2.2.1双曲线及其标准方程学案
高二数学2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修1-1
a， b， c 的关系： a＞ 0， b＞ 0， c2＝ a2＋b2．
? 思考：椭圆的标准方程和双曲线的标准方程有什么区别与联系？
答案： 答案略． , ?自测自评 x2 y2
1．双曲线 － ＝ 1 的焦距是 ( D) 10 2
A． 3 2
B． 4 2
C． 3 3 D ． 4 3
解析： c2＝ 10＋ 2＝ 12 ，∴ c＝ 2 3，焦距 2c ＝ 4 3. x2 y2
高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程学案
?基础梳理
1．平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值是常数 ( 小于 | F1F2| 且大于 0) 的点的轨迹叫
做双曲线 ，这两个定点叫做 双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 ．
? 思考：在双曲线的定义中，为什么常数要大于
0 且小于 | F1F2|?
m2－ 4＜ 0，
解析： 由题可知
∴－ 2＜ m＜－ 1.
m＋ 1＜ 0，
答案： ( － 2，－ 1)
c5 4．在双曲线中， a＝ 2 ，且双曲线与椭圆
4x 2＋ 9y2＝ 36 有公共焦点，求双曲线的方程．
解析： 把椭圆的方程写成标准方程
x2 y2 9 ＋ 4 ＝ 1，
∴椭圆的焦点坐标是 ( ± 5， 0) ． ∵双曲线与椭圆有相同的焦点，
则由双曲线定义知 | r 1－ r 2| ＝ 2a＝ 4， ∴ ( r 1－ r 2) 2＝ r 21＋ r 22－ 2r 1r 2＝16. ①
又∵∠ F1MF2＝ 90°， ∴ r 21＋ r 22＝ | F1F2| 2＝ 4c 2＝52. ② ∴由①②得 r 1r 2＝ 18.
1 ∴ S△ F1MF2＝ 2r 1r 2＝ 9.
2.2.1双曲线及其标准方程
榆次区晋华中学高二年级数学学案
主备教师：卜晓林验收组长:范丽时间：17年12月20日学生姓名：班级
若2a ＞|F 1F 2|，则动点的轨迹不存在．
（2）注意定义中的常数2a 是小于|F 1F 2|且大于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．
（3）注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支． 三、合作探究
1.思考回顾：求椭圆的标准方程的基本步骤及注意事项
2.试推导焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
y
x
o
F 2
F 1
M。
2.2.1 双曲线及其标准方程(第1课时)学案
格言警句：当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。
12.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时）学案一 学习目标1.熟练掌握双曲线的定义。
2.熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。
二 学习重难点：双曲线的定义及标准方程学习重难点：双曲线的定义及标准方程的推导三 学习过程（一） 温故知新：1.椭圆的定义： 。
（提出问题）那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？2.做试验：[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F 1、F 2；[3] 拉动拉链（M ）。
思考：拉链运动的轨迹是什么？观察分析双曲线的特征，给出定义。
（二） 双曲线的概念1定义： . 2这两个定点, F 1,F 2叫做 ，两焦点之间的距离21F F 叫做 。
3说明：当常数小于21F F 时，轨迹是双曲线思考：当常数小于21F F 时，轨迹是 ，当常数等于零时，轨迹是 。
（三）双曲线的标准方程1.仿照推导椭圆的标准方程的方法推导双曲线的标准方程：五步（建、设、列、代、化）2.总结双曲线的标准方程及特点（判断焦点所在轴）：（四）例题讲解与练习例1(参考课本P47 例)已知两定点1(5,0)F-,2(5,0)F，动点P满足126PF PF-=,求动点P的轨迹方程.解：格言警句：当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。
3变式:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程. 解：（五） 课堂练习：1、a=4，b=3 ,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是 .2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 .3、设双曲线 191622=-y x 上的点P 到(5,0)的距离是15,则P 到(-5,0)的距离是 . 4、如果方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是 . （六）课堂小结1.定义：2.标准方程3.焦点：4.c b a ,,的关系：5.由方程定焦点：椭圆看 ; 双曲线看（七） 作业布置课本54页第2题学后总结：双曲线与椭圆的区别。
高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程教案 新人教A版选修11 (2)(1)
2．2.1 双曲线及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)理解双曲线的定义并能独立推导标准方程．(2)会利用双曲线的定义标准方程解决简单的问题．2．过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．3．情感、态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．●重点、难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学的主线；②以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破．(教师用书独具)●教学建议在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法．让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题．以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习．通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识．又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高学生动手动脑的能力和增强研究探索的综合素质．●教学流程给出拉链试验，引出问题：移动笔尖画出的曲线满足什么条件？⇒引导学生结合试验分析，得出曲线满足的条件，给出双曲线定义并探究特殊情形.⇒通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法，推导双曲线的标准方程.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解双曲线的标准方程，对比与椭圆方程的异同.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程.⇒对比椭圆与双曲线定义的异同，完成例3及其变式训练，从而掌握双曲线定义的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第29页)课标解读1.了解双曲线的定义及焦距的概念．(重点) 2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(难点)双曲线的定义取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【问题导思】双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支.双曲线的标准方程【问题导思】1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得x＋c2＋y2－x－c2＋y2＝±2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为x2 a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距 |F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2(对应学生用书第29页)双曲线标准方程的理解(2013·泰安高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆；②若1＜k ＜4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52.其中正确命题的序号是________． 【思路探究】 方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示什么曲线？此时k 的取值范围是多少？ 【自主解答】 当4－k ＝k －1＞0时，即k ＝52时，曲线C 是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k ＜4且k ≠52时，曲线C 是椭圆，则②是假命题．根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④1．双曲线焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的系数为正；双曲线焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的系数为正．2．在曲线方程x 2m ＋y 2n＝1中，若m ＝n ＞0，则曲线表示一个圆；若m ＞0，n ＞0，且m ≠n ，则曲线表示一个椭圆；若mn ＜0，则曲线表示双曲线．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充要条件是(k －3)(k ＋3)＞0，即k ＜－3或k ＞3；当k ＞3时，一定有(k －3)(k ＋3)＞0，但反之不成立．∴k ＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．【答案】 A求双曲线的标准方程已知双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为(3，－42)、(94，5)，求双曲线的标准方程．