特殊的四边形培优
北师大新版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形 单元培优卷 含解析
第一章特殊的平行四边形一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．42．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣64．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝cm．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．4【分析】根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，求出a2+b2＝102，ab＝40，解方程组求出a即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，∴a2+b2＝102，又∵S矩形ABCD＝2S△ABC∴ab＝2××10×4＝40，∵BC＞AB，解得：a＝4，b＝2，即AD＝4，故选：D．2．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用矩形的性质，证明△AFD与△CHB全等，即可推出结论①正确；②先证明四边形PBHF为矩形，推出PB＝FH，再证明△AFG与△BPG全等，推出AF＝FH ＝CH，即可②正确；③假设结论成立，可推出∠BAC＝45°，BA＝BC，故矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④先证明△EPB与△BHC全等，推出EB＝BC，AB垂直平分EC，求出AC的长度，再证△ABH与△BCH相似，求出BH的长度，最后证△AFG与△AHB相似，即可求出GF的长度为2，故④错误．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴∠DAF＝∠BCH，∵BH⊥AC，∴∠BHC＝∠BHA＝90°，∴△AFD≌△CHB（AAS），∴AF＝CH．故①正确；②由①知，∠PFH＝∠BHF＝90°，∵∠BPD＝∠BCD＝90°，∴∠BPD＝∠PFH＝∠BHF＝90°，∴四边形PBHF为矩形，∴PB＝FH，PB∥FH，∵∠AFG＝∠BPG＝90°，FG＝PG，∠AGF＝∠BGP，∴△AFG≌△BPG（ASA），∴BP＝AF，∴AF＝FH，由①知，AF＝CH，∴AF＝FH＝CH，∴AC＝3FH，故②正确；③假设BE＝BG，∵∠EBG＝90°，∴∠E＝∠BGE＝45°，在Rt△EFC中，∠FCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④∵DE∥BH，∴∠PEB＝∠HBC，由②知，四边形PBFH为矩形，PB＝FH＝CH，∴∠EPB＝∠BHC＝90°，∴△EPB≌△BHC（AAS），∴EB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴AB垂直平分EC，∴AC＝AE＝6，由②知，AF＝FH＝HC，∴AF＝FH＝HC＝AC＝2，∴AH＝4，∵∠BHC＝∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠HBC＝90°，∴∠BAH＝∠HBC，∴△ABH∽△BCH，∴＝，即＝，∴BH＝4，∵DE∥BH，∴△AFG∽△AHB，∴＝，即＝，∴CF＝2，故④错误，故选：B．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣6【分析】如图作B′H⊥AD于H交BC于M．首先证明四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，根据AB′2＝AH2+HB′2，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质解决问题即可；【解答】解：如图作B′H⊥AD于H交BC于M．∵∠B′HD＝∠HDF＝∠DFB′＝90°，∴四边形DFB′H是矩形，∵FD＝FB′，∴四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，∵AB′2＝AH2+HB′2，∴62＝（6﹣x）2+x2，解得x＝3，∴B′M＝CF＝6﹣3，∵△AHB′∽△B′ME，∴＝，∴＝，∴EB′＝6﹣6，∴BE＝B′E＝6﹣6，故选：D．4．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB ＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理，BM＝＝a，∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，∴ME+MF＝MB．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG ＝180°，易证ED∥GA，即可判断A；求出∠DAG＝135°，根据矩形的判定即可判断B；然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；根据AD＝AC＝和菱形的判定即可判断C；根据正方形的判定即可判断D．【解答】解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1＝2C2＝4C3，FG＝LK，EF＝6，即可得到AB＝BF+EF+AE＝11．【解答】解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，又∵BF＝FG＝KL，∴EF＝CL＝6＝CH，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，∵C1＝2C2，∴AE＝CH＝3，又∵2C2＝4C3，∴C3＝C2＝×12＝6，∴BF＝×6＝2，∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，故选：C．二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝24 cm．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝5cm，AD＝AB＝BC＝CD ＝13cm，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝＝5cm，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AD＝AB＝BC＝CD＝×52cm＝13cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+0D2，即OD＝＝12（cm），∴BD＝2OD＝24cm，故答案为：24．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AM＝AP，∠MAP＝60°，∴△AMP是等边三角形，∵∠MAP＝∠BAC，∴∠MAB＝∠PAC，∴△MAB≌△PAC，∴BM＝PC＝10，∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，∴PM2+PB2＝BM2，∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，∴AH＝PA＝3，PH＝3，BH＝8+3，∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，故答案为50+72．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．【分析】延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】解：延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴GF∥BE，EF∥AM，∴四边形AMFE是平行四边形，∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠DAH＝30°，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为或．【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出＝，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴＝，即＝，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF＝．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC＝，综上，EF＝或．故答案为：或．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝7﹣4．．【分析】（1）已知EA＝EF，∠EAF＝45°，由三角形的内角和得∠AEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，又因∠BAE+∠AEB＝90°，等量代换得∠BAE＝∠CEF，从而证明△ABE≌△ECF；EF的长可由勾股定理求出．（2）作辅助线FM和EN，已知△CEF，构建两个等腰△DEM，△BEN可求出线段DF，AM，FC，BE和AN的长；证明△ANE∽△FMA，再由两个三角形相似的性质求出相似比，解出x 的值，由勾股定理（或三角函数）求出EF的长．【解答】解：（1）如图甲所示：∵EA＝EF，∴△AEF是等腰直角形，∠EAF＝∠EFA，∵∠EAF＝45°，∴∠EFA＝45°，又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△ABE和△ECF中，∴△ABE≌△ECF（AAS）∴AB＝EC，BE＝CF，又∵AB＝3，BC＝4，∴EC＝3，CF＝1，在Rt△CEF中，由勾股定理得：＝＝故答案为．（2）如图乙所示：作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，∵四边形ABCDA是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∵∠BAE+∠NEA＝45°，在△ANE和△FMA中，∴△ANE∽△FMA（AA）∴；又∵MD＝x，∴DF＝x，∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，∴FC＝EC＝3﹣x，BE＝AB＝x+1，AN＝2﹣x，∴，解得：2﹣4，或﹣2﹣4（舍去），∴FC＝3﹣（）＝7﹣2，∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．故答案为7﹣4．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长或．【分析】根据矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH＝BD，从而求出GH的长，若四边形EGFH为矩形时，EF＝GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．【解答】解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∴AB＝EM＝CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝90°，OB＝OD，在Rt△ABD中，BD＝，又∵点G、H分别是OB、OD的中点，∴GH＝BD＝，当四边形EGFH为矩形时，GH＝EF＝，在Rt△EMF中，FM＝＝，易证△BOF≌△DOE（AAS），∴BF＝DE，∴AE＝FC，设BF＝x，则FC＝6﹣x，由题意得：x﹣（6﹣x）＝，或（6﹣x）﹣x＝，∴x＝或x＝，故答案为：或．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP ＝PE时，求出即可．【解答】解：根据题意得：BP＝t，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，过E作EF⊥AB于F，则∠EFA＝∠EFB＝90°，∵∠C＝∠B＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，∴PF＝5﹣t，由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，解得：t＝2，t＝8，∵t＝8不符合题意，舍去；②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，解得：t＝，即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，故答案为：2或．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）在RT△BCP中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP中利用勾股定理求出PA 即可．（2）如图2中，延长PM交BC于E．先证明PD＝BE，再利用三角形中位线定理证明MN ＝BE，ON＝PD即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD∵PD＝4，∴PC＝6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB＝∠ABP＝90°，在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，∴PB＝＝＝8，在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，∴PA＝＝＝2．（2）△OMN是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM交BC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴＝，∴CP＝CE，∴PD＝BE，∵CP＝CE，CM⊥PE，∴PM＝ME，∵PN＝NB，∴MN＝BE，∵BO＝OD，BN＝NP，∴ON＝PD，∴ON＝MN，∴△OMN是等腰三角形．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．【分析】首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝5，∴×6×8＝DE×AB，解得：DE＝，即AB边上的高为：．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD＝OC，求出∠CDO，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴EF＝DE，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG•a，于是得到结论；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，在△AOG与△BOE中，，∴△AOG≌△BOE，∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；故答案为：；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OM＝m b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF ＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE＝OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF＝CF＝a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P 在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。
特殊四边形培优习题精选及答案
《特殊平行四边形习题精选》1、矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则∠BOE=________°2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，△AOB 的周长为33 ，∠ABC=60º，则菱形ABCD 的面积为__________3、如图，矩形ABCD 长为a ，宽为b ，若s 1=s 2=21(s 3+s 4)，则s 4等于（ ）（A ）ab 83 （B ）ab 43 （C ）ab 32 （D ）ab214、菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________°5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上，，已知△MCN 的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN 的度数。
6、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF=DF.7、如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 的中点，求∠AED 的度数；D C BA MNA B CDOE A B C D E FS1S2S4S3A B C DEF FEDCB A8、如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长；9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形；10、如图1，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。
（1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE 。
（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。
北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)
期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N 的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM ∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，∴S＝BC•AE＝24．菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB ＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，， ∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ， ∴S △BOE ＝S △AOG ， ∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB ＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB ＝S四边形AEOG，∴S△BOE ＝S△AOG，∵S△BOE ＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q 的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。
平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题(供参考)
平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H 是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE ⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB ≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM 的周长=EF +ME +FM=7+5+5=17．故选A ．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME 的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E 、F ，则PE +PF 的值为（ ）A ．10B ．4.8C ．6D ．5【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OP ，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP ， ∴××6×8=×5•PE +×5•PF ，解得PE +PF=4.8．故选B ．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，若∠CAE=15°，则∠BOE 的度数等于 75° ．【分析】由矩形ABCD ，得到OA=OB ，根据AE 平分∠BAD ，得到等边三角形OAB ，推出AB=OB ，求出∠OAB 、∠OBC 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE ，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE 交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC 于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS 证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF ≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（2015春•台州校级期中）已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上1的中线性质得出BM=AC，DM=AC，得出BM=DM，即可得出结论．【解答】（1）解：四边形BNDM是平行四边形，理由如下：。
2019年暑假北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案设计：中位线和斜边上的中线(
2019年暑假北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形提高培优讲义教案：中位线和斜边上的中线一、三角形中位线4、例题讲解：例1、（1）如图1-1，在ABC△中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若ABC△的周长为20cm，则DEF△的周长为__________．（2）如图1-2，在Rt ABC△中，30A∠=︒，1BC=，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．图1-1 图1-2（3）如图1-3，ABC△中，6AB AC==，8BC=，AE平分BAC∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE△的周长是__________．（4）如图1-4，在四边形中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：．图1-3 图1-4【解析】（1）10cm ．（2）1． （3）10．（4）证明：取AD 的中点M ，连结EM 和FM ． ∵E 、F 是AB 、CD 中点， ∴，．又∵EF EM FM <+，∴．例2、（1）如图2-1，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是__________度．（2）如图2-2，已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．（3）已知，如图2-3四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．ABCD 1()2EF AC BD <+F EDC BA 12EM BD =12FM AC =1()2EF AC BD <+MA BCD E FCM FE GNDBA图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）18．（2）设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得： GE //BD ，12EG BD =，GF //AC ，12EF AC =， 从而GF GE =，GEF GFE ∠=∠， ∴．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取或的中点．） （3）连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ． ∵DF CF =，AH CH =， ∴FH//AD ，12FH AD =， 同理，12EH BC =，EH//BC ，∵AD BC =，∴EH FH =， ∴HFE HEF ∠=∠， ∵FH//AM ，EH//BC ，∴AM E HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠， ∴AME BNE ∠=∠．例3、如图，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP AQ =．CM FE ND B AA CDM FE NBAMN BNM =∠∠AC BD AHC D M FE NB【解析】连DG ，找DG 的中点E ，连ME 、NE ，∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点．∴ME//AB ，，NE//AC ，． ∴，．∵，∴， ∴，∴，∴． 二、直角三角形斜边中线3、例题讲解：例4、已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC 垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．（1）如图4-1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E 在BA 延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．NM PQG D C BAE ABC DG Q PM N12ME BD =12NE GC =APQ EMN ∠=∠AQP ENM ∠=∠BD GC =EM EN =EMN ENM ∠=∠APQ AQP ∠=∠AP AQ =图4-1 图4-2【解析】（1）BM DM =，2BMD BCD ∠=∠；（2）结论不变，由题意知，∴2BME BCM ∠=∠，2DME DCM ∠=∠，两式相减，得2BMD BCD ∠=∠．