最新中考几何模型解题法资料
初中几何48个模型及题型讲解
初中几何48个模型及题型讲解一、直线和角1. 平行线和垂直线的性质平行线的性质包括对应角相等、内错角相等、同旁内角相等，垂直线的性质包括互补角相等、邻补角相等等等。
2. 直线的夹角与邻角两条直线之间的夹角等于它的补角，夹角的补角叫相邻角。
3. 同位角与对顶角同位角相等、对顶角相等。
4. 角的大小关系锐角、直角、钝角的大小关系。
5. 角和角度角的性质包括平分角等。
6. 角的运算法则相等角相加还是相等角；补角与角补加为90°。
7. 顶角和底角的性质同位角相等、顶底角相等。
二、等腰三角形、等边三角形1. 等腰三角形的性质两底角相等，两底边相等等。
2. 等边三角形的性质三边相等、三角也相等等等三、全等三角形1. 全等三角形的基本判定条件AAA、SAS、SSS、ASA四种判定条件。
2. 全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角相等等等。
四、相似三角形1. 相似三角形的基本判定条件AA、SAS、SSS、AAS四种判定条件。
2. 相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，对应角相等等等。
五、直角三角形1. 直角三角形的性质勾股定理、边角关系、三边关系等。
2. 解直角三角形的基本方法利用三角函数解决实际问题等。
六、三角形的面积1. 三角形的面积计算公式面积公式S=1/2×底×高等。
2. 多边形的面积计算公式正多边形、梯形、平行四边形、菱形等多边形的面积公式。
七、四边形1. 平行四边形的性质对角线互相平分等。
2. 矩形的性质对角相等、对边相等等。
3. 菱形的性质对角相等、对边相等、对角平分等。
4. 正方形的性质矩形和菱形的结合。
五、圆1. 圆的基本概念圆心、圆周、半径、直径等。
2. 圆的周长和面积周长C=2πr，面积S=πr^2等。
3. 圆中角和弧的关系圆心角、圆周角、同弧对应角等。
4. 切线与切点切线与圆相切于一个点等。
六、坐标系1. 直角坐标系和平面直角坐标系横坐标和纵坐标等。
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式
初中数学常考的几何模型和应用题答题公式是学习和备考数学的关键内容。
不过，
请注意，我无法列出具体的66个常考几何模型或50个应用题答题公式，因为这
取决于不同地区、不同版本的教材和考试要求。
但我可以为你提供一些常见的几何模型和应用题答题思路或公式。
几何模型示例：
1.等边三角形模型：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°。
2.等腰三角形模型：等腰三角形有两条边相等，且对应的两个底角也相等。
3.直角三角形模型：直角三角形有一个90°的角，满足勾股定理（a² + b² = c²）。
4.平行四边形模型：平行四边形的对边平行且相等，对角相等。
5.梯形模型：梯形有一组对边平行，常考察其面积计算（上底加下底，乘以高，再除
以2）。
应用题答题公式或思路示例：
1.速度、时间、距离关系：速度= 距离/ 时间，距离= 速度×时间，时间= 距
离/ 速度。
2.工作问题：工作效率= 工作总量/ 工作时间，常用于比较不同人或机器的工作效
率。
3.百分比问题：部分= 总量×百分比，总量= 部分/ 百分比，百分比= 部分/
总量× 100%。
4.利息问题：简单利息= 本金×利率×时间，复利则考虑本金和利息的共同增
长。
5.浓度问题：浓度= 溶质质量/ 溶液质量× 100%，常用于解决混合溶液的浓度问
题。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-半角模型(教师版)
专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD ≌△CAF ；②△EAD ≌△EAF ；③∠ECF=180°-2 。
九年级数学几何模型
九年级数学几何模型一、相似三角形模型。
1. A字模型。
- 基本图形：在三角形ABC中，DE平行于BC，则三角形ADE相似于三角形ABC。
- 性质：对应边成比例，即(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=(DE)/(BC)。
- 应用：在很多几何证明和计算中，若已知平行关系和部分线段长度，可以利用此模型求出其他线段的长度。
例如，已知AD = 2，AB = 5，BC = 6，求DE的长度。
根据(DE)/(BC)=(AD)/(AB)，可得DE=(AD× BC)/(AB)=(2×6)/(5)=(12)/(5)。
2. 8字模型。
- 基本图形：若有四边形ABDC，其中AB与CD相交于点E，则三角形AEC相似于三角形BED。
- 性质：(AE)/(BE)=(CE)/(DE)，并且AE× DE = BE× CE。
- 应用：在求解线段比例关系或者证明线段乘积相等时经常用到。
比如在一个几何图形中，已知AE = 3，BE = 4，CE = 6，求DE的长度。
根据AE× DE = BE×CE，可得DE=(BE× CE)/(AE)=(4×6)/(3)=8。
3. 母子相似三角形模型（射影定理模型）- 基本图形：在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB于点D。
则三角形ACD相似于三角形ABC，三角形BCD相似于三角形BAC，三角形ACD相似于三角形CBD。
- 性质：- 在三角形ACD与三角形ABC中，AC^2=AD× AB。
- 在三角形BCD与三角形BAC中，BC^2=BD× AB。
- 在三角形ACD与三角形CBD中，CD^2=AD× BD。
- 应用：在涉及直角三角形中的线段长度计算和比例关系证明时非常有用。
例如，在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB，AD = 2，DB = 8，求AC 的长度。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型之十字模型(教师版)
专题18全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。
在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。
本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点DE ，若折痕为PQ，则PQ的长为（）E，使5A．13B．14【答案】A在正方形ABCD中，AD∥BCA ．1个B ．2【答案】C 【分析】利用正方形的性质找条件证明到90ECD CDF ，则AH DF ，在Rt CGD △中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到∴，∴同理可得：ADH DCF △≌△∴1122HG CD AD ，即2HG ∵12HG HD CD ，∴DGH 若AG DG ，则ADG △是等边三角形，则则12CF DF ，而12CF BC模型2.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。
通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则DE BCAC AB.如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则EF BCAC AB.如图3，在矩形ABCD 中，若E 、F 、M 、N 分别是AB 、CD 、AD 、BC 上的点，且EF ⊥MN ，则EF BC MN AB .【答案】2103【分析】先证明BDF DMG △△∽再利用全等三角形的性质，即可得到答案．【详解】解：如图，连接BD 与∴90MDF DFB ，∴MDB 又∵MN BD ，∴DMG MDG 又∵90BFD DGM ，∴BDF △∵22AB 且45ABF ，∴BE 又∵4BC ，∴BF BC CF BC ∴2222622BD BF DF ∴2101063DF DG MG BF ，∴DMG BNG △≌△，∴MG NG ，(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点证：EF ADGH AB；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若EFGH值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边∵四边形ABCD 是矩形，∴∥DC ，AD ∥BC ．∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形，∴AP ＝EF ，GH ＝BQ ．又∵GH ⊥EF ，∴AP ⊥BQ ，∴∠QAT +∠AQT ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠D ＝90°，∴∠DAP +∠DPA ＝90°，∽△QAB ，∴AP AD BQ AB ，∴EF AD GH AB；模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与 的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为 ，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为 ，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
几何模型解题秘籍
几何模型解题秘籍一、几何模型解题秘籍的那些事儿咱都知道，几何模型解题那可是有不少小窍门的。
就说三角形模型吧，等腰三角形，那可是有着特殊的性质。
等腰三角形两腰相等，两底角也相等。
比如说在一个等腰三角形ABC 里，AB = AC，那角B和角C肯定是相等的。
这时候如果知道了一个角的度数，就能算出其他角的度数了。
这在解题的时候特别有用，像那种求角度总和或者角度比例的题目，要是发现了等腰三角形这个模型，就可以轻松入手啦。
还有四边形模型呢。
矩形，四个角都是直角，对边还相等。
这性质在计算矩形的周长、面积或者证明一些线段关系的时候，那就是大宝贝。
比如说有个矩形ABCD，AB = 5，BC = 3，那周长就是2×(5 + 3)=16，面积就是5×3 = 15。
要是在复杂的几何图形里能识别出矩形这个模型，就能把复杂的问题简单化。
圆形模型也不能小看。
圆的半径、直径、圆周率之间的关系那可是基础中的基础。
圆的周长公式 C = 2πr，面积公式S = πr²。
要是有个圆，半径是4，那周长就是2×π×4 = 8π，面积就是π×4² = 16π。
在一些和圆形有关的组合图形里，比如圆和三角形组合，圆和矩形组合，把圆的这些基本性质搞清楚了，解题就会容易很多。
相似三角形模型也是很重要的。
相似三角形对应边成比例，对应角相等。
要是有两个三角形相似，一个三角形的边长是3、4、5，另一个相似三角形的一条边是6，那根据相似比就能算出其他边的长度了。
这在解决一些比例问题或者间接求长度的题目里非常好用。
在做几何题的时候，我们得学会从复杂的图形里把这些几何模型找出来。
有时候可能要添加辅助线，让这些模型能更明显地呈现出来。
比如说在一个三角形里，要证明两条线段相等，可能通过添加辅助线构造出等腰三角形模型，然后利用等腰三角形的性质就能证明了。
还有就是要多做一些几何模型相关的练习题。
通过练习，我们能更熟练地掌握这些模型的性质和应用。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)17 全等与相似模型-对角互补模型(教师版)