【思路探究】 (1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？ (2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？ 【自主解答】 法一 若双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－32b 2＝1，8116a 2－25b 2＝1，该方程组无解；若双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得a 2＝16，b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. 法二 设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上；(2)双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点．【解】 (1)由a ＝5，c ＝3得b 2＝c 2－a 2＝4. ∴所求双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋45n4＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.所以所求双曲线的方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.双曲线定义的应用如图2－2－1所示，已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M在双曲线上．图2－2－1(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？【思路探究】 (1)求三角形的面积该联想到哪些方法？ (2)如何运用双曲线的定义解决问题？ 【自主解答】 (1)由双曲线方程知，a ＝2，b ＝3，c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)．由双曲线定义知，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16，即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 也即52－16＝4S △F 1MF 2， 求得S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得， |F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°，|F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝(2c )2，r 1r 2＝12， 求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的．定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”．涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解．常见题目类型为：(1)双曲线的焦点三角形问题； (2)判断点的轨迹或求轨迹方程．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. ∵|MA |＝|MB |，∴|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， ∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支， 则2a ＝2，a ＝1，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝8.因此所求动点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＜0)．(对应学生用书第31页)记不清a 、b 、c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝A ．1B ．－1 C.79 D ．－79【错解】 将双曲线化为标准方程为x 21k－y 28k＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k，b 2＝－1k ，∴－8k －(－1k )＝－7k ＝32，∴k ＝－79.【答案】 D【错因分析】 双曲线中a 、b 、c 的关系不是a 2－b 2＝c 2.【防范措施】 要区别椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系．在椭圆中a 2－b 2＝c 2，在双曲线中a 2＋b 2＝c 2，二者一定不要混淆．【正解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 28k＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k，b 2＝－1k.∴－8k －1k＝9，∴k ＝－1.【答案】 B1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点： (1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支． (2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线．2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a 2，b 2的大小.(对应学生用书第31页)1．到两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线D ．两条射线【解析】 由题意|F 1F 2|＝|||MF 1|－|MF 2|＝6. ∴点M 的轨迹是两条射线． 【答案】 D2．双曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1的焦距为( )A ．16B ．8C ．4D ．234 【解析】 ∵25－k ＞9－k 且25－k ＞0,9－k ＜0，即a 2＝25－k ，b 2＝k －9， ∴c 2＝16，c ＝4. 焦距为2c ＝8. 【答案】 B3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0【解析】 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 【答案】 C4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程． 【解】 由题意知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有： 2a ＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝8，∴a ＝4，∴b 2＝62－42＝20，∴双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.一、选择题1．(2013·台州高二检测)设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】 由题意动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故应选D.【答案】 D2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 【答案】 D3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为左焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m【解析】 根据双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .【答案】 B4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )A ．1 B.32C ．2D ．4【解析】 ∵|PA |－|PB |＝3＜|AB |＝4， ∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上， 其中2a ＝3,2c ＝4， ∴|PO |min ＝a ＝32.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1|·|MF 2|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A 二、填空题6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【解析】 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16. 【答案】 167．(2013·莱芜高二检测)若方程x 2k ＋2－y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．【答案】 (－2,5)8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9 三、解答题9．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．【解】 由x 29＋y 24＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴a 2＋b 2＝5，①又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴4a 2－3b2＝1.②联立①②得a 2＝2，b 2＝3， 因此所求双曲线的方程为x 22－y 23＝1.10．(2013·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A 、B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．【解】 设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )， 则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2＜|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1.11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．【解】 以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是x 24－y 25＝1(x ≥2)．①又∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为x －3y ＋7＝0.