ＝45°， ∴∠DAF +∠BAE ＝45°， ∴∠QAE ＝45°， ∴∠QAE ＝∠FAE ，在△AQE 和△AFE 中，AQ AF QAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AQE ≌△AFE （SAS ）， ∴∠AEQ ＝∠AEF ， ∴EA 是∠QED 的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠ABQ＝45°，∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，∴EF．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AQE≌△AFE是解题关键．20．【答案】（1）见解析；（2）∠AEF＝45°；（3）10﹣【分析】（1）过点B作BF∥MN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MN＝BF，BF ⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE＝BF，即可得出结论；（2）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI ⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD＝HQ，AH＝QI，由HL证得Rt △AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH＝∠QEI，证∠AQE＝90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；（3）延长AG交BC于E，则EG＝AG＝6，得AE＝12，由勾股定理得BE＝，则CE＝BC﹣BE＝10﹣，由折叠的性质即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN 为平行四边形， ∴MN ＝BF ，BF ⊥AE ， ∴∠ABF +∠BAE ＝90°， ∵∠ABF +∠CBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ，在△ABE 和△BCF 中，90BAE CBF AB BC ABE BCF ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△ABE ≌△BCF （ASA ）， ∴AE ＝BF ， ∴AE ＝MN ；（2）解：连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，如图2所示：∵四边形ABCD 是正方形， ∴四边形ABIH 为矩形，∴HI ⊥AD ，HI ⊥BC ，HI ＝AB ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDA ＝45°，∴△DHQ 是等腰直角三角形， ∴HD ＝HQ ，AH ＝QI ， ∵MN 是AE 的垂直平分线， ∴AQ ＝QE ，在Rt △AHQ 和Rt △QIE 中，AQ QEAH QI =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AHQ ≌Rt △QIE （HL ）， ∴∠AQH ＝∠QEI ， ∴∠AQH +∠EQI ＝90°， ∴∠AQE ＝90°，∴△AQE 是等腰直角三角形，∴∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即∠AEF ＝45°；（3）解：延长AG 交BC 于E ，如图3所示：则EG ＝AG ＝6， ∴AE ＝12，在Rt △ABE 中，BE ==∴CE＝BC﹣BE＝10﹣，由折叠的性质得：AC'＝CE＝10﹣，故答案为：10﹣．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．21．【答案】（1）（2，）；（2）不变【详解】解：（1）如图1，过A作AD⊥y轴，交y轴于点Dθ=︒，正方形OABC的边长是4∵AD⊥y轴，30∴AD=2，∴A的坐标是（2，（2）P值无变化．证明：延长BA交y轴于E点．（如图2）在△OAE 与△OCN 中90?AOE CON OAE OCN OA OC =⎧⎪==⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△OAE ≌△OCN （AAS ） ∴OE=ON ，AE=CN ．在△OME 与△OMN 中45?OE ON MOE MON OM OM =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△OME ≌△OMN （SAS ） ∴MN=ME=AM+AE ， ∴MN=AM+CN ，∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=8．∴在旋转正方形OABC 的过程中，P 值无变化．【点评】此题主要考查了一次函数的综合应用、全等三角形的判定与性质等知识，利用图形旋转的变化规律得出对应边之间关系是解题关键．22．【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF+CD ；（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CD+CF 不成立，CD ＝CF+BC ，见解析；（3．【分析】（1）①由题意易得∠BAC ＝∠DAF ＝90°，则有∠BAD ＝∠CAF ，进而可证△DAB ≌△FAC ，然后根据三角形全等的性质可求解；②由△DAB ≌△FAC 可得CF ＝BD ，然后根据线段的数量关系可求解；（2）由题意易证△DAB ≌△FAC ，则可得∠ACB ＝∠ABC ＝45°，进而可得BC ⊥CF ，然后根据线段的数量关系可求解；（3）过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，则有DH ＝CH+CD ＝3，进而可求四边形CMEN 是矩形，然后可得△ADH ≌△DEM ，则可证△BCG 是等腰直角三角形，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：（1）①∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，在△DAB 与△FAC 中，AD AFBAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），。

中考数学复习四边形专题训练

中考数学复习四边形专题训练一、选择题（每小题3分，共24分）1．在下列命题中，正确的是（）（A）一组对边平行的四边形是平行四边形．（B）有一个角是直角的四边形是矩形．（C）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（D）对角线互相垂直平分的四边形是正方形．2．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB＜AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）（A）4cm．（B）6cm．（C）8cm．（D）10cm．（第2题）（第3题）（第4题）3．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）（A）43（B）33（C）42（D）8．4．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）（A）3对．（B）4对．（C）5对．（D）6对．5．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，则梯形中位线的长等于（）（A）．（B）7cm．（C）．（D）6cm．6．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为（）（A ）10x =，14y =．（B ）14x =，10y =．（C ）12x =，15y =．（D ）15x =，12y =．（第6题）（第7题）（第8题）7．2002年8月在召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较大直角边为a ，较短直角边为b ，则34a b +的值为（）（A ）35．（B ）43．（C ）89．（D ）97． 8．如图，矩形ABCG （AB ＜BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（）（A ）0．（B ）1．（C ）2．（D ）3．二、填空题（每小题3分，共18分）9．阳光广告公司为某种商品设计的商标图案如图所示，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都1，则红色的面积是___．（第9题）（第10题）（第11题）10．如图，梯形纸片ABCD ，已知AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝6，CD ＝3．将该梯形纸片沿对角线AC 折叠，点D 恰与AB 边上的E 点重合，则∠B ＝____________．11．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是____________． 12．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，如果AD ＝4，BC ＝8，∠B ＝60o ，那么这个等腰梯形的周长等于_____________．13．现有一X 长为40cm ，宽为20cm 的长方形纸片，要从中剪出长为18cm ，宽为12cm 的长方形纸片，则最多能剪出____________X ．14．在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图所示），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了文字应是______________．三、解答题（每小题5分，共20分）15．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 边于点E ．求证：BE ＝CD ．16．如图，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60o ），菱形ABCD的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上，在下面的菱形斜网格中画出示意图．ABCDE（直角三角形）（等腰梯形）（矩形）17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45o，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．（1）求证：AE∥BC；（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAD的平分线AE交BC 于E，F，G分别是AB，AD的中点．（1）求证：EF＝EG；（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EG∥CD？并说明理由．四、解答题（每小题6分，共24分）19．如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE＝BF．请你以F 为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须研究一组线段相等即可）．20．如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角形的直角顶点放在P点处，并使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E点，写出图中与P A相等的线段，并说明理由．21．用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E．设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大？并求出S的最大值．22．如图①，在四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．（1）当点P与点B重合时，图①变为图②，若∠ABD＝90o，求证：△ABR≌△CRD；（2）对于图①，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？图①图②五、解答题（每小题7分，共14分）23．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．24．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD上运动．（1）设ND的长为x，用x表示点N到AB的距离，并写出x的取值X围；（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．D 二、填空题9．5 10．60o 11．AD ＝BC 12．20 13．3 14．菱形三、解答题15．略． 16．略． 17．（1）略；（2）6． 18．（1）略；（2）AB ＝2EC ．四、解答题19．FC ＝AE ，证明略． 20．PE ＝P A ，证明略． 21．4x =，max S = 22．（1）略；（2）BC ∥AD ．五、解答题23．（1）4；（2）作FM ⊥DC ，连结GE ，S ＝6x -；（3）若S ＝1，则5x =，HG AE 6=>，点E 不在边AB 上，故不可能等于1．24．（1）()1202x -，015x ≤≤；（2）10x =时，五边形的面积最小，此时三角形为等腰三角形．。

2021年中考数学总复习专题测试卷：四边形

阶段检测6四边形一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分) 1．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的()A．OE＝12DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBAD．∠OBE＝∠OCE第1题图第2题图第4题图第8题图2．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°3．关于▱ABCD的叙述，正确的是()A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为()A．4 B．8 C．10 D．125．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，当平行四边形ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有()①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是()A．360°B．540°C．720°D．900°7．在平行四边形ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为() A．3 B．5 C．2或 3 D．3或58．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为何？()A．50°B．55°C．70°D ．75°9．如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( )第9题图第10题图A ．7B ．8C ．7 2D ．7310．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A (5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D (0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫107，57 二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为 .第11题图第12题图第13题图12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE ＝度．13．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE 折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为.14．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是.15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是.第14题图第15题图第16题图16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN 分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连结EF交OB于点G ，则下列结论中正确的是 .(1)EF ＝2OE ；(2)S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4；(3)BE ＋BF ＝2OA ；(4)在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE＝34；(5)OG·BD ＝AE 2＋CF 2. 三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．(2017·安顺)如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点，(1)求证：BC ＝DE ；(2)连结AD 、BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则给△ABC 添加什么条件，为什么？第17题图18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F.第18题图(1)求证：△AOE≌△COF；(2)当α＝30°时，求线段EF的长度．19．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连结MD，AN.第19题图(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；(2)在图2中，画出一个菱形，使其面积为4；(3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．第20题图21．如图3是利用四边形的不稳定性制造的一个移动升降装修平台，其基本图形是菱形，主体部分相当于由6个菱形相互连接而成，通过改变菱形的角度，从而可改变装修平台高度．(1)如图1是一个基本图形，已知AB＝1米，当∠ABC为30°时，求AC的长及此时整个装修平台的高度(装修平台的基脚高度忽略不计)；(2)当∠ABC从30°变为90°(如图2是一个基本图形变化后的图形)时，求整个装修平台升高了多少米．(结果精确到0.1米，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41)第21题图22．探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P.(1)求证：△ACN≌△CBM；(2)∠CPN＝°.应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图2、3，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图2中∠CPN ＝°；图3中∠CPN＝°.拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其他条件不变，则∠CPN ＝°(用含n的代数式表示)．第22题图23．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连结起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连结AC.第23题图结合小敏的思路作答．(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法解决以下问题：(2)如图2，在(1)的条件下，若连结AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．24．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连结PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连结OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x 之间的函数关系式，并求出y的最大值．第24题图参考答案阶段检测6 四边形一、1—5.DCCBB 6—10.DDCCD二、11.24 12.22.5 13.36° 14.(2＋3，1) 15.5 16.(1)，(2)，(3)，(5)三、17.(1)∵E 是AC 中点，∴EC ＝12AC.∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC. 又∵DB ∥EC ，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴BC ＝DE. (2)添加AB ＝BC.理由：∵DB 綊AE ，∴四边形DBEA 是平行四边形．∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴▱ADBE 是矩形．第17题图18.(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AO ＝OC ，∴AE CF ＝OE OF ＝AOOC ＝1，∴AE ＝CF ，OE ＝OF ，在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，OE ＝OF AE ＝CF ，∴△AOE ≌△COF. (2)当α＝30°时，即∠AOE ＝30°，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠OAD ＝60°，∴∠AEO＝90°，在Rt△AOB中，sin∠ABO＝AOAB＝AO2＝12，∴AO＝1，在Rt△AEO中，cos∠AOE＝cos30°＝OEAO＝32，∴OE＝32，∴EF＝2OE＝ 3.第18题图19．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，∵点E是AD中点，∴DE＝AE，在△NDE和△MAE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AMEDE＝AE，，∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；(2)AM＝1.理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，∵平行四边形AMDN是矩形，∴DM ⊥AB，即∠DMA＝90°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝12AD＝1.20．(1)如图1，(2)如图2，(3)如图3.第20题图21.(1)连结图1中菱形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠ABO＝12∠ABC＝15°，∴OA＝AB·sin∠ABO＝1×sin15°≈0.26米，此时AC＝2AO＝2×0.26＝0.52≈0.5米，故可得整个装修平台的高度＝0.52×6＝3.12≈3.1米；(2)当∠ABC 从30°变为90°时，AC ＝2≈1.41米，此时的整个装修平台的高度＝1.41×6＝8.46米，整个装修平台升高了8.46－3.12≈5.3米．第21题图22．探究：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝∠ABC ＝60°.∴∠ACN ＝∠CBM ＝120°.在△ACN 和△CBM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACN ＝∠CBM CN ＝BM ，，∴△ACN ≌△CBM. (2)∵△ACN ≌△CBM ，∴∠CAN ＝∠BCM ，∵∠ABC ＝∠BMC ＋∠BCM ，∠BAN ＝∠BAC ＋∠CAN ，∴∠CPN ＝∠BMC ＋∠BAN ＝∠BMC ＋∠BAC ＋∠CAN ＝∠BMC ＋∠BAC ＋∠BCM ＝∠ABC ＋∠BAC ＝60°＋60°＝120°.应用：将等边三角形换成正方形，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.∴∠MBC ＝∠DCN ＝90°.在△DCN 和△CBM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ，∠DCN ＝∠MBC ，CN ＝BM ，∴△DCN ≌△CBM.∴∠CDN ＝∠BCM ，∵∠BCM ＝∠PCN ，∴∠CDN ＝∠PCN ，在Rt △DCN 中，∠CDN ＋∠CND ＝90°，∴∠PCN ＋∠CND ＝90°，∴∠CPN ＝90°.将等边三角形换成正五边形，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝108°.∴∠MBC ＝∠DCN ＝72°.在△DCN 和△CBM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝BC ，∠DCN ＝∠MBC CN ＝BM ，，∴△DCN ≌△CBM.∴∠BMC ＝∠CND ，∠BCM ＝∠CDN ，∵∠ABC ＝∠BMC ＋∠BCM ＝108°，∴∠CPN ＝180°－(∠CND ＋∠PCN)＝180°－(∠CND ＋∠BCM)＝180°－(∠BCM ＋∠BMC)＝180°－108°＝72°. 拓展：方法和上面正五边形的方法一样，得到∠CPN ＝180°－(∠CND ＋∠PCN)＝180°－(∠CND ＋∠BCM)＝180°－(∠BCM ＋∠BMC)＝180°－180°（n －2）n＝360°n ，故答案为360n . 23.(1)是平行四边形，证明：如图2，连结AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC ，同理HG ∥AC ，HG ＝12AC ，综上可得：EF ∥HG ，EF ＝HG ，故四边形EFGH 是平行四边形； (2)①AC ＝BD.理由如下：由(1)知，四边形EFGH 是平行四边形，且FG ＝12BD ，HG ＝12AC ，∴当AC ＝BD 时，FG ＝HG ，∴平行四边形EFGH 是菱形； ②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形；理由如下：同①得：四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，GH ∥AC ，∴GH ⊥BD ，∵GF ∥BD ，∴GH ⊥GF ，∴∠HGF ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形．第23题图24．(1)四边形APQD 为平行四边形； (2)OA ＝OP ，OA ⊥OP ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ ＝45°，∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO ＝45°，∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ＝45°，∴OB ＝OQ ，在△AOB 和△OPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝PQ ，∠ABO ＝∠PQO BO ＝QO ，， ∴△AOB ≌△POQ(SAS)，∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ，∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°，∴OA ⊥OP ； (3)如图，过O 作OE ⊥BC 于E.①如图1，当P 点在B 点右侧时，则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋22，∴y ＝12×x ＋22·x ，即y ＝14(x ＋1)2－14，又∵0≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值为2；②如图2，当P 点在B 点左侧时，则BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2，∴y ＝12×2－x 2·x ，即y ＝－14(x －1)2＋14，又∵0≤x ≤2，∴当x ＝1时，y 有最大值为14；综上所述，当x ＝2时，y 有最大值为2.第24题图赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

四边形测试题(通用8篇)

