§1.6 波函数的统计解释 量子力学课件

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波函数的统计解释

波函数的统计解释

波函数的统计解释在经典力学中,我们可以准确地跟踪粒子的位置和速度,因此可以明确地描述粒子的位置和运动。

然而,量子力学表明,在微观尺度上,粒子不能准确地同时拥有确定的位置和动量。

代替位置和动量,我们用波函数来描述粒子的状态。

波函数是一个复数函数,它包含了有关粒子的全部信息。

波函数本身并没有实际物理意义,而是通过它的平方来得到概率分布。

具体来说,波函数的模方给出了在不同位置或状态上找到粒子的概率。

设想一个简单的例子,一个自由粒子在一维空间中运动。

我们可以用一个波函数ψ(x)来描述粒子在不同位置x处的概率分布。

在这种情况下,波函数的模方,ψ(x),²表示在位置x处找到粒子的概率。

在量子力学中,我们用概率波给出了粒子的运动方式。

当我们对粒子进行测量时,波函数会坍缩到一个确定的状态上,这个状态是与测量结果相对应的。

比如,在上述自由粒子的例子中,当我们在一些位置x处进行测量时,波函数会坍缩到只在这个位置上有非零值的状态上。

这就意味着,在测量后,我们可以确定粒子在这个位置x上。

波函数的统计解释也包括了不确定性原理的概念。

根据不确定性原理,位置和动量不能同时被准确地测量。

如果我们知道粒子的位置,我们对其动量的测量将有不确定性,并且相反地,如果我们知道粒子的动量,我们对其位置的测量也将是不确定的。

这是由于波函数的局域性和不连续性导致的。

值得注意的是,波函数的统计解释并不是唯一的解释。

历史上,有多种对波函数的解释,如哥本哈根解释和波函数坍缩解释等。

而且,波函数的实际物理意义仍然是一个有待深入研究的问题。

总结起来,波函数的统计解释是量子力学中一种描述粒子概率分布的工具。

通过波函数的模方,我们可以得到粒子在不同位置或状态上的概率分布。

波函数的统计解释还涉及到不确定性原理,指出了位置和动量不能同时被准确地测量的事实。

然而,波函数的具体物理意义仍然是一个待解决的问题。

量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程

量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程

一、波函数的统计解释在量子力学中,我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态,从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。

如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。

波恩的统计解释:{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说,ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度,它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。

由于这个性质,波函数必须满足1. 是归一化的1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x(或者说是可归一化的,dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值)2. 满足波函数的标准条件:有限性(不排除在个别点上,ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。

);单值性(ψ应该是坐标和时间的单值函数,这样才能使粒子的几率密度在时刻t ,坐标x 有唯一确定值);连续性(由于几率密度应当连续,波函数和它的微商也必须连续,不排除微商在势能为无限大处不连续)。

由波函数的统计解释,对处于ψ态的一个粒子,对其坐标多次测量的平均值(期待值)是dx x 2⎰ψ是你所得到结果的平均值。

而是相反:第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰,以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。

.测量引起波函数的坍塌而x是所有测量都是对处在ψ态的粒子所进行的平均值,这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到ψ态,要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在ψ态,然后测量每个粒子的位置, x是所有结果的平均值。

(你们可以想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在ψ态(相对瓶子的中心)的粒子,每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置,一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。

计算平均值,它应该符合x。

简短而言,期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。

波函数的统计解释

波函数的统计解释
有关实验:
子弹 水波 光波
}{ 双缝衍射
子弹:P=P1+P2 波:I≠I1+I2
电子
电子:
1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度,即
(rr , t) 2
结论:
波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度(振幅绝对 值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。
数学表达: (r,t) | (r,t) |2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
2.2 测不准原理
一. 宏观粒子运动状态确定,各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动 从根本上讲不具有这种特点。
海森伯 1927年
共轭量
x px
t E
J
二.量子力学中的测量过程
1.海森伯观察实验
2.测量过程 被测对象和仪器,测量过程即相互作用过程,其影响不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时 具有确定的值
(r , t)
c(
p,
t
)
p
(r )dpx
dpy
dpz
e
p (r )
1
(2) 2 3
i pr
§2.3 态迭加原理
测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理,反映了微观粒子运动的根 本特性,是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。
经典物理中,波的迭加只不过是将波幅迭加(波幅代表实际物体的运动 等),并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加 性其实质是什么呢?