专题17全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE OC ，③212ODCE COE COD S S S OC .2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D ，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OE －OD OC ，③212COE COD S S OC .3）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.4）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D ，结论：①CD ＝CE ，②OD －OE ＝OC ，③234COD COE S S OC.5）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC =120°，∠BPC =60°。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)07 三角形中的重要模型-等积模型(教师版)
·专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S △△；反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB //CD 。
图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、 ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:∵CG GF【答案】14.4【分析】连接BF ,,ADF BDF S S a S ABC S 的面积可表示为【详解】解：连接∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE ，S 2ABC BDC S S 3322ABC ABE S S 即3189.2a a解得【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC ，连接DA 含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB ，连接FD ，积为3S ，则3S（用含a 的代数式表示）；∵延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC ，AE 12ACD AED ECD S S S ，ACD ABC S ，22ECD ABC S S a ，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S ，22S S a ，2BFD S a ，3ECD EFA S S S S ∵点E 是线段AD 的中点，1BCE ABC S ．∥，连接AE、BE 作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
2024年中考复习-专题14 几何综合六种模型(解析版)
专题14几何综合六种模型通用的解题思路：题型一：两垂一圆构造直角三角形模型平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC为直角三角形分类讨论:若∠A=90°,则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外);若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型分类讨论:若AB=AC,则点C在以点A为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN 以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节题型三：胡不归模型【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值.2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC =，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：12 全等模型-角平分线模型(学生版)
专题12全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB 的角平分线、CA OA 于点A 时，过点C 作CA OB .结论：CA CB 、OAC ≌OBC .图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC 中，90C ，AD 为CAB 的角平分线，过点D 作DE AB .结论：DC DE 、DAC ≌DAE .（当ABC 是等腰直角三角形时，还有AB AC CD .）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ；②AD BE ；③2OA OB AD .例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC 中，AD 平分,.BAC DE AB 若2,1,AC DE 则ACD S ____．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，ABC 中，ABC 、EAC 的角平分线BP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM BE ，PN BF ，则①CP 平分ACF ；②2180ABC APC ；③2ACB APB ∠∠；④PAC MAP NCP S S S △△△．上述结论中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①②③④例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABDC 中，90D ABD ，点O 为BD 的中点，且OA 平分BAC ．(1)求证：OC 平分ACD ；(2)求证：OA OC ；(3)求证：AB CD AC ．例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP 平分∠AOB ，∠DCE 的顶点C 在射线OP 上，射线CD 交射线OA 于点F ，射线CE 交射线OB 于点G ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系；（2）如图2，若∠AOB =120°，∠DCE =∠AOC ，试判断线段CF 与CG 的数量关系，并说明理由．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB 的角平分线，AB OC ，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB 是等腰三角形、OC 是三线合一等。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A ”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、CD ；结论：①A B C D ∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC +<+。
8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD ；结论：2∠P =∠B +∠D例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段,AB CD 相交于点O ，连接,AC BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：A C B D ∠+∠=∠+∠；(2)如图2，若CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与,CD AB 分别相交于点M N 、．①若100,120B C ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数；②若角平分线中角的关系改为“11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠”，试探究P ∠与,B C ∠∠之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110︒；②()123P B C ∠=∠+∠【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据角平分线的定义得到CAP BAP ∠=∠，BDP CDP ∠=∠，再根据“8字形”得到,CAP C CDP P BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，两等式相减得到C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P B C ∠=∠+∠，即可求解．②根据11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，可得23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得()2C P P B ∠-∠=∠-∠，即可求解．【详解】（1）证明：在AOC 中，180A C AOC ∠+∠=︒-∠，在BOD 中，180B D BOD ∠+∠=︒-∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）解：①∵CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，∴,CAP BAP BDP CDP ∠=∠∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠①，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠②，由-①②，得：C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P C B ∠=∠+∠，∵100,120B C ∠=︒∠=︒，∴()11001201102P ∠︒=︒︒=+；②∵11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，∴23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠，∴()111333C P BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，()222333P B BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，∴()2C P P B ∠-∠=∠-∠，∴()123P B C ∠=∠+∠），故答案为：()123P B C ∠=∠+∠．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．【答案】(1)AD BC AB CD +>+；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE BE AB +>，CE ED CD +>，两式相加即可得出结论；（2）根据SAS 证OEP OFP △≌△即可得出结论；（3）在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F ，证APE APC ≌，即PC PE =，同理证CD DE =，然后同理（1）得PB CD PC BD +>+，变形不等式即可得出结论．