2.5.2圆的切线判定与性质课件

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练习：如图,点P在⊙0外，PC是⊙0 的切线,切点是C.直线PO与⊙0交于 A、B,试探求∠P与∠A的数量关系.
C
.
A
O
B
P
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课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
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如图,如果直线I是⊙O的切线,A是切点,那么半径OA与L垂直 吗?
O
切线的性质定理:
l
圆的切线垂直于过切点的半径.
AB
几何符号表示：
∵直线 l切⊙O于点Ａ
∴ l⊥ OA
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切线的定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所 以经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；反之,
切线的判定定理 ：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线。
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切线的判定定理 ： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线。
几何符号表达： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
求证：AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
O
E
B
PC
ห้องสมุดไป่ตู้∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
过切点且垂直于切线的直线也必过圆心
由此得到切线的性质定理的推论：
推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经 过切点．
推论２:经过切点且垂直于切线的直
O.
线必经过圆心．
l
A
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例3 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上 的一点，BD和过点C的切线CD垂直，垂足为D，
求证：BC平分∠ABD
C D
A
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探究：
如图，OA是⊙O的半径，经过OA的外端点A，做 一条直线 l⊥ OA，圆心O到 直线l 的距离是多少？ 直线 l 和⊙O有怎样的位置关系？
圆心O到直线 l的距离等于半OA
当d =r时，直线和圆有唯一公共点时,
叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线，
O
这个公共点叫切点
r
由此得出：
l A
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
〖例3〗
如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是 ⊙O的切线,E是切点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗?
F E
A
．
O
B
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A
〖例4〗
如图CB是⊙O的切线,C是切点,OB交⊙O于D, ∠B＝30°,BD=6cm,求BC
O D B
C
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O l
r
O
O
r l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
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l
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例1 如图。已知直线AB经过⊙O上的点C，并且
OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
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练习
1. 如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C， 直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
B O
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例4 已知：如图，AB是⊙O的直径 l1 l2分 别是经过点A,B的切线
求证：l1 l2
A
l1
O
由此得出切线性质推论：
经过直径两端点的切线互相平行 PPT课件
B
l2
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想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
E C
小结
例1与例2的证法有何不同?
O A
B
C
A
O
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如图,如果直线I是⊙O的切线,A是切点,那么半径OA与L垂直
吗? 反证法：
假设直线 l 与半径OA不垂直
O
过圆心O做OB ⊥l与点B
．
又∵ 垂线段最短 ∴ OB<OA
l
AB
∴ 圆心O到直线 的l 距离小于半径
即直线 l与⊙O相交，这与已知直线l 是⊙O 的切线相矛盾
∴直线 ⊥l OA
D
B
O
E
(A1)如果C 已知B 直线经过圆上一点,则连结C这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：有交点,连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。
练习
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。
2.5.2圆的切线
直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为 r，则：
(1) 当d <r时，直线和圆有两个 不同的公共点,叫做直线和圆相
交，这条直线叫圆的割线
(2) 当d =r时，直线和圆有 唯一公共点时,叫做直线和 圆相切,这条直线叫圆的切
线，这个公共点叫切点
.O
..
A
B l 割线
.O
.
切点A
L切线
(1) 当d >r时直线和圆没有公共 点时,叫做直线和圆相离
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.O
l
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直线和圆的位置关系:
一般的，设⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距 离为d，则有：
（1）直线L和⊙O相交
d<r
（2）直线L和⊙O相切
d=r
（3) 直线L和⊙O相离
d>r
注明:符号”
“读作”等价于”.它表示从左端可以推出右端,并且从右 端也可以推出左端.
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直， 证半径）
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