量子力学课件-波函数的统计解释

量子力学课件-波函数的统计解释

微观粒子的波-粒二象性如何理解? 微观粒子的波-粒二象性如何理解? 1.所谓的“粒子性” 是指粒子有一 1.所谓的“粒子性”, 是指粒子有一 所谓的 定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2.所谓的“波动性 是指粒子能发 2.所谓的“波动性”, 是指粒子能发 所谓的 生干涉、衍射现象;更深刻地说, 生干涉、衍射现象;更深刻地说, 波动性是微观粒子运动的统计规律 波动性是微观粒子运动的统计规律 的表现形式
nπ (x − a) A sin ψ 1( x) = 2a 0 nπ (x + a) A sin ψ 2 ( x) = 2a 0
请 问 : I 、 波 函 数 ψ 1 ( x ) 和 ψ 2 ( x )是 否 等 价 ? II 、 对 ψ 1 ( x ) 取 n = ± 2 两 种 情 况 , 得 到 的 两 个 波函数是否等价?
ψ 1 = e i2x /h , ψ 4 = −e i2x/h ,
ψ 2 = e −i2 x /h , ψ 5 = 3e − i ( 2 x + π h ) / h ,
ψ 3 = e i3x /h , ψ 6 = ( 4 + 2 i )e i 2 / h .
(2)
已知下列两个波函数: | x |≤ a | x |> a | x |≤ a | x |> a n = 1, 2, 3, L n = 1, 2, 3, L
1, 1.∫∞ C|Ψ(r,t)|2 dτ= 1, 归一化条件或平方可积条件. 此式称为波函数的归一化条件或平方可积条件 此式称为波函数的归一化条件或平方可积条件. |Ψ(r, dτ,( 归一化常数, C=1/∫∞ |Ψ(r,t)|2 dτ,(C)1/2归一化常数, Ψ(r,t)叫归一化波函数。 (C)1/2 Ψ(r,t)叫归一化波函数。 2.ω( r, t ) = C |Ψ (r,t)|2 为几率密度。

波函数的统计解释

波函数的统计解释

01
02
03
概率幅
波函数描述了一个量子系 统在特定状态下的概率幅, 即系统处于某个状态的可 能性。
概率分布
通过平方模长计算,可以 得到系统处于某个状态的 概率分布,即波函数的模 长的平方。
叠加态
当一个量子系统同时处于 多个状态时,波函数描述 了系统在各个状态下的概 率分布。
波函数的期望值和方差
期望值
通过波函数,可以描述量子纠缠现 象,以及量子纠缠在信息传递和处 理中的应用。
量子密钥分发
波函数可以用于实现量子密钥分发, 提高通信安全性。
05 结论
对波函数统计解释的理解
波函数是描述微观粒子状态的函 数,它包含了粒子的所有信息。
波函数的统计解释认为,在多次 测量中,波函数的描述是有效的, 但在单次测量中,无法确定粒子
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通过将波函数与可观测量 算符进行内积运算,可以 得到该可观测量在量子系 统中的期望值。
方差
方差描述了量子系统可观 测量的不确定性,即测量 结果偏离期望值的程度。
测量误差
由于量子系统的波动性, 测量误差与方差有关,方 差越大,测量误差越大。
波函数的测量问题
测量过程
测量不确定性
当对一个量子系统进行测量时,系统 会与测量仪器发生相互作用,导致波 函数发生塌缩。
量子纠缠是量子力学中的一种现象,指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联 ,使得它们的状态是相互依赖的。
波函数可以用来描述纠缠态,即多个粒子之间的关联状态。例如,两个自旋处于 纠缠态的粒子,一个粒子的自旋状态改变,另一个粒子的自旋状态也会立即改变 。
04 波函数的统计解释的应用
在原子和分子物理中的应用

量子力学课件完整版(适合初学者)

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2
利用
得到
E h , p k , h / 2 , 2 , k 2 / ,
d 2 2 0, 所以,t x(t ) dk m
物质波包的观点夸大了波动性的一面,抹杀 了粒子性的一面,与实际不符。
45
(2)第二种解释:认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而,电子衍射实验表明,就衍射效果 而言, 弱电子密度+长时间=强电子密度+短时间 由此表明,对实物粒子而言,波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的,它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
37
参考书目
曾谨言《量子力学》,科学出版社 周世勋《量子力学教程》,高等教育出版 社
38
量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程
39
2.1 波函数及其统计解释
40
一、自由粒子的波函数
自由粒子指的是不受外力作用,静止或匀速运动 的质点。因此,其能量E 和动量 p pe 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设,自由粒子的频 率和波长分别为
4
1.1 经典物理学的困难
5
19世纪末,物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理, 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波(包括光)是这样产生的: 带电体做加速运动时,会向外辐射电 磁波。
6
经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动; 杨氏衍射实验-确定了光的波动性; Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上; 统计力学的建立。
46
3、概率波
粒子的波动性可以用波函数来表示, 其中,振幅 ( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y,z ) 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 | ( x, y, z) |2 应该表示粒子出现在点 所以, (x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此,粒子的波函数又称为概率波。

