函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)

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函数的奇偶性与周期性精选习题

一、选择题

1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2

g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函

数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7

B ．-9

C ．-11

D ．-13

2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121

x f x x x π⎛

⎫

=-++ ⎪

+⎝

⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1x

x e f x ⎛⎫

=-

⎪+⎝⎭

的图象大致形状为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且

(2)()f x f x +=-，则有（ ）

A ．13

()()(1)3

2f f f <<

B ．3

1(1)()()2

3

f f f <<

C ．13

(1)()()32

f f f <<

D ．31()(1)()23

f f f <<

5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当

[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）

A ．3

B ．-3

C ．2

D ．-2

6．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与

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(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019

x

f x -

=的根的个数是（ ）

A ．2020

B ．2019

C ．1010

D ．1009

7．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有

()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112x

f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，若关于x 的方程()()log 20(1)

a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A

．

B

．

)

2

C

．

2⎤⎦

D

．

2⎤⎦

二、填空题

8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2

3f x x x =-，则不等式

()22f x -≤的解集为___．

9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()2

2

424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．

10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．

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函数的奇偶性与周期性精选习题解析

一、选择题

1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2

g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函

数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9

C ．-11

D ．-13

【答案】C

【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；

∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；

∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．

2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2

()cos 2121

x f x x x π⎛

⎫

=-++ ⎪+⎝

⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1

C ．2

D ．4

【答案】C

【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211

x x f x x x x x π⎛⎫

=-++=++ ⎪++⎝

⎭ 而易知2

sin 2,1

x

y x y x ==

+都是奇函数， 则可设()()21sin 21

g x f x x x

x =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称

所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，

所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.

3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1x

x e f x ⎛⎫

=-

⎪+⎝⎭

的图象大致形状为（ ）