四边形测试题〔通用8篇〕篇1：数学四边形测试题数学四边形测试题一、选择题(每题3分，共30分)。

1、顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是A等腰梯形B直角梯形C矩形D平行四边形2、如图1：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD 相交于点O，那么图中的全等三角形共有A1对B2对C3对D4对3、如图2，在矩形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，那么图中面积相等的三角形有A4对B5对C6对D8对4、不能断定四边形ABCD为平行四边形的命题是AAB∥CD且AB=CDBAB=AD、BC=CDCAB=CD，AD=BCD∠A=∠C，∠B=∠D5、以下命题中，真命题是A一组对边平行，另一组对边相等的'四边形是平行四边形B有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形C两组对角分别相等的四边形是平行四边形D两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形6、正方形具有而菱形不一定具有的性质是A对角线相等B对角线互相垂直且平分C四条边都相等D对角线平分一组对角篇2：初中数学四边形单元测试题参考初中数学四边形单元测试题参考一、精心选一选，相信你一定能选对!(每题3分，共30分)1.如图1,用两个完全一样的直角三角板，不能拼成以下图形的是( ).A.平行四边形B.矩形C.等腰三角形D.梯形2.以下说法中，正确的选项是( ).A.等腰梯形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直;D.正方形的对角线互相垂直且相等3.四边形ABCD是平行四边形，以下结论中，错误的选项是( ).A.AB=CD;B.AC=BD;C.当AC⊥BD时，它是菱形;D.当∠ABC =90°时，它是矩形4.如图2，将一张矩形纸片ABCD那样折起，使顶点C落在C′处，其中AB=4，假设∠C ′ED=30°，那么折痕ED的长为( ) .A.4B.4C.5D.85.如图3，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影局部的面积是矩形面积的( ).A. B. C. D.6.将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①， ②两局部，将①展开后得到的平面图形是( ).A.三角形B.矩形C.菱形D.梯形7. 等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，那么等腰梯形的周长为(• ).A.11B.16C.17D.228.顺次连结菱形各边中点所围成的四边形是( ).A.一般的平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形9.如图4是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，•那么该主板的周长是( ).A.88mmB.96mmC.80mmD.84mm10.如图5，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，那么DN+MN的最小值为( ).A.8B.8C.2D.10二、细心填一填，相信你填得又快又准!(每题2分，共16分)11. ABCD两邻角∠A：∠B=1：2，那么∠C=_ ____度.12.如图6，在 ABCD中，E、F和G、H分别是AD和BC的三等分点，那么图中平行四边形的个数共有______个.13.， ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD 于E，那么DE=_____cm.14.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为BC的中点，F在AB上，且BF=2AF，那么四边形AFEC的面积为________.15.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，再按以下步骤折叠：①将∠BAD对折，使AB落在AD上，得折痕AF(如图2);②将△AFB沿BF折叠，AF与CD交于点G(如图3)，•那么CG的长等于_______c m.16.过边长为1的正方形的中心O引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，那么线段 AB长的取值范围是_______.17.菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，假如点P是菱形内一点，且PB=PD=2 ，那么AP的长为_______.18.下面图1的梯形符合_______条件时，可以经过旋转和翻折成图案三、耐心选一选，千万别漏选!(每题4分，共8分，错选一项得0分，•对而不全酌情给分)19.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O.下面结论正确的选项是( ).A.AC=BDB.∠DAO=∠DBCC.S△BOC= S梯形ABCDD.△AOB≌△DOC20.如图，把两个边长为3的正方形叠放在一起，假设∠BCF=30°，•那么下面结论正确的选项是( ).A.∠DCG=30°B.∠AHF与∠BCF互余C.DH=FHD.DH=四、用心做一做，展示你的证明才能!21.如图，在矩形ABCD中，点E、F在BC边上，且BE=CF，AF、DE交于点M.求证：AM=DM.(6分)22.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB =CD，DE⊥BC 于E，AE=BE.BF⊥AE于F，请你判断线段BF与图中的哪条线段相等，先写出你的猜测，再加以证明.(6分)(1)猜测：BF=______.(2)证明：23.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD•为边作等边△ADE.(1)求证：△ACD≌△CBF;(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?•证明你的结论.(8分)五、仔细想一想，相信你一定行!24.如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，BCF，ACE.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形;(2)当△ABC是______三角形时，四边形AEFD是菱形;(3)当∠BAC=_____时，四边形AEFD是矩形;(4)当∠BAC=_______时，以A、E、F、D 为顶点的四边形不存在.(8分)25.矩形，菱形由于其特殊的性质，为拼图提供了方便，因此墙面瓷砖一般设计为矩形，图案也以菱形居多.如图，是一种长30cm，宽20cm的矩形瓷砖，E、F、G、H•分别是矩形各边的中点，阴影局部为淡黄色，中间局部为白色，现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴瓷砖.问：(1)这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形?•其中淡黄色的菱形有多少个?六、动脑想一想，展示你的设计才能!26.在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形(•要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上).•请你帮助同学们计算剪下的'等腰三角形的面积.(6分)27.蓝天希望学校准备建一个多媒体教室，方案做长120cm，宽30cm的长方形桌面，现只有长80cm，宽45cm的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求.(只要求画出裁剪，拼接图形，并标上尺寸)(6分)七、理论与探究，展示你的创新才能!28.设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…….(1)记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4， ……，an，恳求出a2，a3，a4的值.(2)根据以上规律写出an的表达式.(8分)29.在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，•用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如下图1.仿照上述的方法，按要求完成以下操作设计，并在规定位置画出图示.(1)在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置上.(2)在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置上.(3)在△ABC中，增加条件：_________，沿着_______一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置上.(4)在△ABC中(AB≠AC)，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，•其操作过程(剪切线的作法)是：___________，然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置上.(10分)篇3：四边形四边形有关概念四边形内角和例1十、随堂练习教材P122中1、2、3.篇4：四边形性质探究的测试题(有答案) 一、选择题(每题3分，共30分)1.以下各组图形中有可能不相似的是A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形2.以下说法①所有等腰三角形都相似;②有一个底角相等的两个等腰三角形相似;③有一个角相等的等腰三角形相似;④有一个角为60o的两个直角三角形相似，其中正确的说法是A.①③B.②④C.①②④D.②③④3.△ABC和△DEF满足以下条件，其中使△ABC和△DEF不相似的是A.∠A=∠D=45°，∠C=27°，∠E=108°B.AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=16C.BC=a，AC=b，AB=c，DE=，EF=，DF=D.AB=AC，DE=DF，∠A=∠D=40o，4.如下图，给出以下条件：①; ②;③; ④.其中单独可以断定的个数为A.1B.2C.3D.45.假如一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个6.如图，△ABC中，EF∥BC，DG∥AB，EF和DG相交于点H，那么图中与△ABC相似的三角形共有A.1个B.2个C.3个D.4个7.△ABC中，D是AB上一固定点。

中考数学总复习《四边形的综合题》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《四边形的综合题》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图在平行四边形ABCD中，已知AC=6cm，若△ACD的周长为16cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm2．一个十边形的内角和等于（）A．1800°B．1660°C．1440°D．1200°3．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形；B．有三个角是直角的四边形是矩形；C．对角线相等的四边形是矩形；D．对角线互相平分的四边形是矩形；4．6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，则按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a＝2b B．a＝3b C．a＝4b D．a＝b5．如图，菱形ABCD中，∠ABC=150°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD于F．若△DEF的周长为3+√3，则菱形ABCD的面积为（）A．18B．14+8√3C．7+4√3D．12+6√36．小明在计算某多边形的内角和时，则由于马虎漏掉了一个角，结果得到970°，则原多边形是一个（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形7．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（）A．3B．6C．9D．128．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”.若Rt△ABC 是“匀称三角形”，且∠C=90°，AC>BC则AC：BC：AB为（）A．√3：1：2B．2：√3：√7C．2：1：√5D．无法确定9．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：2510．□ABCD中，△B＝50°，则△C＝()A．40°B．50°C．130°D．140°11．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形12．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，图中等腰三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题(共6题；共8分)13．如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=9点P是矩形ABCD内一动点，且SΔABP=SΔCDP，则PC+PD的最小值为.14．如图，AD是锐角△ABC的BC边上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，若BC＝15，AD＝10，则EF的长为.15．如图，在矩形ABCD中AB=4，BC=6对角线AC的垂直平分线分别交AC，AD，BC于点.O，E，F，连结AF，CE，则AEBF=16．已知一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2400°，那么这个多边形的边数是，这个外角的度数是.17．如图，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则△C=18．图是一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，点G在BC边上，把△CDG沿直线DG折叠，使点C恰好落在线段DF上的点H处，∠EDG=°.若BF+CG=32FG ，则CGCD=.三、综合题(共6题；共65分)19．如图，在△ACB中∠ABC=90°，点D是斜边AC上的一点DA=DB，点F是AB的中点，过点C作CE//BD交FD的延长线于点E．（1）求证：四边形CBDE是平行四边形；（2）联结BE、AE，如果∠CBE=45°，求证：AB=3BC．20．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F F在边CD上，且FC= AE连接AF和BF.（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，FC=6和DF=10，求BF的长.21．已知：在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连结BE，若cos∠ABD=12，AD= 2√3求BE的长．22．如图，在△ABC中AD⊥BC，垂足为D，与BC=12,AD=6,tanC=3 2 .（1）求sin∠ABD的值；（2）过点B作BE⊥BC，若BE=10求AE的长.23．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE△△ABF；（2）若BC=12，DE=5，求△AEF的面积．24．如图，在梯形ABCD中，AD△BC，△B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发．（1）当运动多少秒时，则四边形PQCD是平行四边形？（2）当运动多少秒时，则四边形PQCD是直角梯形？（3）多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】D 13．【答案】3√13 14．【答案】6 15．【答案】13516．【答案】15；60° 17．【答案】105 18．【答案】45；2519．【答案】（1）证明： ∵DA =DB∴ΔADB 是等腰三角形 ∵ 点 F 是 AB 的中点 ∴DF ⊥AB ∴∠AFD =90° ∵∠ABC =90° ∴∠AFD =∠ABC ∴EF//BC ∵EC//DB∴ 四边形 CBDE 是平行四边形（2）解： ∵DF ⊥AB ，点 F 是 AB 的中点 ∴EF 垂直平分 AB∴DF =12BC∵四边形CBDE是平行四边形∴BC=DE∴EF=DF+DE=32BC∵BE平分∠ABC∴∠FBE=45°∴∠FBE=∠FEB=45°∴BF=EF∴BF=32BC∴AB=2BF=3BC 20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD//AB∵FC=AE∴CD−FC=AB−AE即DF=BE∴四边形DEBF是平行四边形又∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB∴∠DAF=∠BAF∵CD//AB∴∠DFA=∠BAF∴∠DFA=∠DAF∴AD=DF=10在Rt△AED中，AE=FC=6，由勾股定理得：DE=√AD2−AE2=√102−62=8由（1）得四边形DEBF是矩形∴BF=DE=8.21．【答案】（1）证明：∵AE // BC，CE // AD∴四边形ADCE是平行四边形∵AD △BC，AB=AC∴△ADC=90°∴平行四边形ADCE是矩形（2）解：连接DE,如图：在Rt△ABD中，△ADB =90°∵cos∠ABD=1 2∴BD AB=12∴设BD=x，AB=2x∴AD= √3x∵AD= 2√3∴x=2∴BD=2∵AB=AC，AD△BC∴BC=2BD=4∵矩形ADCE中，EC=AD= 2√3, BC=4∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE= √BC2+EC2= √42+(2√3)2= 2√7 22．【答案】（1）解：在Rt△ADC中∵AD=6,tanC=3 2∴CD=4∴BD=12－4=8在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AB=√BD2+AD2=10∴sin∠ABD=ADAB=610=35（2）解：作AF△BE于点F∵BE⊥BC∴四边形ADBF是矩形∴AF=BD=8，AD=BF=6∴EF=10－6=4在Rt△AEF中，根据勾股定理可得AB=√AF2+EF2=4√5 23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB，△D=△ABC=90°而F是CB的延长线上的点∴△ABF=90°在△ADE和△ABF中∵{AB=AD∠ABF=∠ADEBF=DE∴△ADE△△ABF（SAS）（2）解：∵BC=12，∴AD=12在Rt△ADE中，DE=5，AD=12∴AE= √AD2+DE2=13∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到∴AE=AF，△EAF=90°∴△AEF的面积= 12AE2= 12×169=84.524．【答案】（1）解：根据题意得：PA=tcm，CQ=3tcm，则PD=AD﹣PA=24﹣t（cm）．∵AD△BC即PD△CQ∴当PD=CQ时，则四边形PQCD为平行四边形即24﹣t=3t解得：t=6即当t=6s时，则四边形PQCD为平行四边形（2）解：当PA=BQ时，则四边形PQCD是直角梯形∴t=26﹣3t∴t= 13 2即t= 132s时，则四边形PQCD是直角梯形（3）解：过D作DE△BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC﹣BE=2cm当PQ=CD时，则四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：过点P作PF△BC于点F，过点D作DE△BC于点E则四边形PDEF是矩形∴EF=PD，PF=DE在Rt△PQF和Rt△CDE中{PF=DEPQ=CD∴Rt△PQF△Rt△CDE（HL）∴QF=CE∴QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE即3t﹣（24﹣t）=4解得：t=7即当t=7s时，则四边形PQCD为等腰梯形．第11页共11。