§1.6 波函数的统计解释 量子力学课件

§1.6  波函数的统计解释 量子力学课件
§1.6 波函数的统计解释
(一)波函数 (二)波函数的解释 (三)波函数的性质 (四)自由粒子的波函数
(一)波函数
• 3个问题?
(1) 是怎样描述粒子的状态呢? (2) 如何体现波粒二象性的? (3) 描写的是什么样的波呢?
返 回§1
(二)波函数的解释
P
P
电子源
(1)两种错误的看法 1. 波由粒子组成
•玻尔(1885-1962)
1885年10月7日,出生于丹麦哥本哈根。由于对原子结构 和辐射研究的贡献,他于1912年获得了诺贝尔物理学奖。
1913年,玻尔发表了三篇论文,把核式结构模型与量子论结 合起来,解释了许多已知的实验现象,如氢原子光谱问题, 正确预言了在复杂原子中的电子必须以“壳层”形式存在, 还指出最外层电子个数决定元素的化学性质。
•海森堡(1901-1976)
德国著名的现代物理学家。1924年进入哥廷根大学深造, 先后拜师于玻尔和波恩门下。特别是在与玻尔交往的三年中, 他们经常通宵达旦地讨论问题,是他的学术水平大大提高。
1925年海森堡发表了矩阵力学理论,认为人不能够确定
某时刻电子在空间的位置,也不能在轨道上跟踪它。波恩把 它与爱因斯坦抛弃绝对时空观概念相媲美。1927年海森堡第 一次提出了“不确定关系”,指出在同一时刻以相同的精度 测定粒子的位置与动量是不可能的,只能精确确定两者之一。 由于海森堡的重大贡献,他被世人认为是量子力学的重要创 始人之一,而“不确定关系”也成为量子力学基本原理之一, 他因此于1932年荣获诺贝尔物理学奖。他那种勇于创新、大 胆思维的科学精神很值得后人学习。
普朗克的一生在科学上提出了许多创见,但贡献最大的还 是1900年提出的量子假设。他指出,辐射过程不是连续的 而是以最小的分量一份一份地放射出来,这个最小能量

高二物理竞赛课件:波函数及其统计解释

高二物理竞赛课件:波函数及其统计解释
两部分概率幅的叠加就会产生干涉。 微观粒子的波动性,实质上就是概率幅的 相干叠加性。衍射图样是概率波的干涉结果。
4、统计解释对波函数提出的要求 根据波函数的统计解释,它应有以下性质:
1)有限性:在空间任何有限体积元V中找到
粒子的概率 ( Ψ 2 dV ) 必须为有限值。
V
归一化:在空间各点的概率总和必须为1。
在空间各处出现的概率呢?
Postulate1: 概率波与概率幅
一、对物质波的理解,概率波的概念
德布罗意:物质波是引导粒子运动的“导波”。 — 本质是什么,不明确。
薛定谔:波是基本的,电子是“物质波包”。 —夸大了波动性,抹煞了粒子性。
通过电子衍射可以在空间不同方向上观测到波包的 一部分,如果波代表实体,那就意味着能观测到电 子的一部分,这与显示电子具有整体性的实验结果 矛盾。
波函数及其统计解释
波函数及其统计解释
1、波函数(wave function)
量子力学假定:微观粒子的状态用波函数 表示。
平面简谐波函数: y = Acos( t-kx)
复数表示: y Ae i( t kx)
概率波波函数:一维
Ψ(x,
t)
,三维
Ψ(r , t)
2、波函数的统计解释
物质波是“概率波”,它是怎样描述粒子
(2)光波
只开上缝光强 I1 只开下缝光强 I2
双缝齐开 I12 I1 I2 通过上缝的光波用 A1( x)ei t 描述
通过下缝的光波用 A2 ( x)ei t 描述 双缝 齐开时的光波为 ( A1 A2 )ei t
光强为 I12 A1 A2 2 A1 2 A2 2 A1* A2 A1 A2*
波包总要扩散,而电子是稳定的。