②将②代入①得11x 2－56x －256＝0，得x ＝8或x ＝－3211(舍)．于是可得P (8,53)．设α为PA 所在直线的倾斜角，又k PA ＝tan α＝3，∴α＝60°，故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.(教师用书独具)已知B (－5,0)，C (5,0)是△ABC 的两个顶点，且sin B －sin C ＝35sin A ，求顶点A 的轨迹方程．【解】 ∵sin B －sin C ＝35sin A ，∴由正弦定理得|AC |－|AB |＝35|BC |＝35×10＝6.又∵|AC |＞|AB |,6＜|BC |，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点)， 由2a ＝6,2c ＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16， ∴顶点A 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＜－3)．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆半径为r ，圆心为P (x ，y )，定圆C 的圆心为C (－3,0)，半径为4， 由平面几何知识有|PC |＝r ＋4，|PA |＝r ， ∴|PC |－|PA |＝4，∴动点P 的轨迹为双曲线右支．c ＝3，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5，∴圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)．。
《2.2.1双曲线及其标准方程》教学案3
《双曲线及标准方程》教学案教学目标:(一)知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．(二)能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．教材分析:1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)2．难点：双曲线的标准方程的推导．(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)教学过程:(一)复习提问平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a时，形成的轨迹？(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆．(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.(3)常数2a |F1F2|时，无轨迹.(二)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1．回顾利用两组同心圆描交点画出“与F1，F2两点的距离的和等于12”的椭圆.教师可以先找出满足条件的两个交点，然后引导学生描出剩余的点并连成平滑的曲线.2．利用两组同心圆描交点画出“与F1，F2两点的距离的差等于8”的交点”，再描点画出“与F1，F2两点的距离的差等于8”的交点”；最后用平滑的曲线连起来．教师可以先找出满足条件的两个交点，然后引导学生描出剩余的点并连成平滑的曲线，生成双曲线．3．通过图象概括定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴(如图2-24)建立直角坐标系．设M (x ，y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c ＞0)，那么F 1、F 2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P ={M ||MF 1|-|MF 2||=2a }={M |MF 1|-|MF 2|=±2a }．(3)代数方程(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以220c a ->设222c a b -=(b ＞0)，代入上式得：22222222(ca )x a y a (c a )--=-这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．(四)练习与例题(1)已知双曲线的焦点为F1(-5，0)和F2(5，0)，双曲线上的点Ｐ到F1与F2的距离之差的绝对值为6，求双曲线的标准方程.(变题)(2)已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，且经过点(2，-5).教师讲解给出正确的答案，引导学生处理第二题．(五)小结1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形(见图2-25)：4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．五、布置作业课后习题，自己写出小节．。
高中数学 2.2.1双曲线的及其标准方程教案 新人教版选修1-1
§2．2．1双曲线的及其标准方程【学情分析】：学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。
本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。
【教学目标】：知识与技能1、使学生掌握双曲线的定义、标准方程2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；过程与方法1、理解双曲线标准方程的推导过程；2、认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；情感态度与价值观通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的数学问题。
【教学重点】：双曲线的定义、标准方程【教学难点】：双曲线标准方程的推导过程【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试：1．一动圆P 过定点M （－4，0），且与已知圆N ：(x －4)2＋y 2＝16相切，求动圆圆心P 的轨迹。
分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有|PC|＝|PM|－4， 外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P 的轨迹是双曲线x 24－y 212＝1。
2．已知动圆P 与定圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49,C 2：(x －5)2＋y 2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程 分析：外切有|PC 1|＝7＋r, |PC 2|＝1＋r ，∴|PC 1|－|PC 2|＝6，内切有|PC 1|＝r －7, |PC 2|＝r －1，∴|PC 2|－|PC 1|＝6故点P 的轨迹是双曲线x 29－y 216＝13．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解析：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A ．4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是221916x y -= 5．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.1922=-y x6．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 答案：C7．“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 答案：C8．与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2），求双曲线方程解：设双曲线方程为22a x －22by =1由题意易求c =25 又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8故所求双曲线的方程为122x －82y =1。
2.2.1双曲线及其标准方程(精)
2.2.1双曲线及其标准方程学案一、课前预习1、什么叫椭圆 ?2、椭圆的标准方程有哪两种形式 ? 其中的 , , a b c 的关系式是什么 ?3、在推导椭圆标准方程时,如何建立直角坐标系?4、在推导椭圆标准方程过程中,如何处理(去掉等式中的两个根号?阅读选修 1-1P 45~48 ,完成如问题。
1、什么叫做双曲线 ? 为什么常数 2a 要小于 12||F F ?与椭圆有何异同?双曲线的定义: 叫做双曲线, 叫做双曲线的焦点, 叫做双曲线的焦距。
2、双曲线标准方程的推导:1 、以为轴,以为轴,建立直角坐标系 XOY (如下图 ,则 F 1、 F 2、 O 的坐标分别是 F 1 、 F 2 、 O 。
2、设 M(x,y是双曲线上的任意一点 ,由双曲线的定义有 : 1MF , (*由两点距离公式有:1MF 2MF由(* 式得:化简得到焦点在 X 轴上的双曲线的标准方程为:其中焦点坐标为 ; 类似的得到焦点在 Y 轴上的双曲线的标准方程为: ,其中焦点坐标为。
3、完成下表:4、阅读 P47例 1试完成 P48练习第 1题。
5、提出疑惑:同学们,通过你的自主学习,你有哪些疑惑?请你把它们列出来:1、 ,2、 ,3、 ,二、课堂内容双曲线的定义与标准方程:1. 双曲线的定义:平面内到两定点 21, F F 的距离的差的绝对值为常数(小于21F F 的动点的轨迹叫 ,即 a MF MF 221=-,这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点间的距离叫做。
(1将定义中的“绝对值”去掉 , 动点轨迹是什么 ?例如 |MF1|-|MF2|=2a,表示哪支呢?而 |MF2|-|MF1|=2a呢?(2将定义中的常数令为零 , 动点轨迹是什么 ?(3将定义中的“小于”换为“等于” , 动点轨迹是什么 ?(4将定义中的“小于”换为“大于” , 动点轨迹是什么 ?2.双曲线的标准方程:类似于椭圆求标准方程,推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程,可根据求动过程如下:(1建系设点; (2列式; (3变换; (4化简;1 、以为轴, 以为轴,建立直角坐标系 XOY (如下图 ,则 F 1、 F 2、 O 的坐标分别是 F 1 、 F 2 、O 。
