2.2.1双曲线及其标准方程学案

高二数学选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程学案

一、学习任务：

1.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形．

2.会根据条件求双曲线的标准方程.

3.会区别双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、探究新知：

问题1、把椭圆的定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹是什么？

我们把平面内与两个 F 1、F 2的距离的 _______ _ 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线， 这两个 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。

问题2、将定义中的常数设为2a （1）、当2a ＜︱F 1F 2︱时，轨迹是 （2）、当2a ＞︱F 1F 2︱时，轨迹是 （3）、当2a=︱F 1F 2︱时，轨迹是 （4）、当2a=0 时，轨迹是__________________________________ （5）、将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? 例如|MF 1|-|MF 2|=2a ，表示哪支呢？ 而|MF 2|-|MF 1|=2a 呢？ 1．双曲线的标准方程：

类似于椭圆求标准方程，推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 1）、以 为 轴，以 为 轴，建立直角坐标系XOY ，则F 1、F 2的坐

标分别是F 1 、F 2 。 2)、设M(x,y)是双曲线上的任意一点,

由双曲线的定义有:-

1MF = ，（＊）

由两点距离公式有：1MF 2= ；

由（＊）式化简得到焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为： ； 类似的得到焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为： . 2．双曲线的标准方程的特点：

（1）标准方程左边的两项用 号连接;

（2）c b a ,,的关系： ，而椭圆标准方程中c b a ,,的关系是： 。

3.焦点的位置:椭圆的标准方程看出椭圆的焦点位置由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2

x 项的系数是正的，那么焦点在 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。 自学检查

1.(1）、已知：116

922=-y x 求：a=_ ,b= ,c=_ ，焦点坐标是 ； (2)、已知：125

144

2

2=-x y 求：a=_ ,b=_ ,c=_ ， 焦点坐标是 ；

（3）、已知822

2

=-y x ，则a = ,b = , =c . 焦点坐标是 。 2、已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21,F F 的距离之差的绝对值等于6，则双曲线标准方程是______________________。 3、已知A （2，－3），B （－4，－3），动点P 满足|PA|-|PB|=6，则P 点轨迹分别是（ ） A ）双曲线 B ）两条射线 C ）双曲线的一支 D ）一条射线

4、设双曲线19

162

2=-y x 上的点P 到一焦点)0,5(的距离为15，则P 点到另一焦点)0,5(-的距离是（ ）

A ）7

B ）23

C ）5或23

D ）7或23

5、双曲线22

13x y m m

-=+的一个焦点为（2，0）

，则m=（ ） A ）12

B ）1或3

C

D 6、若方程14132

2++-k y k x =1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) (A)(31-, 41) (B)(41-, 31) (C)( 31,41-) (D)(-∞,4

1-)∪(31

,+∞)

7、求适合下列条件的双曲线的标准方程。

(1）、焦点在x 轴上，5,3==c a ； (2）、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5);

巩固训练

1．已知顶点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )

A ．|PF 1|－|PF 2|＝3

B ．|PF 1|＋|PF 2|＝6

C ．||PF 1|－|PF 2||＝4

D ．||PF 1|－|PF 2||＝3

2、已知双曲线221169

x y

-=的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点P 到右焦点的距离为_______ ． 3.设21,F F 是双曲线

22

11620

x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离是9，则点P 到2F 的距离是__________

4.已知方程

22

121x y m m -=++表示双曲线,则m 的取值范围是_________________ 5.椭圆

22214x y a +=与双曲线22

12

x y a -=有相同的焦点，则a 的值=____________ 6.（1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭

⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；

（2）求与双曲线x 216－y 2

4

＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.

拓展延伸：

1.已知双曲线22

163

x y -=的焦点21,F F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2MF 的距离是___________ 2.设P 为双曲线22

112

y x -=上的一点，1,2F F 是该双曲线两个焦点，若12:3:2PF PF =则12PF F 的面积是_______________

三、本节课收获：⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