波函数及其统计解释

波函数及其统计解释
5
动量分布概率(1)
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如,zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。?) 的|2eip动|r /量(x,,y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )

(r )d
3r
,

力学量用算符表示
A
*
(r )

(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )

(r )d
3r
其 问中 题,:Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义?为此,人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ:波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述,从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明:波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数,波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性,那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)

波函数及其统计意义(ppt 51)

波函数及其统计意义(ppt 51)

磁量子数
m = 0、±1、±2…… ±l 决定角动量方向。对应一l 可能有 2 l + 1 个不同取向。 例: l 2
6
L 2 (2 1) 6
m 0、 1、 2
LZ 0, ,2
例 设氢原子处于2p态,求氢原子的能量、角动量大小
及角动量的空间取向。
a基态能量22212mae????teinnne????tinexana??2?sin2??驻波讨论2考虑时间因子12?aa0xn1xaa??sin21?a0x22212mae???2nnw??1w2w124ee?xaa?2?sin22?n2n3xaa?3?sin23?3w139ee?n?22222mane???由还可以得到势阱中粒子的动量和波长ahnanmepnn?2??2???????naphnn2???说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波
1 e 氢原子中的电子…… V r 4 0 r
2
这时波函数 可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。
以一维运动的情况为例,波函数可写成
( x ,t ) ( x ) f ( t )
一个是变量为t 的方程 其解为
df i Edt f
f e
dV dV
称为概率密度,表示在某一时刻在某点处
2
2

单位体积内粒子出现的概率。
波函数还须满足:

2
dv 1
归一化条件
及单值、连续、有限等标准化条件
二、 不确定关系
波动性使微观粒子没有确定的轨道,即坐标和 动量不能同时取确定值,存在一个不确定关系。 以电子的单缝衍射实验来说明不确定关系:

波函数及其统计解释资料课件

波函数及其统计解释资料课件
特点
柱面波函数具有恒定的振幅和相位,并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅,描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一,它可以产生明暗相间的条纹
,即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括:轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ,不同的对称性会导致不同的干涉现象

03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数,其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一,它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释,我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率,以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数,它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ,如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关,测量会导致波函数塌 缩,进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望

量子力学波函数的统计解释

量子力学波函数的统计解释

波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面,而抹杀了 粒子的波动性的一面,具有片面性。
(2) 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构,是三维
空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等
波动现象。波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子
的运动速度。
3
§2.1 波函数的统计解释(续3)
必须注意
称为几率密度(概率密度)
(1)“微观粒子的运动状态用波函数描述,描写粒子的波是概 概波”,这是量子力学的一个基本假设(基本原理)。
知道了描述微观粒子状态的波函数,就可知道粒子在空间各 点处出现的概率,以后的讨论进一步知道,波函数给出体系的一 切性质,因此说波函数描写体系的量子状态(简称状态或态)
设粒子状态由波函数 (r , t) 描述,波的强度是
(r ,t) 2 *(r ,t)(r ,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的概率
dW (r ,t) C2 (r ,t) 2 d
这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运
动的一种统计规律性,波函数 r,t 有时也称为概率幅。
实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。例如一个
原子内的电子,其广延不会超过原子大小≈1
0
A

电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波?
“ 电子既不是粒子也不是波 ”,既不是经典的粒子也不是 经典的波,但是我们也可以说,“ 电子既是粒子也是波,它 是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念中的粒子。
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation

量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件

量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件

例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数,粒子的几率分布,粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率,波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin

n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子,其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波?
“ 电子既不是粒子也不是波 ”,既不是经典的粒 子也不是经典的波,但是我们也可以说,“ 电子既 是粒子也是波,它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”