2022年中考数学《四边形》专题训练及答案

2022年中考数学《四边形》专题训练及答案一．选择题（共17小题）1．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE 相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH2．数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，E 是BC 边上一动点（不含端点B ，C ），连接EA ，F 是CD 边上一点，设DF ＝a ，若存在唯一的点E ，使∠FEA ＝90°，则a 的值是（）A ．256B ．116C ．103D ．35．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边BC 上两个动点，BE ＝CF ．连接AE ，BD 交于点G ，连接CG ，DF 交于点M ．若正方形的边长为1，则线段BM 的最小值是（）A ．12B ．√3−12C ．√2−12D ．√5−126．如图，在矩形ABCD 中，以对角线AC 为斜边作Rt △AEC ，过点E 作EF ⊥DC 于点F ，连结AF ，若AD ＝DF ，S △AEF ＝3，S △ACF ＝5，则矩形ABCD 的面积为（）A ．18B ．19C ．20D ．217．如图，在▱ABCD 中，BD ＝6，AC ＝10，BD ⊥AB ，则AD 的长为（）A ．8B ．√42C ．2√5D ．2√138．如图，在Rt △ABC 中（AC ＞BC ），∠ACB ＝90°，过C 作CD ⊥AB 于点D ，分别以AD ，AC ，BC 为边向上作正方形ADQP，正方形ACEF，正方形CBGH，其中CE与PQ相交于点O，连接PF，QH，EH．若点F，P，Q，H在同一直线上，且△OCQ的面积为1，则六边形ABGHEF的面积为（）A．5+3√5B．15+7√5C．20+10√5D．30+14√59．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为矩形，则可增加条件为（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD10．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3√2时，则AD的值为（）A．2B．3C．4D．611．如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE 交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（）A．EF B．DE C．PH D．PE12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，里面放置两个大小相同的正方形CDEF与正方形GHIJ，点F在边BC上，点D，H在边AC上，点G在边DE上，点I，J在斜边AB上，则正方形CDEF的边长为（）A ．3613B ．3013C ．2413D ．181313．已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（）A ．AD ＝4AEB ．AD ＝2ABC ．AB ＝2AED ．AB ＝3AE14．如图，矩形ABCD 由两直角边之比皆为1：2的三对直角三角形纸片甲、乙、丙拼接而成它们之间互不重叠也无缝隙，则AD AB的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．2√5515．如图，已知大矩形ABCD 由①②③④四个小矩形组成，其中AE ＝CG ，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（）A ．①B ．②C ．③D ．④16．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中△ABE ，△BCF ，△CDG ，△DAH 全等，△AEH ，△BEF ，△CFG ，△DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与△ABE 面积相等，且△ABE 是以AB 为底的等腰三角形，则△AEH 的面积为（）A ．2B ．169C ．32D ．√217．一张矩形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪得同样大定理特例图（AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，分别以三边为边长向外作正方形），图1中边HI 、LM 和点K 、J 都恰好在矩形纸板的边上，图2中的圆心O 在AB 中点处，点H 、I 都在圆上，则矩形和圆形纸板的面积比是（）A ．400：127πB ．484：145πC ．440：137πD ．88：25π二．填空题（共7小题）18．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，△BEC 与△FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与CE ，CF 交于M ，N 两点．若BM ＝BE ，MG ＝1，则BN 的长为，sin ∠AFE 的值为．19．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A ′，B ′，C ′．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2√3，则AH的长为．21．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为．22．如图，在▱ABCD中，P为AB上的一点，E、F分别是DP、CP的中点，G、H为CD上的点，连接EG、FH，若▱ABCD的面积为24cm2，GH=12AB，则图中阴影部分的面积为．23．如图1，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如图2，画框的左上角顶点B，E，F，G都在直线AB上，且BE＝EF＝FG，楼梯装饰线条所在直线CD∥AB，延长画框的边BH，MN得到▱ABCD．若直线PQ恰好经过点D，AB＝275cm，CH＝100cm，∠A＝60°，则正方形画框的边长为cm．24．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF．连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG 对称．若AD ＝9，则AB 的长为．三．解答题（共13小题） 25．【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：△BCE ≌△CDG ．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若HD HF=45，CE ＝9，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，H 两点，若AB BC=k ，HD HF=45，求DE EC的值（用含k 的代数式表示）．26．【证明体验】（1）如图1，AD 为△ABC 的角平分线，∠ADC ＝60°，点E 在AB 上，AE ＝AC ．求证：DE 平分∠ADB ．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB ＝FC ，DG ＝2，CD ＝3，求BD 的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，∠BCA ＝2∠DCA ，点E 在AC 上，∠EDC ＝∠ABC ．若BC ＝5，CD ＝2√5，AD ＝2AE ，求AC 的长．27．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．28．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若EFBD =25，求S△AEFS菱形ABCD的值；（2）当∠EAF=12∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．29．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，过B作BE⊥BD与DA的延长线交于点E．（1）若点A为DE中点，求证：四边形ABCD为菱形．（2）若BA＝BE，tan∠EDB=√22，求△ABE与四边形ABCD面积的比值．30．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．31．如图1，在正方形ABCD中，BD为对角线，点E为边AB上的点，连结DE，过点A作AG⊥DE交BC于点G，交BD于点H，垂足为F，连结EH．（1）AE与BG相等吗，请说明理由；（2）若BE：AE＝n，求证：DH：BH＝n+1；（3）在（2）的基础上，如图2时，当EH∥AD时，求n的值．32．如图，在矩形ABCD中，点E在射线CB上，连结AE，∠DAE的平分线AG与CD交于点G，与BC的延长线交于F点．设CEEB =λ（λ＞0），ABBC=k（k＞0且k≠2）．（1）若AB＝8，λ＝1，k=43，求线段CF的长．（2）连结EG，若EG⊥AF，①求证：点G为CD边的中点；②求λ的值（用k表示）．33．在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，连结DE，过点A作AG⊥DE交BC于G．（1）如图1，AE与BG相等吗？请说明理由；（2）如图2，连接BD，交AG于H，ED于F，连接EH，若BE：AE＝n，求DH：BH；（3）在（2）的基础上，如图3，当EH∥AD时，求n的值．34．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2√5，tan∠CAB=12，P为AC上一点，PD⊥AB交AB于点E，AD⊥AC交PD于点D，连结BD，CD，CD交AB于点Q．（1）若CD⊥BC，求证：△AED∽△QCB；（2）若AB平分∠CBD，求BQ的长；（3）连结PQ并延长交BD于点M．①当点P是AC的中点时，求tan∠BQM的值；②当PM平行于四边形ADBC中的某一边时，求BMDM的值．35．在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；（2）性质探究：如图1，CD 是△ABC 的中线，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝2c ，CD ＝d ，记△ACD 中∠ADC 的勾股差为m ，△BCD 中∠BDC 的勾股差为n ；①求m ，n 的值（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）； ②试说明m 与n 互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD 中，点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，连接BD ，DE ，DF ，若DF AB=34，且CD ⊥BD ，CD ＝AD ，求DE DF的值．36．【发现问题】小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：C 乙C 甲=S 乙S 甲=12．【提出问题】对于任意一个矩形A ，是否一定存在矩形B ，使得C B C A=S B S A=12成立？【解决问题】（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为x 和7﹣x ），使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；（2）矩形A 两条邻边长分别为m 和1，若一定存在矩形B ，使得C B C A=S B S A=12成立，求m 的取值范围；（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形A 两条邻边长a ，b 满足什么条件时一定存在矩形B ．37．如图，矩形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝3，点E 是AD 边上的一点，DE ＝2AE ，连接EB ，F 是EB 的中点，连接CF ，点M 为DC 边上的一点，当动点P 从点C 匀速运动到点F 时，动点Q 恰好从点M 匀速运动到点C ．（1）求tan∠DCF的值；（2）若点P运动到CF的中点时，Q，P，B三点恰好共线，求此时DM的长；（3）连接EM，BM，当∠EMB＝90°且DM＜CM时，记MQ＝x，CP＝y．①求y关于x的函数关系式；②当PQ平行于△BEM的某一边时，求所有满足条件的x的值．参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．【解答】解：如图，连接DG，AH，过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF，EF＝GH，∠HEF＝90°，∵OJ⊥DE，∴∠OJH＝∠HEF＝90°，∴OJ∥EF，∵HO＝OF，∴HJ＝JE，∴EF＝GH＝2OJ，∵S△DHO=12•DH•OJ，S△DHG=12•DH•GH，∴S△DGH＝2S△DHO，同法可证S△AEH＝2S△AEO，∵S△DHO＝S△AEO，∴S△DGH＝S△AEH，∵S△DGC=12•CG•DH，S△ADH=12•DH•AE，CG＝AE，∴S△DGC＝S△ADH，∴S△DHC＝S△ADE，∴S1＝S2，故A选项符合题意；S3＝HE•EF≠S1，故B选项不符合题意；AB＝AD，EH＝GH均不成立，故C选项，D选项不符合题意，故选：A．2．【解答】解：如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到47个菱形．故选：B．3．【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P 与点D 重合时，此时△ABP 为等腰三角形，故选：C ．4．【解答】解：∵∠FEA ＝90°， ∴∠AEB +∠FEC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠AEB +∠EAB ＝90°， ∴∠EAB ＝∠FEC ， ∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABE ∽△ECF ， ∴AB EC=BE CF，设BE ＝x ，则EC ＝BC ﹣BE ＝10﹣x ， ∵DF ＝a ，∴FC ＝DC ﹣DF ＝6﹣a ， ∴x （10﹣x ）＝6（6﹣a ）， ∴x 2﹣10x +36﹣6a ＝0，由题意判别式b 2﹣4ac ＝0， ∴24a ﹣44＝0， ∴a =116，故选：B ．5．【解答】解：如图，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CB ，∠EBA ＝∠FCD ，∠ABG ＝∠CBG ，在△ABE 和△DCF 中， {AB =CD∠EBA =∠FCD BE =CF， ∴△ABE ≌△DCF （SAS ）， ∴∠BAE ＝∠CDF ，在△ABG 和△CBG 中，{AB =BC∠ABG =∠CBG BG =BG， ∴△ABG ≌△CBG （SAS ）， ∴∠BAG ＝∠BCG ， ∴∠CDF ＝∠BCG ，∵∠DCM +∠BCG ＝∠FCD ＝90°， ∴∠CDF +∠DCM ＝90°， ∴∠DMC ＝180°﹣90°＝90°，取CD 的中点O ，连接OB 、OF ，则OF ＝CO =12CD =12，在Rt △BOC 中，OB =√CB 2+OC 2=√12+(12)2=√52，根据三角形的三边关系，OM +BM ＞OB ， ∴当O 、M 、B 三点共线时，BM 的长度最小， ∴BM 的最小值＝OB ﹣OF =√52−12=√5−12．故选：D ．6．【解答】解：过点E 作EG 垂直AD 延长线于点G ， ∵EF ⊥DC ，∴S △AEF =12EF •DF ＝3，S △ACF =12CF •AD ＝5， ∵DF ＝AD ， ∴EF ：CF ＝3：5，设EF ＝3b ，CF ＝5b ，AD ＝DF ＝a ，∵∠G ＝90°，∠EFD ＝90°，∠GDF ＝90°， ∴四边形EFDG 是矩形， ∴GE ＝DF ＝a ，GD ＝EF ＝3b ，在Rt △GEA 中，GE 2+AG 2＝AE 2，在Rt △EFC 中，EF 2+FC 2＝EC 2，在Rt △CEA 中，AE 2+CE 2＝AC 2，∴AC 2＝GE 2+AG 2+EF 2+FC 2＝a 2+（a +3b ）2+（3b ）2+（5b ）2＝2a 2+43b 2+6ab ，在Rt △DAC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝a 2+（a +5b ）2＝2a 2+25b 2+10ab ， ∴2a 2+43b 2+6ab ＝2a 2+25b 2+10ab ， ∴18b 2＝4ab ，∵b＞0，∴a=92b，∴S△AEF=12EF•DF=12×3b×a=12×3b×92b＝3，∴b=2 3，∴a=92×23=3，∴S矩形ABCD＝AD•CD＝a（a+5b）＝3×（3+5×23）＝19．故选：B．7．【解答】解：AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴2AO＝AC，2OB＝BD，∵BD＝6，AC＝10，∴OA＝5，OB＝3，∵DB⊥AB，在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=√OA2−OB2=√52−32=4，在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD=√DB2+AB2=√62+42=2√13，故选：D．8．【解答】解：设CQ＝x，∵∠CQO＝90°，S△OCQ＝1，∴12•CQ•OQ＝1，∴OQ=2 x，∵∠CDB＝∠CQH＝∠BCH＝90°，∴∠DCB +∠HCQ ＝90°，∠HCQ +∠CHQ ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CHQ ，在Rt △CDB 和△HQC 中， {∠CDB =∠HQC∠DCB =∠CHQ CB =HC， ∴△CDB ≌△HQC （AAS ）， ∴BD ＝CQ ＝x ， ∵QO ∥BD ， ∴△QCO ∽△DCB ， ∴OQ BD=CQCD， ∴CD =x×x2x=12x 3，∵∠CAD +∠ACD ＝90°，∠DCB +∠ACD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠DCB ， ∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD ， ∴AD CD=CD BD，∴CD 2＝AD •DB ， ∴（12x 3）2＝（x +12x 3）•x ，解得x 2＝1+√5或1−√5（舍弃）， ∴CD =1+√52x ，AD =√5+32x ， ∴AB ＝AD +BD =5+√52x ， ∴AB 2＝（5+√52）2×（1+√5）＝20+10√5， ∴S 正方形ACEF +S 正方形BCHG ＝AB 2＝20+10√5， ∵S △ACB =12•AB •CD =12×1+√52x ×5+√52x ＝5+2√5， ∴S 六边形ABGHEF ＝S 正方形ACEF +S 正方形CBGH +2S △ABC ＝20+10√5+2（5+2√5）＝30+14√5，故选：D ．9．【解答】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ， ∴四边形ABCD 是菱形，故A 不符合题意； B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝BD ， ∴四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴四边形ABCD是菱形，故D不符合题意；故选：B．10．【解答】解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE．．且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，∵E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，∴BP 1=√2t ＝3√2， ∴t ＝3．故选：B ．11．【解答】解：过点P 作PM ⊥EF 于点M ，如图：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∠C ＝90°， ∵EF ∥AB ， ∴EF ∥DC ， ∴∠EDC ＝∠DEF ， ∵PH ⊥DE ，PM ⊥EF ， ∴∠PMQ ＝∠EHQ ＝90°，又∵∠PQM ＝∠EQH ， ∴∠QPM ＝∠DEF ＝∠EDC ，在△PMQ 和△DCE 中， {∠MPQ =∠EDCPM =CD∠PMQ =∠C，∴△PMQ ≌△DCE （ASA ）， ∴PQ ＝DE ，∴阴影部分的面积＝S △PDE ﹣S △QED =12×DE ×PH −12DE ×QH =12DE 2， ∴故选：B ．12．【解答】解：在Rt △ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8， ∴AB =√AC 2+BC 2=10．∴sin ∠A =BCAB =35，cos ∠A =ACAB =45． ∵四边形GHIJ 为正方形， ∴GH ∥AB ． ∴∠GHD ＝∠A ．∴cos ∠GHD ＝cos ∠A =45．设正方形CDEF 与正方形GHIJ 的边长为x ，则HI ＝CD ＝x ．在Rt △AHI 中，∵sin ∠A =HI AH ， ∴x AH =35．∴AH =53x ．在Rt △GHD 中，∵cos ∠GHD =DH GH ， ∴DH x =45． ∴DH =45x ．∵AC ＝CD +DH +AH ＝8，∴x +45x +53x ＝8．解得：x =3013．故选：B ．13．【解答】解：设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，BF ＝x ，∴S 平行四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ﹣2（S △BEF +S △AEH ）＝ab ﹣2[12cx +12（a ﹣c ）（b ﹣x ）] ＝ab ﹣（cx +ab ﹣ax ﹣bc +cx ）＝ab ﹣cx ﹣ab +ax +bc ﹣cx＝（a ﹣2c ）x +bc ，∵F 为BC 上一动点，∴x 是变量，（a ﹣2c ）是x 的系数，∵平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，∴x 的系数为0，bc 为固定值，∴a ﹣2c ＝0，∴a ＝2c ，∴E 是AB 的中点，∴AB ＝2AE ，故选：C ．14．【解答】解：如图所示设丙的短直角边为x，乙的短直角边为y，则HG＝2x，DG＝2x+y，CG=12DG=2x+y2，∵BF＝DH＝y，FG＝EH＝x，∴CF＝2BF＝2y，CF＝CG+FG=2x+y2+x，∴2y=2x+y2+x，∴x=34y，∵AB＝DC=√CG2+DG2=√(2x+y2)2+(2x+y)2=√(54y)2+(52y)2=5√54y，AD=√DH2+AH2=√y2+(2y)2=√5y，∴ADAB=√5y5√54y=45．故选：C．15．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积=12BF×CD−12BF×FP=12BF×（CD﹣CG）=12BF×DG=12BF×BE=12矩形②面积，故选：B．16．【解答】解：连接EG，向两端延长分别交AB、CD于点M、N，如图，∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△ABE是以AB为底的等腰三角形，∴AE＝BE＝CG＝DG，∴EG是AB、CD的垂直平分线，∴MN⊥AB，∴EM＝GN（全等三角形的对应高相等），∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴四边形AMND是矩形，∴MN＝AD＝4，设ME＝x，则EG＝4﹣2x，∵中间小正方形EFGH的面积与△ABE面积相等，∴12(4−2x)2=12×4x，解得，x＝1或x＝4（舍），∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH也全等，∴△AEH的面积=S正方形ABCD−5S△ABE4=42−5×12×4×14=32，故选：C．17．【解答】解：在图1中延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，在图2中，连接OH，过O作OQ⊥AC于点Q，则，在图1中，∵四边形ABJK是正方形，∴AB＝BJ，∠ABJ＝90°，∴∠ABC +∠PBJ ＝90°＝∠ABC +∠BAC ，∴∠BAC ＝∠JBP ，∵∠ACB ＝∠BPJ ＝90°，∴△ABC ≌△BJK （AAS ），∴AC ＝BP ＝3，∵AC ＝MC ＝3，BC ＝4，∴DE ＝MP ＝3+4+3＝10，同理得，DG ＝HN ＝4+3+4＝11，∴矩形DEFG 的面积为11×10＝110，在图2中，OQ =12CB =2，CQ =12AC =1.5，∴HQ ＝4+1.5＝5.5，∴OH =√22+5.52=√1372，∴⊙O 的面积为：π×（√1372）2=137π4， ∴矩形和圆形纸板的面积比是：110：137π4=440：137π，故选：C ．二．填空题（共7小题）18．【解答】解：∵BM ＝BE ，∴∠BEM ＝∠BME ，∵AB ∥CD ，∴∠BEM ＝∠GCM ，又∵∠BME ＝∠GMC ，∴∠GCM ＝∠GMC ，∴MG ＝GC ＝1，∵G 为CD 中点，∴CD ＝AB ＝2．连接BF ，FM ，由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF，∴BM＝EF，∵∠BEM＝∠BME，∴∠FEM＝∠BME，∴EF∥BM，∴四边形BEFM为平行四边形，∵BM＝BE，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，∴∠BNF＝90°，∵BF平分∠ABN，∴F A＝FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF（HL），∴BN＝AB＝2．∵FE＝FM，F A＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF（HL），∴AE＝NM，设AE＝NM＝x，则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴CGFM=GNNM，即12−x=1−xx，解得x＝2+√2（舍）或x＝2−√2，∴EF＝BE＝2﹣x=√2，∴sin∠AFE=AEEF=√2√2=√2−1．