例5、如图，90MON ∠=︒，ABC △中，90BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，AB 在MON ∠上滑动，求OC 的最大值．可得1OC ≤OC 的最大值为1+O 、D 、C 三点共线时）． 三、中点辅助线综合例6、在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，E 、F 、G 分别是AB 、AC 、BC 的中点，M 是DG 的中点，求证：ME MF =．【解析】连结DF 、EG ，可证DF GE =，MDF MGE ∠=∠，MD MG =，图2图1BEMCD AMEDCBAMB MC MD ==则MDF MGE △≌△，得证．例7、如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【解析】方法一：如图1，取AC 中点M ，取AD 中点N ，连BM ，MF ，NF ，EN ．∵90ABC AED ∠=∠=︒，1122BM AC FN EN AD MF ====，， ∴BMF FNE △≌△，∴BF EF =，方法二：如图2，延长CB 到M ，使得MB BC =， 延长DE 到N ，使得NE DE =， 连接AM ，AN ，MD ，CN ． 由90ABC AED ∠=∠=°，AMC △，ADN △是等腰三角形，F 是CD 中点，则BF //MD ，12BF MD =，EF//CN ，12EF CN =，MAD CAN △≌△，MD CN =，∴BF EF =，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：四、课后作业：1、（1）如图1-1，在ABC △中，点D 是BC 中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，延长BE 交AC 于F ．若AB =10厘米，AC =16厘米，则DE 的长度为__________．图2图1MNNMACBDEF F EDB CAFEDBCA（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD 中，AD BC =，P 是对角线BD 的中点，N 是DC 的中点，M 是AB 的中点，30DBC ∠=︒，70ADB ∠=︒．求MNP ∠度数．图1-1 图1-2【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴NP ，PM 分别是CDB △与DAB △的中位线， ∴12PN BC =，12PM AD =，PN//BC ，PM//AD ， ∴30NPD DBC ∠=∠=︒，70MPB ADB ∠=∠=︒， ∴110DPM ∠=︒； ∴140NPM ∠=︒， ∵AD BC =；∴PN PM =，故NMP △是等腰三角形． ∵140NPM ∠=︒， ∴20PMN PNM ∠=∠=︒．2、（1）如图2-1,ABC △中，过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线．．．．．的垂线．．AD 、AE ，垂足为D 、E ．求证：①//ED BC ；②1()2ED AB AC BC =++．（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．图2-1 图2-2【解析】（1）①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ，∵BD ⊥AD ，且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =，且AB BF =（等腰三角形的三线合一） 同理可得AE GE =，AC GC =， ∴DE 为AFG △的中位线， ∴ED //BC ，且12DE FG =． ②由（1）知12DE FG =， 且AB BF =，AC GC =， ∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++． （2）取AC 的中点F ，连结DF ，易得DF//AB ，12DF AB =，ADF BAD ∠=∠， 而1122DE BD AB ==，故DF DE =． 再证，∴，∴．3、（1）如图3-1，四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20CAD CAB ∠=∠=︒，则DOE ∠=__________．C E DBAADE ADF △≌△AE AF =2AC AE =CFEDBA（2）如图3-2所示，ABC △中，AH BC ⊥于H ，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，10cm HF =，则ED 的长度是__________．图3-1 图3-2【解析】（1）60︒．（2）10cm ．4、（1）如图4-1，在ABC △中，2B C ∠=∠，M 是BC 中点，AD BC ⊥于D ．求证：12DM AB =．（2）如图4-2，已知：ABD △和ACE △都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠．连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．【解析】（1）法一：取AB 中点G ，连结GD 、GM ，则12GD AB =，GM AC ∥．则GMD C ∠=∠．而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠，由于2B C ∠=∠，所以DGM C GMD ∠=∠=∠．∴12MD GD AB ==． 法二：同理可以取AC 的中点N ，连接DN ，MN ．（2）如图，分别取AD 、AE 的中点P 、Q ，连接PB 、PM 、QC 、QM ， 由P 、M 、Q 分别是AD 、DE 、AE 的中点，OE DC BAMEDCBAAB GNMC ABD g∴PM//AE，12PM AE=，QM//AD，12QM AD=，∵ABD△、ACE△是直角三角形，∴12PB AD=，12CQ AE=，∴PB QM=，PM QC=，∵BAD CAE∠=∠，∴ADB AEC∠=∠，∴DPB CQE∠=∠，由AD//QM，AE//PM，∴APM AQM∠=∠，∴BPM MQC∠=∠，∴BPM MQC△≌△，∴MB MC=．QPAC D EM 图3。
2020-2021年度鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》综合培优训练(附答案)
2020-2021年度鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》综合培优训练（附答案）1．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（）A．20B．22C．24D．262．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD 于点E，则BE：ED等于（）A．1：3B．1：4C．2：3D．2：53．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC4．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB ＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（）A．15°B．30°C．40°D．50°6．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A．4B．8C．16D．167．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，当点D与点D′关于AE对称时，DE的长为．9．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB′GF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝．10．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H 是CD的中点．连接GH，若GH的最小值是1，则正方形ABCD的边长为．11．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF ⊥AM分别交AB，CD于点E，F．（1）AM的长为；（2）EM+AF的最小值为．12．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC＝4，CO＝，那么BC＝．13．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E，则BE的长为．14．如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝．15．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为．16．如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为．17．如图正方形ABCD边长为2，E为CD边中点，P为射线BE上一点（P不与B重合），若△PDC为直角三角形，则BP＝．18．如图，正方形ABCD的边长为6，E是边AB边一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH，若BH＝4，则EG 的长等于．19．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．20．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．21．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．22．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．23．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，AF交于点M，分别延长AF，BC交于点N．（1）求∠BMN的度数；（2）求证：CM＝AD．24．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，点E是CF的中点，DF∥AC交CE延长线于点F，连接AF．（1）求证：四边形AODF是菱形；（2）若∠AOB＝60°，∠AFC＝90°，AB＝1，求CF的长．25．在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠F AE＝∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．（1）求证：四边形AFGH为菱形：（2）若DH＝1．求四边形AFGH的面积．26．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC＝＝＝4，则AB＝4，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴长方形的周长为：2×（4+4+3）＝22．故选：B．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OD，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵AE⊥BD，∴BE＝OE＝OB，∴ED＝3BE，∴＝，故选：A．3．解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选：A．4．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故错误；故选：B．5．解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，在△BCF和△DCF中，∵，∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF＝∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°∴∠ABF＝∠BAF＝50°∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°∴∠CDF＝30°．故选：B．6．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故选：B．8．解：如图，连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P，∵正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，点D与点D′关于AE对称，∴设MD′＝ND′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△EPD′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′P＝5﹣3＝2，EP＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′P＝5﹣4＝1，EP＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．综上所述：DE的长为：或．故答案为：或．9．解：如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠FEC＝∠AFE＝55°．∴∠BEF＝180°﹣55°＝125°．根据折叠的性质知：∠B′EF＝∠BEF＝125°．∴∠CEB'＝∠B′EF﹣∠FEC＝125°﹣55°＝70°．故答案是：70°．10．解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小为1，∴CH＝．∴CD＝2CH＝2，故答案为：2．11．解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∵M是BC的中点，∴BM＝，∴，故答案为：；（2）过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°，∵EF⊥AM，∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°，∴∠BAM＝∠GFE，∴△ABM≌△FGE（SAS），∴AM＝EF，将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小，此时EM+AF＝AH＝，∴EM+AF的最小值为，故答案为：．12．解：如图，延长CB到点G，使BG＝AC＝4，∵根据题意，四边形ABED为正方形，∴∠4＝∠5＝45°，∠EBA＝90°，∴∠1+∠2＝90°，又∵△ABC是直角三角形，AB为斜边，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠5＝∠3+∠4，∴∠CAO＝∠GBO，在△CAO和△GBO中，，∴△CAO≌△GBO（SAS），∴CO＝GO＝，∠6＝∠8，∵∠7+∠8＝90°，∴∠6+∠7＝90°，∴∠COG＝90°，∴＝，∴BC＝CG﹣BG＝12﹣4＝8．故答案为：8．13．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．14．解：过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，如图所示：∵ABCD是正方形，∴AG∥H′H，BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠H′AD+∠AH′D＝90°，∵GH⊥BE，AH′∥GH，∴AH′⊥BE，∴∠H′AD+∠BEA＝90°，∴∠BEA＝∠AH′D，在△BAE和△ADH′中，，∴△BAE≌△ADH′（AAS），∴BE＝AH′，∵AG∥H′H，AH′∥GH，∴四边形AH′HG是平行四边形，∴GH＝AH′，∴GH＝BE＝6，故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．16．解：过C作CG⊥DE于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°，∴AD＞DE，∴CD＞DE，当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，此时只能CD＝CE，∵CG⊥DE，∴EG＝DG＝DE，∵∠ADE+∠CDG＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠CDG＝∠DAE，∵∠AED＝∠CGD＝90°，∴△AED≌△DGC（AAS），∴AE＝DG＝DE，设AE＝x，则DE＝2x，在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，∵AD＝2，∴x2+（2x）2＝22，解得：x＝，∵x＞0，∴x＝，∴DE＝2x＝，当F与B重合，则E与A重合，△CDE是以CD为腰的等腰三角形，此时DE＝AD＝2，故答案为：或2．17．解：分三种情况：①如图1，当∠DPC＝90°时，∵E是CD的中点，且CD＝2，∴PE＝CD＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝2，∠BCD＝90°，∴BE＝＝，∴BP＝﹣1；②如图2，当∠DPC＝90°时，同理可得BP＝+1；③如图3，当∠CDP＝90°时，∵∠BCE＝∠EDP＝90°，DE＝CE，∠BEC＝∠DEP，∴△BCE≌△PDE（ASA），∴PE＝BE＝，∴BP＝2，综上，BP的长是﹣1或+1或2；故答案为：﹣1或+1或2．18．解：连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠CBE＝∠ADC＝90°，在△CGD与△CEB中，，∴△CGD≌△CEB（SAS），∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．又∵CH⊥GE，∴CH＝EH＝GH．过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，又∵∠EHC＝90°，∴∠1＝∠2，在△HEM与△HCN中，，∴△HEM≌△HCN（AAS）．∴HM＝HN，∵∠HMB＝∠ABC＝∠BNH＝90°，∴四边形MBNH为正方形，∵BH＝4，∴BN＝HN＝4，∵HM∥AG，EH＝GH，∴AG＝2HM＝2HN＝8，∴DG＝BE＝AG﹣AD＝8﹣6＝2，∴AE＝6﹣2＝4，在Rt△AEG中，EG＝＝＝4．故答案为：4．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．20．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝3，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴＝＝＝；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°＝∠B，∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，∴AE＝BF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，即∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形．21．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．22．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠D＝90°，∵E、F分别是AD、CD的中点，∴AE＝AD，DF＝CD，∴AE＝DF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD，在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠AME＝90°，∴AF⊥BE，∴∠BMN＝90°；（2）证明：∵DF＝CF，∠D＝∠FCN＝90°，∠AFD＝∠NFC，在△ADF和△NCF中，，∴△ADF≌△NCF（ASA），∴AD＝CN＝CD＝BC，在直角△BMN中，BC＝CN，∴CM＝BN＝BC＝AD．24．（1）证明：∵DF∥AC，∴∠DFC＝∠OCF，∠EDF＝∠EOC，∵点E是CF的中点，FE＝CE，∴△DEF≌△OEC（AAS），∴DF＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OD，∴DF＝OA，且DF∥AO，∴四边形AODF是平行四边形，又∵OA＝OD，∴平行四边形AODF是菱形；（2）解：由（1）得：OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝1，∵四边形AODF是菱形，∴AF＝OA＝1，AF∥BD，∴∠F AC＝∠AOB＝60°，∵∠AFC＝90°，∴∠ACF＝30°，∴CF＝AF＝．25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠FGA，∵∠F AE＝∠DAE，∴∠FGA＝∠F AE，∴F A＝FG，∵点E为CD中点，∴DE＝CE，∵∠ADE＝∠GCE＝90°，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴AD＝CG，同理：△DEH△CEF（AAS），∴DH＝CF，∵AH＝AD+DH，GF＝CG+CF，∴AH∥FG，∵AH∥FG，∴四边形AFGH为平行四边形，∵F A＝FG，∴四边形AFGH为菱形；（2）解：FC＝DH＝1，设AB＝AD＝x，由（1）知FC＝DH＝1，∴AF＝AH＝AD+DH＝x+1，BF＝BC﹣FC＝x﹣1，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AF2＝AB2+BF2，∴（x+1）2＝x2+（x﹣1）2，解得x＝4，x＝0（舍去），∴AF＝FG＝x+1＝5，∴菱形AFGH的面积为：FG•DC＝5×4＝20．26．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，则周长为：4AQ＝4×＝15cm面积为：。
冲刺重点高中提前自主招生培优专题测试--特殊平行四边形(附答案详解)
冲刺重点高中提前自主招生测试－－特殊平行四边形一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）A．2B．C．3D．第1题第2题2．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，如果四边形ABCD的面积为12，那么BE的长为（）A．2 B．3 C．2D．23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3第3题第4题4．如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，若S EFGH=，则|b﹣a|等于（）A．B．C．D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP翻折，点B 的对应点B′恰好落在DA的延长线上，且PB′⊥AD，若CD=3，BC=4，则BP 长度为（）A．B．C．D．第5题第6题6．如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，以正方形ABCD 的一边向形外作等边△ABE ，BD 与EC 交于点F ，且DF=EF ，则∠AFD 等于（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°第7题第8题8．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为BC 上任意一点（可与点B 或C 重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（ ）A ．1B ．C ．D ．9．如图，正方形ABCD 的边长为8，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ +PQ 的最小值是（ ）第9题A ．4B ．8C ．4D ．8第9题第10题10．如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MPN 为直角，使点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论：①EF=OE ；②S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；③BE +BF=OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE=；⑤OG•BD=AE 2+CF 2．其中结论正确的个数是（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（共10小题，满分40分，每小题4分）11．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为．12．如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=16°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为．第12题第13题13．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为．14．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE=°．第14题第15题15．如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，直角△CEF的面积为200，则BE的值为．16．如图，四边形ABCD是菱形，E在AD上，F在AB延长线上，CE和DF 相交于点G，若CE=DF，∠CGF=30°，AB的长为6，则菱形ABCD的面积为．第16题第17题17．如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点A与点M重合，设折痕为EF，若正方形面积是64，那么梯形AEFD的面积是．18．如图，将边长为4cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN交AB于M，交DC于N，则线段FM长为cm．第18题第19题19．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=2，BM=1，则MN的长为．20．一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的数量的2倍，这样的矩形有个．三、解答题（共5小题，满分70分）21．（12分）（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA 的度数．第21题22．