【详解】（1）解：AD BC AB CD +>+，理由如下：AE BE AB +> ，CE ED CD +>，AE BE CE ED AB CD ∴+++>+，即AD BC AB CD +>+；（2）证明：OC 平分AOB ∠，EOP FOP ∴∠=∠，在OEP 和OFP △中，OE OF EOP FOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OEP OFP SAS ∴ ≌，PE PF ∴=；（3）证明：在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F，AD 是BAC ∠的角平分线，EAP CAP ∴∠=∠，在APE V 和APC △中，AE AC EAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()APE APC SAS ∴ ≌，PE PC ∴=，同理可证DE DC =，EF PF EP +> ，BF FD BD +>，EF PF BF FD EP BD ∴+++>+，即PB DE EP BD +>+，PB CD PC BD ∴+>+，PB PC BD CD ∴->-．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论A B C D ∠+∠=∠+∠．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论AOC A C P ∠=∠+∠+∠．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：()12P B D ∠=∠+∠．(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，若30B ∠=︒，20D ∠=︒，求P ∠的度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)①25︒；②()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③()190+2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得1234∠=∠∠=∠，，再根据题干的结论列出3214P ABC P ADC ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，，相加得到22314P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，继而得到2P ABC ADC ∠=∠+∠，即可证明结论；（2）①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，根据（1）的结论得到()1252H B D ∠=∠+∠=︒，再由角平分线的定义和平角的定义证明90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，再根据题干的结论可推出25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，则由四边形内角和定理可得()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，由角平分线的定义得到1122BAP BAO BCP BCE ==∠，∠，再求出1902BCP BCD =︒-∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，由此可得()1902P B BAP BCP B D =++=︒++∠∠∠∠∠∠．【详解】（1）解：∵AP CP 、分别平分BAD BCD ∠∠、，∴1234∠=∠∠=∠，，∴2314∠+∠=∠+∠，由题干的结论得：32P ABC ∠+∠=∠+∠，∠14P ADC +∠=∠+∠，∴21324P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∴2P ABC ADC ∠=∠+∠，∴()12P ABC ADC ∠=∠+∠，即()12P B D ∠=∠+∠；（2）解：①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()1252H B D ∠=∠+∠=︒，∵PC HC ，分别平分BCE BCD ∠，∠，∴1122BCP BCE BCH BCD ==∠，∠，∵180BCD BCE ∠+∠=︒∴119022BCP BCH BCD BCE +=+=︒∠∠∠∠，∴90PCH ∠=︒，同理可得90PAH ∠=︒，由题干的结论可得P PAH H PCH +=+∠∠∠∠，∴25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，∴()13601802P PAH PCH H B D =︒---=︒-+∠∠∠∠∠∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，∵AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，∴1122BAP BAO BCP BCE ==∠∠，∠∠，∵180BCE BCD =︒-∠∠，∴1902BCP BCD =︒-∠∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，∴BAO D BCD B =+-∠∠∠∠，∴P B BAP BCP =++∠∠∠∠119022B BAO BCD =++︒-∠∠1111902222B D BCD B BCD =++-+︒-∠∠∠∠()1902B D =︒++∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A ”字模型结论：①∠3+∠4=∠D +∠E ；②∠1+∠2=∠A +180°。
初中数学48个几何模型解题技巧
初中数学48个几何模型解题技巧1.相似三角形定理：两个三角形中，三个对应的角相等，对应的边成比例。
2.相等三角形的性质：两个三角形中，三边分别相等，或者两边分别相等且夹角相等。
3.三角形中，一个内角和一边：根据一个三角形角度和一边的已知信息，可以推导出其他角度和边的关系。
4.三角形的面积计算公式：可以根据底边和高的关系来计算三角形的面积。
5.正方形的性质：四个内角都是直角，四条边相等。
6.正方形的对角线：两条对角线相等且垂直。
7.矩形的性质：四个内角都是直角，对角线相等。
8.矩形的面积：可以通过长和宽的长度相乘计算矩形的面积。
9.菱形的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分。
10.菱形的面积：可以通过对角线的乘积除以2来计算菱形的面积。
11.平行四边形的性质：对边平行，对角线互相平分。
12.平行四边形的面积：可以通过底边长度乘以高来计算平行四边形的面积。
13.梯形的性质：有两条平行边。
14.梯形的面积：可以通过上底和下底的和乘以高除以2来计算梯形的面积。
15.直角三角形的性质：有一个内角是直角。
16.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方之和等于斜边的平方。
17.直角三角形的正弦定理：直角三角形的斜边和对应的直角边之间的正弦值成比例。
18.直角三角形的余弦定理：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和减去两倍直角边的乘积。
19.直角三角形的正切定理：直角三角形的两个直角边的商等于对应的正切值。
20.平行线与横截线的性质：平行线与横截线之间的对应角相等。
21.平面镜映射的性质：物体与其镜像之间的对应角相等。
22.等腰三角形的性质：两个底角相等。
23.等边三角形的性质：三个内角都是60度。
24.角平分线的性质：角平分线可以将一个角分成两个相等的角。
25.外角的性质：外角等于其对应的内角的补角。
26.平面图形的旋转：点、线、图形按一定角度旋转后，与原来的点、线、图形相对应。
27.平行线的判定：两条直线的斜率相等即为平行线。
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式(一)
初中数学66个常考几何模型50个应用题答题公式(一)初中数学66个常考几何模型及50个应用题解答公式一、直线和角1. 直线的斜率公式斜率公式用于计算直线的斜率，即直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
斜率公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)例如，已知两点A(2, 4)和B(5, 9)，则直线AB的斜率为：k = (9 - 4) / (5 - 2) = 5 / 32. 同位角公式同位角公式用于计算同位角的性质。
当两条直线被一条截线相交时，同位角相等。
例如，直线l1和直线l2被直线l相交，角1和角2为同位角，则有：角1 = 角23. 对顶角公式对顶角公式用于计算对顶角的性质。
当两条直线被一条截线相交时，对顶角互为补角。
例如，直线l1和直线l2被直线l相交，角1和角2为对顶角，则有：角1 + 角2 = 180°二、平行线和三角形1. 平行线的性质公式平行线的性质公式包括平行线定理和平行线的判定定理。
平行线定理表示若两条直线与一直线交叉，使得同位角或内错角互为补角，则这两条直线平行。
平行线的判定定理表示若两条直线的斜率相等且至少有一对对应角相等，则这两条直线平行。
2. 三角形的内角和公式三角形的内角和公式表示三角形三个内角的和等于180°。
例如，对于任意三角形ABC，其内角A、B和C满足：角A + 角B + 角C = 180°三、相似三角形和勾股定理1. 相似三角形的性质公式相似三角形的性质公式包括AAA相似定理、AA相似定理和SAS相似定理。
AAA相似定理表示若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
AA相似定理表示若两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
SAS相似定理表示若两个三角形的一个角相等，两个对边比值相等，则这两个三角形相似。
2. 勾股定理勾股定理用于计算直角三角形的边长关系。
设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则有：c^2 = a^2 + b^2例如，已知直角三角形的一条直角边长度为3，另一条直角边长度为4，则斜边的长度为：c = sqrt(3^2 + 4^2) = 5以上是初中数学66个常考几何模型和50个应用题的一些解答公式的列举和说明。
专题02求最值中的几何模型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