故答案为：2；√2−1．19．【解答】解：如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH ⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3，∵EF＝WK＝2，∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=2√3=√33，∴∠EGF＝30°，∵JK∥FG，∴∠KJG＝∠EGF＝30°，∴d＝JK=√3GK=√3（2√3−2）＝6﹣2√3，∵OF＝OW=12FW=√6，C′W=√2，∴OC′=√6−√2，∵B′C′∥QW，B′C′＝2，∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°，∴OH＝HC′=√3−1，∴HB′＝2﹣（√3−1）＝3−√3，∴OB′2＝OH2+B′H2＝（√3−1）2+（3−√3）2＝16﹣8√3，∵OA′＝OC′＜OB′，∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．故答案为：6﹣2√3，（16﹣8√3）π．20．【解答】解：如图，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2√3，∴AC=√(2√3)2−22=2√2，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC=√2，在Rt△OAB中，OB=√22+(√2)2=√6，又AH⊥BD，∴12OB •AH =12OA •AB ，即12×√6⋅AH =12×2×√2，解得AH =2√33．故答案为：2√33． 21．【解答】解：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC =12AC ＝5，OB ＝OD =12BD ＝12， ∴∠DOC ＝90°，CD =√OC 2+OD 2=√52+122=13， ∴平行四边形OCED 为矩形，∴OE ＝CD ＝13，故答案为：13．22．【解答】解：如图，设EG ，FH 交于点O ，∵四边形ABCD 为平行四边形，且▱ABCD 的面积为24cm 2， ∴S △PCD =12S ▱ABCD ＝12cm 2，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵E 、F 分别是DP 、CP 的中点，∴EF 为△PCD 的中位线，∴CD ＝2EF ，EF ∥CD ∥AB ，∴S △PEF ：S △PCD ＝1：4，∴S △PEF ＝3，∵GH =12AB ，∴EF ＝GH ，EF ∥GH ，∴S △OEF ＝S △OGH =12S △PEF ＝1.5cm 2，∴S 阴影＝3+2×1.5＝6cm 2，故答案为6cm 2．23．【解答】解：延长EP ，与CD 交于点K ，如图， ∵AB ∥CD ，BC ∥EK ，∴四边形BCKE 是平行四边形，∴PK＝CH＝100cm，∵∠A＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝60°，AB＝CD＝275cm，∵BC∥EK，∴∠PKD＝∠C＝60°，∴DK=PKcos60°=200cm，∴BE＝CK＝CD﹣DK＝75cm，∵BE＝EF＝FG，∴AG＝AB﹣3BE＝275﹣75×3＝50cm，∴GM＝AG•sin∠A＝50×√32=25√3cm．正方形画框的边长为25√3cm．故答案为：25√3．24．【解答】解：连接EF、EG、EC，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝9，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴AB⊥AD，∵AF＝BF，点E是AB的中点，∴EF⊥AB，∴EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABGD的中位线，∠EFG＝∠CGF，∴EF=12（AD+BG），设BG＝x，则CG＝9﹣x，EF=12（9+x），∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，∴EG＝CG，∠CGF＝∠EGF，∴EF＝CG，∴12（9+x）＝9﹣x，解得：x＝3，∴BG＝3，EG＝CG＝6，∴BE=√EG2−BG2=√62−32=3√3，∴AB＝2BE＝6√3；故答案为：6√3．三．解答题（共13小题）25．【解答】（1）证明：如图1中，∵△BFE是由△BCE折叠得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCE＝90°，∴∠ECF+∠CGD＝90°，∴∠BEC＝∠CGD，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDG（AAS）．（2）如图2中，连接EH．∵△BCE≌△CDG，∴CE＝DG＝9，由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，∴∠BCF＝∠BFC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠BCG＝∠HGF，∵∠BFC＝∠HFG，∴∠HFG＝∠HGF，∴HF＝HG，∵HDHF=45，DG＝9，∴HD＝4，HF＝HG＝5，∵∠D＝∠HFE＝90°，∴HF2+FE2＝DH2+DE2，∴52+92＝42+DE2，∴DE＝3√10或﹣3√10（舍弃），∴DE＝3√10．（3）如图3中，连接HE．由题意HD HF =45，可以假设DH ＝4m ，HG ＝5m ，设DE EC =x ．①当点H 在点D 的左侧时，∵HF ＝HG ，∴DG ＝9m ，由折叠可知BE ⊥CF ，∴∠ECF +∠BEC ＝90°，∵∠D ＝90°，∴∠ECF +∠CGD ＝90°，∴∠BEC ＝∠CGD ，∵∠BCE ＝∠D ＝90°，∴△CDG ∽△BCE ，∴DG CE =CD BC ， ∵CD BC =AB BC =k ， ∴9m CE =k 1，∴CE =9m k=FE ， ∴DE =9mx k ， ∵∠D ＝∠HFE ＝90°∴HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2，∴（5m ）2+（9m k ）2＝（4m ）2+（9mx k ）2， ∴x =√k 2+93或−√k 2+93（舍弃）， ∴DE EC =√k 2+93．②当点H 在点D 的右侧时，如图4中，同理HG ＝HF ，△BCE ∽△CDG ，∴DG ＝m ，CE =m k =FE ，∴DE =mx k， ∵HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2，∴（5m ）2+（m k ）2＝（4m ）2+（mx k ）2，∴x =√9k 2+1或−√9k 2+1（舍弃），∴DE EC =√9k 2+1．综上所述，DE EC =√k 2+93或√9k 2+1．26．【解答】（1）证明：如图1，∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵AE ＝AC ，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△CAD （SAS ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝60°，∵∠BDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADC ＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BDE ＝∠ADE ，∴DE 平分∠ADB ．（2）如图2，∵FB ＝FC ，∴∠EBD ＝∠GCD ；∵∠BDE ＝∠CDG ＝60°，∴△BDE ∽△CDG ，∴BD CD =DE DG ；∵△EAD ≌△CAD ，∴DE ＝CD ＝3，∵DG ＝2，∴BD =CD 2DG =322=92. （3）如图3，在AB 上取一点F ，使AF ＝AD ，连结CF ． ∵AC 平分∠BAD ，∴∠F AC ＝∠DAC ，∵AC ＝AC ，∴△AFC ≌△ADC （SAS ），∴CF ＝CD ，∠FCA ＝∠DCA ，∠AFC ＝∠ADC ，∵∠FCA +∠BCF ＝∠BCA ＝2∠DCA ，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴CDBC=CECF，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2√5，∴CE=CD2BC=(2√5)25=4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴AEAD=ADAC=12，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE=43CE=43×4=163．27．【解答】解：[探究1]如图1，设BC＝x，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，∴点A，B，D'在一条线上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，∵∠BAD＝∠D'＝90°，∴D'C'∥DA，又∵点C'在DB的延长线上，∴△D'C'B∽△ADB，∴D′C′AD=D′BAB，∴1x=x−11，解得x1=1+√52，x2=1−√52（不合题意，舍去），∴BC=1+√5 2．[探究2]D'M＝DM．证明：如图2，连接DD'，∵D'M∥AC'，∴∠AD'M＝∠D'AC'，∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，∴△AC'D'≌△DBA（SAS），∴∠D'AC'＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AD'M，∵AD'＝AD，∴∠ADD'＝∠AD'D，∴∠MDD'＝∠MD'D，∴D'M＝DM；[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．证明：如图3，连接AM，∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS），∴∠MAD'＝∠MAD，∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，∴△NP A∽△NAD，∴PNAN=ANDN，∴AN2＝PN•DN，∴MN2＝PN•DN．28．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，∵∠EAF＝∠ABC，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF；②解：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，由①知，△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴ECBC=EFBD=25，设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，∴AE=√AB2−BE2=√(5a)2−(3a)2=4a，∵AEAB=AFBC，∠EAF＝∠ABC，∴△AEF∽△BAC，∴S△AEFS△BAC=（AEAB）2＝（4a5a）2=1625，∴S△AEFS菱形ABCD=S△AEF2S△BAC=12×1625=825；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=12∠BAD，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠ANC，∴∠ANC＝∠CAM，同理：∠AMC＝∠NAC，∴△MAC∽△ANC，∴ACCN=AMNA，△AMN是等腰三角形有三种情况：①当AM＝AN时，如图2所示：∵∠ANC ＝∠CAM ，AM ＝AN ，∠AMC ＝∠NAC ， ∴△ANC ≌△MAC （ASA ），∴CN ＝AC ＝2，∵AB ∥CN ，∴△CEN ∽△BEA ，∴CE BE =CN AB =24=12， ∵BC ＝AB ＝4，∴CE =13BC =43；②当NA ＝NM 时，如图3所示：则∠NMA ＝∠NAM ，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵∠BAC ＝∠EAF ，∴∠NMA ＝∠NAM ＝∠BAC ＝∠BCA ，∴△ANM ∽△ABC ，∴AM AN =AC AB =12， ∴AC CN =AM NA =12， ∴CN ＝2AC ＝4＝AB ，∴△CEN ≌△BEA （AAS ），∴CE ＝BE =12BC ＝2；③当MA ＝MN 时，如图4所示：则∠MNA ＝∠MAN ＝∠BAC ＝∠BCA ，∴△AMN ∽△ABC ，∴AM AN =AB AC =42=2， ∴CN =12AC ＝1，∵△CEN ∽△BEA ，∴CE BE =CN AB =14， ∴CE =15BC =45；综上所述，当CE 为43或2或45时，△AMN 是等腰三角形．29．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BE⊥BD，∴∠EBD＝90°，∵A为DE的中点，∴AB＝AD=12DE，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过B作BF⊥DE于F，tan ∠EDB =√22=BE BD，设BE =√2x ，BD ＝2x ，由勾股定理得：DE =√BE 2+BD 2=√(√2x)2+(2x)2=√6x ， ∵S △BDE =12×BE ×BD =12×DE ×BF ， ∴12×√2x ×2x =12×√6x ×BF ，解得：BF =2√33x ， ∴△ABE 与四边形ABCD 面积的比值是（12×√2x ×2x ）：（√62x •2√33x ）=√2x 2：√2x 2＝1：1． 30．【解答】（1）证明：如图，连接BD ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥DB ，AD ＝AB ，∵EM ⊥AC ，∴ME ∥BD ，∵点E 是AB 的中点，∴点M 是AD 的中点，AE =12AB ，∴AM =12AD ，∴AM ＝AE ．（2）解：①由（1）得，点M 是AD 的中点， ∴AM ＝MD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠AEM ，∠EAM ＝∠FDM ，∴△MDF ≌△MAE （AAS ），∴AE ＝DF ，∵AB ＝2AE ，DF ＝2，∴AB ＝4，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝4×4＝16．②如图，连接CM ，记EF 与AC 交点为点G ，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝AE，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠GMC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM=√DM2+CM2=√22+42=2√3，∴ME＝2√3．31．【解答】（1）解：相等，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAG+∠BAG＝90°，∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°，∴∠BAG＝∠ADF，∵AD＝AB，∠DAB＝∠ABG，∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE ＝BG ．（2）解：∵△ADE ≌△BAG ，∴BG ＝AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴△ADH ∽△GBH ，∴DH BH =AD BG ，∵BE ：AE ＝n ，BG ＝AE ，AD ＝AB ，∴DH BH =AD AG =AB AE =AE+BE AE =AE+nAE AE =n +1．（3）解：设BG ＝AE ＝k ，则BE ＝nk ，∵EH ∥AD ，∴∠BEH ＝∠BAD ＝90°，∠EHB ＝∠ADB ＝45°，∵∠ABD ＝45°，∴∠EHB ＝∠ABD ，∴BE ＝EH ＝nk ，∵EH ∥AD ，∴△AEH ∽△ABG ，∴AE AB =EH BG ， ∴k k+nk =nk k， ∵n ＞0，∴n =√5−12．32．【解答】解：（1）∵AB BC =k ，k =43， ∴BC ＝6，∵CE EB =λ，λ＝1，∴CE ＝EB ，∴点E 为BC 的中点，∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠F ，又∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAG ＝∠EAG ，∴∠EAG ＝∠F ，∴EA ＝EF ，∵AB ＝8，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝3，∴AE =√AB 2+BE 2=√73，∴EF =√73，∴CF ＝EF ﹣EC =√73−3；（2）①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中，{∠D =∠GCF ∠AGD =∠FGC AG =FG，∴△ADG ≌△FCG （AAS ），∴DG ＝CG ，即点G 为CD 的中点；②设CD ＝2a ，则CG ＝a ，∵AB BC =k （k ＞0且k ≠2）．AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴CF ＝AD ＝BC =2a k ，∵EG ⊥AF ，∠GCF ＝90°，∴∠EGC +∠CGF ＝90°，∠F +∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＝∠F ，∴△EGC ∽△GFC ，∴EC GC =GC FC ，∵GC ＝a ，FC =2a k ， ∴GC FC =k 2， ∴EC GC =k 2，∴EC =k 2•a =ka 2，BE ＝BC ﹣EC =2a k −ka 2=4−k 22k a ，∴λ=CEEB=k24−k2．33．【解答】解：（1）AE＝BG，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠DAG+∠BAG＝90°，∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°，∴∠BAG＝∠ADF，∵AD＝AB，∠DAB＝∠ABG，∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE＝BG；（2）∵△ADE≌△BAG，∴BG＝AE，∵四边形ABCD是正方形∴AD∥BC∴△ADH∽△GBH∴DHBH=ADBG，∵BE：AE＝n，BG＝AE，AD＝AB，∴DHBH=ADAE=ABAE=AE+BEAE，∵BE：AE＝n，∴DHBH=AE+nAEAE=n+1；（3）设BG＝AE＝k，则BE＝nk，∵EH∥AD，∴∠BEH＝∠BAD＝90°，∠EHB＝∠ADB＝45°，∵∠ABD＝45°，∴∠EHB＝∠ABD，∴BE＝EH＝nk，∵EH∥AD，AD∥BC，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABG，∴AEAB=EHBG，∴kk+nk=nkk，∵n＞0，∴n=√5−1 2．34．【解答】（1）证明：∵AD⊥AC，CD⊥BC，PD⊥AB，∴∠DAP＝∠DEA＝∠BCQ＝90°，∵∠P AE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠P AE＝∠ADE，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠ADE＝∠QBC，∴△AED∽△QCB；（2）解：过点C作CH⊥AB于H，∵tan∠CAB=CHAH=12，∴设CH＝a，则AH＝2a，∴AC=√AH2+CH2=√5a＝2√5，∴a＝2，∴CH＝2，AH＝4，∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝BH＝4，∠CAB＝∠CBA，∴AB＝8，∵AB平分∠CBD，∴∠CBA＝∠DBA，∴∠CAB＝∠DBA，∴AC∥BD，∵AD⊥AC，∴AD⊥BD，∴tan∠ABD=ADBD=tan∠CAB=12，∴AB=√5AD＝8，∴AD=8√55，BD＝2AD=16√55，∵△AQC∽△BQD，∴AQBQ=ACBD=√516√55=58，∴BQAB=813，∴BQ=813AB=6413；（3）解：①作QG⊥AD于G，∵点P是AC的中点，∴AP=12AC=√5，∵∠CAB＝∠CBA＝∠ADP，tan∠CAB=1 2，∴AD＝2AP＝2√5，∴AC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝45°，设AG＝x，则QG＝2x，DG＝QG＝2x，∴x+2x＝2√5，解得：x=2√5 3，∴AQ=√5x=10 3，在Rt△APE中，AP=√5，PE＝1，AE＝2，∴EQ＝AQ﹣AE=103−2=43，∴tan∠BQM=PEEQ=143=34；②作CH⊥AB于H，则CH ∥PD ，∴△CHQ ∽△DEQ ，∴CQ DQ =CH DE =QH EQ ，由（2）知，CH ＝2，AH ＝4，若PM ∥BC ，∴BM DM =CQ DQ ，∵CH ∥PD ，∴QH EQ =CH DE =CQ DQ ，∠PQA ＝∠CBA ＝∠CAB ，设PE ＝x ，∵tan ∠CAB =12，∴AE ＝QE ＝2x ，DE ＝4x ，∴QH ＝4﹣4x ，又∵QH EQ =CH DE ， ∴24x =4−4x 2x ， ∴x =34，∴BM DM =CQ DQ =CH DE =12x =23；若PM ∥AD ，如图，∴BMMD=BQAQ，PCAP=CQDQ，∵CH∥PD，∴△CHQ∽△EDQ，∴CHDE=CQDQ=HQEQ，∴PCAP=CHDE，∵∠CAB＝∠ADE，∴tan∠CAB=tan∠ADE=1 2，∵CH＝2，AH＝4，设PE＝x，则AE＝2x，DE＝4x，由勾股定理得：AP=√5x，∴PC＝2√5−√5x=√5（2﹣x），∵PCAP=CHDE，∴√5(2−x)√5x=24x，∴x=3 2，∵PM∥AD，AD⊥AC，∴PM⊥AC，∴∠EPQ＝∠CAB，∴EQ=12PE=34，∴AQ＝AE+EQ＝3+34=154，BQ＝8−154=174，∴BMMD=BQAQ=1715，综上所述，若PM∥BC，BMDM =23，若PM∥AD，BMDM =17 15．35．【解答】解：（1）∵一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差，∴直角的勾股差为两直角边的平方和与斜边的平方的差．∴等腰三角形的底角的勾股差为腰的平方+底边的平方+另一腰的平方．∵等腰三角形的两个腰相等，∴等腰三角形的底角的勾股差为底边的平方＝22＝4．故答案为：两直角边的平方和与斜边的平方的差；4；（2）①∵CD是△ABC的中线，AB＝2c，∴AD＝BD＝c．依据勾股差的定义可得：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2；②过点C作CM⊥AB于点M，如图，在Rt△ACM中，由勾股定理得：b2＝CM2+AM2，同理可得：a2＝CM2+BM2，CM2＝d2﹣MD2．∴a2+b2＝2CM2+AM2+BM2．∵AD＝BD＝c，∴AM＝AD﹣MD＝c﹣MD，BM＝BD+MD＝c+MD．∴a2+b2＝2（d2﹣MD2）+（c﹣MD）2+（c+MD）2＝2d2﹣2MD2+c2﹣2cMD+MD2+c2+2cMD+MD2＝2d2+2c2．由（1）知：m＝c2+d2﹣b2，n＝c2+d2﹣a2，∴m+n＝c2+d2﹣b2+c2+d2﹣a2＝2c2+2d2﹣（a2+b2）＝0．∴m与n互为相反数．（3）∵DF AB =34， ∴设DF ＝3m ，AB ＝4m ．∵F 是BC 的中点，CD ⊥BD ，∴DF =12BC ．∴BC ＝2DF ＝6m ．∵点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，∴CF ＝DF ＝BF ＝3m ，BE ＝AE ＝2m ．∵点E 与F 分别是AB 与BC 的中点，∴利用（2）中的结论可得：BF 2+DF 2﹣BD 2+CF 2+DF 2﹣CD 2＝0，BE 2+DE 2﹣BD 2+AE 2+DE 2﹣AD 2＝0．∴4DF 2＝BD 2+CD 2，2AE 2+2DE 2＝BD 2+AD 2．∵CD ＝AD ，∴BD 2+CD 2＝BD 2+AD 2．∴4DF 2＝2AE 2+2DE 2．∴2×（3m ）2＝（2m ）2+DE 2．解得：DE =√14m ．∴DE DF =√14m 3m √143． 36．【解答】解：（1）不存在矩形丙，使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立．理由：假定存在矩形丙，∵C 丙C 乙=S 丙S 乙=12， ∴矩形丙的两个邻边之和为7，它的面积为24．设两条邻边长分别为x 和7﹣x ，由题意得：x （7﹣x ）＝24．∴x 2﹣7x +24＝0．∵Δ＝（﹣7）2﹣4×1×24＝﹣47＜0，∴此方程没有实数根，∴不存在矩形丙，使得C 丙C 乙=S 丙S 乙=12成立．（2）∵矩形A 两条邻边长分别为m 和1，∴若存在矩形B ，使得C BC A =S B S A =12成立，则矩形B 的邻边之和为m+12．设矩形B 的一边为x ，则另一边为m+12−x ，由题意得： x （m+12−x ）=m×12．化简得：2x 2﹣（m +1）x +m ＝0．由题意方程2x 2﹣（m +1）x +m ＝0一定有实数根．∴Δ＝[﹣（m +1）]2﹣4×2m ≥0．解得：m ≥3+2√2或m ≤3﹣2√2．∵m 为矩形A 的边长，∴m ＞0．∴m 的取值范围为：0＜m ≤3﹣2√2或m ≥3+2√2．（3）由（2）可知：对于任意一个矩形A ，不一定存在矩形B ，使得C BC A =S B S A =12成立．当矩形A 两条邻边长a ，b 满足0＜b a ≤3﹣2√2或b a≥3+2√2时，一定存在矩形B ． 37．【解答】解：（1）如图1，∵AD ＝3，DE ＝2AE ，∴AE ＝1，DE ＝2，取AB 的中点G ，连接GF ，并延长交CD 于H ，∵F 是BE 的中点，∴FG =12AE =12，FG ∥AD ，在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，∴四边形AGHD 是平行四边形，∴▱AGHD 是矩形，。