（12分）已知，如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，E为BC边上一点，作∠AEF=∠ACF=90°（1）试判断AE和EF的数量关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD的面积为16，BC的长为6，求AD的长．第22题23．（14分）如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．（1）求证：△PBQ是等腰直角三角形；（2）若PQ2=PB2+PD2+1，求△PAB的面积．第23题24．（15分）已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．第24题25．（17分）如图一，已知点P是边长为a的等边△ABC内任意一点，点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h1，h2，h3，则h1，h2，h3之间有什么关系呢？分析：连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，根据：S△PAB+S△PBC+S△PAC=S△ABC，即：，可得．问题1：若点P是边长为a的等边△ABC外一点（如图二所示位置），点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h1，h2，h3．探索h1，h2，h3之间有什么关系呢？并证明你的结论；问题2：如图三，正方形ABCD的边长为a，点P是BC边上任意一点（可与B、C重合），B、C、D三点到射线AP的距离分别是h1，h2，h3，设h1+h2+h3=y，线段AP=x，求y与x的函数关系式，并求y的最大值与最小值．第25题冲刺重点高中提前自主招生测试－－特殊平行四边形参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）A．2B．C．3D．【解析】延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，故选A．2．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，如果四边形ABCD的面积为12，那么BE的长为（）A．2 B．3 C．2D．2【解析】过点B作BF⊥CD，于DC的延长线交于点F，如右图所示，∵BF⊥CD，BE⊥AD，∴∠BFC=∠BEA=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∠EBC+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，∵AB=CB，∴△AEB≌△CFB（AAS）∴BE=BF，∵四边形ABCD的面积为12，∴四边形BEDF的面积为12，∴BE×BF=12，即BE2=12，∴BE=2，故选D．3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3【解析】连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2=•AB•BC=×2×2=4，∵S△ABC∴S=2，△ADC∵=2，∵△DEF∽△DAC，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S △BEF =•EF•BH=×2×=，故选C ．方法二：S △BEF =S 四边形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △BCF ﹣S △FED ，易知S △ABE +S △BCF =S 四边形ABCD =3，S △EDF =，∴S △BEF =S 四边形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △BCF ﹣S △FED =6﹣3﹣=．故选C ．4．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =，则|b ﹣a |等于（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】在△AEF 和△DHE 中，，∴△AEF ≌△DHE ，∴AF=DE ，∵DE +AE=1，∴a +b=1，∵a 2+b 2=求解得：a=，b=，∴|b﹣a|=，故选D．5．如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP翻折，点B 的对应点B′恰好落在DA的延长线上，且PB′⊥AD，若CD=3，BC=4，则BP 长度为（）A．B．C．D．【解析】由折叠的性质可得：PB′=PB，∠PB′C=∠B，∵四边形ABCD是平行四边形，PB′⊥AD，∴∠B=∠D，∠PB′A=90°，∴∠D+∠CB′D=90°，∴∠DCB′=90°，∵CD=3，BC=4，∴AD=B′C=BC=4，∴DB′==5，∴AB′=DB′﹣AD=1，设BP=x，则PB′=x，PA=3﹣x，在Rt△AB′P中，PA2=AB′2+PB′2，∴x2+12=（3﹣x）2，解得：x=，∴BP=．故选A．6．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．B．C．D．【解析】延长AE交DF于G，如图：∵AB=5，AE=3，BE=4，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1，∴EF=，故选D．7．如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE，BD与EC交于点F，且DF=EF，则∠AFD等于（）A．60°B．50°C．45°D．40°【解析】连接AC，∵BD为AC的垂直平分线，∴FA=FC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=AB，在△DCF和△DAF中，，∴△DCF ≌△DAF ，∵三角形ABE 是等边三角形，∴AE=AB=AD ，在△DAF 和△EAF 中，，∴△DAF ≌△EAF ，∴△DCF ≌△DAF ≌△EAF ，得：∠DFC=∠AFD=∠AFE ，又∵∠DFC +∠AFD +∠AFE=180°∴∠DFC=∠AFD=∠AFE=60°故选 A ．8．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为BC 上任意一点（可与点B 或C 重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（ ）A ．1B ．C ．D ．【解析】连接AC ，DP ，如图所示．∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的边长为1，∴AB=CD ，S 正方形ABCD =1，∵S △ADP =S 正方形ABCD =，S △ABP +S △ACP =S △ABC =S 正方形ABCD =，∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1， ∴AP•BB′+AP•CC′+AP•DD′=AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=，∵当点P与C重合时，PA的值最大，PA的最大值为，∴BB′+CC′+DD′的最小值是，故选B．9．如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是（）A．4 B．8 C．4D．8【解析】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=8，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2=64，∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4．故选C．10．如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MPN 为直角，使点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论：①EF=OE ；②S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；③BE +BF=OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE=；⑤OG•BD=AE 2+CF 2．其中结论正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】①∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，∴∠BOF +∠COF=90°，∵∠EOF=90°，∴∠BOF +∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF ，在△BOE 和△COF 中，，∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF ，BE=CF ，∴EF=OE ；故正确；②∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOE =S △BOE +S △COF =S △BOC =S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；故正确；③过点O 作OH ⊥BC ，∵BC=1，∴OH=BC=，设AE=x ，则BE=CF=1﹣x ，BF=x ，∴S △BEF +S △COF =BE•BF +CF•OH=x （1﹣x ）+（1﹣x ）×=﹣（x ﹣）2+，∵a=﹣＜0，∴当x=时，S △BEF +S △COF 最大；即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE=；故错误；④∵∠EOG=∠BOE ，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ：OB=OG ：OE ，∴OG•OB=OE 2，∵OB=BD ，OE=EF ，∴OG•BD=EF 2，∵在△BEF 中，EF 2=BE 2+BF 2，∴EF 2=AE 2+CF 2，∴OG•BD=AE 2+CF 2．故正确．故选B ．二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分）11．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A=60°，如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP 的长为 或 ．【解析】当P 与A 在BD 的异侧时：连接AP 交BD 于M ，∵AD=AB ，DP=BP ，∴AP ⊥BD （到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM 中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•si n30°=3， ∴PM==，∴AP=AM +PM=4；当P 与A 在BD 的同侧时：连接AP 并延长AP 交BD 于点MAP=AM ﹣PM=2；当P 与M 重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP 的长为4或2．故答案为4或2．12．如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=16°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为29°或61°．【解析】∵线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，∴AE=AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵AG=AB，∴AD=AG，在△AGE和△ADF中，，∴△AGE≌△ADF（SSS），∴∠DAF=∠CAE=16°，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，点F在AD的下方时，∠CAF=∠CAD﹣∠DAF=45°﹣16°=29°，点F在AD的上方时，∠CAF=∠CAD+∠DAF=45°+16°=61°，综上所述，∠CAF的度数为29°或61°．故答案为：29°或61°．13．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为20．【解析】延长BG，交AE与点C，∵∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC∴CE=5∵△CED是等腰直角三角形，∴CD=5∵CD=GF，∴中间的小正方形的边长是5，因而周长是20．故答案为2014．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE=75°．【解析】∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∴∠BOE=（180°﹣30°）=75°．故答案为：75．15．如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，直角△CEF的面积为200，则BE的值为12．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠D=∠ABC=∠BCD=90°，∴∠CBE=90°，∵∠ECF=90°，∴BCE=∠DCF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴△CEF的面积=CE•CF=CE2=200，∴CE=20，∵正方形ABCD的面积为256，∴BC==16，∴BE===12．故答案为：12．16．如图，四边形ABCD是菱形，E在AD上，F在AB延长线上，CE和DF 相交于点G，若CE=DF，∠CGF=30°，AB的长为6，则菱形ABCD的面积为18．【解析】连接AC、BD，交于点O，分别取AE、BF的中点M、N，连接OM、ON，在AB上截取AH=AM，连接OH，过C作CP⊥AF于P，∵四边形ABCD是菱形，∴O是BD的中点，也是AC的中点，∴OM=CE，ON=DF，∵CE=DF，∴OM=ON，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∵AO=AO，∴△AMO≌△AHO，∴OM=OH，∠AMO=∠AHO，∴OM=OH=ON，∴∠OHN=∠ONH，∵∠AHO+∠OHN=180°，∴∠AMO+∠ONH=180，∵OM∥EC，ON∥DF，∴∠AMO=∠AEC，∠ONH=∠GFA，∴∠AEC+∠GFA=180°，∴∠DAB+∠EGF=180°，∵∠CGF=30°，∴∠EGF=150°，∴∠DAB=30°，∵AD∥BC，∴∠CBF=∠DAB=30°，∵AB=BC=6，∴CP=BC=3，∴菱形ABCD的面积=AB•CP=6×3=18，故答案为18．17．如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点A与点M重合，设折痕为EF，若正方形面积是64，那么梯形AEFD的面积是24．【解析】依题意得，正方形的边长为8，设AE=x，由折叠可知EM=AE=x，BE=8﹣x，BM=8÷2=4，在Rt△BME中，BE2+BM2=EM2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，再设DF=y，则CF=8﹣y，AD2+DF2=CF2+CM2，即82+y2=（8﹣y）2+42，解得：y=1，S梯形AEFD=×（AE+DF）×AD=×（5+1）×8=24．故答案为：24．18．如图，将边长为4cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN交AB于M，交DC于N，则线段FM长为cm．【解析】∵点E为BC的中点，∴CE=BC=2，由翻折的性质得，EN=DN，设CN=x，则EN=DN=4﹣x，在Rt△CEN中，CE2+CN2=EN2，即22+x2=（4﹣x）2，解得x=，过点M作MG⊥CD于G，连接DE，则MG=CD，由翻折的性质得，MN⊥DE，∴∠NMG=∠EDC，在△CDE和△GMN中，，∴△CDE≌△GMN（ASA），∴GN=CE=2cm，∴DG=4﹣﹣2=cm，∵MG⊥CD，四边形ABCD是正方形，∴四边形AMGD是矩形，∴AM=DG，由翻折的性质得，FM=AM=cm．故答案为：cm．19．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=2，BM=1，则MN的长为．【解析】如图，延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在RT△ABG和RT△ADF中，，∴RT△ABG≌RT△ADF（SAS），∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAF，在△AMN和△AMH中，，∴△AMN≌△AMH（SAS），∴MN=MH，∵AF=AG，AN=AH，∴FN=AF﹣AN=AG﹣AH=GH，在△DFN和△BFH中，，∴△DFN≌△BGH（SAS），∴∠6=∠4=45°，DN=BH，∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG﹣∠6+∠5=90°﹣45°+45°=90°∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2，∵BD=AB=4，∴12+（4﹣1﹣MN）2=MN2，∴MN=，故答案为：．20．一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的数量的2倍，这样的矩形有3个．【解析】设矩形的长和宽分别是y和x，∵矩形的面积（量数）是周长（量数）的2倍，∴xy=4（x+y），即xy﹣4x﹣4y=0．∴xy﹣4x﹣4y+16=16，即（x﹣4）（y﹣4）=16．不妨设x≤y，∴x﹣4=1，y﹣4=16 或者x﹣4=2，y﹣4=8 或者x﹣4=4，y﹣4=4，∴x=5时y=20；x=6时y=12；x=8时，y=8，∴（5，20）或者（6，12）或者（8，8）．故答案为：3．三．解答题（共5小题，满分70分）21．（12分）（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA 的度数．【解析】（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．故∠BQC=90°+45°=135°．（2）将此时点P的对应点是点P′．由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．22．（12分）已知，如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，E 为BC边上一点，作∠AEF=∠ACF=90°（1）试判断AE和EF的数量关系，并说明理由；（2）当四边形ABCD的面积为16，BC的长为6，求AD的长．【解析】（1）作AM⊥BC，AN⊥CD垂足分别为M、N，在线段AM上截取AH=CE，连接HE．∵∠AMC=∠MCN=∠=90°，∴四边形AMCN 是矩形，∴∠MAN=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAD=∠MAN ，∴∠BAM=∠DAN ，在△AMB 和△AND 中，，∴△AMB ≌△AND ，∴AM=AN ，∴四边形AMCN 是正方形，∴AM=CM ，∠ACM=45°，∵∠ACF=90°，∴∠ECF=135°，∵AH=EC ，∴MH=ME ，∴∠MHE=45°，∠AHE=135°=∠ECF ，∵∠FEC +∠AEM=90°，∠HAE +∠AEM=90°，∴∠FEC=∠HAE ，在△AHE 和△ECF 中，，∴△AHE ≌△ECF ，∴AE=EF ．（2）由（1）可知：四边形AMCN 是正方形，△AMB ≌△AND ，∴S △AMB =S △AND ，∴S 四边形ABCD =S 正方形AMCN =16，∴AN=MC=4，∵BC=6，∴MB=ND=2，在RT△AND中，∵AN=4，ND=2，∴AD===2．23．（14分）如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．（1）求证：△PBQ是等腰直角三角形；（2）若PQ2=PB2+PD2+1，求△PAB的面积．【解析】（1）证明：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，∵∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PBA=∠QBC，在Rt△PAB和Rt△QCB中，，∴△PAB≌△QCB（ASA），∴PB=QB，∴△PBQ是等腰直角三角形；（2）设正方形的边长AB=a，PA=x，∵△PAB≌△QCB，∴QC=PA=x，∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD﹣PA=a﹣x，在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，∵PQ2=PB2+PD2+1，∴（a﹣x）2+（a+x）2=x2+a2+（a﹣x）2+1，解得：2ax=1，∴ax=，∵△PAB的面积S=PA•PB=ax=．24．（15分）已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．【解析】（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED=90°∴∠DGC=90°，∵四边形ABCD为正方形∴∠ADC=90°，AD=CD，∵∠ADE+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠ADE，∵l3∥l4∴∠1=∠DCG，∠ADE=∠DCG，在△AED与△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），∴AE=GD=1，ED=GC=3，∴AD==，故答案为：；（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE=1，BF=3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，∵∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，当AB＜BC时，AB=BC，∴AE=BF=，∴AB==；如图3当AB＞BC时，同理可得：BC=，∴矩形的宽为：，；（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l4于点O，N，∵∠OAE′=30°，则∠E′FN=60°∵AE′=AE=1，故E′O=，E′N=，E′D′=，由勾股定理可知菱形的边长为：==．25．（17分）如图一，已知点P是边长为a的等边△ABC内任意一点，点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h1，h2，h3，则h1，h2，h3之间有什么关系呢？分析：连接PA 、PB 、PC ，则△ABC 被分割成三个三角形，根据：S △PAB +S △PBC +S △PAC =S △ABC ，即：，可得．问题1：若点P 是边长为a 的等边△ABC 外一点（如图二所示位置），点P 到三边的距离PD 、PE 、PF 的长分别记为h 1，h 2，h 3．探索h 1，h 2，h 3之间有什么关系呢？并证明你的结论；问题2：如图三，正方形ABCD 的边长为a ，点P 是BC 边上任意一点（可与B 、C 重合），B 、C 、D 三点到射线AP 的距离分别是h 1，h 2，h 3，设h 1+h 2+h 3=y ，线段AP=x ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值与最小值．【解析】问题1：h 1+h 3﹣h 2=．理由：连接PA 、PB 、PC ． ∵PE ⊥BC ，PD ⊥BA ，且△ABC 是边长为a 的等边三角形，∴S △PAB =，S △PBC =，∴S 四边形ABCP =S △PAB +S △PBC =+， 又∵S 四边形ABCP =S △APC +S △ABC =+a 2， ∴+=++a 2，即：h 1+h 3﹣h 2=；问题2：连接DP 、AC ． 易求：S △APB +S △ADP +S △ACP =， 易证：S △DCP =S △ACP （同底等高）， 而S 正方形ABCD =S △APB +S △ADP +S △DCP ， ∴，∴y=（a ≤x ≤a ）， ∵2a 2＞0，∴y 随x 的增大而减少， ∴当x=a 时，y 最小=a ，当x=a 时，y 最大=2a ．。
2019-2020北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元培优试卷解析版(难度较大)
2019-2020北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元培优试卷一．选择题（每小题3分，共24分）1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45° B．55° C．60° D．75°2.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．64.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=8，则四边形OCED的周长为（）A．8 B．16 C．18 D．205.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（）A ．B ．C ．D ．6.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF ＝9的点P 的个数是（ ）A ．0B ．4C ．6D ．87.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知菱形ABCD ，E,F 是动点，边长为4，BE=AF ，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个（ ）①△BEC≌△AFC ； ②△ECF 为等边三角形③∠AGE=∠AFC ④若AF=1，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 431 GEGF二．填空题（每小题4分，共24分）9.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为．10.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=．11.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．12.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．13.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．三．解答题（共52分）15.（6分）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．16.（6分）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证．DF=AB；（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．17.（6分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．18.（6分）如图是一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a ，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a ＝3，b ＝2时，求矩形中空白部分的面积．19.（9分）已知:在矩形ABCD 中,BD 是对角线,AE ⊥BD 于点E,CF ⊥BD 于点F ；(1)如图1,求证:AE=CF ；(2)如图2,当∠ADB=30°时,连接AF 、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直 接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的。
浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 第1讲(矩形与菱形)培优讲义(含解析)
特殊平行四边形第1讲（矩形与菱形）命题点一：利用性质解决相关问题例1如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(2,3)，则BD＝13.例2如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE的值为( C )A．6.5 B．6 C．5.5 D．5命题点二：根据相应的判定方法解题例3下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°例4四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B ) A．BA＝BC B．AC，BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD例5如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD的中点，M是边AB上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．(2)填空：①当AM 的值为 1 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 2 时，四边形AMDN 是菱形. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM .∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME . ∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△NDE 和△MAE 中，∵⎩⎨⎧∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME ，DE ＝AE ，∴△NDE ≌△MAE (AAS )．∴ND ＝M A ． ∴四边形AMDN 是平行四边形．命题点三：利用图形的轴对称性解题例6如图，四边形ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AB ＝AE ，则∠B 的大小为( B )A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°例7如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE ＝6＋22. 命题点四：利用图形的中心对称性解题例8如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC 的大小为( D )A．35° B．45° C．50° D．55°例9如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s，运动时间为t(s)．当AC＝16 cm，BD＝12 cm，且以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形时，t＝ 2或14 .命题点五：用旋转的方法解决问题例10如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6,0)，C(0,23)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(－23，6) .例11如图，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝2，则线段EF的长的取值范围是3≤EF≤2 .命题点六：巧用公式解决面积有关的问题例12如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm例13如图，在矩形ABCD中，M为边BC上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为255.命题点七：在矩形、菱形中的拼接问题例14如图，四张大小不一样的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在矩形的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得涂色部分的周长( B)A．① B．② C．③ D．④例15如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中两张等腰三角形纸片的面积都为S1，且AE＝AH，CF＝CG，另外两张三角形纸片的面积都为S2，中间一张菱形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3课后练习1．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△EFC是等腰直角三角形，∠FEC＝90°，则AE的长是( A )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连结BM ，DN .若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于( C )A ．38B ．23C ．35D ．453．如图，在菱形ABCD 中，边BC 的长为5，高DE 的长为3(垂足E 落在BC 边上)，则AC 的长为( A )A ．310B ．4 5C ．8D ．104．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE 等于( D )A ．1＋ 2B ． 6C ．23－1D ．1＋ 35．如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积( A )A．①或③ B．② C．④ D．以上选项都可以6．如图，在矩形中ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH ＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有( C )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在长方形ABCD中，M是AD边的中点，N是DC边的中点，AN与MC交于点P.若∠MCB ＝∠NBC＋33°，则∠MPA的度数为 33°.8．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，P为BC上一点，PF⊥AC，PE⊥BD，则PF＋PE 的值为 4.8 .9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒 (t>0)，过点D作DF⊥BC于点F，连结EF，当四边形AEFD为菱形时，t的值为103.10．如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG.若菱形ABCD的边长为7，菱形DEFG的边长为13，菱形FMHN的边长为6，BH＝40，DF＝24，则四边形CEMG的面积为 160 .11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝5，∠EAF＝45°，则AF的长为4103.12．将矩形ABCD绕点A按顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝C D．(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．13．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE.点E的位置随着点P位置的变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是CE⊥AD.(2)当点E在菱形ABCD外部时，题(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由 (选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)．(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连结BE，若AB＝23，BE＝219.求四边形ADPE的面积．解：(2)仍然成立．选图②，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∵BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴BA＝C A．∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS)．∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥A D．选图③，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.同理可得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥A D．(3)连结AC交BD于点O，连结CE交AD于点H.由题(2)可知，BP＝CE，CE⊥A D．在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥B C．∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝2192－232＝8. ∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，BD＝2BO＝2AB·32＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝2. ∴OP＝5，AP＝AO2＋OP2＝27.S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋12×27×27×32＝3＋73＝8 3.14．(自主招生模拟题)如图，AB＝CD，BC＝2AD，∠ABC＝90°，∠BCD＝ 30°.则∠BAD的大小为( B )A．25° B．30° C．35° D．45°15．(自主招生模拟题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，O，B，C的对应点分别为D，E，F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为30＋3344.16．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图①，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．(1)判断与操作如图②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．(2)探究与计算已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．(3)归纳与拓展已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c(b<c)，且它是4阶奇异矩形，求b∶c(直接写出结果)．解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下．(2)裁剪线的示意图如下．(3)b∶c的值为15，45，27，37，47，57，38，58.。
北师大版九年级上册数学同步培优第一章特殊平行四边形 全章热门考点整合专训
解得OE－OF＝9.6.∴OE＋OF的值发生变化，OE，OF之
间的数量关系为OE－OF＝9.6.
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11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部， ∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB， OB，OC，AC的中点．
【答案】 B
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5．【2021·鞍山】如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点， DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作 AF∥ED交CD的延长线于点F.求证：四边形AEDF是 菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD. ∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形． ∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE. ∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C.∴∠BAD＝∠ADE. ∴AE＝DE.∴平行四边形AEDF是菱形．
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14．阅读
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，
y2)为端点的线段的中点坐标为 运用
x1＋2 x2，y1＋2 y2.
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别
在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)， 则点M的坐标为_(_2_，__1_.5_)_；
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4．【2021·河池】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点
E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的
长是( ) A．2 2
B.32 2
C.43 2
D.54 2
【点方法】由于BF⊥EF，所以过F作AB的垂线交 AB于N，交CD于M，证明△MFE≌△NBF，设 ME＝x，利用MN＝4列方程，即可求解．
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(word版)八年级下期数学培优思维训练(特殊平行四边形)
八年级下期数学培优思维训练三、平行四边形〔特殊平行四边形〕〔一〕知识梳理：〔二〕方法归纳：〔三〕范例精讲：1.如图，在RTABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，CE⊥AB于E，交AD于G，DF⊥AB于F.求证：四边形CGFD是菱形.2.〔1〕如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF.〔2〕如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF.〔3〕过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使AF=AC，假设作菱形CAFE.求证：AE及AF三等分∠BAC.1如图，E，F，分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，M为BC的延长线上一点，CH平分∠DCM 交AD延长线于H，FG⊥AF交CH于G.求证：〔1〕ABF≌ΔDAE，AF⊥DE；〔2〕AEF≌ΔFCG；〔3〕四边形EFGD是平行四边形.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、△ACE、△BCF.〔1〕求证：四边形DAEF是平行四边形；〔2〕探究以下问题：〔只填满足的条件，不需证明〕①当△ABC满足条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件时，四边形DAEF是正方形；④当△ABC满足条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．2如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H.求证：AH＝AD.6.假设以直角三角形ABC的边AB为边，在△ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA至点G使AG=BC.求证：BG=CD.7.如图1，正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，交∠CBE的平分线于点N．〔1〕DM与MN相等吗？试说明理由．〔2〕假设将条件“M为AB的中点〞改为“M为AB上任意一点〞，其它条件不变，如图2，那么DM与MN相等吗？为什么？38.如图，菱形ABCD的边长是2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且AE+CF=2.〔1〕求证：△BDE≌△BCF；〔2〕判断△BEF的形状，并说明理由.9.正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC〔或它们的延长线〕于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时〔图1〕，易证BM+DN=MN．〔1〕当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时〔图2〕，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；〔2〕当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想；〔3〕运用在〔1〕解答中所积累的经验，完成下题：如图4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC〔BC＞AD〕，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．4正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.〔1〕当点P与点O重合时〔如图①〕，猜想AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；〔2〕当点P在线段DB上〔不与点D、O、B重合〕时〔如图②〕，探究〔1〕中的结论是否成立？假设成立，写出证明过程；假设不成立，请说明理由；〔3〕当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断〔1〕中的结论是否成立？假设成立，直接写出结论；假设不成立，请写出相应的结论.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．〔1〕如图1，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；〔2〕如图2，当点P在线段OC上时，〔1〕中的猜想还成立吗？请说明理由；〔3〕如图3，当点P在AC的延长线上时，请在图3中画出相应的图形〔尺规作图，保存作图痕迹，不写作法〕，并判断〔1〕中的猜想是否成立？假设成立，请直接写出结论；假设不成立，请说明理由．5如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．〔1〕求证：△AMB≌△ENB；〔2〕①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；〔3〕当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．13.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．〔1〕如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状〔不要求证明〕；〔2〕如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α〔0°＜α＜90°〕，①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．6〔四〕思维训练：1.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：DE=DF.如图，矩形ABCD，延长CB到点E，使CE=CA，点F是AE的中点.求证：BF⊥DF.A DF3.E4.B C5.6.7.8.9.10.11.12.如图，在△AEC中，以∠AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AH的中点是M．求证：△FMH是等腰直角三角形．74.〔1〕如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．〔2〕如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由．〔3〕在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，假设EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．〔1〕如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________；〔2〕如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；〔3〕如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________；位置关系为_________．8正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．〔1〕如图2，假设点P在线段AO上〔不与点A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；〔2〕假设点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断〔1〕中的结论①、②是否分别成立？假设不成立，写出相应的结论．〔所写结论均不必证明〕正方形ABCD．〔1〕如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；〔2〕如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；〔3〕当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边〔或它们的延长线〕截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n 与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．9操作例如：对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．实践与探究：〔1〕对于边长分别为a，b〔a＞b〕的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法〔类比图1，用数字表示对应的图形〕；〔2〕对于n〔n是大于2的自然数〕个任意的正方形，能否通过假设干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．10如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上〔CG＞BC〕，取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：〔1〕如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来〔要求至少写3步〕；〔2〕在你经历说明〔1〕的过程后，可以从以下①、②、③中选取一个补充或更换条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°〔如图〕，其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后〔如图〕，其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．11操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A、P两点间的距离为x．〔1〕点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论〔如图1〕；〔2〕点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域〔如图2〕；〔3〕点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由〔如图3〕．〔图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用〕．12。
2024年中考数学总复习第二部分考点培优训练第27课时特殊的平行四边形
（2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形.
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（2）添加条件①，证明如下：
在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD.
＝，
在△ABM和△DCM中，ቐ∠ = ∠，
＝，
∴△ABM≌△DCM，∴∠A＝∠D.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，
∴∠A＝∠D＝90°，
＝ .