专题02求最值中的几何模型题型解读｜模型构建｜通关试练模型01将军饮马模型将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型.在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短；③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识.模型02建桥选址模型建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法.该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径.模型03胡不归模型胡不归PA+k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA+PB”之和最短问题，可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理.当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分为两类研究.即点P在直线上运动和点P在圆上运动.其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题.模型01将军饮马模型考｜向｜预｜测将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主.本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.｜｜｜（1）点A、B在直线m两侧两点连线，线段最短∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．（2）点A、B在直线同侧例2.（2022·安徽）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q 分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（）A．6B．C．3D．【答案】D【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，模型02建桥选址模型考｜向｜预｜测建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．｜｜｜（1）两个点都在直线外侧：辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.例1．（2022·湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．求PD+PQ+QE的最小值为．【答案】4．【详解】如图，连接,PA QB ，BCE Q V 和ADC 都是等边三角形，60BCE ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，1302ACE ACB BCE ACD ∴∠=∠-∠=︒=∠，CE ∴垂直平分AD ，PA PD ∴=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE ∴=，PD PQ QE PA PQ QB ∴++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．（2）一个点在内侧，一个点在外侧：辅助线：过点B 作关于定直线n 的对称点B’，连接AB’交直线m 、n 于点P 、Q ，则PA +PQ +QB 的最小值为AB’.例2．（2023·山东）如图，在ABC 中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC 中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC △的周长的最小值为_________．【答案】10【详解】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．（3）如图3，两个点都在内侧：辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’、B’，连接A’B’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’B’.例3．（2023.浙江）如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．点P、Q分别是OA、OB 上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是．【答案】4【详解】解：如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP＝N′P，作点M关于OB的对称点M′，则MQ＝M′Q，∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，当N′M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°则∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∠BOM′＝∠BOA＝50°，∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，先作射线ON'与射线ON关于OA对称，由对称的性质可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，同理作射线OM'与射线OM关于OB对称，同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，当N'、P、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，则∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，作N'垂直OM'的延长线交于点E，∴∠EON'＝60°，∴ON'＝ON＝4，在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE＝2，则EN'＝2，OM＝OM'＝12，∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，则N′M＝＝＝4．故答案为：4．模型03胡不归模型考｜向｜预｜测胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握.在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短.｜｜｜第一步：构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；第二步：借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；第三步：利用“垂线段最短”原理构造最短距离；第四步：数形结合解题例1．（2023·江苏）如图，ABCD Y 中，45DAB ∠=︒，8AB =，3BC =，P 为边CD 上一动点，则22PB PD +的最小值等于．【答案】42【详解】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB CD ∥，∴∠EDP =∠DAB =45°，∴2sin 2EP EDP DP ∠==，∴22EP PD =，∴22PB PD PB PE +=+，∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵2sin 2BE A AB ∠==，∴22=8=4222BE AB =⨯，故答案为：42．1．（2023·江苏扬州）如图所示，军官从军营C 出发先到河边（河流用AB 表示）饮马，再去同侧的D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：由选项D 中图可知：作D 点关于直线AB 的对称点D ¢，连接CD '交AB 于点N ，由对称性可知，DN D N '=，CN DN CN D N CD ∴+=≥''+，当C 、N 、D ¢三点共线时，CN DN +的距离最短，故选：D2．（2023.浙江）如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF=.【答案】∠ECF ＝30º【详解】过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，如图所示：∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60º，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝∠ACB ＝30º.故答案为30°3．（2022·安徽）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB ＝30°，P （5，0），在OB 上找一点M ，在OA 上找一点N ，使△PMN 周长最小，则此时△PMN 的周长为．【答案】5【详解】作点P 关于OB 的对称点C ，作P 点关于AO 的对称点D ，连接CD 交OA 于N ，交OB 于M ，连接MP ，NP ，OC ，OD ，∴CM ＝MP ，NP ＝DN ，∴PM +PN +MN ＝CM +MN +DN ≥CD ，∴当C 、M 、N 、D 点共线时，△PMN 的周长最小，∵∠BOA ＝30°，OP ＝OC ＝OB ，∴∠COD ＝60°，∴△OCD 是等边三角形，∴CD ＝OP ，∵P （5，0），∴OP ＝5，∴CD ＝5，∴△PMN 的周长最小值为5，故答案为：5．4．（2023·广东）如图，在Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，AC 9=，BC 12=，15AB =，AD 是BAC ∠的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是．【答案】365【详解】解：如图，作Q 关于AP 的对称点O ，则PQ=PO ，所以O 、P 、C 三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ ，此时PC+PQ 有可能取得最小值，∵当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO ∴PC+PQ 的最小值即为CM 的长度，∵1115922ABC S AB CM AC CB CM =⨯=⨯∴=⨯ ，∴CM=91236155⨯=，即PC+PQ 的最小值为3655．（2023·江苏）如图，高速公路的同一侧有A ，B 两城镇，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AC =，4km BD =，8km CD =．要在高速公路上C ，D 之间建一个出口P ，使A ，B 两城镇到P 的距离之和最小，则这个最短距离为．【答案】10km【详解】解：如图所示：作A 点关于直线MN 的对称点A '，再连接A B '，交直线MN 于点P ，则此时AP PB +最小，过点B 作BE CA ⊥交延长线于点E ，∵2km AC =，4km BD =，8km CD =．∴m 422k AE =-=，4km AA '=，A．42B8．（2023·四川）如图，在的最小值是（）A ．6B 【答案】D 【详解】解：过点C 作射线在t R DFC △中，DCF ∠∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=在t R ABC 中，90A ∠=9．（2023·湖南）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；(2)几何拓展：如图3，ABC 中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．由勾股定理得，BA BA '=∵E 是AB 的中点，∴122BE BA ===，∵90C ∠=︒，2AC BC ==则2C A CA '==，C AB '∠60C AC '∴∠=︒∴C AC '△为等边三角形，∴30AC N '∠=︒，11AN C A '==10．（2023·陕西）在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．问题提出：(1)如图1所示，已知A ，B 是直线l 同旁的两个定点．在直线l 上确定一点P ，并连接AP 与BP ，使PA PB +的值最小．问题探究：(2)如图2所示，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接EP 和BP ，则PB PE +的最小值是___________；问题解决：(3)某地有一如图3所示的三角形空地AOB ，已知45AOB ∠=︒，P 是AOB 内一点，连接PO 后测得10PO =米，现当地政府欲在三角形空地AOB 中修一个三角形花坛PQR ，点Q R ，分别是OA OB ，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求PQR 周长的最小值．（2）解：如下图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由题意易得：PB PE +当D 、P 、E 共线时，在由轴对称性质可得，OM ∴2MON AOB ∠=∠=在Rt MON △中，MN 即PQR 周长的最小值等于A ．22B ．