学案5:2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程学习目标 ：1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．学习重点：双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程学习难点：利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题课前预习案教材助读：阅读教材，思考并完成下列问题：1．双曲线的定义类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义在平面内到两个定点F 1、F 2距离之 差 的绝对值等于定值2a (大于0且小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 焦点 ，两焦点之间的距离叫作双曲线的 焦距 .2．双曲线的标准方1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为．2．在双曲线的标准方程中a 、b 、c 的关系为.课内探究案一、新课导学：探究任务1 双曲线的定义1.定义中为何强调“绝对值”和“0<2a <|F 1F 2|”．(1)在双曲线的定义中，条件0<2a <|F 1F 2|不应忽视，若2a ＝|F 1F 2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a >|F 1F 2|，则动点的轨迹是不存在．(2)双曲线定义中应注意关键词“绝对值”，若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支．2．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) a2＋b 2＝c 2深化对新知识的理解的作用，也能有效的避免知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比．练习1.已知两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( )A ．||PF 1|－|PF 2||＝5B ．||PF 1|－|PF 2||＝6C ．||PF 1|－|PF 2||＝7D ．||PF 1|－|PF 2||＝0二、合作探究例1 (1)到两定点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线(2)一动圆过定点A (－4，0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．例2 已知双曲线过点M (1，1)，N (－2，5)两点，求双曲线的标准方程．课后训练案1．若动点P 到F 1(－5，0)与P 到F 2(5，0)的距离的差为±8，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 216＝1 B.x 225－y 216＝1 C.x 216＋y 29＝1 D.x 216－y 29＝1 2．已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A ．2 B ．1 C.2 D ．34．若曲线x 2k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则k 的取值范围是____________． 5．F 1、F 2是双曲线y 29－x 216＝1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且|MF 1|·|MF 2|＝32，则△F 1MF 2的面积为________．6．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，则|ON |的大小(O 为坐标原点)为________________．7．相距1 400 m 的两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s ，已知声速是340 m/s ，建立直角坐标系，求出炮弹爆炸点所在的曲线方程．参考答案课内探究案一、新课导学：练习1.【解析】 A 中，∵|F 1F 2|＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝5<|F 1F 2|，故运点P 的轨迹是双曲线； B 中，∵||PF 1|－|PF 2||＝6＝|F 1F 2|，∴动点P 的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线(含端点)； C 中，∵||PF 1|－|PF 2||＝7>|F 1F 2|，∴动点P 的轨迹不存在；D 中，∵||PF 1|－|PF 2||＝0，即|PF 1|＝|PF 2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线，故选A.【答案】 A【方法规律总结】 注意双曲线定义中的“小于|F 1F 2|”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际上，(1)若2a ＝|F 1F 1|，即||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，根据平面几何知识，当|PF 1|－|PF 2|＝|F 1F 2|时，动点轨迹是以F 2为端点的一条射线；当|PF 2|－|PF 1|＝|F 1F 2|时，动点轨迹是以F 1为端点的一条射线；(2)若2a >|F 1F 2|，即||PF 1|－|PF 2||>|F 1F 2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；(3)特别地当2a ＝0时，|PF 1|＝|PF 2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．二、合作探究例1 【解析】(1)∵|F 1F 2|＝6，∴点M 的轨迹是两条射线，故选D.(2)设动圆圆心为点P ，则|PB |＝|P A |＋4，即|PB |－|P A |＝4＜|AB |＝8.∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．又∵2c ＝8，∴c ＝4.∴b 2＝c 2－a 2＝12.∴动圆圆心的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 【答案】x 24－y 212＝1(x ≤－2)．例2 【解析】方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵点M (1，1)，N (－2，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧1a 2－1b 2＝1，（－2）2a 2－52b 2＝1，解得a 2＝78，b 2＝7. ∴所求双曲线的标准方程是x 278－y 27＝1. 若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵点M (1，1)，N (－2，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－（－2）2b 2＝1，解得a 2＝－7，b 2＝－78，舍去．课后训练案1．【解析】由双曲线定义知：2a ＝8，∴a ＝4，c ＝5，∴b ＝3.【答案】D2．【解析】∵|F 1F 2|＝10，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴当a ＝3时，2a ＝6＜|F 1F 2|，为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，为一条射线．【答案】D3．【解析】∵双曲线的标准方程为x 2a －y 22＝1，∴a >0，焦点在x 轴上，∴a ＋2＝4－a 2， 即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1，a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.【答案】B4．【解析】只要k (k －1)＜0即可．【答案】(0，1)5．【解析】由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0，5)，由双曲线定义得，||MF 1|－|MF 2||＝6，联立|MF 1|·|MF 2|＝32，得|MF 1|2＋|MF 2|2＝100＝|F 1F 2|2，所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S ＝12|MF 1|·|MF 2|＝16. 【答案】166．【解析】设双曲线的另一个焦点为F 2，连接PF 2，ON 是三角形PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|，因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，所以|ON |＝12|PF 2|＝1或9. 【答案】1或97．【答案】解：以两个哨所(设为A、B)的连线为x轴，两个哨所连线的中点为原点，建立直角坐标系，设爆炸点为P，由已知，可得||P A|－|PB||＝3×340＝1 020，所以点P的轨迹是双曲线，根据已知，c＝700，a＝510，所以b2＝c2－a2＝229 900，所以，所求轨迹方程为x2260 100－y2229 900＝1.。
高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程教学案 新人教b版选修1-1
课题：双曲线及其标准方程【学习目标】1.学生通过复习回顾，能准确的说出椭圆的定义，生成条件2.学生通过演示实验，初步知道双曲线的生成过程，引出双曲线的定义3.学生通过小组讨论，能剖析出定义中的限制条件不同时，动点轨迹有何区别4.学生通过阅读课本46页，类比椭圆的标准方程推导过程，建立适当的坐标系，得出双曲线的标准方程，熟记a,b,c的关系5.通过本节课的学习，能准确的求双曲线的标准方程【重点难点】重点：双曲线的定义及标准方程难点：双曲线的定义及标准方程【导学流程】（一）复习导入椭圆的定义？（二）探究点一双曲线的定义问题1取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？看图分析①如图(A)，动点M满足的条件：②如图(B)，动点M满足的条件：双曲线的定义：问题2双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么问题3双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是什么？当2a>|F1F2|呢？问题4已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|x＋2＋y2－x－2＋y2|＝6；(2)x＋2＋y2－x－2＋y2＝6.探究点二双曲线的标准方程问题1 类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？想一想焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是什么?问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？（四）迁移运用例1已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则(1) a=_______ , c =______,b =_______(2) 双曲线的标准方程为___________(3)双曲线上一点Ｐ，若 |PF1|=10, 则|PF2|=_________例2、求 双曲线 的焦点与焦距：（五）课堂小结（六）当堂检测1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1） a=4 b=3（2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）．2．已知方程表示双曲线，求m 的取值范围． 22125144y x -=22121x y m m -=++。