中考数学总复习《四边形》专项测试卷带答案

中考数学总复习《四边形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________时间：45分钟满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是()A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等2．如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，若DE＝3，则AC的长为() A．6 B．5 C．4 D．3(第2题)(第3题)3．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为()A．40° B．50° C．60° D．70°4．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10，AD ＝6，则OB的长是()A．113 B．4 C．2 13 D．8(第4题)(第5题)5．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，点F为对角线AC上一点，当∠CBF＝22.5°时，AF 的长是()A．4 cm B．(4 2－4)cmC．2 5 cm D.113cm6．如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是() A．(－1，3) B．(－1，2) C．(－2，3) D．(－2，4)(第6题)(第7题)7．如图，两张宽为3的矩形纸条叠放在一起，已知∠ABC＝60°，则阴影部分的面积是()A.92B．3 3 C.9 32D．6 38．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个(第8题)二、填空题(每题4分，共16分)9．在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为________．10．如图，在正方形ABCD内，作等边三角形ADE，连接BD，BE则∠DBE＝______°.11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，P为斜边AB上一动点，过点P分别作PE∥BC交AC于点E，作PF∥AC交BC于点F，则EF的最小值为________．(第11题)(第12题)12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上的点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得到△EC′F，连接AC′，当BE＝________时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．三、解答题(共32分)13．(14分) 如图，点E，A，D，C在同一直线上，四边形ABDF是平行四边形，EF∥BC.求证：EF＝BC.14．(18分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE∥BC，O是AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E，连接CE.(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝60°，AC＝4，求AE的长；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？并说明理由．参考答案一、1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】B二、9.【答案】2110.【答案】3011.【答案】601312.【答案】78或43三、13.【答案】证明：∵四边形ABDF 是平行四边形 ∴AB ＝DF ，AB ∥DF ，∴∠BAC ＝∠FDE .∵EF ∥BC ，∴∠E ＝∠C .∴△ABC ≌△DFE ，∴EF ＝BC .14．【答案】(1)证明：∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO . ∵AE ∥BC ，∴∠AEO ＝∠CDO ，∠EAO ＝∠DCO ∴△AOE ≌△COD ，∴AE ＝CD .∵AE ∥CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线∴AD ⊥BC, ∴∠ADC ＝90°，∴四边形ADCE 是矩形．(2)解：∵四边形ADCE 是矩形，AC ＝4∴AC ＝DE ＝4，OA ＝OE ＝OD ＝OC ，∴OA ＝OE ＝2. ∵∠AOE ＝60°，∴△AOE 是等边三角形∴AE ＝OA ＝OE ＝2.(3)解：当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形．理由：当∠BAC＝90°时，△ABC是等腰直角三角形∵AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝12BC由(1)知四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE是正方形．。

中考数学四边形专题训练50题(含答案)

中考数学四边形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．若正多边形的一个外角是24°，则这个正多边形( )A ．正十二边形B ．正十五边形C ．正十八边形D ．正二十边形 2．若平行四边形中两个相邻内角的度数比为1:2，则其中较小的内角是（） A ．120︒ B ．90︒ C ．60︒ D ．45︒ 3．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，80E ∠=︒，90G ∠=︒，120D ∠=︒，则B ∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒ 4．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（）A ．13cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm 5．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于G ，若34AE ED =，DF CF =，则AG GF 的值是（）A ．59B ．611C ．713D ．1115 6．在平行四边形ABCD 中，∠B =60°，那么下列各式中，不能成立的是（） A ．∠D =60° B ．∠A =120° C ．∠C +∠D =180° D ．∠C +∠A =180°7．下列说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形8．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形9．如图，过O外一点P作O的两条切线PD、PB，切点分别为D、B，作直径∠的度数为（）AB，连接AD、BD，若80P∠=︒，则AA．50°B．60°C．70°D．80°10．如图，在∠ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE∠AB于E，PF∠AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.5∠=︒，11．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若148∠=︒，则B232∠的度数为（）．A．124°B．114°C．104°D．56°12．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相互垂直B．菱形的对角线相等C．平行四边形是轴对称图形D．等腰梯形的对角线相等13．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：∠△EAG＝45°：∠CE＝3DE；∠AG∠CF；∠S△FGC=725，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8B．10C．12D．1415．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为D M，MN的中点，则EF长度的最大值为() ．A．4B．3C．D．16．下列说法错误的是()A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形17．如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（）A．86°B．84°C．76°D．74°18．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABE DEF，AB=，26DF=，则BE的长是（）DE=，3D．A．12B．15C．19．如图，在一张矩形纸片ABCD中4BC=，点E，F分别在AD，BC上，AB=，8将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：∠四边形CFHE是菱形；∠CE平分∠DCH；∠线段BF的EF=．以上结论中，其中正确结取值范围为34BF≤≤；∠当点H与点A重合时，5论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题=，连接AE交CD于F，那么20．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE AC∠的度数为________．AFC21．M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE∠MC，PF∠MB，当AB、BC 满足_________时，四边形PEMF为矩形．22．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ ，EF ，DF 为折痕．若A ，B ，C 恰好都落在同一点P 上，AE ＝1，则ED ＝___．23．如图，△ABC 内接于∠O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为∠O 的直径，CD ＝8，OA 交 BC 于点 E ，则 AE 的长度是________．24．如图，在正五边形ABCDE 中，AC 为对角线，以点A 为圆心，AE 为半径画圆弧交AC 于点F ，连结EF ，则∠1的度数为__．25．如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形∠的边GD 在边AD 上，若图1正方形中MN=1，则CD=____．26．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，EF ，AF ，若DF BE EF +=，则EAF ∠=______︒．27．如图，已知抛物线24=-+的顶点为D，与y轴交于点C，过点C作x轴的y x x c平行线AC交抛物线于点A，过点A作y轴的平行线AB交射线OD于点B，若OA OB=，则c的值为_____________．28．如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG 与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=7，BC=6，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是______．29．在□ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝____，∠C＝_____，∠D＝____．30．如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是_____．'沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形．若∠BAO＝34°，则31．把长方形AB CD∠BAC的大小为_______．32．如图，M 是▭ABCD 的AB 的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与▱ABCD 的面积之比为_____．33．如图，矩形ABCD 中，AD=6，P 为边AD 上一点，且AP=2，在对角线BD 上寻找一点M ，使AM+PM 最小，则AM+PM 的最小值为_____．34．如图，在▱ABCD 中，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，E 在AD 上，BE=12cm ，CE=5cm ．则▱ABCD 的周长为_____，面积为_____．35．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),P x y ，我们把点11,Q y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点P 的“逆倒数点”．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标为(48)，，反比例函数()0k y x x =>的图象经过矩形对角线交点M ．点D 是该反比例函数图象上的点，点E 是对角线上的一点，且点E 是点D 的“逆倒数点”，点E 的坐标为______．36．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON ∠OM ，交CD 于点N .若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为 _____．37．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点F ．若40CDE ∠=，则∠DCF 的度数为_______．38．如图，在矩形ABCD 中，5,3AB BC ==,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 _____ .39．如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，满足∠EDF ＝45°．连接DE 、DF 分别交正方形对角线AC 于点H 、G ，再连接EG ，有如下结论：∠AE CF EF +>；∠ED 始终平分∠AEF ；∠∠AEH ∠∠DGH ；∠DE ；∠14DGH DEF S S =△△．在上述结论中，正确的有______．（请填正确的序号）三、解答题40．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．（利用格点和没有刻度的直尺作图，保留作图痕迹）(1)在方格纸1中画出ADC △，使ADC △与ABC 关于直线AC 对称；(2)在方格纸2中画出以EF 线段为一边的平行四边形（点G ，点H 均在小正方形的顶点上），且平行四边形面积为4；(3)在方格纸3中，连接FM ，在FM 上确定一点P ，使得点P 为FM 中点． 41．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，连接BE 并延长交AD 延长线于点F ，若AB ＝AF ．(1)求证：点D 是AF 的中点；(2)若∠F ＝60︒，CD ＝6，求∠ABF 的面积．42．如图1，在等腰ABO 中，AB AO =，分别延长AO 、BO 至点C 、点D ，使得CO AO =、DO BO =，连接AD 、BC ．()1如图1，求证：AD BC =；()2如图2，分别取边AD 、CO 、BO 的中点E 、F 、H ，猜想EFH 的形状，并说明理由．43．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM 的周长是多少？44．如图∠，在矩形OACB 中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，8OA =，6OB =．（1）直接写出点C 的坐标：________；（2）如图∠，点G 在BC 边上，连接AG ，将ACG 沿AG 折叠，点C 恰好与线段AB 上一点C '重合，求线段CG 的长度；（3）如图∠，P 是直线26y x =-上一点，PD PB ⊥交线段AC 于D ．若P 在第一象限，且PB PD =，试求符合条件的所有点P 的坐标．45．直线443y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，菱形ABCD 如图放置在平面直角坐标系中，其中点D 在x 轴负半轴上，直线y ＝x +m 经过点C ，交x 轴于点E ．(1)请直接写出点C ，点D 的坐标，并求出m 的值；(2)点P （0，t ）是线段OB 上的一个动点（点P 不与O 、B 重合），经过点P 且平行于x 轴的直线交AB 于M ，交CE 于N ．当四边形NEDM 是平行四边形时，求点P 的坐标；(3)点P （0，t ）是y 轴正半轴上的一个动点，Q 是平面内任意一点，t 为何值时，以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？46．如图，在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6.动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动．当点P 不与点A 重合时，过点P 作PD ∠AC 于点D ，以AP ，AD 为边作▱APED ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）线段AD的长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）连结BE，当tan∠CBE＝13时，求t的值．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在∠ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．47．如图，BC为∠O的直径，BD平分∠ABC交∠O于点D，DA∠AB于点A．(1)求证：AD是∠O的切线；(2)∠O交AB于点E，若AD＝2AE，求sin ABC∠的值．48．如图1，已知在四边形ABCD中，AB//CD，90ABC∠=︒，8BC=，6CD=，1tan2A=．动点P从点D DA方向运动，到A点结束；点Q同时从点A出发，以3个单位的速度沿射线AB运动，点P停止运动后，点Q 也随之停止．以AP，AQ为边作平行四边形AQGP．设运动时间为t．(1)求AB的长；(2)连接GC 、GB ，当CGB △为等腰三角形时，求t 的值；(3)如图2，以PQ 为直径作圆与AD 、PG 分别交于点M 、N ，连接MQ 交PG 于点F ，连接NQ 、DG ，∠当点N 为弧MQ 的中点时，求PMQPNQ S S △△的值；∠当PQM CDG ∠=∠时，求PQ =______（请直接写出答案）．49．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD∠AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝100米，那么A ，B 间的距离是_____米．思维探索：（2）在∠ABC 和∠ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将∠ADE 绕点A 逆时针方向旋转，把点E 在AC 边上时∠ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点M 是线段BD 的中点，连接MC ，ME ．∠如图2，当∠ADE 在起始位置时，猜想：MC 与ME 的数量关系和位置关系分别是______；∠如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断MC 与ME 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；参考答案：1．B【详解】分析：利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．详解：∠多边形的每个外角相等，且其和为360°，∠这个正多边形的边形为3602415o o ÷=，∠这个正多边形是正十五边形.故选B.点睛：考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，用360除以一个外角的度数，结果即为正多边形的边形．2．C【分析】根据平行四边形的性质来解答即可．【详解】解：∠平行四边形，∠两个相邻内角互补，又∠两个相邻内角的度数比为1:2，∠两个相邻的内角为60°、120°，∠较小的内角为60°．故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的相关性质是解题的关键． 3．C【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为360︒解答即可．【详解】解：∠四边形ABCD ∽四边形EFGH∠120H D ∠=∠=︒∠360()70B F E G H ∠=∠=︒-∠+∠+∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、多边形的内角和；理解相似多边形的对应角相等是解题的关键．4．B【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出三角形的三边，再求解即可．【详解】解：∠三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm，∠三角形的三边分别为6cm，8cm，12cm，∠这个三角形的周长＝6＋8＋12＝26cm．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟记三角形中位线的性质定理．5．B【分析】延长AF交BC的延长线于点H，证明∠ADF∠∠HCF，得到CH=AD，设AE=3x，则DE=4x，AD=7x，证得∠AEG∠∠HBG，得到AE AGBH HG==314，即可求出AGGF【详解】解：延长AF交BC的延长线于点H，∠四边形ABCD是正方形，∠∠D=∠DCH=90°，AD∥BC，∠∠DAF=∠H，∠DF CF=，∠∠ADF∠∠HCF(AAS)，∠CH=AD，设AE=3x，则DE=4x，AD=7x，∠CH=AD=BC=7x，∠AD∥BC，∠∠AEG∠∠HBG，∠AE AGBH HG==314，∠AGGF =6 11，故选：B．【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．6．D【详解】解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠D＝∠B＝60°．故A成立；∠AD△BC，∠∠A＋∠B＝180°，∠∠A＝180°－∠B＝120°，故B成立；∠AD△BC，∠∠C＋∠D＝180°，故C成立；∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠C＝∠A＝120°，故D不成立，故选D．7．B【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形、平行四边形、菱形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．8．B【分析】根据平行四边形的判定与矩形的判定定理，即可求得答案．