4【答案】A 【详解】解：连接CD ，设,CD∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∴当CG 取得最小值时，CD ∵()05E ,，()5,0F -，∴OE ∴此时CGE 是直角三角形，且∵2EG =,∴2CG =，∴ 故选：A ．2．（2023·上虞市）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【详解】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．115．（2023·湖北）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为．【答案】18【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM =PC ，∴满足PC +PB 最小即可，显然，当P 、B 、C 三点共线时，满足PC +PB 最小，如图所示，此时，P 点与D 点重合，PC +PB =BC ，∴△PMB 周长最小值即为BC +BM ，此时，作DS ⊥AB 于S 点，DT ⊥AC 延长线于T 点，AQ ⊥BC 延长线于Q 点，由题意，AD 为∠BAC 的角平分线，∴DS =DT ，∵1122ACD S AC DT CD AQ == ，1122ABD S AB DS BD AQ == ，∴11221122ABD ACD AB DS BD AQ S S AC DT CD AQ == ，即：AB BD AC CD =，∴763AB =，解得：AB =14，∵AM =AC =6，∴BM =14-6=8，∴△PMB 周长最小值为BC +BM =3+7+8=18，故答案为：18．PMN【答案】3【详解】如图，作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长．∵点P 关于OA 的对称点为C ，∴PM=CM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为D ，∴PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB ，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【答案】229Rt Rt CEF ADC ∽ ，且CE 282,CF AC EF DC ∴===，∴BE EF BF +≥ ，∴当B 、E 、90FCA ∠=︒ ，90ACG ∴∠=︒4BG AC ∴==，2GC AB ==，2222410BF BG FG ∴=+=+【答案】18【详解】作BB '垂直于河岸，使河岸，过点A 作⊥AC 则MN BB '∥且MN BB =当AM MB AB '+=时，∵12AC =（米），BC ∴在Rt AB C '△中，AB ∴AM MN NB ++的最小值为：11．（2023·广东）如图所示，已知O 为坐标原点，矩形ABCD （点A 与坐标原点重合）的顶点D 、B 分别在x 轴、y 轴上，且点C 的坐标为()4,8-，连接BD ，将ABD △沿直线BD 翻折至A BD ' ，交CD 于点E ．(1)求点A '坐标．(2)试在x 轴上找点P ，使A P PB '+的长度最短，请求出这个最短距离．由折叠知，8A B OA '==，OG ∴11··22OBD S BD OG OD OB == ∴22·4848OD OB OG BD ⨯===+1653216,55A ⎛⎫∴--' ⎝'⎪⎭，(0,8)B ，∴2232168855A B ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''故A P PB '+的长度的最短距离为12．（2023·吉林）数学兴趣活动课上，小致将等腰∵4,120AB AC BAC ==∠=︒，30ABC ∴∠=︒，122AP AB ∴==，故答案为：（2）根据小致的思路作出图形，可知当PN AB ⊥时PE EF +的值最小，如图：∵30ABC ∠=︒，122AP AB ==，∴23BP =，∵1122BP AP AB PN ⋅=⋅，∴AC =，连接CK ，DK ．13．（2023·河南）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河旁边的P 点饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如图1，从B 出发向河岸引垂线，垂足为D ，在BD 的延长线上，取B 关于河岸的对称点B '，连接AB '，与河岸线相交于P ，则P 点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到P ，饮马之后，再由P 沿直线走到B ，所走的路程就是最短的．(1)观察发现如图2，在等腰梯形ABCD 中，2,120AB CD AD D ===∠=︒，点E 、F 是底边AD 与BC 的中点，连接EF ，在线段EF 上找一点P ，使BP AP +最短．作点B 关于EF 的对称点，恰好与点C 重合，连接AC 交EF 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP AP +的最小值为_______．(2)实践运用如图3，已知O 的直径1MN =，点A 在圆上，且AMN ∠的度数为30︒，点B 是弧AN 的中点，点P 在直径MN 上运动，求BP AP +的最小值．(3)拓展迁移如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，且抛物线经过()()1,00,3A C --、两点，与x 轴交于另一点B ．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线1x =上找到一点M ，使ACM △周长最小，请求出此时点M 的坐标与ACM △周长最小值．则AM DN ∥，∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AD BC ∥，BAD ADC ∠=∠∵A 关于MN 的对称点A ∴点A '在O 上，∵30AMN ∠=︒，∴260AON AMN ∠=∠=∵点A 关于MN 的对称点∵点A 、B 关于直线1x =对称，∴AM BM =，∴AM CM CM BM +=+，∵两点之间线段最短，∴CM BM +最小，即AM CM +∴点M 的坐标为()12-，．。
2024年中考数学常见几何模型(全国通用)相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(解析版)
专题19相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8(X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A ”字模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC .2）反“A ”字模型条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD∵四边形ABCD 是菱形，8BD ，∴AB ∵1242ABCD S AC BD 菱形，∴6AC ∵BE BF CG AH ，∴AE CF 【答案】(1)见解析(2)AF FG 【分析】（1）证明AE AB例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD 是ABC 的高．8,6BC AD ，那么EH 的长为____________．【答案】245##4.8例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF ∥交DE 于点G ，求证：DG EG ．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3 CG DE CD AE ，求DE BC的值．(3)如图3，在ABCD 中，45, ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ， EF EG 交BC 于点F ．若40, EGF FG 平分,10 EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5 【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG ，CG DE ，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DE BC 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，∴, DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF．∵BF CF ，∴DG EG ．(2)解：由（1）得DG EG ，∵CG DE ，∴6CE CD ．∵3AE ，∴9AC AE CE ．∵DE BC ∥，∴ADE ABC ．∴13DE AE BC AC ．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．在ABCD 中，,45 BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得 ME GE ，∵ EF EG ，∴10 FM FG ，∴ EFM EFG ．∵40 EGF ，∴40EMF ，∴50EFG ．∵FG 平分EFC ，∴50 EFG CFG ，∴18030 BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN 中，sin 305,cos30 MN FM FN FM∵45, MBN MN BN ，∴5 BN MN ，∴5 BF BN FN 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．例5.（2023•安庆一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB ．（1）若点D 是边BC 的中点，且BE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；（2）若AD ⊥BC 于D ，且BD ＝CD ，求证：四边形AEDF 是菱形；（3）若AE ＝AF ＝1，求+的值．【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE 是△ABC 的中位线，进而可得DE ＝FC ，同理可得DF ＝BE ，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF 是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD ＝∠CAD ，然后利用平行线的性质可得∠EDA ＝∠CAD ，从而可得∠BAD ＝∠EDA ，进而可得EA ＝ED ，即可解答；（3）根据A 字模型相似三角形可知△BED ∽△BAC ，△CDF ∽△CBA ，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵点D 是边BC 的中点，DE ∥CA ，∴点E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝AC ，∵点D 是边BC 的中点，DF ∥AB ，∴点F 是AC 的中点，∴FC ＝AC ，∴DE ＝FC ，同理可得：DF ＝BE ，∵BE ＝FC ，∴DE ＝DF ；（2）证明：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠EDA ，∴EA ＝ED ，∴四边形AEDF 是菱形；（3）∵DE ∥CA ，∴∠EDB ＝∠C ，∵∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BAC ，∴＝，∵DF ∥AB ，∴∠B ＝∠FDC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CDF ∽△CBA ，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四边形AEDF 是平行四边形，∴DE ＝AF ，DF ＝AE ，∵AE ＝AF ＝1，∴DE ＝DF ＝1，∴+＝1，∴+的值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A 字模型相似三角形的关键．