《2.2.1双曲线及其标准方程》教学案1
《2.2.1双曲线及其标准方程》教学案教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值”、a 与c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么？(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)(2a >｜F 1F 2｜)的动点P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： (同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题)师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)二、定义探究师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)的动点P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P 满足什么几何条件的轨迹呢？(引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a )师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？(引导学生思考，此时只需在|1PF |-|2PF |=2a 左边加上绝对值)师：作为此时差的绝对值2a 与|12F F |大小关系怎么样？(结合图象，学生分析：应该2a <|12F F |)(在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书)三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？(学生口述教师板书椭圆的标准方程)师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P (x 、y )，｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c ，0)，F 2(c ，0).由两点间距离公式，得｜PF 1｜PF 2｜由双曲线定义，得｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a化简方程22)(y c x ++=±2a +22)(y c x +-两边平方，得(x +c ) 2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x -c )2+y 2化简得：cx -a 2=±22)(y c x +-两边再平方，整理得(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c -2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2也就是22221y x a b-=师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处.师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y 轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？ (引导学生类比椭圆得到焦点在y 轴上时双曲线的标准方程：22221y x a b-=此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程)师：如何记忆这两个标准方程？(师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”)四、例题讲解例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为 (-5，0)，(5，0)，双曲线上一点与两焦点的距离的差的绝对值等于8；(2)两个焦点的坐标分别是(0，-6)，(0，6)，且双曲线经过点A (-5，6).解： (1)由已知得c =5，2a =8，即a =4.因为c 2=a 2+b 2，所以∴b 2=52-42=9.又双曲线的焦点在x 轴上，因此所求的双曲线标准方程是221.169x y -= (2)由已知得c =6，且焦点在y 轴上.因为点A (-5，6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即22221358,4,20.a abc a ==-===-=得因此，所求的双曲线标准方程是221.1620y x -=例2 已知双曲线221.3645y x -=(1)求此双曲线的左右焦点F 1，F 2的坐标；(2)如果此双曲线上一点P 与焦点F 1的距离等于16，求点P 与焦点F 2的距离.解：(1)根据双曲线的方程，可知此双曲线的焦点在x 轴上.2222236,45364581.a b c a b ===+=+=由，得所以c =9，焦点F 1，F 2的坐标分别为(-9，0)，(9，0).(2)因为点P 在双曲线上，所以1212222.6,16,16-=12.=4,=28.PF PF a a PF PF PF PF -===±由得因此，或例3 已知椭圆C 的方程是22+1,1612x y =求平面内与椭圆C 在y 轴上的两个顶点的距离的差的绝对值等于椭圆C 的焦距的点的轨迹方程.解：由椭圆C 的方程可知，它在y轴上的两个顶点分别是椭圆的焦距是 4.=因为124,B B =>所以平面内与B 1，B 2两点的距离的差的绝对值等于4的轨迹是以B 1，B 2为焦点的双曲线，由常数2a =4，即a =2，半焦距c =可得2221248.b c a =-=-=因此，所求的轨迹方程是221.48x y -=例4 相距2000m 的两个哨所A ，B ，听到远处传来的爆炸声.已知当时声速是330m /s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时晚4s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.解：设爆炸点P ，由已知条件，可得33041320(m).PA PB -=⨯= 因为20001320,,AB PA PB =>>又所以点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上.如图建立直角坐标系，使A ，B 两点在x 轴上，线段AB 的中点为坐标原点.由2a =1320，2c =2000，得a =660，c =1000，b 2=c 2-a 2=564400.因此，点P 所在的曲线方程是221(0).435600564400x y x -=>五、课堂小结(1)双曲线的定义及其标准方程；(2)把握方程中的3个常数a ，b ，c 间的关系: c 2=a 2+b 2. 如何确定焦点位置，会求双曲线的标准方程；(3)体会双曲线标准方程的探究过程，感受数学知识的和谐，对称美.师：(给出彗星运行的图片)唐代诗人李贺曾在《梦天》中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景.彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为49%，双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：(给出实物图片)有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最娓美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷？它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！。
2.2.1双曲线及其标准方程学案
高二数学选修1-1 编号：SX-文科-0102.2.1《双曲线及其标准方程》导学案编写：郑会芳 审核：李晶晶班级： 组别： 姓名：【学习目标】了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程,会利用定义和标准方程解决一些简单的问题. 【重点难点】重点：双曲线的定义难点：双曲线标准方程的推导【知识链接】1、什么叫椭圆?2、椭圆的标准方程有哪两种形式?其中的,,a b c 的关系式是什么?【引入新课】一、双曲线的定义与标准方程：1． 双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫 ，即aMF MF 221=-，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做 。
(1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么?例如|MF 1|-|MF 2|=2a ，表示哪支呢？ 而|MF 2|-|MF 1|=2a 呢？ (2)将定义中的常数令为零,动点轨迹是什么? (3)将定义中的“小于”换为“等于”,动点轨迹是什么? (4)将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹是什么?2．双曲线的标准方程：1）以 为 轴，以 为 轴，建立直角坐标系XOY （如下图），则F 1、F 2、O 的坐标分别是F 1 、F 2 、O 。
2)设M(x,y)是双曲线上的任意一点,由双曲线的定义有:-1MF = ，（＊）由两点距离公式有：1MF = ，2MF = ； 代入（＊）式：化简得到焦点在X 轴上的双曲线的标准方程为： ， 其中焦点坐标为 ；类似的得到焦点在Y 轴上的双曲线的标准方程为： ，_y其中焦点坐标为 。
3．双曲线的标准方程的特点：（1）焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为： ； 焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为： 。