波函数的统计解释

波函数的统计解释

波函数的统计解释
在波函数的统计解释中,波函数的平方(ψ^2)被解释为找到某个特
定状态的概率。

换句话说,ψ^2描述了一个量子系统存在于某个特定状
态的可能性。

以一个粒子的波函数为例,假设该粒子的波函数为ψ(某),描述了
位置某上粒子的状态。

则ψ(某)^2表示在位置某上找到该粒子的概率。

这意味着在测量时,粒子出现在位置某的概率正比于ψ(某)^2、这类似
于经典物理中的概率分布函数。

波函数的统计解释还可以扩展到描述多个粒子系统。

例如,对于一个
由两个粒子组成的体系,波函数可以写为ψ(某1,某2),其中某1和某2
分别表示第一个和第二个粒子的位置。

则ψ(某1,某2)^2表示在位置(某1,某2)同时找到这两个粒子的概率。

需要注意的是,波函数的统计解释是概率性的,并不意味着该粒子一
定会出现在波函数ψ(某)^2所描述的某个位置。

测量时,粒子只会选择
一个位置出现,但在模拟大量实验的统计平均下,粒子出现在该位置的概
率就是ψ(某)^2。

值得一提的是,波函数的统计解释并不适用于所有的量子物理现象。

在一些特殊情况下,例如量子叠加态和量子纠缠态,波函数的统计解释可
能不足以完全描述系统的行为。

这些情况涉及到更复杂的概念,如量子态
的叠加和观测等。

总而言之,波函数的统计解释是量子力学中描述量子系统状态和行为
的重要概念。

它通过平方波函数得到一个量子系统在某个状态的概率分布。

这一解释提供了量子力学研究和实验预测的基础,为我们更好地理解量子世界提供了工具。

量子力学课件(曾谨言)第一章

量子力学课件(曾谨言)第一章




(
r
)
2
d
3r
1


(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数, 坐标空间波函数,坐标表象波函数;
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数,
动量空间波函数,动量表象波函数; 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系(Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况,用一个函数来描述粒子的波,并称这个 函数为波函数,它是一个复数,写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数,其动量和能量不再是常 量,用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢? 如何体现波粒二象性的? 描写的是什么样的波呢?
衍射实验所揭示的电子的波动性是: 许多电子在同一个实验中的统计结果,或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态(简称状态或态)
当粒子处于某一量子态时,它的力学量(如坐标、 动量等)一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现,这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释,波函数有如下性质: (1)归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)




d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子

(r ) 2d 3
(全)
,

A0
,这是没有意义的.

1.6 波函数的统计解释

1.6 波函数的统计解释

少女? 老妇?
两种图像不会 同时出现在你 的视觉中。
光的波粒二象性的统计观点解释
双缝 干涉 实验 令入射光极弱,光子数目 极少,光子将会在屏上出 现的确切位置无法预测。 延长曝光时间,可发现在光波干 涉理论算得的各明纹区域,光子 出现的概率最大; 各暗纹区域,光子 摄 出现的概率最小。
影 底 板 或 显 微 观 察
波函数
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数,知道 了某微观客体的波函数后,原则上可得到该微观客体的全部知识。
下面从量子力学的基本观点出发,建立自由粒子的波函数。 回顾:德布罗意关于物质的波粒二象性假设 质量为 一方面可用 能量 另一方面可用 动量 性 速度为 和 频率 和 波长 的自由粒子 来描述它的粒子性 来描述它的波动
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程 波函数 在量子力学中用复数表达式:
续上
应用欧拉公式 自由粒子的能量和动量为常量,其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。
取实部 沿 对于处在外场作用下运动的非自由粒子,其能量和动量 X方向匀 的自由粒子的波函数为 应用德布罗意公式 速直线运动 即
不是常量,其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同,粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。
扫描隧道显微镜下的48个Fe原子在Cu的表面排列成直径为
14.3nm的圆圈构成一个“量子围栏”,照片中反映的是电子密
度的高低,围栏内是电子密度波的驻波,直观证明了电子的波动 性
微观粒子波粒二象性的正确理解 1) 粒子性 •整体性 •不是经典的粒子 没有“轨道”概 念 2) 波动性 •“可叠加性”:有干涉、衍射等现象 •不是经典的波 不代表实在物理量的波动 3)结论: 微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 两种性质寓于一体, 却不能同时表现出来

波函数的统计解释

波函数的统计解释

波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。

它包含了粒子的可能位置、动量等信息,但并不直接表示物理实体。

波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律,用来预测大量粒子的行为。

1.概率解释:波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。

例如,对于一维运动的粒子,在其中一时刻,波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。

这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。

2.叠加解释:波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。

这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在,并以一定的概率进行叠加。

这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象,这些现象是波粒二象性的体现。

3.线性解释:波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。

根据薛定谔方程,波函数的演化是线性的,即满足叠加率和线性性质。

这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加,形成新的波函数。

4.统计解释:波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。

例如,位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置,动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。

通过对波函数进行数学计算,可以得到这些统计量,并与实验结果进行比较。

5.状态解释:波函数可以表示粒子的状态,包括其位置、动量和自旋等特征。

通过对波函数进行适当的测量,可以得到特定的物理量。

测量过程会导致波函数的坍缩,从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。

这一解释与量子力学的测量原理密切相关。

需要注意的是,波函数的统计解释并不是完美的,它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。

例如,波函数的坍缩是一个不可逆的过程,且测量结果具有一定的不确定性。

波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律,而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。