模型2.“X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC.3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB ，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB ，∴6AD BC AB ，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC ，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC，∴12EF AE BF BC ，192ABE S AE AB ，∴13EF BE ，∴133AEF ABE S S ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（）A ．DH CH FH BHB ．GE CG DF CBC ．AF HG CE CGD ．=FH BF AG FA例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O 是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ，求AD BC的值；（2）若2,3DE OE ，求CD 的长．例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12 S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC ，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2 OG GH ，若56OE OA ，求12S S 值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ，，则66OA m OM n ，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ，32n BN MN ON OM ，则9OB ON BN n ，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠，211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ；∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠，211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ；∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，∵EF CD ∥，∴∠ODC =∠OFE ，∠OCD =∠OEF ，又∵OE =OC ，∴△OEF ≌△OCD （AAS ），∴OD =OF ，∵EF AM ∥，∴△OEF ∽△OAM ，∴5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ，，则66OA m OM n ，，∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，∴HN AM EF ∥∥，∴△OGF ∽△OHN ，∴OG OF OH ON ，∵OG =2GH ，∴23OG OH ，∴2=3OG OF OH ON ，∴31522n ON OF ，32n BN MN ON OM ，∴9OB ON BN n ，由（2）可知125525=6954S OC OD m n S OA OB m n ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．模型3.“AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF 2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF .3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（）A ．AD AE DB EC B ．DE DF BC FC C ．DE AE BC ECD ．EF AE BF AC【答案】C例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，AC 与BD 交于点O ，,OA OD ABO DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作//EF CD ，交BD 的延长线于点F ．（1）求证AOB DOC △≌△；（2）若2,3,1AB BC CE ，求EF 的长．例3.（2022·重庆九年级期中）如图，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF .证明：∵AB ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，∴EF AB ＝DF DB.又∵EF ∥CD ，∴△BEF ∽△BCD .∴EF CD ＝BF BD.∴EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BF BD ＝BD BD ＝1.∴1AB ＋1CD ＝1EF.例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．【分析】（1）由OE ⊥BC ，DC ⊥BC ，可知EO ∥CD ，且OB ＝OD ，可得结论；（2）由△DFO ∽△DAB ，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF ∥OB 交OC 于点F ，连接EF ，可知△ODF 是等腰三角形，得DO ＝DF ＝8，由△DMF ∽△EMO ，可得EM ＝，由△DMN ∽△DOE ，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴O 是AC 中点，AB ⊥BC ，∵OE ⊥BC ，∴OE ∥AB ，∴E 是BC 中点，∴OE ＝；（2）证明：∵EF ∥AB ，∴△DFO ∽△DAB ，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练1.（2021·山东淄博·中考真题）如图，,AB CD 相交于点E ，且////AC EF DB ，点,,C F B 在同一条直线上．已知,,AC P EF r DB q ，则,,p q r 之间满足的数量关系式是（）A ．111r q pB ．112p r qC ．111p q rD ．112q r pA ．43AC ，123BD B ．【答案】D 【分析】过点B 作BO AD ∥交AC 理求出BO 的长，进而可求出AC 【详解】过点B 作BO AD ∥交∵AC AD ，BO AD ∥，∴DAC ∵AED OEB ，∴AED ∽∵3DE BE ，∴13EO BO AE DA ．∵AB AC ，75ACB ，∵ 在Rt AOB △中，22BO AO AB A ．41cmB ．57cmC ．【答案】C 【分析】设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 三角形的性质可得ADE ABC ∠∠，从而可得DEAD AE ∵，AB AC ， AD DAE BAC ∵，ADE △AF DE ∵，BC AF ，在Rt BAH 中，50cm AB 282cm BC BH ，B ，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm【答案】B 【分析】求出△AOB 和△COD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB ，再根据外径的长度解答．【详解】解：∵OA ：OC =OB ：OD =3，∠AOB =∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB ：CD =3，∴AB ：3=3，∴AB =9（cm ），∵外径为10cm ，∴19+2x =10，∴x =0.5（cm ）．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB 的长．5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC ，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC 所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABCS DE S BC ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．【答案】6【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出AEH △的高，可得出AM EH AD BC，再将数据代入即可得出答案．【答案】2【分析】过D 作DH 其次利用CDG CBD ∽案．∵在Rt ABC 中，AC BC 又∵2BD AD ，∴AD 在Rt CHD 中，CD CH ∵DG AE ∥，∴CFE8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12 ．若4BC ，2AF ，3CF ，则EF ______．【答案】85【分析】易证△AEF ∽△ABC ，得EF AF BC AC 即EF AF BC AF CF即可求解．【详解】解：∵∠1=∠2，∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF AF BC AC ，即EF AF BC AF CF∵4BC ，2AF ，3CF ，∴2423EF ，∴EF =85，故答案为：85．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE ，BD 与CE 相交于点F ，若DEF 的面积是3，则BCF △的面积是______．【答案】27【分析】根据矩形ABCD 的性质，很容易证明DEF ∽BCF △，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出BCF △的面积．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD BC ，AD BC ∥EDF CBF ，EFD CFB ∵，EDF CBF DEF ∽BCF △，2AE DE ∵，AD BC ，DE ：1BC ：3，DEF S ：2BCF S DE ：2BC ，即3：1BCF S ：9，27BCF S ．故答案为：27．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD ＝BG ：GE ＝CG ：GF ＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为_____．【答案】18【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．【详解】解：∵CG ：GF ＝2：1，△AFG 的面积为3，∴△ACG 的面积为6，∴△ACF 的面积为3+6＝9，∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积＝△BCF 的面积，∴△ABC 的面积为9+9＝18，故答案为：18．