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13.【情境新】如图①是一种利用了四边形的不稳定性的千斤顶.如图②所示，
该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变
∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之
间的距离）.若AB＝40 cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了
）
20°，则∠2的度数为（ C
A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
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3.【2023株洲】如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交
于点O，下列说法正确的是（ A
）
A.点O为矩形ABCD的对称中心
B.点O为线段AB的对称中心
C.直线BD为矩形ABCD的对称轴
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6.【2023武威】如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，
BC与AD分别重合，折痕分别为FH，GE，展开后连接GF，
《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册
2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》专题培优提升训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．2．如图，O是正方形ABCD对角线AC，BD的交点，AF平分∠BAC，交BD于点M，DE ⊥AF于点H，分别交AB，AC于点E，G．（1）证明△AED≌△BF A；（2）△ADM是等腰三角形吗？请说明理由；（3）若OG的长为1，求BE的长度．3．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．（1）求证：CE＝FE；（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．4．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．5．如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长．6．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，H是AF的中点．（1）求证：CH＝AF；（2）若BC＝1，CE＝3，求CH的长．7．四边形ABCD是正方形，点M在边BC上（不与端点B、C重合），点N在对角线AC上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接DN、NG．（1）若AB＝10，BM＝2，求NG的长；（2）求证：DN＝NG．8．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝3，求BE的长．9．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．10．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．12．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．14．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF ∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．16．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．17．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE ＝EN，连接CN、CE．（1）求证：△CAN为直角三角形．（2）若AN＝4，正方形的边长为6，求BE的长．18．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．20．探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．21．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G．（1）求证：BG＝CE；（2）若AB＝4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．2．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∵DE⊥AF，∴∠DAH+∠ADE＝90°，∵∠DAH+∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，在△AED和△BF A中，，∴△AED≌△BF A（ASA）．（2）△ADM是等腰三角形，理由如下：∵∠BAC＝45°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝22.5°，∴∠DAM＝∠DAC+∠CAF＝67.5°，∴∠DMA＝180°﹣∠DAM﹣∠ADM＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠DAM＝∠DMA，∴△ADM是等腰三角形．（3）∵∠ADE＝∠BAF＝22.5°，∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADE＝67.5°，∴∠DGC＝180°﹣∠GCD﹣∠CDG＝67.5°，∴CG＝CB，∵AE∥CD，∴∠AEG＝∠CDG＝67.5°，∴AE＝AG，如图，作FK⊥AC于点K，设AG＝AE＝x，∵AO＝AG+OG＝x+1，∴AB＝BC＝AO＝（x+1），AC＝2AO＝2（x+1），∵△AED≌△BF A，∴BF＝AE＝x，∵AF平分∠BAC，∴FK＝BF＝x，∵S△ABF＝AB•BF，S△ACF＝AC•FK，∴＝＝，又∵＝，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴BE＝AB﹣AE＝（x+1）﹣x＝2．解法二：BF＝x之后，可以直接AB＝（x+1），BC＝x+x，由AB＝BC，可以直接解出x．3．解：（1）连结DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，在△ABE和△DF A中，，△ABE≌△DF A（AAS），∴AB＝CD＝DF，在Rt△DFE和Rt△DCE中，，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．∴CE＝FE．（2）∵△DEF≌△DEC，∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，设AD＝x，则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，∴（x﹣1）2+52＝x2，∴x＝13，即AD＝13，∴S矩形ABCD＝AD•DC＝65．4．（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．设BM＝BN＝MN＝x，则，故，∴当BM⊥AD时，x最小，此时，，．∴△BMN面积的最小值为．5．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝FC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，根据勾股定理，得AE＝＝＝5，∵四边形AECF是菱形，∴EC＝AE＝5，∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵DG⊥AE，∴∠DGA＝∠B＝90°，∴DG＝．6．（1）证明：如图，延长AD交EF于M，连接AC，CF，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴；（2）解：方法一：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，在Rt△AMF中，由勾股定理得：＝，∴．方法二：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，∴AC＝，CF＝3，∴AF＝＝，∴．7．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝10，BM＝2∴AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E∵四边形ABCD是正方形∴DE＝∵AC为正方形对角线∴∠ACB＝45°∵MN⊥AC∴MN＝NC设MN＝NC＝a，AN＝b∴由勾股定理AM＝∵MN⊥AC，点G是AM的中点∴GN＝∵AC＝a+b∴DE＝EC＝∴EN＝EC﹣NC＝DN＝∴DN＝NG8．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△AGD和△AEB中，，∴△AGD≌△AEB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：作AH⊥DG于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AD＝AB＝5，AE＝AG＝3．∴由勾股定理得：EG＝＝6，AH＝GH＝EG＝3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DH＝＝4，∴BE＝DG＝DH+GH＝3+4＝7．9．解：（1）结论：PB＝PQ，理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；（2）结论：PB＝PQ．理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，在△PQF和△PBE中，，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ．10．（1）证明：∵O是对角线AC的中点，∴AO＝CO，∵矩形ABCD的边AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∵EF⊥AC，∴∠AOE＝∠COF＝90°，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝10cm，设AB＝x，∵△ABF的面积为24cm2，∴BF＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2，即x2+（）2＝102，x4﹣100x2+2304＝0，解得，x1＝6，x2＝8，∴BF＝＝8cm，BF＝＝6cm，所以，△ABF的周长＝6+8+10＝24cm．11．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．12．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF≌△ADH（SAS）．∴AF＝AH，BF＝DH．∵Rt△F AH是等腰直角三角形，∴HF＝AF．∵HF＝DH+DF＝BF+DF，∴BF+DF＝AF．13．解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．方法二：过M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH＝CF＝3，∴MH＝CE＝3，∴DH＝11，∴DM＝＝．14．（1）证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝F A，∴EC＝EA＝FC＝F A，∴四边形AECF为菱形；（3）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵ED＝6，AE＝10，∴EF＝2ED＝12，AD＝＝8．∴AC＝2AD＝16，∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×16×12＝96．15．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．16．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，由（1）可知，FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵MN∥BC，∴∠AOE＝∠ACB∵∠ACB＝90°，∴∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．17．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE；∵AE＝CE，AE＝EN，∴∠EAC＝∠ECA，CE＝EN，∴∠ECN＝∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N＝180°，∴∠ACE+∠ECN＝90°，即∠ACN＝90°，∴△CAN为直角三角形；（2）∵正方形的边长为6，∴AC＝BD＝6，∵∠ACN＝90°，AN＝4，∴CN＝＝2，∵OA＝OC，AE＝EN，∴OE＝CN＝，∵OB＝BD＝3，∴BE＝OB+OE＝4．18．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD．在△AFE和△DCE中，∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF＝DC，∵BD＝DC，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．19．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．20．解：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三点共线，在△AEF与△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠F AE＝∠F AE，即∠F′AE＝∠F AE，在△F′AE与△F AE中，，∴△F′AE≌△F AE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．21．（1）证明：∵正方形ABCD中，AC、BD相交于O，∴BO＝CO，BO⊥CO，∵BF⊥EC，∴∠5＝∠6＝∠7＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴△BOG≌△CEO，（AAS）∴BG＝CE．（2）解：∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠1＝∠8，∵BF＝BF，∠9＝∠6＝90°，∴△BEF≌△BCF（ASA），∴BE＝BC＝4，∵四边形BCD是正方形∴∠AOB＝90°，AO＝BO设AO为x，由勾股定理，得2x2＝42解得x＝2∵△BOG≌△COE∴OG＝OE∵OE＝BE﹣BO＝4﹣2，∴OG＝4﹣2．。
特殊平行四边形综合题(培优)
特殊平行四边形综合题（培优）一．选择题（共9小题）1．如图．任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（）A．E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH是菱形B．E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形C．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH可以是平行四边形D．E，F，G，H不是各边中点，四边形EFGH不可能是菱形2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．14B．12C．24D．483．依次连接四边形ABCD的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD的对角线需满足（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AC＝BD且AC⊥BD D．AC⊥BD且AC与BD互相平分4．顺次连接正方形各边中点所成的四边形的面积与原正方形的面积之比为（）A．1：B．1：C．1：3D．1：25．如图，正方形ABCD中，AE＝BF，下列说法中，正确的有（）①AF＝DE；②AF⊥DE；③AO＝OF；④S△AOD＝S四边形BEOF．A．1个B．2个C．3个D．4个6．顺次连接凸四边形各边中点所得到的四边形是正方形时，原四边形对角线需满足的条件是（）A．对角线相等且垂直B．对角线相等C．对角线垂直D．一条对角线平分另一条对角线7．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果∠ADB＝35°，那么∠AOB的度数为（）A．35°B．45°C．70°D．110°8．下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC＝（）A．12B．C．6D．3二．填空题（共21小题）10．如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．11．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．12．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．14．小明作生成“中点四边形”的数学游戏，具体步骤如下：（1）任画两条线段AB、CD，且AB与CD交于点O，O与A、B、C、D任意一点均不重合．连接AC、BC、BD、AD，得到四边形ACBD；（2）分别作出AC、CB、BD、DA的中点A1，B1，C1，D1，这样就得到一个“中点四边形”．①若AB⊥CD，则四边形A1B1C1D1的形状一定是，这样作图的依据是．②请你再给出一个AB与CD之间的关系，并写出在该条件下得到的“中点四边形”A1B1C1D1的形状．15．如图，矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，依次连接它的各边中点得到第一个四边形E1F1G1H1，再依次连接四边形E1F1G1H1的各边中点得到第二个四边形E2F2G2H2，按此方法继续下去，得到的第n个四边形E n F n G n H n的面积等于．16．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有个；第2014个图形中直角三角形的个数有个．17．已知：四边形ABCD的面积为1．如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为．18．梯形的高为4cm，中位线长为5cm，则梯形的面积为cm2．19．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边，其中正确结论的序号是．形DEOF20．若梯形的面积为12cm2，高为3cm，则此梯形的中位线长为cm．21．已知一个梯形的面积为22cm2，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于cm．22．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；⑤CF﹣BF＝EF；④GF＝OF，正确的有.（填序号）23．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点．EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，GF＝5，则AE＝．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，AB＝2，BC＝5，则DE ＝．26．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．27．在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的四个顶点都在坐标轴上．若A（﹣4，0），B （0，﹣3），则菱形ABCD的面积是．28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使得点D落在点D'处，则FC＝．29．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是．30．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）请根据如图完成这个数学问题的证明过程．证明：证明：S筝形ABCD＝S△AOB+S△AOD+S△COB+S△COD．易知，S△AOD＝S△BEA，S△COD＝S△BFC，由等量代换可得：S筝形ABCD＝S△AOB++S△COB+＝S矩形EFCA＝AE•AC＝•．三．解答题（共30小题）31．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．32．如图，已知在四边形中，AC⊥BD交于点O，E、F、G、H分别是四边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形．33．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．34．如图，在等边△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，边CD、BD交于点D，连接AD．（1）请直接写出∠CDB的度数；（2）求∠ADC的度数；（3）用等式表示线段AD、BD、CD三者之间的数量关系，并证明．35．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由；（2）要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．36．在正方形ABCD中，点E是边BC上的中点，在边CD上取一点F，使得AE平分∠BAF．（1）依题意补充图形；（2）小玲画图结束后，通过观察、测量，提出猜想：线段AF等于线段BC与线段CF 的和．小玲把这个猜想与同学们进行交流．通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：考虑到AE平分∠BAF，且∠B＝90°．若过点E作EM⊥AF，则易证AM＝AB ＝BC．这样，只需证明FM＝FC即可．因∠EMF＝∠C＝90°，证FM＝FC即证EF平分∠MEC，所以连接EF．想法2：考虑到E是BC中点，若延长AE，交DC的延长线于点G，则易证CG＝AB，则CF+BC＝CF+CG＝FG．要证AF＝BC+CF，只需证F A＝FG即可．想法3：小米在课外小组学习了梯形中位线的相关知识，考虑到正方形ABCD所以有BC ＝AB，因此BC+CF＝AB+CF，是梯形上、下底之和，结合“E是BC中点”，易联想到梯形中位线的性质，从而解决问题．…请你参考上面的想法，帮助小玲证明AF＝BC+CF．（一种方法即可）37．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．38．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，连接GF、HD．求证：①FG+BE≥BF；②∠HGF＝∠HDF．39．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝10，M是AB的中点，MD⊥DC，D 是垂足，sin∠C＝，求梯形ABCD的面积．40．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE＝CF，连接AE、BF相交于点G．