总而言之,波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性,从而预测大量粒子的行为。

它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面,为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。

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|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小, 确切的说,
|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处,体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度(振幅 绝对 值的平方)和在这点找到粒子的几率成比例,
据此,描写粒子的波可以认为是几率波,反映微观客体运 动的一 种统计规律性,波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释,它是量子 力学的基本原理。
称为几率密度。
在体积 V 内,t 时刻找到粒子的几率为: W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
(2) 平方可积
由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和湮灭情况), 所以在全空间找到粒子的几率应为一,即:
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为:
电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波? “ 电子既不是粒子也 不是波 ”,既不是经典的粒子也不是经典的波, 但是我们也可 以说,“ 电子既是粒子也是波,它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
经典概念中 波意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2.有确定的运动轨道,每一时刻有一定
单位换算:
1ev~12.000K(温度表能量) ~2.410 14HZ(频率表能量)
~8.00c0m1(波长)
附录 量子力学的建立及相关科学家传略础之一,是研究微观粒 子运动规律的科学,使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进 了微观层次。自1900年普朗克提出量子假设以来,量子力学便 以前所未有的速度发展起来,紧接着是1905年爱因斯坦提出光 量子假说,直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量 子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意 的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩 阵力学、“不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独 当一面的基础。而数学高手狄拉克在此基础上进一步实现了量 子力学的统一,建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相 容原理”又给量子力学抹上了灿烂的一笔。
什么是波包?波包是各种波数(长)平面波的迭加。 平面波描写自由粒子,其特点是充满整个空间,这是因为平面
波振幅与位置无关。如果粒子由波组成,那么自由粒子将充满整个 空间,这是没有意义的,与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。例如在一个原子内, 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
位置和速度。
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2.干涉、衍射现象,即相干叠加性。
(2)Born 波函数的统计解释 几率波
我们再看一下电子的衍射实验
电子源
P
P
O

Q光
Q

结论:衍射实验所揭示的电子的波动性是: 许多电子在同一个实验中的统计结果,或者是一个
电子在许多次相同实验中的统计结果。
Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍(原来的 2 倍),
则相应的波动能量将为原来的 4 倍,因而代表完全不同的波动 状态。经典波无归一化问题。
归一化常数
若 Ψ (r , t ) 没有归一化, t )|2 dτ= A (A 是大于零的常数),则有
∫∞ |Ψ (r ,
§1.6 波函数的统计解释
(一)波函数 (二)波函数的解释 (三)波函数的性质 (四)自由粒子的波函数
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构,是三维空间中 连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波 包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度。
∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1
也就是说,(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数,与Ψ (r,t )描写同 一几率波,(A)-1/2 称为归一化因子。
注意:对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。
若Ψ (r , t )是归一化波函数,那末,exp{iα}Ψ (r , t ) 也是归 一化波函数(其中α是实数),与前者描述同一几率波。
因为在 t 时刻,空间任意两点 r1 和 r2 处找 到粒子的相对几率之比是:
2
2
C(r1,t) (r1,t)
C(r2,t) (r2,t)
可见,Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几 率波,所以波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于一,所以粒子在空间各点出现 的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例,而不取决于 强度的绝对大小,因而,将波函数乘上一个常数后,所描写的粒 子状态不变,即
返回
(三)波函数的性质
(1)几率和几率密度 根据波函数的几率解释,波函数有如下重要性质:
在 t 时刻, r 点,d τ = dx dy dz 体积内,找到由波 函数 Ψ (r,t)描写的粒子的几率是:
d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ,
其中,C是比例系数。
在 t 时刻 r 点,单位体积内找到粒子的几率是: ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2
(四) 自由粒子的波函数
自由粒子,E, p 确定
E/h,h/p
平面单色波
yAco2s(xTt )
Aco2s(pxE)t
hh
Aco1s(pxE)t h
Aco1s(prE)t
h
e A i (prEt) h e A i(krt)
作业:
1:计算O2的转动动能和振动动能。 2: Compton散射的解释
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的,在此基 础上,Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中,照相底片上 r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目, 正比于该点附近出现的电子数目, 正比于电子出现在 r 点附近的几
率。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述,与经典波相似, 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述,但意义与经典波不同。
C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ
∞,
则 C 0,
这是没有意义的。
(3)归一化波函数
Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t )
所描写状态的相对几率是相同的,这里的 C 是常数。
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