【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB 远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O 处，对其视线可及的P ，Q 两点，可测得POQ 的大小，如小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a ，m BC b ；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m，m 3b CN ；测得m MN c ．求解过程：（ⅱ）用皮尺测得mBC a．求解过程：由测量知，在过点C作CD AB，垂足为D．在Rt CBD△即cosBDa，所以cosBD a．同理，CD【答案】（1）13；（2）见解析；（3）94【分析】（1）由折叠性质可知DE CD，利用等面积求出（2）添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；（2）方法一：延长CF∵FA FB ，BFM AFC ，∴ BFM AFC SAS ≌．∴AC BM ，M ACF ，∴BM AC ∥，∴MBG CDG ，∴MBG CDG ∽，∴DG CD BG BM ，∴44339DG BG(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设4AB ，若AEB DEB ，求四边形BDFC 的面积．【答案】1CF BD ，理由见解析(2)①成立，理由见解析②4366 ∴60,ADG ABC ∴ADG △为等边三角形，∴60,60ADG ABC AGD ACB ，GDF CEF ，∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ，∵AD CE ，AD AB AG AC ∴DG CE ，BD CG ，又DFG CFE ，∴ AAS DGF ECF ≌，∴12CF FG CG ，∴②过点D 作∥DG BC ，交AC 的延长线于点∴MC •CD =MD •CN CD =AB CE【答案】问题背景：见解析；尝试应用：22；迁移拓展：m 【分析】问题背景：根据EF BD ∥，EG CD ∥，推出,AFE ABD AEG ADC ∽∽，根据对应边成比例即可得到结论；尝试应用：延长EM 至D ，使得EM MD ，连接DB DC ，，证得四边形形，得到,,,BD EC EF BD BE DC EG DC ∥∥，由图（1）得，EF EG BD DC ＝，即可得到EF EG 得到22EF EG ；迁移拓展：过点E 作MN BC ∥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，得到∵AM 是ABC 的中线，∴MB MC ，∵EM MD ，∴,,,BD EC EF BD BE DC EG DC ∥∥，由图（1）得，EF EG BD DC ＝∴EF EG EC BE ，∴EF EC EG BE 迁移拓展：如图（3），过点E 作MN BC ∥，交AB 于点∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB BAC ∵MN BC ∥，∴AMN ∴,AM AN BM CN ∴又∵120CEB CEN(3)【答案】(1)12(2)见解析(3)【分析】（1）证明AEB△∽△（2）证明AEB CBF∽（3）设EG ED x，则【详解】（1）解：由题知，若13ED ，则AE AD17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF ＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求ANND的值．【答案】(1)见解析(2)2737(3)27【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌△ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的中点，即可证明结论；(2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AMBM BC，求出AN 的长，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF ＝∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BCBC BM，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．(1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ，∴AM BM ，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ，∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC ，∴92342AN ，∴7162AN ，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ；(3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，∴CE BC BC BM ，∴344BM ，∴163BM ，∴162633AM AB BM ，由（2）同理得，AN AMBM BC，∴231643AN，解得：AN＝89，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣89＝289，∴8292879ANND．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：a ca b c d而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得 22ADE ABC S a S a b ．根据上述这两个式子，可以推出：22ADE ABC S a a a a c acS a b a b a b c d a b c d a b ．（2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：ADE ABC S acS a b c d ？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABD ADCBD AHS BD S DC DC AH ．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADEABCS S ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADEABCS S ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用：32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S ,根据题意，进而得出152ADE S,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S．【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB ∽,∴a cc d a b，∴22()()ADE ABC S b a S c a c acc d a b c d a d ；探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM aAB BN a b,121()()2ADE ABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADEABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADEABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ;结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ,∵AM =DM ,MN AF ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性【答案】【问题发现】3；【操作探究】sin MN PQ m ；【解决问题】15．【问题发现】由90ANM AQP C ，30A ，得12MN AM ，12PQ AP AM BP ，则1113222MN PQ AM BM AB，于是得到问题的答案．【操作探究】由90ANM AQP C ，A A ，可证明AMN ABC △∽△， MN AM PQ AP PQ MB∵四边形ABCD是菱形， ，BO BC AB AD8，COBOC90，∵，AM BN AD BC20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），ABC 中，AB AC ，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE DB ，延长ED 交AB 于点F ，探究AFAB的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当60BAC 时，直接写出AFAB的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC 中，AB AC ，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点， 12CG n BC n，延长BC 至点E ，使DE DG ，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AFAB的值（用含n 的式子表示）．【答案】(1)[问题提出]（1）14；（2）见解析(2)[问题拓展]24n 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得30ADF ADB ，90AFD ，根据含30度角的直角三角形的性质，可得111,222AF AD AD AC AB，即可求解；（2）取BC 的中点H ，连接DH ．证明DBH DEC △≌△，可得BH EC ，根据DH AB ∥，证明EDH EFB △∽△，根据相似三角形的性质可得32FB EB DH EH ，进而可得14AF AB ；[问题拓展]方法同（2）证明DBH DEC △≌△，得出，GH EC =，证明EDH EFB △∽△，得到2+2FB EB nDH EH ，进而可得AF AB24n．(1)[问题探究]：（1）如图，∵ABC中，AB AC，D是AC的中点，60BAC，ABC是等边三角形，12AD AB30ABD DBE，60A，DB DE，30E DBE，180120DCE ACB∵，18030ADF CDE E DCE，60A∵，90AFD，12AF AD，1124ADAFAB AB．（2）证明：取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH AB∥，12DH AB．∵AB AC，∴DH DC，∴DHC DCH．∵BD DE，∴DBH DEC．∴BDH EDC．∴DBH DEC△≌△．∴BH EC．∴32EBEH．∵DH AB∥，∴EDH EFB△∽△．∴32FB EBDH EH．∴34FBAB．∴14AFAB．(2)[问题拓展]如图，取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH AB∥，12DH AB．∵AB AC，∴DH DC，∴DHC DCH．∵DE DG，∴DGH DEC．∴GDH EDC．∴DGH DEC≌．∴GH EC=．HE CG∵12CG nBC nBC nCG1BG n CG，1111222nCE GH BC BG nCG n CG CG∴1221+22nCGEB BC CE n nEH EHn CCGG．∵DH AB∥，∴EDH EFB△∽△．∴2+2FB EB nDH EH．∴24FB nAB．∴42244AF n nAB．AFAB24n．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．(1)求证：BE CF ．(2)当56AB FH ，AD 【答案】(1)见解析(2)6EF 【分析】（1）根据等边对等角得出GFE 可证明 AAS ABF DCE ≌，根据全等三角形的性质得出（2）根据CD FH ∥，得出DCE △△根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵FH EF ，GE ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ，∴ AAS ABF DCE ≌，∴BF CE ，【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