现给出了四个结论：①AE＝BF；②∠BAE＝∠CBF；③BF⊥AE；④AG＝FG．请在这些结论中，选择一个你认为正确的结论，并加以证明．结论：．41．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD．（1）请再写出图中另外一对相等的角；（2）若AC＝6，BC＝9，试求梯形ABCD的中位线的长度．42．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF长为20，AC与EF交于点G，GF ﹣GE＝5．求AB、CD的长．43．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD＝a，BC＝b．（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图．求证：EF∥BC，且EF＝；（2）如果，如图，判断EF和BC是否平行，并用a、b、m、n的代数式表示EF．请证明你的结论．44．如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E 顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M．（1）请写出∠ECF的度数，并给出证明；（2）求证：点M是线段AF的中点；（3）直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．45．四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，CE＝CD，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．46．在正方形ABCD中，P是射线CB上的一个动点，过点C作CE⊥AP于点E，射线CE 交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，当点P在线段CB上时（不与端点B，C重合）．①求证：∠BCF＝∠BAP；②求证：EA＝EC+EB；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时（BP＜BA），依题意补全图2并用等式表示线段EA，EC，EB之间的数量关系．47．如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E 作EF⊥BE交直线CD于点F，过点F作FG⊥AC交直线AC于点G．（1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．48．已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系；②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．49．如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB'，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是．（2）请你结合图1写出一条完美筝形的性质．（3）当图3中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝．（4）当图2中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有（写出筝形的名称：例筝形ABCD）．50．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．51．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作射线EF．（1）若∠DAB＝60°，EF∥AB交BC于点H，请在图1中补全图形，并判断四边形ABHE 的形状；（2）如图2，若∠DAB＝90°，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG，请在图2中补全图形，猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若∠DAB＝α（0°＜α＜90°），EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．请在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹），直接写出线段EG，AG，BG之间的数量关系（用含α的式子表示）．52．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．（1）小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是；（2）小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．求证：．证明：（3）小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是．（写出一条即可）53．如果一个四边形ABCD满足AB＝AD且BC＝CD，则称四边形ABCD为筝形．（1）如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点H，求证：AC⊥BD．（2）求证：筝形ABCD的面积S＝AC•BD．（3）如图2，在筝形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD，BD＝8，过点B作BF⊥CD于点，交AC于点E，过点F作FM⊥AB于点M，若四边形ABED是菱形，求FM的长．54．已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点F为CD上任意一点（不与C、D重合），过点F作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．（1）①依题意补全图1；②线段EF、CF、AE之间的等量关系是．（2）在图1中将△DEF绕点D逆时针旋转，当点F、E、C在一条直线上（如图2）．线段EF、CE、AE之间的等量关系是．写出判断线段EF、CE、AE之间的等量关系的思路（可以不写出证明过程）55．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，射线AP位于该菱形外侧，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，直线DE与直线AP交于F，连接BF，设∠P AB＝α．（1）依题意补全图1；（2）如图1，如果0°＜α＜30°，判断∠ABF与∠ADF的数量关系，并证明；（3）如图2，如果30°＜α＜60°，写出判断线段DE，BF，DF之间数量关系的思路；（可以不写出证明过程）（4）如果60°＜α＜90°，直接写出线段DE，BF，DF之间的数量关系．56．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上，点Q在直线AD上，且∠CPQ ＝120°．（1）如图1，若点P为菱形ABCD的对角线的交点．①依题意补全图1；②猜想PC与PQ的数量关系并加以证明；（2）如图2，若∠CPD＝80°，连接CQ，写出求∠PQD度数的思路．57．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：EG＝BC；（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：．58．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC ＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．59．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．60．在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME＝MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB＝．。
中考数学一轮复习 特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 专题培优、能力提升复习讲义(含答案)
特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。
专题44 特殊的四边形 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题44特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：AP＝AQ．理由如下：如图，取BC的中点H，连接MH，NH．∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=12EC．∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=12BD．∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM；∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，同理∠HNM＝∠QPA．∴△APQ为等腰三角形，∴AP＝AQ．【巩固】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，求线段BC的长．二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点B 的对应点E 落在CD 边上，GH 为折痕，已知AB ＝6，BC ＝10．当折痕GH 最长时，线段BH 的长为 ．【解答】解：由题知，当E 点与D 点重合时GH 最长， 设BH ＝x ，则CH ＝10﹣x ，HE ＝BH ＝x ， 由勾股定理得，HC 2+CE 2＝HE 2， 即（10﹣x ）2+62＝x 2， 解得x ＝6.8， 故答案为：6.8．【巩固】如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，（1）如图1，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 的对应点M 恰好在BC 边的中点，求AD AB的值；（2）如图2，若点E 为CD 的中点，过点A 作AF ⊥BE 于F ，连接DF ，求证DF ＝BC ．三、直角三角形斜边上的中线【典例】如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.5【解答】解：∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴∠EAF ＝90°，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ， ∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ，AP 互相平分．且EF ＝AP ， ∴EF ，AP 的交点就是M 点．∵当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当AP ⊥BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小． ∵12AP •BC =12AB •AC ，∴AP •BC ＝AB •AC ． ∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴5AP ＝3×4， ∴AP ＝2.4， ∴AM ＝1.2； 故选：C ． 【巩固】如图，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，四边形ABDE 为平行四边形，若AD ＝6，BC ＝8，则CE 的长为 ．四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=1 4S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AE=12AB＝2，∴S△PBC=14S菱形ABCD=14×4×2＝2，设点P到BC的距离为h，∴h＝1，即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值＝CG，∵BG⊥l，∴BG⊥BC，∴∠CBG＝90°，BG＝2h＝2，∴CG=√22+42=2√5，【巩固】如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+PB 2的值最小时，线段PD长是．巩固练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E 不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论．其中错误的是（）A．∠GEB与∠GFB一定互补B．点G到边AB，BC的距离一定相等C．点G到边AD，DC的距离可能相等D．点G到边AB的距离的最大值为2√22．如图，分别以R t△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当ACAB=时，四边形ADFE是平行四边形．3．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．4．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．5．如图，在矩形ABCD中，AD=√3AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．6．如图，菱形ABCD，AB＝5，E在BC上，BE＝4，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE，若∠A＝4∠DEG，则EF的长为．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P 为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：四边形BDFG是菱形：（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求四边形BDFG的面积．9．已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG．①求证：DG＝CG；②若BC＝2AB，求∠DGC的大小；（2）如图2，AB＝BC＝6，M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接MP，PQ，若PQ⊥MP，直接写出CN的长．10．已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系x O y中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE＝5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，并且OC＞OE．（1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，﹣20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．11．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）线段AO的长为；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=√33AC；（3）连接EM．若△AFM的周长为3√29，请直接写出△AEM的面积．12．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC=√3，请你直接写出DM+CN的最小值．专题44特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：AP＝AQ．理由如下：如图，取BC的中点H，连接MH，NH．∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=12EC．∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=12BD．∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM；∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，同理∠HNM＝∠QPA．∴△APQ为等腰三角形，∴AP＝AQ．【巩固】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，求线段BC的长．【解答】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD ＝2x ，AD ∥EF ，∴∠CAD ＝∠CEF ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2x ，∴∠ACB ＝∠CAD ＝45°，∵EM ⊥BC ，∴∠EMC ＝90°，∴△EMC 是等腰直角三角形，∴∠CEM ＝45°，连接BE ，∵AB ＝OB ，AE ＝OE∴BE ⊥AO∴∠BEM ＝45°，∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，∴BM ＝FE ，易得△ENF ≌△MNB ，∴EN ＝MN =12x ，BN ＝FN ＝5，R t △BNM 中，由勾股定理得：BN 2＝BM 2+MN 2，即52＝x 2+（12x ）2， 解得，x ＝2√5，∴BC ＝2x ＝4√5．答：线段BC 的长为4√5．二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点B 的对应点E 落在CD 边上，GH 为折痕，已知AB ＝6，BC ＝10．当折痕GH 最长时，线段BH 的长为 ．【解答】解：由题知，当E 点与D 点重合时GH 最长，设BH ＝x ，则CH ＝10﹣x ，HE ＝BH ＝x ，由勾股定理得，HC 2+CE 2＝HE 2，即（10﹣x ）2+62＝x 2，解得x ＝6.8，故答案为：6.8．【巩固】如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，（1）如图1，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 的对应点M 恰好在BC 边的中点，求AD AB 的值；（2）如图2，若点E 为CD 的中点，过点A 作AF ⊥BE 于F ，连接DF ，求证DF ＝BC ．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，由折叠可得AD ＝AM ，∴BC ＝AM ，又∵M 是BC 的中点，∴BM =12BC =12AM ，又∵∠B ＝90°，∴R t △ABM 中∠BAM ＝30°，∴BM =12AM ，AB =√3BM ，∴AM AB =√3BM =23√3，即AD AB =23√3；（2）证明：如图2所示，延长BE ，AD ，交于点G ，则∠BEC ＝∠GED ，∵AG ∥BC ，∴∠G ＝∠CBE ，∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△BCE 和△GDE 中，{∠BEC =∠GED ∠CBE =∠G CE =DE ，∴△BCE ≌△GDE （AAS ），∴DG ＝BC ＝AD ，即D 是AG 的中点，又∵AF ⊥BG ，∴R t △AFG 中，DF =12AG ＝AD ，又∵矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∴DF ＝BC ．三、直角三角形斜边上的中线【典例】如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.5【解答】解：∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴∠EAF ＝90°，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ，AP 互相平分．且EF ＝AP ，∴EF ，AP 的交点就是M 点．∵当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当AP ⊥BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．∵12AP •BC =12AB •AC ， ∴AP •BC ＝AB •AC ．∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴5AP ＝3×4，∴AP ＝2.4，∴AM ＝1.2；故选：C ．【巩固】如图，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，四边形ABDE 为平行四边形，若AD ＝6，BC ＝8，则CE 的长为 ．【解答】解：如图，过点B 作BF ∥CD ，且BF ＝CD ，连接DF ，CF ，AF ，∵BF ∥CD ，DC ＝BF ，∴四边形BDCF 是平行四边形，且∠BDC ＝90°，∴四边形BDCF 是矩形，∴BC＝DF＝8，CF∥BD，CF＝BD，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD＝AE，∴AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠CAD＝∠CBD，∵四边形BDCF是矩形，∴∠DBC＝∠DFC，∠FCD＝90°，∴∠DFC＝∠DAC，∴点A，点F，点C，点D四点共圆，∴∠FAD+∠FCD＝180°，∴∠FAD＝90°，∴AF=√DF2−AD2=√82−62=2√7，∴EC＝2√7，故答案为：2√7．四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=1 4S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AE=12AB＝2，∴S△PBC=14S菱形ABCD=14×4×2＝2，设点P到BC的距离为h，∴h＝1，即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，则此时，PB +PC 的值最小，PB +PC 的最小值＝CG ，∵BG ⊥l ，∴BG ⊥BC ，∴∠CBG ＝90°，BG ＝2h ＝2，∴CG =√22+42=2√5，【巩固】如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 是直线BD 上一动点，连接PC ，当PC +PB 2的值最小时，线段PD 长是 ．【解答】解：如图，过P 作PE ⊥BC 于E ，连接AP ，由菱形ABCD ，可得AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ＝∠ADP ＝30°，∴△ABP ≌△CBP ，BP ＝2PE ，∴AP ＝CP ，∴PC +PB 2=AP +PE ， ∵当点A ，P ，E 在同一直线上时，AP +PE 最短， ∴此时，PC +PB 2的值最小，AP ⊥AD ，∵R t △ABE 中，AB ＝2，∴BE ＝1，AE =√3，∴R t △BEP 中，PE =13√3， ∴AP =23√3， ∵∠ADP ＝30°，∴R t △ADP 中，PD ＝2AP =43√3，故答案为：43√3．巩固练习1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，点E 不与A ，B 重合，且EF ＝AB ，G 是五边形AEFCD 内满足GE ＝GF 且∠EGF ＝90°的点．现给出以下结论．其中错误的是（ ）A ．∠GEB 与∠GFB 一定互补B ．点G 到边AB ，BC 的距离一定相等C ．点G 到边AD ，DC 的距离可能相等D ．