【详解】∠对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∠对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形．故选B．【点睛】此题考查了平行四边形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理．9．A【分析】如图，连接OD ，可得90ODP OBP ∠=∠=︒，再利用四边形的内角和定理求解BOD ∠，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OD ，∠过O 外一点P 作O 的两条切线PD 、PB ，∠90ODP OBP ∠=∠=︒，∠80P ∠=︒，∠360909080100DOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒， ∠1502A DOB ∠=∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查的是切线的性质，四边形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，作出过切点的半径是解本题的关键．10．C【分析】首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM =12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM .【详解】在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，所以△ABC 为直角三角形，∠A =90°，又因为PE ∠AB ，PF ∠AC ，故四边形AEPF 为矩形，因为M 为 EF 中点，所以M 也是 AP 中点，即AM =12AP ，故当AP ∠BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小，由1122ABC S AB AC BC AP ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得AP =125，AM =12AP =6 1.25= 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ∠BC 时AM 最小是解题关键.11．A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由折叠得，45∠=∠，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB CD ，∠53∠=∠，∠3=4∠∠，又∠13448∠=∠+∠=︒， ∠154348242∠=∠=∠=⨯︒=︒，在ABC 中，180521802432124B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．12．D【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的性质进行逐一分析解答即可．【详解】A 、错误，矩形的对角线相等；B 、错误，菱形的对角线相互垂直；C 、错误，平行四边形是中心对称图形；D 、正确，等腰梯形的对角线相等．故选D ．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉其性质定理．13．C【分析】∠由正方形的性质和翻折的性质可证明Rt△ABG∠Rt△AFG（HL），推出∠BAG=∠F AG，根据∠DAE=∠F AE，可得∠EAG=12∠BAD=45°；∠由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，设DE=EF=x，则CE=12-x，在Rt△ECG中，（12-x）2+36=（x+6）2，求出x，则可得到CE=2DE；∠由CG=BG，BG=GF，可得CG=GF，则∠GFC=∠GCF，因为∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，可推出∠AGB=∠GCF，则AG∠CF；∠由S△GCE=12×GC×CE，又因为△GFC和△FCE等高，可得S△GFC：S△FEC=3：2，S△GFC=3 5×24=725．【详解】解：∠∠正方形ABCD，∠AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质可得，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∠∠AFG=90°=∠B，AB=AF，又∠AG＝AG，∠Rt△ABG∠Rt△AFG（HL），∠∠BAG=∠F AG，∠∠DAE=∠F AE，∠∠EAG=12∠BAD=45°，故∠正确；∠由题意得EF=DE，GB=CG=GF=6，设DE=EF=x，则CE=12-x，在Rt∠ECG中，（12-x）2+62=（x+6）2，∠x=4，∠DE=4，CE=8，∠CE=2DE，故∠错误；∠∠CG=BG，BG=GF，∠CG=GF，∠∠GFC=∠GCF，∠Rt∠ABG∠Rt∠AFG，∠∠AGB=∠AGF，∠∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∠∠AGB=∠GCF，∠AG∠CF，故∠正确；∠∠S△GCE=12×GC×CE=12×6×8=24，又∠GF=6，EF=4，∠GFC和∠FCE等高，∠S△GFC：S△FEC=3：2，∠S△GFC=35×24=725，故∠正确；综上，正确的是∠∠∠，共3个．故选：C．【点睛】本题考查翻折变换的性质、正方形的性质，本题综合性很强，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算方法是解题的关键．14．B【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∠BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.15．B【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值为3．【详解】解：∠ED＝EM，MF＝FN，∠EF＝12DN，∠DN最大时，EF最大，∠N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=6，∠EF的最大值为3．故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．16．C【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选C．【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．17．B【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．【详解】解：由题意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，∠∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∠∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：B．【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．18．C【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∠ABE DEF，∠AB AE DE DF，∠623AE =，∠9AE=，∠矩形ABCD中，90A∠=︒，∠BE故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解．19．B【分析】先根据翻折的性质可得CF＝FH，∠HFE=∠CFE，可证∠FEH是等腰三角形，可得HE=HF=FC，判断出四边形CFHE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出∠正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，判断出∠错误；过点F作FM∠AD于M，点H与点A 重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=FM=MD＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出∠正确；求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出∠正确．【详解】解：∠将纸片ABCD沿直线EF折叠，∠FC=FH，∠HFE=∠CFE，∠AD△BC，∠∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE△FC，∠∠HFE为等腰三角形，∠HE=HF=FC，∠EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∠EH△CF，且HE=FC，∠四边形CFHE是平行四边形，∠FC=FH，∠四边形CFHE是菱形，故∠正确；∠HC为菱形的对角线，∠∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°，∠只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，故∠错误；过点F作FM∠AD于M，点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt∠ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4，∠BF＝4，∠线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故∠正确；当点H与点A重合时，由∠中BF=3，∠AF=AE=CF=EC=8-3=5，则ME＝5﹣3＝2，由勾股定理得，EF=∠错误；综上所述，结论正确的有∠∠共2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键．20．112.5【分析】根据正方形的性质有∠ACD=∠ACB=45°=∠CAE+∠AEC，根据CE=AC就可以求出∠CAE=22.5°，在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数．【详解】解：∠四边形ABCD是正方形，∠∠ACD=∠ACB=45°．∠∠ACB═∠CAE+∠AEC，∠∠CAE+∠AEC=45°．∠CE=AC，∠∠CAE=∠AEC，∠∠CAE=22.5°．∠∠CAE+∠ACD+∠AFC=180°，∠∠AFC=180°-22.5°-45°=112.5°．故答案为112.5°．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．21．12AB BC =##2BC AB =【详解】∠在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，AB=12BC ，∠AB =DC =AM =MD ，∠A =∠D =90°，∠∠ABM =∠MCD =45°，∠∠BMC =90°，又∠PE ∠MC ，PF ∠MB ，∠∠PFM =△PEM =90°，∠四边形PEMF 是矩形．故答案为：AB =12BC ．22．3【分析】连接,EP DP ，根据折叠的性质得出三角形全等，根据三角形全等的性质得出对应边相等，由ED EP PD =+，利用等量代换分别求出,EP PD ．【详解】解：连接,EP DP 如下图所示：根据A ，B ，C 恰好都落在同一点P 上及折叠的性质，有,,AQE PQE EBF EPF FPD FCD ≌≌≌，1,1,AE PE EB EP CD PD ∴=====，2AB AE EB =+=，根据正方形的性质得：2AB DC ==，2PD ∴=，ED EP PD =+，123ED ∴=+=，故答案是：3．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的性质，解题的关键是添加辅助线，通过等量代换的思想进行解答．23．4【分析】证明△OAB 是等边三角形，OA ∠BC 即可推出OE ＝AE ，再利用三角形中位线定理即可解决问题．【详解】解：∠AB ＝AC ，∠AB AC =，∠OA ∠BC ，BE ＝EC ，AB ＝AC∠∠ABC 是等腰三角形∠∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝60°，∠OA ＝OB ，∠∠OAB 是等边三角形，∠BE ∠OA ，∠OE ＝AE ，∠OB ＝OD ，BE ＝EC ，∠ OE是△BCD的中位线∠OE＝AE＝12CD＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．54°【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质，三角形内角和的定理计算∠BAC，再求∠EAF，利用圆的性质得AE=AF，最后求出∠1即可．【详解】解：∠五边形ABCDE是正五边形，∠∠EAB＝∠ABC＝()5-21805⨯︒＝108°，∠BA＝BC，∠∠BAC＝∠BCA＝180-1082︒︒＝36°，∠∠EAF＝108°﹣36°＝72°，∠以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，∠AE＝AF，∠∠1＝180-722︒︒＝54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了正多边形的内角与圆，熟练掌握正多边形的内角的计算公式、和圆的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．25122【分析】根据七巧板中图形分别是等腰直角三角形和正方形计算PH的长，即FF'的长，作高线GG'，根据直角三角形斜边中线的性质可得GG'的长，即AE的长，可得结论．【详解】解：如图：∠四边形MNQK是正方形，且MN＝1，∠∠MNK＝45°，在Rt△MNO中，OM＝ON∠NL＝PL＝OL∠PN＝12，∠PQ＝12，∠∠PQH是等腰直角三角形，∠PH＝FF'BE，过G作GG'∠EF'，∠GG'＝AE＝12MN＝12，∠CD＝AB＝AE＋BE＝12122．故答案为122．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、七巧板、等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识．熟悉七巧板是由七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边．26．45【分析】延长CB到G，使BG=DF，根据正方形的性质得到AD=AB，∠D=∠ABE=90°，求得∠ABG=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，求得GE=EF，推出∠AGE∠∠AFE（SSS），根据全等三角形的性质得到∠GAE=∠EAF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：延长CB到G，使BG=DF，∠四边形ABCD是正方形，∠AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∠∠ABG =∠D =90°，在∠ADF 与∠ABG 中，AB AD ABG D BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADF ∠∠ABG （SAS ），∠AG =AF ，∠GAB =∠DAF ，∠DF +BE =EF ，EG =BG +BE =DF +BE ，∠GE =EF ，在∠AGE 与∠AFE 中，AG AF AE AE GE EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠AGE ∠∠AFE （SSS ），∠∠GAE =∠EAF ，∠∠GAE =∠GAB +∠BAE =∠DAF +∠BAE =∠EAF ，∠∠BAD =90°，∠∠EAF =45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．83【分析】根据抛物线的解析式求得4DH c =-，BF AF OC c ===，然后根据三角形中位线定理得到142c c -=，解得即可．【详解】解：作抛物线的对称轴，交OA 于E ，交x 轴于H ，∠224()42y x x c x c =-+=-+-，∠顶点为(2)4c -，，∠4DH c =-，∠AC x ∥轴，∠AF OC c AB x ==⊥，轴，∠OA OB =，∠AF BF c ==，∠OH FH =， ∠12DH BF =， ∠142c c -= ∠83c =，故答案为：83．【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解决本题的关键．28【分析】由EF ∠AD ，HG ∠AB ，结合矩形的性质可得四边形AHIE 和四边形IFCG 为矩形，然后根据矩形的性质可的HE +FG 的长度即为AI +CI 的长度，最后利用两点之间，线段最短，求出AC 的长即可．【详解】解：如图所示，连接AI ，CI ，AC ，在矩形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =∠B =90°，AB ∠CD ，AD ∠BC ，又∠EF ∠AD ，HG ∠AB ，∠四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，∠HE=AI，FG=CI，∠HE+FG的长度即为AI+CI的长度，又∠AI+CI≥AC，∠当A，I，C三点共线时，AI+CI最小值等于AC的长度，在Rt∠ABC中，AC∠HE+FG【点睛】本题考查矩形的判定和性质以及两点之间，线段最短的运用，正确判定四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，运用矩形的对角线相等是解题的关键．29．108º，72º，108º【详解】解：∠平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，又∠∠A：∠B=2：3，∠∠A=72°，∠B=108°，∠∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．故答案为108º，72º，108º．30．130°【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题.【详解】∠四边形ABCD是菱形，∠BCD＝25°，∠∠ACD＝∠ACB＝12∠EF垂直平分线段BC，∠FB＝FC，∠∠FBC＝∠FCB＝25°，∠∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故答案为130°．【点睛】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31．62°【分析】先利用AAS 证明∠AOB∠∠COD ，得出∠BAO=∠DCO=34°，∠B′CO=68°，结合折叠的性质得出∠B′CA=∠BCA=34°，则∠BAC=∠B′AC=56°．【详解】由题意，得∠B′CA∠∠BCA ，∠AB′=AB ，∠B′CA=∠BCA ，∠B′AC=∠BAC ．∠长方形AB′CD 中，AB′=CD ，∠AB=CD ．在∠AOB 与∠COD 中，90B D AOB COD AB CD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∠∠AOB∠∠COD （AAS ），∠∠BAO=∠DCO=34°，∠∠B′CO=90°-∠DCO=56°，∠∠B′CA=∠BCA=28°，∠∠B′AC=90°-∠B′CA=62°，∠∠BAC=∠B′AC=62°．【点睛】考查了折叠的性质、矩形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是证明∠AOB∠∠COD ，得出∠BAO=∠DCO=34°是解题的关键．32．1：3【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1，∠四边形ABCD 是平行四边形， ∠12DAB ABCD S S =，又∠M 是ABCD 的AB 的中点，则1124DAM DAB ABCD S S S ==，1,2BE MB DE CD == ∠EMB △上的高线与DAB 上的高线比为1.3BE BD ==∠1113212 EMB DABS S=⨯=，∠143 DEC MEBS S，==S阴影面积1111141233 =---=，则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为13．故填空答案：13．33．【详解】分析：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．首先证明P、H关于BD对称,连接AH交BD于M,则AM+PM的值最小,最小值=AH.详解：作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．∠四边形ABCD是矩形，∠∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠tan∠ADB=ABAD∠∠ADB=30°，∠∠BDC=60°，∠∠CDH=30°，∠CD∠CH2，△DH=2CH=4，∠DP=DH，∠∠MDP=∠MDH，∠P、H关于BD对称，连接AH交BD于M，则AM+PM的值最小，最小值=AH=点睛：本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30º角的直角三角形的性质，轴对称的性质，作DH平分∠BDC交BC于H．连接AH交BD于M．说明P和H关于BD成轴对称是解答本题的关键.34．39cm60cm2【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE．根据直角三角形的勾股定理得到BC=13cm，根据等腰三角形的性质得到AB=CD=12AD=12CD=6.5cm，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．【详解】∠BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，∠∠1=∠3=12∠ABC，∠DCE=∠BCE=12∠BCD，在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∠BC，AB∠CD，∠AD∠BC，AB∠CD，∠∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，∠∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，∠AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BC=13cm，∠平行四边形的周长等于：AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39cm；作EF∠BC于F，根据直角三角形的面积公式得：EF=·6013BE CEBC=cm，∠平行四边形ABCD的面积=BC·EF=601313⨯=60cm2，故答案为39cm，60cm2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．。