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中考几何模型解题法 研修课论文 宋海平第一讲 以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。
第二讲 弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。
本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。
第三讲 在熟悉A 字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。
第四讲 中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。
本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。
第五讲 几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。
本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。
第六讲 本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。
培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。
一、角平分线模型一、 精讲精练【模型一】夹角模型OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的角平分线，则：∠AOC=90°+12∠B ．BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACD 的角平分线，则：∠P=12∠A ．AD 、CD 分别是∠EAC 、∠FCA 的角平分线，图1则： ∠D=90°-12∠B ．1. 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ．2. （2011湖北黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP =_______________.3. （2011年山东临沂）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、CD 分别是两个外角的平分线.（1）求证：AC =AD ；（2）若∠B =60°，求证：四边形ABCD 是菱形.FE DC B A【模型二】角平分线加垂直AB ⊥AC ，AB =AC ，CE 是∠ACB 的平分线，BE ⊥CE ，则: BE =12CF ．AC图2O FECBABAN4. （2011大连）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时（如图1），①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）．【模型三】角平分线加平行线OP 是∠MON 的角平分线，AB ∥ON ， 则：OA=AB ．5. （2011江苏宿迁）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E恰在AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度是 _____cm ．ED CBA6. （2011山东滨州）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.【模型四】四边形对角互补模型∠A +∠C =180°，BD 是∠ABC 的平分线， 则:AD =CD ．7. （2011年山东临沂前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G .（1）求证：EF =EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．弦图模型。
一、 知识提要图2EABCDFG图1GFD CBE(A )1. 弦图基本模型 模型一：cba模型二：2. 弦图模型之变形二、 专项训练【板块一】弦图基本模型1. 如图，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：22AC AEBC CE．2. 如图，梯形ABCD 中，AB //DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ．若BC =12，DC=7，ca bBE：EC=1：2，则AB的长为____________．3.在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.【板块二】弦图模型之变形4.（2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为.5.（2011锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．66.（2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．1111相似基本模型三、知识提要1.相似基本模型1：“A”字型相似及其变形2.相似基本模型2：“8”字型相似及其变形四、专项训练1.四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则内接正方形边长EF=______.2.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（）A .B.C.3D .3.如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD 于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（）A.5：3B.3：5C.4：3D.3：44.如图，在平行四边形ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：AB等于（）A.1：3B.1：4C.2：5D.3：85.如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=27，且BD=5，则DE等于_________.6.已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF.7.已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点，求证：MD：ME＝ND：NE.巧用轴对称解线段和差最值【板块一】线段和最小1. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A．B ．C．3 D2. 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小时，则∠AMN + ∠ANM 的度数为（ ）A . 100°B . 110°C . 120°D . 130°N ME D CB A3.如图， 在锐角△ABC 中， AB =，∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________.MD C BA4.（2011福州）已知，如图，二次函数223(0)y ax ax a a=+-≠图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线:l y x=+.（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.x5.已知四边形P ABQ在坐标系中的位置如图所示，则当四边形P ABQ的周长最小时，a= ．【板块二】线段差最大CA BE MN 6. （2009四川眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)． (3)在抛物线的对称轴上找一点M ，使MA MC -的值最大，求出点M 的坐标．大角夹半角模型原题剖析： 如图，已知在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若有∠EAF =45°，求证：BE +DF =EF ．模型提取：题型对比：1.（2008天津）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．实战训练2. （2010重庆改编）边长为2的等边△ABC 的两边AB 、AC 上有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN =60°，∠BDC =120°，BD =DC . 探究：当M 、N 分别在AB 、AC 上移动时，△AMN 的周长是否为定值？典型特例：3.如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB =120°，CD =3，设AC =x 、BD =y ，求y 关于x 的表达式．4.如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠BAC =20°．动点P 、Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持∠P AQ =100°．设BP =x ，CQ =y ， 求y 与x 之间的函数关系式.CABEFMN 图②5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起，A为公共端点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC 的交点分别为D、E（D、E不与B、C重合），设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量的取值范围．6. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求△ABC的面积．四点共圆【板块一】对角互补1.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，求证：∠ANM=∠B．3.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．【板块二】同线段同侧所张的角相等4.如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，A在BC的垂直平分线上，D在AC的垂直平分线上，且∠CAD=∠ABD，则∠ABC+∠ADC=（）A．90°B．120°C．150°D．180°5.6.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB=45°，P A：PB=5：14．则PB=_________．7.如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：∠CFD=∠CAD．。