点G 到边AB 的距离的最大值为2√2【解答】解：A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，又∵∠EGF ＝90°，四边形内角和是360°，∴∠GEB +∠GFB ＝180°，故A 正确；B 、过G 作GM ⊥AB ，GN ⊥BC ，分别交AB 于M ，交BC 于N ，∵GE ＝GF 且∠EGF ＝90°，∴∠GEF ＝∠GFE ＝45°，又∵∠B ＝90°，∴∠BEF +∠EFB ＝90°，即∠BEF ＝90°﹣∠EFB ，∵∠GEM ＝180°﹣∠BEF ﹣∠GEF ＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB ）＝45°+∠EFB ， ∠GFN ＝∠EFB +∠GFE ＝∠EFB +45°，∴∠GEM ＝∠GFN ，在△GEM 和△GFN 中，{∠GME =∠GNF∠GEM =∠GFN GE =GF ，∴△GEM≌△GFN（AAS），∴GM＝GN，故B正确；C、∵AB＝4，AD＝5，并由B知，点G到边AD，DC的距离不相等，故C错误：D、在直角三角形EMG中，MG≤EG，当点E、M重合时EG最大，∵EF＝AB＝4，∴GE＝EB＝BF＝FG＝4×√22=2√2，故D正确．故选：C．2．如图，分别以R t△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当ACAB=时，四边形ADFE是平行四边形．【解答】解：当ACAB =√32时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵ACAB =√32，∴∠CAB＝30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB＝60°，AE＝AB，∴∠FEA＝30°，又∠BAC＝30°，∴∠FEA＝∠BAC，在△ABC和△EAF中，{∠ACB =∠EFA∠BAC =∠AEF AB =AE，∴△ABC ≌△EAF （AAS ）；∵∠BAC ＝30°，∠DAC ＝60°，∴∠DAB ＝90°，即DA ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ，∵△ABC ≌△EAF ，∴EF ＝AC ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．故答案为：√32．3．如图，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为 ．【解答】解：如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH=√DH2+CD2=√1+1=√2，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH=12AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH=√2+1，故答案为：√2+1．4．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝120°，∴∠HAD＝60°，∵DH⊥AB，∴AH=12AD，DH=√32AD，∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴AE＝2，AH＝2，∴EH＝4，DH＝2√3，在R t△EHD中，DE=√EH2+DH2=√42+(2√3)2=2√7，∴EF+BF的最小值为2√7．故答案为：2√7．5．如图，在矩形ABCD中，AD=√3AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD=√3AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN•sin30°=12DN，∵AN+DN＝AD，∴AN=13AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'=12AB，N点运动的距离是NN'=12AD−AN=12AD−13AD=16AD，又∵AD=√3AB，∴NN'=16×√3AB=√36AB=√33MM'，∴N 点的运动速度是M 点的√33， 故①正确，当M 在M '位置时， ∵∠OM 'A ＝90°，∠N 'AB ＝90°，∠M 'ON '＝90°，∴四边形AM 'ON '是矩形，∴此时S △AMN ＝S △MON ，故②正确，令AB ＝1，则AD =√3，设BM ＝x ，则N 点运动的距离为√33x ， ∴AN =13AD +√33x =√33+√33x ，∴S △AMN =12AM •AN =12（AB ﹣BM ）•AN =12（1﹣x ）（√33+√33x ）=√36−√36x 2， ∵0≤x ≤1，在x 的取值范围内函数√36−√36x 2的图象随x 增加而减小， ∴S △AMN 逐渐减小，故③正确，∵MN 2＝（AB ﹣BM ）2+（AD ﹣DN ）2＝AB 2﹣2AB •BM +BM 2+AD 2﹣2AD •DN +DN 2＝（AB 2﹣2AB •BM +3AB 2﹣2√3AB •DN ）+BM 2+DN 2＝（4AB 2﹣2AB •BM ﹣2√3AB •DN ）+BM 2+DN 2， ∵AN =13AD +√33BM =√33AB +√33BM ，∴DN ＝AD ﹣AN =√3AB ﹣（√33AB +√33BM ）=2√33AB −√33BM ， ∵2√3AB •DN ＝2√3AB ×（2√33AB −√33BM ）＝4AB 2﹣2AB •BM ， ∴MN 2＝（4AB 2﹣2AB •BM ﹣2√3AB •DN ）+BM 2+DN 2＝BM 2+DN 2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO 交CD 于M '，∵∠MOB ＝∠M 'OD ，OB ＝OD ，∠DBA ＝∠BDC ，∴△OMB ≌△OM 'D （ASA ），∴BM ＝DM '，OM ＝OM '，连接NM '，∵NO ⊥MM '，则MN ＝NM '，∵NM '2＝DN 2+DM '2，故④正确，故答案为：①②③④．6．如图，菱形ABCD，AB＝5，E在BC上，BE＝4，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE，若∠A＝4∠DEG，则EF的长为．【解答】解：如图，过点D作DM⊥BD，交BC的延长线于点M，设∠DEG＝α，则∠A＝4α，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣4α，∠ABD＝∠CBD＝∠BDC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDC＝90°﹣2α，∴∠M＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，∠CDM＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝5，∵EG⊥AD，∴∠BEG＝90°，∴∠DEM＝180°﹣∠BEG﹣∠DEG＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，∴∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣∠M＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，∴DM＝EM＝EC+CM＝1+5＝6，∴BM＝BC+CM＝5+5＝10，∴BD=√BM2−DM2=√102−62=8，∵∠BEF＝∠BDM＝90°，∠FBE＝∠MBD，∴△FBE∽△MBD，∴EFDM =BEBD，即EF6=48，∴EF＝3．故答案为：3．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P 为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在点P1处，CP1＝BP1，当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2，∴P1P2∥EC且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，∵P1P2∥EC，∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，∴∠P2P1D＝90°，∴DP的长DP1最小，DP2最大，∵CD＝CP1＝DE＝2，∴DP1＝2√2，CE＝2√2，∴P1P2=√2，∴DP2=√(2√2)2+(√2)2=√10，故答案为：2√2≤PD≤√10．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：四边形BDFG是菱形：（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求四边形BDFG的面积．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD=12AC，∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BDFG是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=12AC，∴BD＝DF；∴平行四边形BDFG是菱形；（2）解：作DH⊥AG于H，如图所示：∵四边形BDFG是菱形，∴GF＝BD，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∵点D是AC中点，∴GF＝BD=12AC＝AD＝2，∴∠DBA＝∠BAC＝30°，又∵AG∥BD，∴∠BAF＝∠DBA＝30°，∴∠DAF＝60°，∵DH⊥AG，∴∠ADH＝30°，∴AH=12AD＝1，DH=√3AH=√3，∴S菱形BDFG＝GF•DH＝2×√3=2√3．9．已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG．①求证：DG＝CG；②若BC＝2AB，求∠DGC的大小；（2）如图2，AB＝BC＝6，M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接MP，PQ，若PQ⊥MP，直接写出CN的长．【解答】解：（1）①如图1，过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，∵CE垂直平分BF，∴GB＝GF，∴AM＝BM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADN＝∠MND＝90°，∴四边形ADNM是矩形，∴DN＝AM=12AB=12CD，∵MN垂直平分CD，∴DG＝CG；②连接CF，如图1，∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB．∴∠BCG＝∠FCG=12∠BCF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠CDF＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∵BC＝2AB，∴CF＝2CG，延长CD至H，使得DH＝CD，连接FH，则CF＝CH，∴AD垂直平分CH，∴FH＝FC＝CH，∴∠FCD＝60°，∴∠BCF＝90°﹣∠FCD＝30°，∴∠BCG＝∠FCG＝15°，∴∠GDC＝∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝75°，∴∠CGD＝180°﹣75°×2＝30°；（3）∵MN垂直平分BP，∴MB＝MP，∴∠MBP＝∠MPB，∵MP⊥PQ，∴∠MPQ＝∠A＝90°，∴∠ABP+∠APB＝∠BPM+∠BPQ＝90°，∴∠BPA＝∠BPQ，作BS⊥PQ于S，连接BQ，如图2，∴BA＝BS，∵BP＝BP，∴R t△PBA≌R t△PBS（HL），∴AP＝PS，∵AB＝BC，∴BS＝BC，∵BQ＝BQ，∴R t△QBS≌R t△QBC（HL），∴QS＝QC＝3，∴PQ＝AP+CQ，设AP＝x，PD＝6﹣x，PQ＝3+x，在R t△PQD中，DQ＝3，由勾股定理得，（3+x）2﹣（6﹣x）2＝32，解得，x＝2，∴AP＝2，设BM＝MP＝y，AM＝6﹣y，在R t△AMP中由勾股定理得，y2﹣（6﹣y）2＝22，解得，y=10 3，作NK ⊥AB 于K ，如图2，得四边形AKND 是矩形，∴AB ＝AD ＝KN ，∠A ＝∠MKN ＝90°，∵MN ⊥BP ，∴∠ABP +∠KMN ＝∠KMN +∠KNM ＝90°，∴∠ABP ＝∠KNM ，∴△ABP ≌△KNM （ASA ），∴AP ＝KM ＝2，∴CN ＝BK ＝BM ﹣MK =103−2=43；另一解法：过N 点作NK ⊥AB 于点K ，得四边形AKND 是矩形，∴AB ＝AD ＝MN ，∠A ＝∠MKN ＝90°，∵MN ⊥BP ，∴∠ABP +∠KMN ＝∠KMN +∠KNM ＝90°，∴∠ABP ＝∠KNM ，∴△ABP ≌△KNM （ASA ），∴AP ＝KM ，∵MN 垂直平分BP ，∴MB ＝MP ，不妨设BM ＝MP ＝x ，则AM ＝6﹣x ，∴AP =√x 2−(6−x)2=√12x −36，∴DP ＝6−√12x −36，∵Q 是CD 的中点，∴DQ ＝3，∵PQ ⊥MP ，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠APM +∠AMP ＝∠APM +∠DPQ ＝90°，∴∠AMP ＝∠DPQ ，∴△APM ∽△DQP ，∴AP DQ =AM DP ，即√12x−363=6−√12x−36， 解得，x ＝6或103，∴CN ＝BK ＝AB ﹣AM ﹣MK ＝6﹣（6﹣x ）−√12x −36=x −√12x −36=0或43．舍去CN ＝0，10．已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系x O y中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE＝5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，并且OC＞OE．（1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，﹣20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．【解答】解：（1）∵OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，设OC＝x1，OE＝x2，x1＞x2．∴x1+x2＝﹣（m﹣1）．x1•x2＝12．在R t△COE中，∵OC2+OE2＝CE2，CE＝5．∴x12+x22＝52，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝25．∴[﹣（m﹣1）]2﹣2×12＝25，解这个方程，得m1＝﹣6，m2＝8．∵OC+OE＝x1+x2＝﹣（m﹣1）＞0，∴m＝8不符合题意，舍去．∴m＝﹣6．解方程x2﹣7x+12＝0，得x1＝4，x2＝3．∴OC＝4，OE＝3．△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D．过D点作DG⊥x轴于G．DH⊥y轴于H．∴∠BCA＝∠ACD．∵矩形OABC中，CB∥OA．∴∠BCA＝∠CAE．∴∠CAE＝∠ACD．∴EC＝EA．在R t△COE与R t△ADE中，∵{OC =AD EC =EA∴R t △COE ≌R t △ADE ．∴ED ＝3，AD ＝4，EA ＝5．在R t △ADE 中，DG •AE ＝ED •AD ，∴DG =ED⋅AD AE=125， 在△CHD 中，OE ∥HD ， ∴CE CD =CE HD，55+3=3HD ， ∴HD =245，由已知条件可知D 是第四象限的点，∴点D 的坐标是（245，−125）；（2）∵F 是AC 的中点，∴点F 的坐标是（4，2），设过D 、F 两点的直线的解析式为y ＝kx +b ．∴{4k +b =2245k +b =−125，解得{k =−112b =24， ∴过点D 、F 两点的直线的解析式为y =−112x +24，∵x ＝8，y ＝﹣20满足上述解析式，∴点（8，﹣20）在过D 、F 两点的直线上．11．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝13，BD ＝24，在菱形ABCD 的外部以AB 为边作等边三角形ABE ．点F 是对角线BD 上一动点（点F 不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针方向旋转60°得到线段AM ，连接FM ．（1）线段AO 的长为 ；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=√33AC；（3）连接EM．若△AFM的周长为3√29，请直接写出△AEM的面积．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=12BD＝12，在R t△AOB中，AB＝13，根据勾股定理得，AO=√AB2−OB2=√132−122=5，故答案为5；（2）由旋转知，AM＝AF，∠MAF＝60°，∴△AMF是等边三角形，∴∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠AFC＝180°﹣∠AFM＝120°，∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∴OA＝OC=12AC，在△AOF和△COF中，{OA=OC∠AOF=∠COF=90°OF=OF，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠AFO=12∠AFC＝60°，在R t△AOF中，sin∠AFO=OA AF，AF=OAsin∠AFO=OAsin60°=2√33OA=√33AC，∴AM=√33AC；（3）①当点F在线段OB上时，如图，由（2）知，△AMF是等边三角形，∵△AFM的周长为3√29，∴AF=√29，在R t△AOF中，根据勾股定理得，OF=√AF2−AO2=2，∴BF＝OB﹣OF＝12﹣2＝10，连接EM ，∵△ABE 是等边三角形，∴AE ＝AB ＝13，∠BAE ＝60°，由（1）知，AM ＝AF ，∠FAM ＝60°，∴∠BAE ＝∠EAM ，∴∠EAM ＝∠BAF ，∴△AEM ≌△ABF （SAS ），∴EM ＝BF ＝10，∠AEM ＝∠ABF ，过点M 作MN ⊥AE 于N ，∴∠MNE ＝∠AOB ＝90°，∴△MNE ∽△AOB ，∴MN AO =EM AB ， ∴MN 5=1013，∴MN =5013，∴S △AEM =12AE •MN =12×13×5013=25， ②当点F 在OD 上时，同①的方法得，MN =7013， S △AEM =12AE •MN =12×13×7013=35，即：△AEM 的面积为25或35．12．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°．（1）如图1，点E 为线段AB 的中点，连接DE 、CE 、若AB ＝4，求线段EC 的长；（2）如图2，M 为线段AC 上一点（不与A 、C 重合），以AM 为边向上构造等边三角形AMN ，线段MN 与AD 交于点G ，连接NC 、DM ，Q 为线段NC 的中点，连接DQ 、MQ ，判断DM 与DQ 的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC=√3，请你直接写出DM+CN的最小值．【解答】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABD=12∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE=√42−22=2√3，∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠DEA＝90°，在R t△DEC中，DC＝4，EC=√DC2+DE2=√42+(2√3)2=2√7；（2）如图2，延长CD至H，使DH＝CD，连接NH、AH，∵AD ＝CD ，∴AD ＝DH ，∵CD ∥AB ，∴∠HDA ＝∠BAD ＝60°，∴△ADH 是等边三角形，∴AH ＝AD ，∠HAD ＝60°，∵△AMN 是等边三角形，∴AM ＝AN ，∠NAM ＝60°，∴∠HAN +∠NAG ＝∠NAG +∠DAM ，∴∠HAN ＝∠DAM ，在△ANH 和△AMD 中，∵{AH =AD∠HAN =∠DAM AN =AM，∴△ANH ≌△AMD （SAS ），∴HN ＝DM ，∵D 是CH 的中点，Q 是NC 的中点，∴DQ 是△CHN 的中位线，∴HN ＝2DQ ，∴DM ＝2DQ ．（3）如图2，由（2）知，HN ＝DM ，∴要CN +DM 最小，便是CN +HN 最小，即：点C ，H ，N 在同一条线上时，CN +DM 最小， 此时，点D 和点Q 重合，即：CN +DM 的最小值为CH ，如图3，由（2）知，△ADH 是等边三角形，∴∠H＝60°．∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=12∠BCD=12∠BAD＝30°，∴∠CAH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在R t△ACH中，CH=ACcos30°=2，∴DM+CN的最小值为2．。
北师大版九年级数学上期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形(解析版)