四边形测试题及答案

四边形测试题及答案# 四边形测试题及答案题目1：定义题题目：请定义什么是四边形，并列举出四边形的三种基本类型。

答案：四边形是由四条直线段依次首尾相连围成的平面图形。

四边形的三种基本类型包括：平行四边形、矩形和梯形。

题目2：计算题题目：给定一个平行四边形，其两组对边分别长为10cm和6cm，求其周长。

答案：平行四边形的周长等于两组对边之和的两倍。

因此，周长= 2 ×(10cm + 6cm) = 32cm。

题目3：判断题题目：所有的矩形都是平行四边形。

答案：正确。

矩形是特殊的平行四边形，其四个角都是直角。

题目4：应用题题目：一个梯形的上底长为3cm，下底长为7cm，高为4cm，求其面积。

答案：梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高÷ 2面积= (3cm + 7cm) × 4cm ÷ 2 = 20cm²。

题目5：选择题题目：下列哪个选项不是四边形的特性？A. 内角和为360度B. 对边平行C. 对角线相等D. 有四条边答案：C. 对角线相等。

不是所有四边形的对角线都相等，只有矩形和正方形的对角线相等。

题目6：解析题题目：解释为什么正方形既是矩形也是菱形。

答案：正方形是特殊的四边形，其四条边都相等，且四个角都是直角。

由于四个角都是直角，它满足矩形的定义；由于四条边相等，它也满足菱形的定义。

因此，正方形既是矩形也是菱形。

题目7：证明题题目：证明平行四边形的对角线互相平分。

答案：在平行四边形ABCD中，设对角线AC和BD相交于点E。

由于AB平行于CD，根据平行线的性质，三角形ABC与三角形ADC全等（SAS），因此BE = EC。

同理，三角形ABD与三角形CBD全等，因此AE = ED。

这证明了平行四边形的对角线互相平分。

题目8：填空题题目：如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是________。

答案：正方形。

当四边形的对角线互相垂直且相等时，它是一个正方形。

2020年中考数学复习练习题卷：《四边形》

2020年中考数学复习练习卷：《四边形》一．选择题1．正十边形的外角和的度数为（）A．1440°B．720°C．360°D．180°2．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，DB＝6，AD＝5，则菱形ABCD的面积为（）A．20 B．24 C．30 D．363．下列判断错误的是（）A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形D．四条边都相等的四边形是菱形4．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan∠ABC＝（）A．B．C．D．6．如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（）A．B．C．D．7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4．若点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的面积为（）A．8 B．6C．4D．68．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF．若四边形ACFD的面积等于6，则平移的距离等于（）A．2 B．3 C．2D．49．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（2，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，的坐标为（）则第2020次旋转结束时，点F2020A．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，﹣2）10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（）A．2 B．C．2D．4二．填空题11．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝°．12．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠ADE＝22.5°，BD＝4，则OE的长为．14．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN的长为．15．如图，在正方形ABCD中，△ABE为等边三角形，连接DE，CF，延长AE交CD于F点，则∠DEF的度数为．16．阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，比如我们常用的等积法是其中的一种．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E是CD的中点，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿点A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为ts，则当t＝s时，S＝4．△APE17．如图，在正方形ABCD中，M，N是边AB上的动点，且AM＝BN，连接MD交对角线AC于点E，连接BE交CN于点F，若AB＝3，则AF长度的最小值为．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD＝6，tan G＝，求AO 的长．19．如图，E、F分别是菱形ABCD的边AB、AD的中点，且∠ABD的正切值为，AD＝6．（1）求对角线BD的长；（2）求证：四边形AEOF为菱形．20．如图，在△ABC中，tan∠ABC＝，∠C＝45°，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝5，动点P从点B出发，沿B﹣D﹣E﹣C向终点C运动，在BD﹣DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒个单位长度的速度运动，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B、点N始终在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．（1）当点P在BD﹣DE上运动时，用含t的代数式表示线段DP的长．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当点P在DE上运动时，求S与t之间的函数关系式．（4）当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D ﹣E﹣D连续做往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动．连结HN，直接写出HN 与DE所夹锐角为45°时t的值．21．将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，4），点O（0，0），B（4，0），C（4，4）点．动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．（Ⅰ）如图①，当∠AEM＝30°时，求点E的坐标；（Ⅱ）如图②，当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；（Ⅲ）随着点M在AC边上位置的变化，△MPC的周长是否发生变化？如变化，简述理由；如不变，直接写出其值．22．已知∠MAN＝135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD 的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM＝DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．23．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．参考答案一．选择题1．解：正十边形的外角和的度数为360°．故选：C．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD＝3，AC⊥BD，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝24，故选：B．3．解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；B、四个内角都相等的四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、一组对边平行且对角线相等的四边形不一定是矩形，故C选项符合题意；D、四条边都相等的四边形是菱形，故D选项不符合题意；故选：C．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD∵E，F分别AB，CD的中点∴AE＝EB＝DF＝FC∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形AFCE是平行四边形，四边形EDFB是平行四边形，四边形GEHF是平行四边形．∴平行四边形的个数共有6对．故选：D．5．解：连接DC，交AB于点E，由题意可得：∠AFC＝30°，DC⊥AF，设EC＝x，则EF＝＝x，故BF＝2EF＝2x，则tan∠ABC＝＝＝＝．故选：A．6．解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°，∴∠ABC＝120°，由折叠的性质可得2∠ABE+∠FBC＝120°，∵设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，∠BFBC比∠ABE大80°，∴可列方程组．故选：D．7．解：连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，∴EH∥FG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵∠AEO＝∠ABO，∠BEF＝∠EAO，∴∠AEO+∠BEF＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，BD＝4，∴EF＝AC＝2，∴EH＝BD＝2，∴四边形EFGH的面积为2×＝4，故选：C．8．解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝3，∴AB＝＝＝3，∵将△ABC沿BC向右平移得到△DEF．∴AD＝CF，AD∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵四边形ACFD的面积等于6，∴CF×AB＝6，∴CF＝2，故选：A．9．解：∵点B（2，0），∴OB＝2，∴OA＝2，∴AB＝OA＝2，∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB＝2，∴点F（2，2），由题意可得每次8旋转一个循环，∴2020÷8＝252…4，的坐标与点F坐标关于原点对称，∴点F2020的坐标（﹣2，﹣2）∴点F2020故选：D．10．解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，∴AC＝2，∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝，∴OP′＝1，当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，∴PQ的最小值＝2OP′＝2．故选：A．二．填空题（共7小题）11．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DBC＝∠DBA＝∠ABC＝65°，∵DE⊥AB，∴∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝25°，故答案为：25．12．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8 ∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，BO＝DO，AC＝BD，∵BD＝4，∴AO＝OD＝2，∵∠ADE＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAC＝22.5°，∴∠AOE＝∠ADE+∠DAC＝45°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAO＝45°＝∠AOE，∴AE＝OE，∵AO＝2，∴OE＝AE＝＝，故答案为：．14．解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，∴GF＝GB＝6，BC＝9，∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，∴CF＝＝＝3．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN ＝＝．故答案为：． 15．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵△ABC 为等边三角形，∴AE ＝BE ＝AB ，∠EAB ＝60°，∴AE ＝AD ，∠EAD ＝∠BAD ﹣∠BAE ＝30°，∴∠AED ＝∠ADE ＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEF ＝180°﹣∠AED ＝180°﹣75°＝105°．故答案为105°．16．解：①如图1，当P 在AB 上时，∵△APE 的面积等于4， ∴t •3＝4，t ＝；②当P 在BC 上时，如图2，∵△APE 的面积等于4，∴S 长方形ABCD ﹣S △CPE ﹣S △ADE ﹣S △ABP ＝4，∴3×4﹣（3+4﹣t）×2﹣×2×3﹣×4×（t﹣4）＝4，t＝6；③当P在CE上时，如图3，∴（4+3+2﹣t）×3＝4，t＝＜3+4，此时不符合；故答案为：或6．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△MAD和△NBC中：∴△MAD≌△NBC（SAS），∴∠ADM＝∠BCN，在△ABE和△ADE中：∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠ABE＝∠ADE，∴∠ABE＝∠BCN，∵∠ABE+∠CBF＝∠ABC＝90°，∴∠BCN+∠CBF＝90°，∴∠BFC＝90°，如图，取BC中点G，连接FG、AG，则FG＝BG＝CG＝BC＝，∵AG＝＝．∴AF≥AG﹣FG＝．当且仅当A、F、G三点共线时，AF取得最小值．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：连接BD，交AC于O，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠CDO，∴tan G＝tan∠CDO＝，∴OC＝OD，∵BD＝6，∴OD＝3，∴OC＝，∴OA＝OC＝．19．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝AD＝6，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°，∵∠ABD的正切值为，∴设AO＝k，BO＝2k，∴AB＝＝k＝6，∴k＝，∴BD＝2BO＝；（2）证明：∵E，O分别是BA，BD中点，∴OE∥AD，OE＝AD，∴OE∥AF，∵F是菱形ABCD的边AD的中点，∴AF＝AD，∴OE＝AF，∴四边形AEOF是平行四边形，又∵AB＝AD，∴AE＝AF，∴平行四边形AEOF是菱形．20．解：（1）当0＜t≤1时，DP＝5﹣5t．当1＜t≤2时，DP＝5t﹣5．（2）如图1中，在Rt△BDM中，∵∠DMB＝90°，tan B＝＝，BD＝5，∴DM＝4，BM＝3，∵DP＝DM，∴5t﹣5＝4，解得：．（3）①如图2﹣1中，当1≤t≤时，重叠部分是四边形BQPD，S＝．②如图2﹣2中，当＜t≤时，重叠部分是五边形MQPDK，S＝．③如图2﹣3，当＜t≤2时，重叠部分是正方形PQMN，S＝16．综上所述，S＝．（4）如图3﹣1中，作HK⊥NP交NP的延长线于K．由题意∠HNK＝45°，∵HK⊥NK，∴△NHK是等腰直角三角形，∴NK＝HK，可得4t+3﹣3t+5t＝4﹣4t，解得t＝0.1．如图3﹣2中，当2＜t＜3时，满足EH＝PN，条件成立．可得：5﹣5（t﹣2）＝（4﹣2（t﹣2）），解得．如图3﹣2中，当t＞3时，满足EH＝PN，条件成立．可得5（t﹣3）＝（4﹣2（t﹣2），解得．综上所述，满足条件的t的值为0.1或或．21．解：（Ⅰ）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAM＝90°．由折叠知OE＝EM．设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝x，∴AE+OE＝OA，即x+x＝4，∴x＝16﹣8．∴E（0，16﹣8）；（Ⅱ）如图②，∵点M是边AC的中点，∴AM＝AC＝2．设OE＝m，则EM＝OE＝m，AE＝4﹣m，在Rt△AEM中，EM2＝AM2+AE2，即x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝．∴E（0，）；（Ⅲ）△MPC的周长不变，为8．理由：设AM＝a，则OE＝EM＝b，MC＝4﹣a，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2＝EM2，（4﹣b）2+a2＝b2，解得16+a2＝8b．∴16﹣a2＝8（4﹣b）∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，∴Rt△AEM∽Rt△CMP，∴＝，即＝，解得DM+MP+DP＝＝＝8．∴△CMP的周长为8．22．解：（1）①如图1，若BM＝DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN＝BM+DN．理由如下：在△ADN与△ABM中，，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN＝AM，∠NAD＝∠MAB，∵∠MAN＝135°，∠BAD＝90°，∴∠NAD＝∠MAB＝（360°﹣135°﹣90°）＝67.5°，作AE⊥MN于E，则MN＝2NE，∠NAE＝∠MAN＝67.5°．在△ADN与△AEN中，，∴△ADN≌△AEN（AAS），∴DN＝EN，∵BM＝DN，MN＝2EN，∴MN＝BM+DN．故答案为：MN＝BM+DN；②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP＝BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABM＝∠ADC＝90°．在△ABM与△ADP中，，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM＝AP，∠1＝∠2＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∵∠MAN＝135°，∴∠PAN＝360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）＝360°﹣135°﹣90°＝135°．在△ANM与△ANP中，，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN＝PN，∵PN＝DP+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN；（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDA＝∠DBA＝45°，∴∠MDA＝∠NBA＝135°．∵∠1+∠2＝45°，∠2+∠3＝45°，∴∠1＝∠3．在△ANB与△MAD中，，∴△ANB∽△MAD，∴，∴AB2＝BN•MD，∵AB＝DB，∴BN•MD＝（DB）2＝BD2，∴BD2＝2BN•MD，∴MD2+2MD•BD+BD2+BD2+2BD•BN+BN2＝MD2+BD2+BN2+2MD•BD+2BD•BN+2BN•MD，∴（MD+BD）2+（BD+BN）2＝（DM+BD+BN）2，即MB2+DN2＝MN2，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．23．（1）【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．故答案为：BE＝EF+DF．（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝DG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝2．。

2023年中考数学专题复习——专项训练(五)四边形

2023年中考数学专题复习——专项训练（五）四边形一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 从七边形的一个顶点作对角线，把这个七边形分成三角形的个数是（）A. 7B. 6C. 5D. 42. “花影遮墙，峰峦叠窗.”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案.若∠1=∠2=75º，∠3=∠4=65º，则∠5的度数是（）A. 80ºB. 75ºC. 65ºD. 60º①②第2题图第3题图第4题图第5题图3. 如图，已知四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.若∠BAG=20°，则∠DGF的度数是（）A．70°B．60°C．80°D．45°4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A. 当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B. 当AC=BD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90º时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形5. 如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，则∠ADB的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°6. 用图①所示两种图形可以无缝隙拼接成图②所示的正方形ABCD.已知图①所示图形，∠F=45°，∠H=15°，MN=2，则图②中正方形的对角线AC的长为（）A. B. C.1 D.2①②第6题图第8题图第9题图第10题图7. 已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.根据下列条件，不能证明四边形EFGH是矩形的是（）A. AC⊥BDB. AB=BC，OB=ODC. AB=BC，OA=OCD. AB=BC，CD=AD8. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60º，CE∥BD，则△BDE的面积为（）A. 1B. 2C. 3D.9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（0，2），∠ABO=30º，E为CD的中点，则点E的坐标为（）21 B.)2 C. D.2A. )10. 如图，菱形ABCD的边长为12，∠ABC=60°，直线EF⊥AC，垂足为H，分别与AD，AB及CB的延长线交于点E，M，F.若AE∶BF=1∶2，则CH的长为（）A. 12B. 10C. 8D. 6二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 六边形的内角和比它的外角和多__________度．12. 如图，在△ABC中，∠ACB=120º，分别以AC，BC为边，向△ABC外作正方形ACDE和正五边形BCFGH，则∠DCF的度数是.第12题图第13题图第14题图13. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上.若A（2，0），D（4，0），以点O为圆心，OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是.14. 如图，小明同学将边长为6的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A'B'C'.当两个三角形重叠部分为菱形时，A'D的长为.15. 把一张宽为2 cm的矩形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为4 cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD为cm.第15题图第16题图16. 如图13，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，N是EC的中点，M是AB的中点.已知S△ABD=6，BC=4，则MN的长为.三、解答题（本大题共4小题，共46分）17. （10分）如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接AF，DE，DF.求证：四边形AEFD是矩形.第17题图第18题图第19题图第20题图18. （10分）如图，在□ABCD中，AB＜BC.（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若BC=8，CD=5，求CE的长.19. （12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=6，BD=8，求CE的长.20.（14分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，P是MN上一点，求△PDC周长的最小值.参考答案专项训练（五）答案详解9. A 解析：先分别求出点C，D的坐标，再利用中点坐标求解.10. B 解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB=BC=12，∠MAH=∠EAH.因为EF⊥AC，所以∠AHM=∠AHE=∠CHE= 90°.因为AH＝AH，所以△AHM≌△AHE.所以AM=AE.因为AD∥BC，所以△AME∽△BMF.所以AM AEBM BF==12.所以AM=AE=4，BM=8.所以BF=8.所以CF=20.因为∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形.所以∠ACB=60°.所以CH=CF•cos 60°=10.16.52【解析】连接AC交BD于点O，连接ON，OM，取BE的中点M′，连接MM′，如图所示.易得四边形OMM′N 是矩形，则∠MON=90º.因为S□ABCD=2S△ABD=12，BC=4，所以BC•AE=12.所以AE=3.利用三角形中位线定理，得OM=2，ON=32.由勾股定理，得MN=52．第16题图三、17.证明：因为CF=BE，所以CF+EC=BE+EC，即EF=BC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD=BC.所以AD∥EF，AD=EF.所以四边形AEFD是平行四边形. 因为AE⊥BC，所以∠AEF=90°.所以□AEFD是矩形.18. 解：（1）如图所示，点E即为所求.第18题图（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD=5，AD∥BC.所以∠DAE=∠BEA.因为AE是∠BAD的平分线，所以∠DAE=∠BAE.所以∠BAE=∠BEA.所以BE=AB=5.所以CE=BC﹣BE=3.19.（1）证明：因为AB∥CD，所以∠OAB=∠DCA.因为AC 平分DAB ∠，所以∠OAB=∠DAC.所以∠DAC=∠DCA.所以CD=AD.因为AB=AD ，所以CD=AB. 因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形.因为AD=AB ，所以□ABCD 是菱形. （2）解：因为四边形ABCD 是菱形，BD=8，所以OA=OC ，BD ⊥AC ，OB=OD=12BD=4.所以∠AOB=90°.所以所以AC=2OA=所以菱形ABCD 的面积为12AC•BD=12×8=.因为CE ⊥AB ，所以菱形ABCD 的面积为AB •CE=，解得. 20. 解：（1）结论：CF=2DG.证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AD=BC=CD=AB ，∠ADC=∠C=90º. 因为E 是AD 的中点，所以DE=AE.所以AD=CD=2DE.因为EG ⊥DF ，所以∠DHG=90º.所以∠CDF+∠DGE=90º，∠DGE+∠DEG=90º. 所以∠CDF=∠DEG.所以△DEG ∽△CDF.所以12DG DE CF CD ==.所以CF=2DG. （2）作点C 关于直线NM 的对称点K ，连接DK 交MN 于点P ，连接PC ，此时△PDC 的周长值最小，最小值为CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.由（1），知CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，所以.因为12DE •DG=12EG •DH ，所以DH=DE DGEG⋅所以EH=2DH=同法可得2DH EHHM DE⋅==，所以DM=CN=NK==1.在Rt △DCK 中，所以△PCD 的周长的最小值为10+第20题图。

初中数学四边形基础测试题附解析(1)

初中数学四边形基础测试题附解析(1)一、选择题1．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点，∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．2．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=o ，则AEF ∠=（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．3．若菱形的对角线分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10 B．20 C．40 D．48【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】如图所示，根据题意得AO=12×8=4，BO=12×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB=22169+=+=5，AO BO∴此菱形的周长为：5×4=20．故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键.4．在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C5．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x=；当P在OD上时，有643DP EF y xDO AC-==即，∴y=483x-+．故选C．6．如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠BED，则ABECDESSVV的值为（）A23-B233-C233-D23-【答案】C【解析】【分析】过点A作AF⊥DE于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．解：如图，过点A 作AF ⊥DE 于F ，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∵AE 平分∠BED ，∴AF ＝AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝2AF ，∴∠ADF ＝30°，在△AFD 与△DCE 中∵∠C=∠AFD=90°,∠ADF=∠DEC,AF=DC,，∴△AFD ≌△DCE （AAS ），∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF 22⨯== ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（23AB 2，∴△ABE 的面积＝(2232AB , ∴23233232ABE CDE S S --==V V 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE ＋PF 的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴22+，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．8．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S∆FCG＝3，其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确；过点F 作FM ⊥CE ，∴FM∥CG∴△EFM∽△EGC∴FM EFGC EG=即235FM=解得65 FM=∴S∆FCG＝116344 3.6225ECG ECFS S-=⨯⨯-⨯⨯=V V，故④错误正确的共3个故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD∵BD＝2AD∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，∴①正确∵E、F、分别是OC、OD中点∴EF∥DC，CD＝2EF∵G是AB中点，BE⊥AC∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确，∵四边形BGFE是平行四边形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE∴△BGE≌△FEG（SSS）∴③正确故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.11．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．12．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC ，D 为BC 的中点，BC=12，∴AD ⊥BC ，BD=DC=6，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD =+=， ∵S △ADB=12×AD×BD ＝12×AB×DE ， ∴DE=8624105AD BD AB ⨯⨯==，故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解此题的关键．13．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的性质求出BD 、BC 的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．【详解】Q 四边形OABC 是正方形，(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B ∴======-=∠=︒由题意，分以下两种情况：（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D ¢落在第一象限由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D ¢的坐标为(2,10)（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上，旋转后点D 的对应点D ¢的坐标为(2,10)或(2,0)-故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．14．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（）A ．2B ．169C ．32D 2【答案】C【解析】【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==， ∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ，故选：C ．本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．15．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x ，y ，z ，则111x y z ++的值为（） A ．1B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．详解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：2180x x -⨯（）+2180y y -⨯（）+2180z z （）-⨯=360，两边都除以180得：1﹣2x+1﹣2y +1﹣2z =2，两边都除以2得：1x +1y +1z =12．故选C ．点睛：解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．16．如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A ．1B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长．【详解】∵AD 是△ABC 角平分线，CG ⊥AD 于F ，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是△ABC中线，∴BE=CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF=12BG=12，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．17．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．18．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）A．∠BCA＝45°B．AC＝BDC．BD的长度变小D．AC⊥BD【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质即可判断；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．故选B．【点睛】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4,1, 点D的坐标为19．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为()()0,1，则菱形ABCD的周长等于（）A5B．3C．45D．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A的坐标，然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴AD=()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.20．在四边形ABCD 中，两对角线交于点O ，若OA =OB =OC =OD ，则这个四边形( ) A ．可能不是平行四边形B ．一定是菱形C ．一定是正方形D ．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD ，判断四边形ABCD 是平行四边形．然后根据AC=BD ，判定四边形ABCD 是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC 、BD 交于点O ，OA= OC, OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．。