标准方程左边的两项用 号连接，这点与椭圆有什么不同？(2)c b a ,,的关系： ，而椭圆标准方程中c b a ,,的关系是： 。
4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。
高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修1-1 学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程 【学习过程】 一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？ 二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理） 1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？ ⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？ 三、例题演练：例1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程： ⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-yx 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值.①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( ) A 1 B 55C 2D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
学案13：2.2.1 双曲线及其标准方程
2.2.1 双曲线及其标准方程1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2距离的 等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距． 思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF 1|－|MF 2|＝2a (常数)，且2a <|F 1F 2|，则点M 的轨迹是什么？2．双曲线的标准方程1．动点P 到点M (1,0)的距离与点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线D ．一条射线2．双曲线y 23－x 2＝1的焦点坐标是( )A ．(±2，0)B ．(0，±2)C ．(0，±2)D ．(±2,0) 3．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <24．与双曲线x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．合作探究类型1 双曲线的定义及应用例1 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． 规律方法 PF 1F 2面积的方法1.①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2求得面积. 2.利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积.跟踪训练1．(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 类型2 求双曲线的标准方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． 规律方法1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解．跟踪训练2．求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．类型3 与双曲线有关的轨迹问题 [探究问题]1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？例3 如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．规律方法求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法1.列出等量关系，化简得到方程.2.寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．课堂小结1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．课堂检测1．已知双曲线的一个焦点F 1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为 ( ) A ．x 29－y 216＝1B ．y 216－x 29＝1C ．x 29－y 225＝1D ．y 225－x 29＝12．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－23．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．4．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．参考答案新知初探1．差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离思考：[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F 1，F 2，当距离之差的绝对值大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． (2)点M 在双曲线的右支上．初试身手1．【答案】D【解析】由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线NP ． 2．【答案】C【解析】根据题意，双曲线的方程为y 23－x 2＝1，其焦点在y 轴上，且c ＝3＋1＝2；则其焦点坐标为(0，±2)． 3．【答案】C【解析】双曲线x 2k －y 23＝1的焦点坐标为(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标为(±9－k 2，0)，由椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得3＋k ＝9－k 2，因为k >0，所以解得k＝2．4．【答案】x 26－y 212＝1【解析】与x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程为x 28＋k －y 210－k＝1(－8＜k ＜10)．合作探究类型1 双曲线的定义及应用例1 解：(1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6．解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22．(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， ∴102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163． 跟踪训练1．(1)【答案】A【解析】|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A ．(2)【答案】9【解析】由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|P A |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|P A |的最小值为9．类型2 求双曲线的标准方程例2 解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9．故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1． (2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20．① ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1．②由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1． 法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0． ∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1．跟踪训练2．解：由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程， 得25a 2－16b2＝1． 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1．类型3 与双曲线有关的轨迹问题 [探究问题] 1． [提示] 一支．2． [提示] 以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．例3 解：以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |．由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6． 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．跟踪训练3．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1． 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4． 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|．∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914．∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32．课堂检测1．【答案】B【解析】由已知得，c ＝5，a ＝4，所以b ＝3．所以双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．2．【答案】A【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2，选择A ． 3．【答案】16【解析】由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16．4．解：因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1．。