期末备考压轴题专项培优：特殊的平行四边形1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣1）；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：＝+1，＝﹣1）解：（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；过N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH＝BN＝t，∵0＜t≤2，∴点N纵坐标n的取值范围是0＜n≤；故答案为：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤；（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等边三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等边三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，∴BH＝＝＝，∴CH＝2+，∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；∴AM+BM+CM的最小值为+．2．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD为边向外作等边△ADE，连接CE，交BD于F．（1）如图1，若AE＝，求DF的长；（2）如图2，点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，求证：CM＝MF﹣AM．解：（1）如图1，连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OB＝OC∵△ADE是等边三角形∴AD＝DE＝AE＝，∠ADE＝60°∴CD＝AD＝，OD＝OB＝∵AE＝DE，OD＝OA∴OE垂直平分AD即OE⊥AD，DH＝AH∴OE＝OH+EH＝+＝，∵∠ADC＝∠DHE＝90°∴CD∥OE∴△CDF∽△EOF∴＝，即DF＝OF∵DF+OF＝OD＝∴OF＝﹣DF∴DF＝（﹣DF），解得：DF＝﹣1．（2）如图2，连接EO，过点F作PQ⊥CD交EO于N，在MA上截取MT＝MC，连接FT，设正方形边长为a，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形∴AD＝AB＝CD＝DE＝a，∠ADC＝∠DAB＝90°∠ADE＝60°易证OE⊥AD∴OE＝a，OD＝a，由（1）知△CDF∽△EOF∴＝，即a•DF＝a•OF∵DF+OF＝a∴OF＝a﹣DF∴a•DF＝a（a﹣DF）∴DF＝a，∵△DPF是等腰直角三角形∴DP＝PF＝DF＝a，∴FQ＝a﹣a＝a＝CP，∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF在△MCF和△MTF中∴△MCF≌△MTF（SAS）∴CF＝FT∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL）∴QT＝PF＝a，∵AQ＝DP∴AQ＝QT∵BM+AB﹣AT＝MT＝CM∴CM﹣BM＝AB﹣AT＝a﹣2×a＝a，CM+BM＝MT+BM＝BT+2BM＝a﹣2×a+2BM＝a+2BM∴CM2﹣BM2＝（CM﹣BM）（CM+BM）＝a（a+2BM）∵CM2﹣BM2＝BC2＝a2，∴a（a+2BM）＝a2，∴BM＝a在Rt△BCM中，tan∠BMC＝＝＝，∴∠BMC＝60°∴∠AMF＝30°∴＝cos∠AMF＝cos30°＝∴2MQ＝MF∵2MQ＝2BM+2BQ＝2BM+2BT+2QT＝（BM+BT）+（BM+BT+AT）＝CM+AM∴CM+AM＝MF即CM＝MF﹣AM．4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，若EF＝2，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，M为菱形ABCD外一点，过A作AN⊥BM交BM的延长线于点N，连接AM，DM，AG⊥DM于点G，且∠AMN＝∠AMD，求证：DM＝BM+AM．（1）解：如图1中，∵四边形ABC都是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∵EF＝2，∴BF＝2EF＝4，∠BFE＝60°，∵∠BFE＝∠ABF+∠F AB，∴∠ABF＝∠F AB＝30°，∴BF＝AF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，∴AB＝＝4，∴BC＝AB＝4，＝BC•AE＝24．∴S菱形ABCD（2）证明：如图2中，∵∠AMN＝∠AMG，AN⊥MN，AG⊥DM，∴AN＝AG，∵∠MNA＝∠MGA＝90°，AM＝AM，AN＝AG，∴Rt△MAN≌Rt△MAG（HL），∴NM＝MG，∵∠ANB＝∠AGD＝90°，AN＝AG，AB＝AD，∴Rt△ANB≌Rt△AGD（HL），∴∠ABN＝∠ADG，BN＝DG，∴∠BMD＝△BAD＝120°，∴∠NMG＝60°，∴∠AMN＝∠AMG＝30°，∴DM﹣BM＝MG+DG﹣（BN﹣MN）＝2MN＝AM，∴DM＝BM+AM．5．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD＝12，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝6时，四边形BFCE是菱形．（只需完成填空，不需写出具体过程．）（1）证明：∵在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝6．故答案为：6．6．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD 上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．7．如图，边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是AD，AB上的点，AP⊥BE，P为垂足．（1）如图1，AF＝BF，AE＝2，点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，求AT的长；（2）如图2，若AE＝AF，连接CP，求证：CP⊥FP．（1）解：在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°．∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝＝＝，∴∠ABE＝30°．点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，显然此时点T和点P重合，即AT＝AP＝AB＝3；②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°，如图①所示．在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°．在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，∴△FTB是等边三角形，∴TB＝3，AT＝＝3；③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，如图②所示．在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝3．在Rt△ATB中：AT＝＝3．综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；（2）证明：如图③所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4．∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4，∵tan∠1＝，tan∠3＝，∴＝，∵AE＝AF，AB＝BC，∴＝，∴△PBC∽△P AF，∴∠5＝∠6．∵∠6+∠7＝90°，∴∠5+∠7＝90°，即∠CPF＝90°，∴CP⊥FP．8．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）已知AB＝5，AD＝8．求四边形GEHF是矩形时BD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GDE＝∠FBH，∵G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，∴在Rt△AED和Rt△CFB中，EG＝AD＝GD，FH＝BC＝HB，∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，∴∠GED＝∠BFH，∴EG∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：连接GH，当四边形GEHF是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，∵∠FBH＝∠BFH，∴△EFH∽△CBF，∴＝，由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，∴四边形GABH是平行四边形，∴GH＝AB＝5，∵在矩形GEHF中，EF＝GH，且AB＝5，AD＝8，∴＝，解得：BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣5＝，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF＝，∴BD＝BF+DF＝+＝．9．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE 的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，∵BA＝BC，∴BA＝3x．在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，∴AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即40＝x2+9x2，解得x＝2．∴AB＝3x＝6．（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2．∵DE＝DA，DP⊥AF∴∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠3＝45°．∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．∴AH＝AF．∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH．又AB＝AD，∴△ABF ≌△ADH （SAS ）．∴AF ＝AH ，BF ＝DH ．∵Rt △F AH 是等腰直角三角形，∴HF ＝AF ．∵HF ＝DH +DF ＝BF +DF ，∴BF +DF ＝AF ．10．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①，若四边形ABCD 是正方形，且AG ＝BE ＝CH ＝DF ，则S四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，，∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ； 故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝； 【探究】如图③，过O 作KL ⊥AB ，PQ ⊥AD ，则KL ＝2OK ，PQ ＝2OQ ，∵S 平行四边形ABCD ＝AB •KL ＝AD •PQ ，∴3×2OK ＝5×2OQ ， ∴＝，∵S △AOB ＝S 平行四边形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 平行四边形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OK ＝×1×OK ，S △AOG ＝AG •OQ ， ∴×1×OK ＝AG •OQ ，∴＝AG ＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．13．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个点，过点O作直线MN∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．15．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。
3北师大九年级上特殊的平行四边形培优辅导第3讲：正方形
正方形知识点：正方形综合1、如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．知识点：手拉手相关1、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长．3、如图①，若四边形ABCD和四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE。
（1）当正方形GFED绕点D旋转到如图②的位置时，AG=CE是否成立?若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由（2）若正方形GFED绕点D旋转到如图③的位置(点F在线段AD上)时，延长CE交AG于点H,交AD于点M,①求证:AG⊥CH;②当AD=4, DG=2时，求CH的长；（3）在（2）的条件下，在如图所示的平面上，是否存在以A, G, D, N为顶点的四边形为平行四边形的点N?如果存在，请在图中画出满足条件的所有点N的位置，并直接写出此时CN的长度;若不存在，请说明理由。
知识点：半角相关1、如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边BC上，且BE=2CE.将△DCE沿DE对折至△DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG, BF。
下列结论:①△DAG≅△DFG;②DG//BF;③EG=10;④S△BEF=9.6。
其中所有正确结论的序号。
(填序号).2、如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E为CD上一动点，AE交BD于点F,过点F作FH⊥AE于点F,过点H作GH⊥BD于点G,下列有四个结论:①AF=FH, ②∠HAE=45°, ③BD=2FG, ④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有。
(填序号)3、如图①，已知正方形ABCD, △AMN是等腰直角三角形，∠AMN=90°,当Rt△AMN绕点A旋转时，边AM, AN 分别与BC(或延长线），CD(或延长线)相交于点E, F,连接EF,小明与小红在研究图①时，发现有这么一个结论:EF=DF+BE，为了解决这个问题，小明与小红经过讨论，采取了以下方案:延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,得到图②.请你根据小明、小红的思路，结合图②，解决下列问题（1）求证:①△ADF≅△ABG; ②EF=DF+BE；（2）根据图③，①结论EF=DF+BE是否成立?如不成立，写出三线段EF, DF,BE的数量关系并证明.②若CE=6, DF=2,求正方形ABCD的边长。
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特殊的四边形培优1.如图，已知在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE=BE，则∠EDF=______度．1.如图，四边形ABCD是正方形，△BDE是等边三角形，EF⊥DF,则∠BEF=________3.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE 的长为_______FB CA DE4. 如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，∠BAD=120°，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为（ ）5.如图,矩形AEFG 与矩形APQK 的周长都等于120cm,求△ABC 的周长6.如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，DC 边的中点，AN 与MC 交于P 点，若∠MCB=∠NBC+33°，那么∠MPA 的大小是（ ）1. 边长为25cm 的正方形纸片,AD 上有一点P ,且AP=66cm,将这纸片折叠使B 落在P 上,则折痕的长是________2. 已知直角三角形ABCD 中,∠C=90°,AC=3,BC=5,以AB 为边向外作正方形ABEF 求此正方形KGP E BC中心O到C点的距离OC的长________3.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点.（1）求证BF⊥DF（2）若AB=8,AD=6,求DF的长10.如图，已知三角形ABC中，AB=AC,点M为BC 的中点，MG⊥BA于G,MD⊥AC于D,GF⊥AC于点E，GF与DF相交于点F,（1）求证：四边形HGMD是菱形（2）若∠GMD=120°，求证：从M点向所对的HG 和HD边引出的两条垂线MK和MQ分别平分这两条线段.E FQKDG11．如图,将一矩形的每一内角三等分,连接靠近同一边上的两三等分线所交成4交点组成四边形EFGH,试判断四边形EFGH形状12.在正方形ABCD中,AK和AN是∠A内的两射线,BK⊥AK,BL⊥AN,DM⊥AK,DN⊥AN,试求KL=MN1.在锐角△ABC中,BE是高,CF是中线,若∠ACF=30°则BE:CF=________2.如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ：BE=______．3.如图，△ABC中，∠BAC=120°,以AB,AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE,M为AD中点,N为AE中点,P为BC中点,求∠MPN的度数.4.凸五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,∠CAD=30°,∠BAE=70°,F是CD中点,且FB=FE,则∠BAC=_________.5.已知：如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ。
6．如图,在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,E,F,G,H,分别是AD ,BC,BE ,CE的中点.（1）.求证:四边形EGFH是菱形（2）.若BC=2AD.且梯形ABCD的面积为30平方厘米,求四边形EGFH的面积7.已知△ABC 中,∠B=2∠C,AD ⊥BC 于D,M 为BC 的中点,求证:DM=1/2AB8. 在△ABC 中,点D 在CA 的延长线上且AD=12 AC,E 为BC 的中点,DE 交AB 于F ，过F 引直线MN 垂直DE ，P 为MN 上一点，求证PD=PEFA BCDP910. 线段AB,CD 相交于点O,且AB=CD,E,F 分别为BC,AD 的中点，连接EF 分别交AB,CD 于P,H 如图，求证：OP=OHHP EF CDOA1.如图,在平行四边形ABCD 中,BC=2AB,M是AD的中点,CE⊥AB于点E.求证：∠DME=3∠AEM.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D 是直线AC上的一个动点．（1）求点A，B，C的坐标；（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标；（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．BECD3.如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,那么折痕EF的长为_____4.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC 折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥C′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在（2）的条件下，设T（x，y）①探求：y与x 之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．（4）如图（3），如果将矩形OABC变为平行四边形OA″B″C″，使O C″=10，O C″边上的高等于6，其它条件均不变，探求：这时T（x，y）的坐标y与x之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系，若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式．5.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为边BC 的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为__________6. 如图，在矩形ABCD中，对角线长2，且∠1=∠2=∠3=∠4，则四边形EFGH的周长为（）7.如图,在菱形ABCD中,已知AB=3,DF=1,∠DAB=60°,∠EFG=15°,FG⊥BC,求AE的长8.在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=______．1. 如图，长方形ABCD的长为8，宽为5，E是AB的中点，点F在BC上，已知△DEF的面积为16，则点D到直线EF的距离为______．10.如图，直角三角形ABC中，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。
PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为（）。
11. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于______．12.已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC与BD交于AB，点O，延长BA到E，使AE=12连接OE，延长DE交CA的延长线于F．求证：DF．OE=1213. 如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2）。
①求证：△BPM ≌△CPE；②求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P 在直线a的同侧，其它条件不变。
此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。
请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。
14.如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=5，则DP=_____．15.如图①,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG>BC）,⑴探究线段MD、MF的关系,加以证明（2）将正方形CGEF铙点C旋转任意角度后,其他条件不变,探究：MD、MF的关系,加以证明.16. 小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG ⊥FH，则EG = FH”经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N ；（乙）过点A作AM∥HF 交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ；小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索。
……（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图8）；（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图9），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图10），试求EG的长度。
17.如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l 于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E 重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）18.如图1,正方形ABCD中,点M在AB上,点N在CD上,点P在BC上,MN垂直AP于E .(1)求证：AP=MN.(2)如图2,点F在MN上,若EF=EA,连CF,点G为CF的中点,连DG,DE,求证：DE=2DG（3）在（2）的条件下，若DA=DE,且DN=32,BM=2，求DG的长19.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F 在BC上，∠EAF=∠DAE，则下列结论中正确的是（）A．∠EAF=∠FAB B．BC=3FC C．AF=AE+FC D．AF=BC+FC20已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB 的面积为20，求阴影部分的面积21．已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为_______22.在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E、F、G、H、四边形EFGH四边的平方和EF 2+FG2+GH2+HE2最小时其面积为 .23.如图，已知：△AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形，EF⊥AB，交AB延长线于F，则∠BEF度数为______°．24.如图,已知正方形ABCD,BE=BD,CE‖BD,BE与CD交于点F,证明：DE=DF.25.在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。