初中数学四边形基础测试题及答案解析

初中数学四边形基础测试题及答案解析一、选择题1．四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）.A．25°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=12BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A．2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE ADBCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )A 5B 6C 7D ．22【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC BC AB =，∥.∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =， ∴223AB BC EC BE BE ==-=.在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE +=，解得2BE =，∴36BC BE ==故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4．如图，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．22aD ．3a 【答案】C【解析】【分析】根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°=2a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =5．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式2180()n -⨯︒即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形的内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．6．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点，32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A ，B ，C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C．26D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12 x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x+＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．9．如图，在四边形ABCD中，90,150,BAD BCD ADC∠=∠=︒∠=o连接对角线BD，过点D作//DE BC交AB于点,E若23,AB AD CD=+=，则CD=（）A．2B．1C．13+D3【答案】B【解析】【分析】先根据四边形的内角和求得∠ABC30︒=，再根据平行线的性质得到∠AED30︒=，∠EDB=∠DBC，然后根据三角形全等得到∠ABD=∠DBC，进而得到EB=ED，最后在Rt ADEV中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在四边形ABCD中∵90,150,BAD BCD ADC∠=∠=︒∠=o∴∠ABC30︒=∵//DE BC∴∠AED30︒=，∠EDB=∠DBC在Rt ABDV和Rt BCD△中∵AD CDBD BD=⎧⎨=⎩∴Rt ABD Rt BCD ≅V V∴∠ABD=∠DBC∴∠EDB=∠ABD∴EB=ED ∵23AB =+在Rt ADE △中，设AD=x,那么DE=2x,AE=232x +-()2222322x x x ++-=解得：121;73x x ==+（舍去）故选：B ．【点睛】此题主要考查四边形的内角和、全等三角形的判断、平行线的性质和勾股定理的应用，熟练进行逻辑推理是解题关键．10．在四边形ABCD 中，两对角线交于点O ，若OA =OB =OC =OD ，则这个四边形( ) A ．可能不是平行四边形B ．一定是菱形C ．一定是正方形D ．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD ，判断四边形ABCD 是平行四边形．然后根据AC=BD ，判定四边形ABCD 是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC 、BD 交于点O ，OA= OC, OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形．故选D ．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．11．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（）A ．△ABD ≌△ECDB ．连接BE ，四边形ABEC 为平行四边形 C ．DA ＝DED ．CE ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（）A ．65B ．85C ．125D ．245【答案】D【解析】【分析】连接AD ，根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6，根据勾股定理求出AD ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC ，D 为BC 的中点，BC=12，∴AD ⊥BC ，BD=DC=6，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD =+=， ∵S △ADB=12×AD×BD ＝12×AB×DE ， ∴DE=8624105AD BD AB ⨯⨯==，故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解此题的关键．13．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得21OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，23AD = ∴243AB AD ==∴226BD AB AD =-=∵四边形ABCD 是平行四边形∴132OB OD BD ===，12OA OC AC == ∴在Rt AOD △中，23AD =，3OD =∴2221OA AD OD =+= ∴21OC OA ==．故选：C【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．14．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（）A ．45B ．48C ．63D ．64【答案】C【解析】【分析】由中央小正方形的边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x 厘米，其余几个边长分别是x-1、x-2、x-3，根据长方形中几个正方形的排列情况，列方程求出最大正方形的边长，从而求得长方形长和宽，进而求出长方形的面积．【详解】因为小正方形边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x 厘米，因为图中最小正方形边长是1厘米，所以其余的正方形边长分别为x−1，x−2，x−3，3(x-3)-1=x解得：x=5；所以长方形的长为x+x−1=5+5-1=9，宽为x-1+x−2=5-1+5-2=7长方形的面积为9×7=63(平方厘米)；故选：C【点睛】本题考查了对拼组图形面积的计算能力，利用了正方向的性质和长方形面积的计算公式．15．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q3a，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ ＝2×3v ＝23v ， y ＝12⨯AB ×BQ ＝12⨯6v ×23v ＝63，解得：v ＝1，故点P 、Q 的速度分别为：3，3，AB ＝6v ＝6＝a ，则AC ＝12，BC ＝63，如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ ＝3x ＝43，CQ ＝BC ﹣BQ ＝63﹣43＝23，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．16．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形.【详解】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选A．【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．17．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．19．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A ．AB ∥CDB ．∠B ＝∠DC ．AD ＝BC D ．AB ＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确；∵AD ∥BC ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 正确；∵AD ∥BC ，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D ，∴∠B+C=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（）A 29B 34C ．2D 41【答案】D 【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE 22AB AE +2254+41PA +PB 的41．故选D ．。

新初中数学四边形基础测试题及答案解析

新初中数学四边形基础测试题及答案解析一、选择题1．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝12BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE＝14BC,成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=12BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，∵AB=12 BC，∴AE=BE=12 BC，∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，∴S△ABC=12AB•AC，故②错误；∴E 为BC 中点，O 为AC 中点，∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ，故③正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=CO ，∵AE=CE ，∴EO ⊥AC ，∵∠ACE=30°，∴EO=12EC ， ∵EC=12AB ， ∴OE=14BC ，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键．2．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（）A ．23B ．22C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=；∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.3．如图，若OABC Y 的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 的坐标为（）A ．(4,1)B ．(5,3)C ．(4,3)D ．(5,4)【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B 的坐标.【详解】解：∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，OA ∥BC ，∴点B 的纵坐标为3，∵点O 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点A 向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B ，∴点B 的坐标为：（5，3）；故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接CF ，DG ，则DG CF=（）A．23B．2C．3D．3【答案】B 【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则2 AD AGAC AF==∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．5．如图，菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O， BD=8cm，AC=6cm，过点O作OH⊥CB于点H，则OH的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC ++=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．6．下列说法中正确的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键.【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误；D. 两条对角线相等的菱形是正方形，正确.故选D.【点睛】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力.7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）A．65B．85C．125D．245【答案】D【解析】【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．8．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（）A．45 B．48 C．63 D．64【答案】C【解析】【分析】由中央小正方形的边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x厘米，其余几个边长分别是x-1、x-2、x-3，根据长方形中几个正方形的排列情况，列方程求出最大正方形的边长，从而求得长方形长和宽，进而求出长方形的面积．【详解】因为小正方形边长为1厘米，设这7个正方形中最大的一个边长为x厘米，因为图中最小正方形边长是1厘米，所以其余的正方形边长分别为x−1，x−2，x−3，3(x-3)-1=x解得：x=5；所以长方形的长为x+x−1=5+5-1=9，宽为x-1+x−2=5-1+5-2=7长方形的面积为9×7=63(平方厘米)；故选：C【点睛】本题考查了对拼组图形面积的计算能力，利用了正方向的性质和长方形面积的计算公式．9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝12BD，AO＝CO，AB∥CD∵BD＝2AD∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点∴BE⊥AC，∴①正确∵E、F、分别是OC、OD中点∴EF∥DC，CD＝2EF∵G是AB中点，BE⊥AC∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确，∵四边形BGFE是平行四边形，∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE∴△BGE≌△FEG（SSS）∴③正确故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．11．下列命题中是真命题的是（）A ．多边形的内角和为180°B ．矩形的对角线平分每一组对角C ．全等三角形的对应边相等D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，在ABC V 中，D E ，是AB AC ，中点，连接DE 并延长至F ，使EF DE =，连接AF CD ，，CF ．添加下列条件，可使四边形ADCF 为菱形的是( )A ．AB AC =B ．AC BC = C ．CD AB ⊥ D ．AC BC ⊥ 【答案】D【解析】【分析】根据AE＝CE，EF＝DE可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用中位线定理可得DE∥BC 结合AC⊥BC可证得AC⊥DF，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．【详解】解：∵点E是AC中点，∴AE＝CE，∵AE＝CE，EF＝DE，∴四边形ADCF为平行四边形，∵点D、E是AB、AC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴AC⊥DF，∴平行四边形ADCF为菱形故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定，三角形的中位线性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．13．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．15．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD 上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．16．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.17．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．18．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定解答即可．【详解】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠B+C=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．19．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（）A．△ABD≌△ECD B．连接BE，四边形ABEC为平行四边形C．DA＝DE D．CE＝CD【答案】D【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．【详解】∵CE ∥AB ，∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，在△ABD 和△ECD 中，===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴DA=DE ，AB=CE ，∵AD=DE ，BD=CD ，∴四边形ABEC 为平行四边形，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．20．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．40B ．24C ．20D ．15【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到AC ⊥BD ，∠BAO=∠DAO ，得到AD=CD ，推出四边形ABCD 是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．【详解】∵AB ＝AD ，点O 是BD 的中点，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝∠DAO ，∵∠ABD ＝∠CDB ，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．。

中考数学复习《四边形》单元综合训练题(1)

中考数学复习《四边形》单元综合训练题（1）一．选择题（共8小题）1．各个内角都相等的n边形的一个外角为20°，则n等于（）A．9B．16C．18D．202．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，E为边BC的中点，F为边AB上一点，连接EF，△BEF与△GEF关于EF对称，延长EG，FG分别交边AD，CD于点H，I．若∠HFG＝∠FEB，则DI为（）A．B．C．1D．3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分4．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG 沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1．OB＝2，则菱形ABCD 的面积为（）A．4B．6C．8D．126．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，小正方形EFGH的对角线FH向两边延长，分别交边AB于点M，交边CD于点N．若E是AH的中点，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A．DE＝BF B．OE＝OF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF 二．填空题（共8小题）9．从七边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个七边形分成个三角形．10．如图，矩形ABCD中，AD：AB＝3：4，P为AB上一点，AD＝AP．作DQ⊥DP交BC 延长线于Q，R为PQ中点，DR＝5，则CR的长为．11．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为6，则菱形的边长为．12．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角平分线，交点为点O，EF＝1，则OB2+OC2＝．13．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4．E为AD上一点，点A关于BE的对称点落在矩形内的F处．连接DF，当∠ABF＝2∠ADF时，则AE＝．15．如图，正方形ABCD的边长是，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝，CF⊥BE，连接OF，则OF＝．16．如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为cm2．三．解答题（共4小题）17．如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为点O，直线l分别交线段AD，CB的延长线交于点E、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若tan∠ACB＝2，BC＝1，则EF的长为．18．如图，△OAD为等腰直角三角形，∠OAD＝90°，延长OA至点B，使OB＝OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC、BD交于点E，连结OE交AD于点F．（1）求证：AF＝AB；（2）求的值．19．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．（1）求证∠DBG＝90；（2）若BD＝12，DG＝2GE．①求菱形ABCD的面积；②求tan∠BDE的值．（3）若BE＝AB，当∠DAB的大小发生变化时（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．20．综合与实践问题情境：如图（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，CD⊥AB于点D，点O是AC中点，将△ADC绕点O旋转180°得到△CEA．猜想证明：（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．问题解决：（2）将△AEC绕点C逆时针方向旋转得到△A′E′C，当旋转到如图（2）位置时直线A′E′刚好经过点A．求证：A′C∥AB，并求出此时△A′PC的面积．（3）在△AEC绕点C旋转的过程中，直线A′E′交AB于点Q，交BC于点P，是否存在某一时刻，使△BPQ是直角三角形．若存在，直接写出BP的长，若不存在请说明理由．。

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\（一）选择题（每小题3分，共30分）1．内角和与外角和相等的多边形是……………………………………………………（）（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形【答案】B．2．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是…………………………………（）（A）菱形（B）矩形（C）梯形（D）两条对角线相等的四边形【答案】A．3．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有…………………………………（）2019-2020年中考数学复习专项检测：《四边形》基础测试【提示】第一个图形不是中心对称图形．【答案】D．4．已知下列四个命题：（1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（2）对角线垂直相等的四边形是菱形；（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（4）四边都相等的四边形是正方形．其中真命题的个数是………………（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）0【提示】（3）正确．【答案】A．5．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于………………………………（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°【答案】C．6．下列命题中的真命题是………………………………………………………………（）（A）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（B）有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形（C）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C．7．如图，DE是△ABC的中位线，若AD＝4，AE＝5，BC＝12，则△ADE的周长是………………………………………………（）（A）7.5 （B）30 （C）15 （D）24【答案】C．8．矩形的边长为10 cm和15 cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为………………………………………………………………………………………（）（A）6 cm和9 cm （B）5 cm和10 cm（C）4 cm和11 cm （D）7 cm和8 cm【提示】长边被分成的两部分之中，有一部分与矩形短边相等．【答案】B．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有……………………………………………………………………………………（）（A）1对（B）3对（C）2对（D）4对【提示】以AB和CD为对应边的两个三角形．【答案】B．10．菱形周长为20 cm，它的一条对角线长6 cm，则菱形的面积为…………………（）（A）6 （B）12 （C）18 （D）24【提示】若菱形两对角线为a和b，则S菱形＝．【答案】D．（二）填空题（每小题3分，共24分）11．如图，在□ABCD中，则对角线AC、BD相交于O，图中全等的三角形共有____对．【提示】考察以AB、CD为对应边的三角形，有3对全等三角形；抹去AB、CD两边，又有1对全等三角形．【答案】4．12．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．【提示】360°÷每个外角的度数．【答案】5．13．梯形的上底边长为5，下底边长为9，中位线把梯形分成上、下两部分，则这两部分的面积的比为_______．【提示】先算出中位线的长，然后用梯形面积公式计算．【答案】．14．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，AE＝AD＝2 cm，则这个梯形的中位线长为_____cm．【提示】BC＝6 cm．【答案】4．15．请画出把下列矩形的面积二等分的直线，并填空（一个矩形只画一条直线，不写画法）．在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有_____条，这些直线都必须经过此矩形的_____点．【答案】无数；对称中心（或两条对角线的交点）．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H．若AD＝6，BC＝10，则GH的长是______．【答案】2．17．如图，矩形ABCD中，O是两对角线的交点AE⊥BD，垂足为E．若OD＝2 OE，AE＝，则DE的长为______．【提示】OA＝OD＝2 OE，用勾股定理求出OE和OA的长．【答案】3．18．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，□ABCD 的周长为40，则S□ABCD为______．【提示】在□ABCD中，AE·BC＝AF·CD＝S□ABCD，BC＋CD＝20，求BC或CD．【答案】48．（三）证明题（每小题5分，共20分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P是AD中点．求证：BP＝PC．【提示】证明△ABP≌△DCP．【答案】在梯形ABCD中，AD∥BC，∵AB＝DC，∴∠A＝∠D．∵P是AD中点，∴AP＝DP．在△ABP和△DCP中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=．，，DPAPDADCAB∴△ABP≌△DCP．∴PB＝PC．20．已知：如图，AD∥BC，ED∥BF，且AF＝CE．求证：四边形ABCD是平行四边形．【提示】证明△ADE≌△CBF，得到AD＝BC即可．【答案】在△ADE和△CBF中，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF．∵ED∥BF，∴∠DEF＝∠BFE．∴∠DEA＝∠BFC．∵AF＝CE，∴AE＝CF．∴△ADE≌△CBF．∴AD＝BC．又AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．21．已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB上的两点，且AF＝BE．求证：∠ADE＝∠BCF．【提示】证明Rt△ADE≌Rt△BCF．【答案】在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．又AF＝BE，∴AF－EF＝BE－EF，即AE＝BF．∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠ADE＝∠BCF．22．证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（要求：画出图形，写出已知、求证、证明．）【提示】作辅助线，构造等腰三角形．【答案】已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C（图（1））．求证：AB＝DC．【证法一】如图（1），过点D作DE∥AB，交BC于E．图（1）∴∠B＝∠1．又∠B＝∠C，∴∠C＝1．∴DE＝DC．又AB∥DE，AD∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AB＝DE．∴AB＝DC．【证法二】如图（2），分别延长BA、CD，交于点E．图（2）∵∠B＝∠C，∴BE＝CE．∵AD∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∴∠1＝∠2．∴AE＝DE．∴BE－AE＝CE－DE，即AB＝DC．（四）计算题（每小题6分，共12分）23．已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求□ABCD的周长和面积．【提示】证明BE⊥EC和E为AD中点．【答案】在□ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°．∵∠ABE＝∠EBC，∠BCE＝∠ECD，∴∠EBC＋∠BCE＝（∠ABC＋∠BCD）＝90°．∴∠BEC＝90°．∴BC2＝BE2＋CE2＝122＋52＝132．∴BC＝13．∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC．∴∠AEB＝∠ABE．∴AB＝AE．同理CD＝ED．∵AB＝CD，∴AB＝AE＝CD＝ED＝BC＝6.5．∴□ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2（6．5＋13）＝39．S□ABCD＝2 S△BCE＝2·BE·EC＝12×5＝60．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，BD⊥DC于D，且∠C＝60°，若AD＝5 cm，求梯形的腰长．【提示】求出∠CBD，∠ABD和∠ADC的度数，证明AB＝AD，或者过D点作DE⊥BC于E，CE为下底与上底的差的一半，又是CD的一半，CD又是BC的一半．从中找出CD与AD的关系．【解法一】∵BD⊥CD，∠C＝60°，∴∠CBD＝30°．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD＝5（cm）．【解法二】过D点作DE⊥BC，垂足为E点．∵在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CE＝CD．又CE＝（BC－AD），∴CD＝BC－AD．即BC＝CD＋AD．又在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝BC．∴CD＝2 CD－AD．即CD＝AD＝5（cm）．（五）解答题（每小题7分，共14分）25．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB 长相等，问在E、F移动过程中：（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．【提示】证明△EAH≌△EAB，△FAH≌△FAD．【答案】（1）∠EAF始终等于45°．证明如下：在△EAH和△EAB中，∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°＝∠B．又AH＝AB，AE＝AE，∴Rt△EAH≌Rt△EAB．∴∠EAH＝∠EAB．同理∠HAF＝∠DAF．∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝∠EAB＋∠FAD＝∠BAD＝45°．因此，当EF在移动过程中，∠EAF始终为45°角．（2）△ECF的周长不变．证明如下：∵△EAH≌△EAB，∴EH＝EB．同理FH＝FD．∴△ECF周长＝EC＋CF＋EH＋HF＝EC＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝定长．26．已知：如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．【提示】连结AC和CD，首先利用中位线定理和平行四边形判定定理，证明四边形PQMN为平行四边形，然后证明△AEC≌△DEB，得到AC＝BD，再证明□PQMN为菱形．【答案】四边形PQMN为菱形．证明如下：如图，连结AC、BD．∵PQ为△ABC的中位线，∴PQ AC．同理MNAC．∴MNPQ，∴四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中，AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60°＝∠CEB，即∠AEC＝∠DEB．∴△AEC≌△DEB．∴AC＝BD．∴PQ＝AC＝BD＝PN．∴□PQMN为菱形．/35559 8AE7 諧L34666 876A 蝪 5r26267 669B 暛35281 89D1 觑39662 9AEE 髮26182 6646 晆m33495 82D7 苗23588 5C24 尤P。