§2.2.1《双曲线及其标准方程》导学案
高二数学选修 2-1 §一、学习任务：1．理解双曲线的定义，掌握求双曲线的方程，和一些几何性质。
培养解析法的思想。
2．双曲线的定义和标准方程。
二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练，感受高考等） 自主学习：（一）、学习情景: 已知两定点F 1F 2距离为10,求动点M 到两定点距离的差为6的轨迹方程. （二）、探究点一、——双曲线的定义问题1：根据课本上双曲线的定义，制作教具，画双曲线？问题2：写出双曲线上的点满足的关系式________________________________________ 问题3：这两个定点叫做双曲线的_______。
两个定点的距离用______表示。
常数用______表示问题4：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 双曲线的定义为什么要满足2a <2c 呢？(1)当2a <∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (2)当2a =∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (3)当2a >∣F 1F 2∣时轨迹是. _____对点训练: 动点P 到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离差是8,则动点P 的轨迹为（ ） （A ）双曲线 （B ）双曲线的一支（C ）以F 1，F 2 为端点的两条射线（D ）不能确定。
问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导双曲线方程的过程 问题6：双曲线的标准方程是：___________________________ 问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式为：___________ 问题8：如何判断焦点在何轴? (三)、合作、探究、展示：探究点二、——双曲线的标准方程根据下列方程，分别求出a 、b 、c 并且判断焦点在何轴?(1)双曲线标准方程为161022=-y x ，则a = ,b = , =c ；(2)双曲线标准方程为1522=-y x ，则a = ,b = , =c ； (3)双曲线标准方程为8222=-y x ，则a = ,b = , =c . 书本课后练习练 1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上， a = 4 ， b = 3 ；（2） 已知双曲线两个焦点为(0,-6 ),(0,6) ，且经过点(2,-5 ) ．变式：（1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；（2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.探究点三、——与双曲线定义有关的应用问题1、已知双曲线221169x y-=的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点 P 到右焦点的距离为_______ ． 2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4、 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？（1）6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2222=+--++y x y x探究点四、——轨迹问题例3、点 A , B 的坐标分别是(-5 ,0) ，(5,0)，直线AM ， BM 相交于点M ，且它们斜率之积是94，试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．思考：1．双曲线 52x + k 2y = 5 的一个焦点是(6,0)，那么实数k 的值为（ ）． A ． -2 5 B ．25 C ． -1 D ．12．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).2．已知方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围_____________ ． 3．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程.三、 本节小结和感悟F 2F 1。
《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》教案
《双曲线的定义与标准方程》教案教学目标1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义， 双曲线的标准方程的探索推导过程．2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重难点重点：双曲线的定义和标准方程，用待定系数法求标准方程。
难点：双曲线的探索推导过程，定义中的“差的绝对值”，a 与c 的关系的理解． 教学过程情景引入通过音乐引入双曲线。
通过图片展示感受双曲线。
合作探究探究1：类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？定义应注意什么？ 结合几何画板动画展示发现双曲线的运行轨迹并形成定量关系，归纳得出双曲线的定义。
探究2：如何建立适当的坐标系求双曲线标准方程？通过求曲线的方程的方法步骤推导双曲线方程（学生分成两组，分别自主探究焦点在x 轴上和y 轴上的标准方程。
练习：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 ,,a b c 及焦点坐标。
()()222211214242x y x y -=-=- 思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？焦点跟着正项走。
探究3: 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何异同点?探究4: 如何求双曲线的标准方程?例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P 满足||PF1|-|PF2||=6，求动点P 的轨迹方程。
变一变1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P 满足||PF1|-|PF2||=10，求动点P 的轨迹方程。
变一变2：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P 满足|PF1|-|PF2|=6，求动点P 的轨迹方程。
例2：已知双曲线焦点在x 轴上，且经过两点 )2,315(),3,2(-- ，求它的标准方程。
变一变：已知双曲线且经过两点 )2,315(),3,2(--，求它的标准方程。
总结归纳用待定系数法求标准方程的基本步骤。
高中2012高中数学《2.2.1双曲线及其标准方程》学案
§2.2.1双曲线及其标准方程(一)复习1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？焦点在x 轴上， 焦点y 在轴上,如果平面内与两定点的距离的差是常数，这时候动点轨迹是什么？二1、双曲线定义：把平面内与两个定点12,F F 的 的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做 ，两个焦点间的距离叫做 。
定义中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2、双曲线标准方程：222b a c += （1）焦点在x 轴:（2）焦点在y 轴:3、双曲线标准方程的推导：（1）建系(2 ) 设点（3）列式（4）化简方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）a=4,b=3;（2）焦点在x 轴上，经过点（2-,3-),(315,2);（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5)。
例2已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程。
例3 已知双曲线（1）求左右焦点的坐标。
（2）如果此双曲线上一点P 与左焦点的距离是16，求它与右焦点的距离. 变式，若将(2)中16改为14，这时候求它与右焦点的距离，还是两解吗？为什么？1453622=-y x例4：已知A,B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
[当堂检测]1双曲线12322=-y x 的焦点坐标是（ ） A 、（0,5±） B 、（5,0±）C 、（0,1±） D 、（1,0±2．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 216＝1 3、方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分4已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A 、k>5 B 、k>5，或-2<k<2 C 、k>2,，或k<-2 D 、-2<k<25、已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．6．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D (1,0)7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．18、过点(1,1)且b a＝2的双曲线的标准方程为________．．9已知方程22121x y k k +=--表示双曲线,求k 的取值范围.10已知双曲线C 的方程1201622=-x y .（1）求双曲线的焦点21,F F 坐标（2）如果双曲线C 上的一点P 与焦点1F 的距离等于8，求点P 与焦点2F 的距离11、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上12、求与椭圆152522=+y x 有共同焦点且过点（2,23）的双曲线的标准方程；。
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高二数学选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程学案
一、学习任务：
1.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形．
2.会根据条件求双曲线的标准方程.
3.会区别双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。
二、探究新知：
问题1、把椭圆的定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹是什么？
我们把平面内与两个 F 1、F 2的距离的 _______ _ 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线， 这两个 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。
问题2、将定义中的常数设为2a （1）、当2a ＜︱F 1F 2︱时，轨迹是 （2）、当2a ＞︱F 1F 2︱时，轨迹是 （3）、当2a=︱F 1F 2︱时，轨迹是 （4）、当2a=0 时，轨迹是__________________________________ （5）、将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? 例如|MF 1|-|MF 2|=2a ，表示哪支呢？ 而|MF 2|-|MF 1|=2a 呢？ 1．双曲线的标准方程：
类似于椭圆求标准方程，推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 1）、以 为 轴，以 为 轴，建立直角坐标系XOY ，则F 1、F 2的坐
标分别是F 1 、F 2 。
2)、设M(x,y)是双曲线上的任意一点,
由双曲线的定义有:-
1MF = ，（＊）
由两点距离公式有：1MF 2= ；
由（＊）式化简得到焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为： ； 类似的得到焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为： . 2．双曲线的标准方程的特点：
（1）标准方程左边的两项用 号连接;
（2）c b a ,,的关系： ，而椭圆标准方程中c b a ,,的关系是： 。
3.焦点的位置:椭圆的标准方程看出椭圆的焦点位置由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2
x 项的系数是正的，那么焦点在 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。
自学检查
1.(1）、已知：116
922=-y x 求：a=_ ,b= ,c=_ ，焦点坐标是 ； (2)、已知：125
144
2
2=-x y 求：a=_ ,b=_ ,c=_ ， 焦点坐标是 ；
（3）、已知822
2
=-y x ，则a = ,b = , =c . 焦点坐标是 。
2、已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21,F F 的距离之差的绝对值等于6，则双曲线标准方程是______________________。
3、已知A （2，－3），B （－4，－3），动点P 满足|PA|-|PB|=6，则P 点轨迹分别是（ ） A ）双曲线 B ）两条射线 C ）双曲线的一支 D ）一条射线
4、设双曲线19
162
2=-y x 上的点P 到一焦点)0,5(的距离为15，则P 点到另一焦点)0,5(-的距离是（ ）
A ）7
B ）23
C ）5或23
D ）7或23
5、双曲线22
13x y m m
-=+的一个焦点为（2，0）
，则m=（ ） A ）12
B ）1或3
C
D 6、若方程14132
2++-k y k x =1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) (A)(31-, 41) (B)(41-, 31) (C)( 31,41-) (D)(-∞,4
1-)∪(31
,+∞)
7、求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1）、焦点在x 轴上，5,3==c a ； (2）、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5);
巩固训练
1．已知顶点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )
A ．|PF 1|－|PF 2|＝3
B ．|PF 1|＋|PF 2|＝6
C ．||PF 1|－|PF 2||＝4
D ．||PF 1|－|PF 2||＝3
2、已知双曲线221169
x y
-=的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点P 到右焦点的距离为_______ ． 3.设21,F F 是双曲线
22
11620
x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离是9，则点P 到2F 的距离是__________
4.已知方程
22
121x y m m -=++表示双曲线,则m 的取值范围是_________________ 5.椭圆
22214x y a +=与双曲线22
12
x y a -=有相同的焦点，则a 的值=____________ 6.（1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；
（2）求与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.
拓展延伸：
1.已知双曲线22
163
x y -=的焦点21,F F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2MF 的距离是___________ 2.设P 为双曲线22
112
y x -=上的一点，1,2F F 是该双曲线两个焦点，若12:3:2PF PF =则12PF F 的面积是_______________
三、本节课收获：⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧。