学案2：等差数列及前n项和(二).doc

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2.3等差数列前n项和公式(2)

2011 学年第二学期高一数学学科教学案（第 20 份）
班级：高一（）班 2．等差数列的前 3 n 项和（2）授课时间主备人学生姓名：第周星期王少媚课型审核人复备人学号：新课万冠民王少媚
课题
1、加深理解数列前 n 项和的含义，掌握数列的通项与前 n 项和的关系，掌握根考试说明据前 n 项和求通项公式。要求及习 2、熟练掌握等差数列的前 n 项和的公式，理解等差数列的前 n 项和与二次函数目标的关系，会求二次函数的最值问题。学法指导公式灵活应用学习过程一、问题导学 1、等差数列的前 n 项和公式： S n 2、你能将等差数列 a n 的前 n 项和公式 S n n a1 化成关于 n 的函数吗？它是
2、已知等差数列 a n 满足 a1 a 2 a1 0 0 0 ，则有（
A. a1 a1 0 1 0
B. a1 a1 0 1 0
C. a1 a1 0 1 0
3、等差数列 a n 中，若 S n 3 n 2 2 n ，则公差 d
，
n n 1 2
课堂札记
Sn
d
函数，具有的特点：
3、数列 a n 的前 n 项和 S n a1 a 2 a n ，前 n 1 项和 S n 1 你能从以上两式得到 a n 与 S n 、 S n 1 的关系吗？
n 1 呢？ a 1
（2）利用 S n ：由 S n
d d 2 n a1 n 2 2
利用二次函数配方法求得最值时 n 的值。
三、当堂检测 1、在等差数列 a n 中，a 2 6 ，a 8 6 ，若数列 a n 的前 n 项和为 S n ，（则 A. S 4 S 5 B. S 4 S 5 C. S 6 S 5 D. S 6 S 5 ） D. a 5 1 5 1 . ）

《等差数列的前n项和》教学设计（精选五篇）

《等差数列的前n项和》教学设计（精选五篇）第一篇：《等差数列的前n项和》教学设计:等差数列的前n项和是人教实验版必修5第二章第3节的内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对数列知识的进一步学习。

学情分析：学生通过对等差数列基本概念和通项公式的学习，对等差数列有了一定的了解。

但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此，需要借助几何直观学习和理解。

教学目标：1、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

2、过程与方法（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

3、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

设计理念：在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学资源：现代教育多媒体技术教学过程：(一)创设问题情境故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。

高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。

高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

高斯的方法：首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101 ∴前100个正整数的和为：101×50=50502.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

数学(文)一轮教学案：第六章第2讲等差数列及前n项和 Word版含解析

第2讲等差数列及前n 项和考纲展示命题探究1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2D ．3答案 C解析因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4. ∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50. 解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10；(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n )＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2，∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数．(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立．(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )扫一扫·听名师解题A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0答案 B解析由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得a1＝－1 2.4.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列及其前n项和的性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n a n ＋1. ②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( )(3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44答案 C 解析由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13.由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C.[答案] C【解题法】应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等． (2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，≤n ≤n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．【解题法】求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0答案 C解析若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能．∴a 2012>0，a 2013<0.再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0，而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n＝2n 3n ＋1，则a n b n＝( ) A.23B.2n －13n －1C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4 答案 B解析 a n b n ＝2a n 2b n＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 解析由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32. ∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.2．[2016·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C. 3．[2016·冀州中学期末]在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .4．[2016·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 S 3＝9，S 6－S 3＝36－9＝27，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，S 9－S 6＝45，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.5．[2016·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n ＝520，则a 7＝( )A ．20B ．40C ．60D ．80答案 B解析前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n ＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a 7是中间项，所以a 7＝40.6．[2016·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．4答案 A解析由S 4S 2＝4，可设S 2＝x ，S 4＝4x .∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．则S 6＝3S 4－3S 2＝12x －3x ＝9x ，因此，S 6S 4＝9x 4x ＝94.7．[2016·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝______.答案 13解析由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.8.[2016·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案 14解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ， ∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．[2016·衡水中学周测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________.答案 39解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39.10．[2016·冀州中学月考]设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝3＋2 2.11．[2016·衡水中学模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛ 110－3n －⎭⎪⎫113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10(10－3n ). 12．[2016·冀州中学期中]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解数列{a n }不是等差数列，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， ∴1S n－1S n －1＝2(n ≥2)，又S 1＝a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． ∴1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，∴a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). ∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．能力组13.[2016·衡水中学猜题]已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4答案 D解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可得，数列{a 2n }是首项为a 21＝1，公差为a 22－a 21＝3的等差数列，由此可得a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，即得a n ＝3n －2，∴a 6＝3×6－2＝4，故应选D.14.[2016·衡水中学一轮检测]已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21答案 B解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值，∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19.15.[2016·武邑中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)2＝(21－n )n ；当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)2＝n 2－21n ＋220. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(21－n )n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.16．[2016·冀州中学仿真]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.。

睢县回族高级中学数学5学案：12(新人教A版)

课题：等差数列的前n 项和(二）制作:张志新审核:皇甫真一使用说明：1. 结合问题用大概10分钟的时间自主学习课本的相关内容，完成问题导学.2. 然后大家再用15分钟时间讨论本章的重点内容，讨论时全体起立，小组内解决不了的问题交由老师分析解答，讨论过程要认真积极.二学习目标：1.了解等差数列前n 项和公式的函数特征。

2.掌握等差数列的前n 项和的性质，灵活运用等差数列前n 项和公式及有关性质解题。

三。

知识回顾等差数列{}na 的前n 项和公式有=nS .=n S .四演习教材重难点研习点1.等差数列的前n 项和公式与函数的关系由于.,2,2,)2(22)1(21121bn an S da b d a n d a n d d n n na Sn n+=-==-+=-+=则有设探究:若数列{}na 的前n 项和.2bn an S n+=求数列{}n a 的通项公式，你能发现什么规律?对于.2bn an Sn+=当0≠a )0≠d （即时，n S 是关于n 的二次式，即点),(nSn在二次函数bx axy +=2的图像上.从而，当0≠d 时,由{}n a 的组成的前n 项和nS 组成的新数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,321n S S S S 的图像是二次函数bx ax y +=2的图像上一系列孤立的点.当0≠d 时，nS 是关于n 的二次式且常数项为0，因而,我们可以借助二次函数的图像和性质（单调性、最值）来研究等差数列前n 项和的有关问题。

归纳总结：等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n 项和c bn an S n++=.2，那么当0=c 时，数列是一个首项为b a +，公差为a 2等差数列;当0≠c 时,数列不是一个等差数列.研习点2。

等差数列的前n 项和的性质 1.等差数列{}na 中，证明:⋅⋅⋅--,,,232n n n n nS S S S S也是等差数列,公差是d n 2.2.等差数列{}na 中，若),(,p m m S p Sp m≠==求p m S +的值.3.等差数列{}na 中,若),(p m S Sp m≠=求p m S +的值。

等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

等差数列及其前n项和教案

等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的概念和前n项和公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 等差数列的定义与性质等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，这个数列叫做等差数列。

等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) 或Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)2. 等差数列的前n项和的计算方法（1）利用通项公式法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] （2）利用首项和末项法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] 3. 实际问题中的应用例题：已知等差数列的前5项和为35，公差为3，求首项和末项。

解：设首项为a1，末项为an，则有：S5 = n/2 (a1 + an) = 5/2 (a1 + an) = 35a1 + an = 14an = a1 + (n-1)d = a1 + 43 = a1 + 12将an代入上式得：a1 + (a1 + 12) = 142a1 + 12 = 142a1 = 2a1 = 1an = a1 + 12 = 1 + 12 = 13三、教学重点与难点：重点：等差数列的定义与性质，等差数列的前n项和的计算方法。

难点：等差数列前n项和的计算方法的灵活运用。

四、教学方法：采用讲解法、例题解析法、练习法相结合的教学方法，通过PPT辅助教学，使学生更好地理解和掌握等差数列及其前n项和的知识。

五、教学准备：1. PPT课件2. 黑板、粉笔3. 教学案例及练习题六、教学过程：1. 导入：通过复习等差数列的定义与性质，引导学生进入本节课的学习。

等差数列及其前n项和教案

等差数列及其前n项和教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。

2. 让学生掌握等差数列的前n项和公式，并能灵活运用。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 等差数列的概念：定义、性质。

2. 等差数列的通项公式：ar + (a1 a)d。

3. 等差数列的前n项和公式：S_n = n/2 (a1 + a_n) 或S_n = n/2 (2a1 + (n 1)d)。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念、通项公式、前n项和公式。

2. 教学难点：等差数列前n项和公式的推导及灵活运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索等差数列的性质。

2. 使用数形结合法，帮助学生直观理解等差数列的前n项和公式。

3. 利用实例分析，让学生学会解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如连续的自然数、等间隔的时间等，引导学生思考等差数列的特点。

2. 讲解：讲解等差数列的定义、性质，引导学生推导等差数列的通项公式。

3. 探讨：分组讨论等差数列的前n项和公式，引导学生运用归纳法进行推导。

4. 应用：通过例题，让学生学会运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

教案编辑专员：[[您的名字]]六、教学练习1. 让学生通过练习题加深对等差数列概念、通项公式和前n项和公式的理解。

2. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

练习题：（1）判断题：等差数列的任意两项之和等于这两项中间项的两倍。

（对/错）（2）填空题：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

（3）计算题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前5项的和。

七、拓展与应用1. 让学生了解等差数列在实际生活中的应用，如等差数列在统计、物理、经济学等领域中的应用。

2. 培养学生将所学知识运用到实际问题中的能力。

案例分析：分析现实生活中等差数列的应用实例，如连续奖金发放、等额本息还款等，引导学生运用等差数列的知识解决实际问题。

等差数列及其前n项和学案

等差数列及其前n 项和 2013.10 命制人：刘晓琳1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用．二、知识梳理 1．等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示． 2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 3．等差中项如果A ＝，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且*2(,,,,)k l m n t k l m n t N +=+=∈，则_________________k l a a +==。

(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝ a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝；S 奇/S 偶= 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝．S 奇/S 偶= 5．等差数列的前n 项和公式S n ＝＝ 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最值．1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．72．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )． A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．(2011·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( )． A ．1 B ．9 C ．10 D ．554．(2012·杭州质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )． A ．13 B ．35 C ．49 D ．635．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 6．①61451515333a a a ，求，==； ②d a 和，求＝，1128168S 48S =； ③8856510S a S a 和，求，==； ④3116S 3，求=a .四、例题精选考向一等差数列通项公式和基本量的计算【例1】►(2011·福建)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．一、复习要求三、基础训练【训练1】（1)在等差数列{}n a 中，（1）已知120,54,999,n n a a s ===求d 和n ；（2）已知2,15,10,n d n a ===-求1a 和n s 。

新人教A版必修5高中数学2.3等差数列的前n项和(2)学案(二)

高中数学 2.3等差数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习重难点1.重点：数列前n 项和公式的研究应用2.难点：前 n 项和的公式n S 的最值.一、课前预习习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S .习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课探究 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 试一试例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为: n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 模仿练习练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则: S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则: 1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）. A. 70 B. 130 C. 170 D. 2104. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？课后反思。

等差数列前n项和教案（共5篇）

等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。

【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。

数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析

第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。

理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。

(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。

等差数列及其前n项和学案

教案标题等差数列及其前n项和教师姓名学生姓名学科数学适用年级高中三年级适用范围全国教学目标知识目标1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3、掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.能力目标通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度价值观1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.2、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;知识点等差数列的概念、通项公式、性质及前n项和重难点重点：等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和的理解与应用难点：灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式解决一些简单的有关问题.知识讲解1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__ a n ＋1－a n ＝d __________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__ A ＝a ＋b2________，其中A 叫做a ，b 的___等差中项_______．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝_ a 1＋(n －1)d _______，a n ＝a m ＋_ (n －m )d _______ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝_ na 1＋n (n －1)2d _________＝__(a 1＋a n )n2__________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .4．等差数列的性质(1) 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__a m ＋a n ＝a p ＋a q ________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，___ a m ＋a n ＝2a p ___________.(2) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为__2d ______(3) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为__ md ____的等差数列.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5) 等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为__递增数列__________；若d <0，则数列为____递减数列______；若d ＝0，则数列为___常数列_____． (6)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d .若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项).5.等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最______值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最______值. 大小6．方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解.例题讲解题型一等差数列的基本量的计算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242.得12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3， a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2.方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .解由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝22，a 1d ＝d 2.∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.题型二等差数列的判定或证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的最大值和最小值. (1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1. ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1 ＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数.∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.探究提高 1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d ；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.就本例而言，所用方法为定义法.2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．(1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．(2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．变式训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； ②求a n 的表达式.①证明由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴1S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列. ②解由知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，∴S n ＝12n －32，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72 n ≥2.(2)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． ①求a 2，a 3的值．②是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解 ①∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.②假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项为2、公差为1的等差数列．题型三等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．解方法一设此等差数列为{a n }共n 项，依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146. ② 根据等差数列性质，得a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n . 将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝36.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n 2＝360，得n ＝20.所以该等差数列有20项．方法二设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×42d ＝34，①S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)2d ]＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180，∴a 1＋n －12d ＝18，代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d ＝360，得18n ＝360，∴n ＝20. 所以该数列的项数为20项．变式训练3已知数列{a n }是等差数列．(1)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解 (1) ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， ∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.(2) 设项数为2n －1 (n ∈N *)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则S 奇＝(a 1＋a 2n －1)·n2＝n ·a n ＝44，S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2＝(n －1)·a n ＝33，∴n n －1＝43.∴n ＝4，a n ＝11. ∴数列的中间项为11，项数为7.题型四等差数列的前n 项和及综合应用例4 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和. 解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时， a n >0，n ≥14时，a n <0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三同方法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值.且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n n －12×－4 n ≤666＋3n －6＋n －6n －72×4 n ≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n n ≤6，2n 2－23n ＋132 n ≥7.点评：求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，(1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大； (2)若a 1<0，d >0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，利用二次函数的图象或配方法求最值，注意n ∈N *.变式训练4(1) 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列．设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31.解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312. ∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小．可知b 1＝－29，d ＝2，∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二同方法一求出b n ＝2n －31.∵S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225，∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.①求S n 的最小值及此时n 的值；②求n 的取值集合，使a n ≥S n .解方法一 ①设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0， d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n1 004a 1，∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.②a n ＝1 005－n 1 004a 1.S n ≤a n ⇔a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得：1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}.(3)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .解方法一设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋n n －12d ＝m ， ①S m ＝ma 1＋m m －12d ＝n . ②②－①得(m －n )a 1＋m －n m ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋n m ＋n －12d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n ).方法二设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④ ③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m .∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1，∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )，∴S m ＋n ＝－(m ＋n ).课后作业A. 基础题自测1．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．352．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．73在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为 ( )A ．14B ．15C ．16D ．174．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的是 ( ) A ．S 30是S n 中的最大值 B ．S 30是S n 中的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝05．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是( )A.85B.90C.95D.1006．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 3n ，则数列{b n }的前9项和等于________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝a 3n ＝9n ，∴数列{b n }的前9项和为S 9＝9＋812×9＝405.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝___15_____.8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝__10______. 9．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝____27____.10．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4. (1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．(1) 证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 22＝a 1a 4，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d(2)解由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2))(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1)B.中档题演练1.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( ) A.31B.32C.33D.342.数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A.40B.200C.400D.203设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A.8B.7C.6D.54.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于 ( ) A.0B.16C.13D.125.在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( ) A.－2B.0C.1D.26．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．56．D [解析] a n b n ＝2n －1a n 2n －1b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＝1,2,3,5,11时满足．7 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__15______. 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝__13______.9. 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为___75_____.10. 设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为_____1941___. 11.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数). (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列.(1)解 a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，要使{a n }是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0，即p ＝0.故当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列. (2)证明 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数.∴{a n ＋1－a n }是等差数列. 12．在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．（2）求数列{|a n |}的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝3，∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63， a n ＋1＝3n －60，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21，∴S 20＝S 21＝－630， ∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋1232n .当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1232n (n ≤21，n ∈N *)32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).C.难题我破解1．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)． (1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．(1)证明将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}为以1为首项，3为公差的等差数列(2)解由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2(3)解若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立．整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)(9分)令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]2.已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题设知，{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3 (n ∈N *).(2)由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列. 即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.。

人教a版必修5学案：2.3等差数列的前n项和(2)(含答案)

2.3 等差数列的前n 项和(二)自主学习知识梳理1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)， (n ≥2).2．等差数列前n 项和公式S n ＝____________＝____________.3．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定；当a 1<0，d >0时，S n 有________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组____________确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有____________值；当d <0时，S n 有________值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．4．一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．自主探究在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最值．对点讲练知识点一已知前n 项和S n ，求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .总结已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．变式训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求a n .知识点二等差数列前n项和最值问题例2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．总结在等差数列中，求S n的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．变式训练2等差数列{a n}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？知识点三已知{a n}为等差数列，求{|a n|}的前n项和例3已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.总结等差数列{a n}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．变式训练3数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0 (n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.课时作业一、选择题1．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－8，a 15＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 9<S 10B ．S 9＝S 10C ．S 11<S 10D ．S 11＝S 102．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．63．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) A.310 B.13 C.18 D.194．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( )A ．S n >na 1>na nB ．S n >na n >na 1C ．na 1>S n >na nD ．na n >S n >na 15．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值题号1 2 3 4 5 答案二、填空题6．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______．8．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.三、解答题9．已知f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(1)设f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(2)设f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．§2.3 等差数列的前n 项和(二)知识梳理1．S 1 S n －S n －12.n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 3．(1)最大 ⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0 最小 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0 (2)最小最大自主探究解方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2. ∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42. 对点讲练例1 解当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5.又∵a 1＝－1，适合a n ＝4n －5，∴a n ＝4n －5 (n ∈N *)．变式训练1 解当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.因此，当b ＝－1时，a 1＝2适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1.当b ≠－1时，a 1＝3＋b 不适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). 综上可知，当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). 例2 解方法一利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n 2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169.方法二先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧ n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.方法三由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0，又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0，故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169. 因此S n 的最大值为169.变式训练2 解方法一由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎨⎧ 1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝⎛⎭⎫－120a 1·n 2＋⎝⎛⎭⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小．但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值．所以该数列前10项或者前11项的和最小．例3 解由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧ 2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6). 变式训练3 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (8＋10－2n )2＝9n －n 2. ∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n＝2×(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9n －n 2， (n ≤5)n 2－9n ＋40， (n >5) n ∈N *. 课时作业1．B [由已知得d ＝a 15－a 215－2＝1，∴a 1＝－9， ∴a 10＝a 1＋9d ＝0，∴S 10＝S 9＋a 10＝S 9.]2．B [由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10. 由5<2k －10<8，得：7.5<k <9，∴k ＝8.]3．A [方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，∴a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3， S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.] 4．C [由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ，∴na n ＝5n －4n 2， ∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0. S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0.∴na 1>S n >na n .]5．C [由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0.]6．2n －27．5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．8．10解析由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得 (a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n 2＝155，得n ＝10. 9．(1)证明 f (x )＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列．(2)解 b n ＝|3n －8|.当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，b 1＝5.S n ＝n (5＋8－3n )2＝13n －3n 22. 当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 2－13n ＋282. ∴S n ＝⎩⎨⎧13n －3n 22 (1≤n ≤2)，3n 2－13n ＋282 (n ≥3).10．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3. (2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

人教新课标版数学高二B必修5学案等差数列的前n项和(二)

2.2.2 等差数列的前n 项和(二)明目标、知重点 1.掌握等差数列与其前n 项和S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题.2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题.3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)是等差数列，其公差等于k 2d .(2)若在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若在等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．(3)若等差数列的项数为2n (n ∈N ＋)时，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，且S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1 .(4)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N ＋)时，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n,S 奇S 偶＝n n －1.在学等差数列时，我们探究了等差数列的一些性质，现在我们学习了等差数列的前n 项和，它又有哪些性质？这就是本节我们探究的主要问题．探究点一等差数列前n 项和的性质思考1 设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是前n 项和，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答由S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1＋md ＋a 2＋md ＋…＋a m ＋md ＝S m ＋m 2d .同理S 3m －S 2m ＝a 2m ＋1＋a 2m ＋2＋…＋a 3m ＝S 2m －S m ＋m 2d . 所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，并且公差为m 2d .思考2 设S n 、T n 分别为两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，那么a n b n 与S 2n －1T 2n －1有怎样的关系？请证明之．答a nb n ＝S 2n －1T 2n －1. 证明：∵S 2n －1＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)＝2n －12·2a n ＝(2n －1)a n ；同理T 2n －1＝(2n －1)b n ； ∴S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a nb n. 即a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 例1 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 反思与感悟等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n (－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .探究点二求数列{|a n |}的前n 项和例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，2n 2－15n ＋56，n ≥5.反思与感悟等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和．跟踪训练2 已知数列{a n }中，S n ＝－n 2＋10n ，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求数列b n 的前n 项之和T n 的表达式．解由S n ＝－n 2＋10n 得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N ＋)．验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N ＋. ∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50(n >5).探究点三等差数列的前n 项和公式在实际中的应用例3 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？(“教育储蓄”不需缴利息税)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴20%的利息税) 解 (1)100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰＝0.27(元)．第1个100元存36个月，得利息0.27×36(元)；第2个100元存35个月，得利息0.27×35(元)； ……第36个100元存1个月，得利息0.27×1(元)．因此，到期时李先生获得利息0．27×(36＋35＋…＋1)＝179.82(元)．本息和为3 600＋179.82＝3 779.82(元)． (2)100元“零存整取”的月利息是 100×1.725‰＝0.172 5(元)，存三年的利息是0．172 5×(36＋35＋…＋1)＝114.885(元)，因此，李先生多收益179．82－114.885×(1－20%)＝87.912(元)．答 (1)李先生一次可支取本息共3 779.82元．(2)李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元．反思与感悟解决有关等差数列的实际应用题时，首先要搞清楚哪些量能成等差数列，建立等差数列的模型，然后根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，最后转化为等差数列问题来解决．跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2 ×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．1．等差数列前n 项和的性质(1)对于前n 项和形如S n ＝An 2＋Bn 的数列一定为等差数列，且公差为2A ，记住这个结论，如果已知数列的前n 项和可以直接写出公差．(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S 偶的关系是不相同的．(3)数列{S n n }是等差数列，首项为a 1，公差为d2.2．等差数列{a n }与数列{|a n |}的前n 项和等差数列各项取绝对值后组成的数列{|a n |}的前n 项和，可分为以下情形：(1)等差数列{|a n |}的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解． (2)等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，这种数列只有前面有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段来处理．(3)等差数列{a n }中，a 1<0，d >0，这种数列只有前面有限项为负数，其余都为非负数，同样可以分成两段处理．一、基础过关1．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10 000B ．8 000C ．9 000D ．11 000 答案 A解析由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D 解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1. ∴n ＝1,2,3,5,11.3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1n D.n ＋12n答案 B解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .6．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是252，则它的首项与公差分别是a 1＝__________，d ＝________. 答案 12 12解析 S 偶－S 奇＝5d ＝15－252＝52，∴d ＝12. 由10a 1＋10×92×12＝15＋252＝552，得a 1＝12.7．已知数列{a n }中，a 1＝－7，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋2，求S 100. 解由a 1＝－7，a n ＋2＝a n ＋2，可得a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99是以－7为首项，公差为2的等差数列，共50项．∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50×(－7)＋50×(50－1)2×2＝2 100.同理，a 2，a 4，a 6，…，a 100是以3为首项，公差为2的等差数列，共50项． ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50×3＋50×(50－1)2×2＝2 600.∴S 100＝2 100＋2 600＝4 700. 二、能力提升8．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.10．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －1n ＋7，则a 7b 7＝________.答案1910解析方法一 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝13(a 1＋a 13)213(b 1＋b 13)2＝S 13T 13＝3×13－113＋7＝1910. 方法二因为S n T n ＝3n －1n ＋7，所以设S n ＝(3n －1)kn ，T n ＝(n ＋7)·kn (k ≠0)．所以a 7＝S 7－S 6＝38k ，b 7＝T 7－T 6＝20k . 所以a 7b 7＝38k 20k ＝1910.11．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解方法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 12．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n .(2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 (n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5). 三、探究与拓展13．有两个加工资的方案：一是每年年末加1 000元；二是每半年结束时加300元．如果在该公司干10年，问：(1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，与另一方案相比，10年中多加薪多少元？(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，问a 取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？解按第一种方案，每年加薪数形成等差数列{a n }且a 1＝1 000，d ＝1 000，n ＝10，按第二种方案，每半年加薪数形成等差数列{b n }且b 1＝300，d ＝300，n ＝20.(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪S n ＝(1 000＋2 000＋3 000＋…＋10 000)＝55 000(元)．依第二方案可得共加薪T n ＝(300＋300×2＋300×3＋300×4＋…＋300×20)＝63 000(元)，因此在公司干10年，选择第二方案好，多加薪63 000－55 000＝8 000(元)．(2)到第n 年年末，依第一方案可得共加薪1 000(1＋2＋…＋n )＝500n (n ＋1)(元)．依第二方案可得共加薪a (1＋2＋3＋4＋…＋2n )＝an (2n ＋1)(元)．由题意an (2n ＋1)>500n (n ＋1)对一切n ∈N ＋都成立，即a >500(n ＋1)2n ＋1＝250＋2502n ＋1，又因为250＋2502n ＋1≤250＋2503，所以a >250＋2503＝1 0003. 所以当a >1 0003元时，总是选择第二方案比第一方案加薪多．。

《等差数列前n项和》教案

《等差数列前n项和》教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列前n项和的定义及公式。

2. 培养学生运用等差数列前n项和公式解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过探究等差数列前n项和的性质，提高其数学思维能力。

二、教学内容1. 等差数列前n项和的定义。

2. 等差数列前n项和的公式。

3. 等差数列前n项和的性质。

三、教学重点与难点1. 重点：等差数列前n项和的定义、公式及性质。

2. 难点：等差数列前n项和的公式的推导及应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列前n项和的定义及公式。

2. 利用案例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等差数列前n项和的性质。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识及数学交流能力。

五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的基本概念，引导学生思考等差数列前n项和的定义。

2. 新课：讲解等差数列前n项和的定义，推导出等差数列前n项和的公式。

3. 案例分析：运用等差数列前n项和公式解决实际问题，引导学生发现等差数列前n项和的性质。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固等差数列前n项和的公式及性质。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列前n项和的重要性质。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问等方式了解学生对等差数列前n项和定义及公式的理解程度。

2. 练习题：分析学生完成练习题的情况，评估学生对等差数列前n项和的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生对等差数列前n项和性质的理解。

七、教学拓展1. 等差数列前n项和的公式在实际问题中的应用，如计算工资、奖金等。

2. 引导学生探究等差数列前n项和的公式的推导过程，提高学生的数学思维能力。

八、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈调整教学策略。

2. 分析学生的学习情况，针对性地进行辅导，提高学生的学习效果。

九、课后作业1. 巩固等差数列前n项和的公式及性质。

2.2.2 等差数列的前n项和-王后雄学案

张喜林制2.2.2 等差数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等差数列的前n 项和公式为=n S =2．若数列}{n a 的前n 项和公式为B A Bn An S n ,(2+=为常数），则数列}{n a 为 3．以前n 项的项数为横坐标，前n 项和为纵坐标的图象为抛物线上的一些4．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为,n S 那么数列-k k 2S ,S )(,,23+∈-N k S S S k k k 是等差数列，其公差等于5．若在等差数列}{n a 中，,0,01<>d a 则n s 存在；若在等差数列}{n a 中，,0,01><d a 则n s 存在6．等差数列的项数若为)(2+∈N n n 项，则=n S 2 ．且=-奇偶S S =偶奇S S ,7．等差数列的项数若为)(12+∈-N n n 项，则=-12n S ,).12(n a n -且1,S S -==-n nS S a n 偶奇偶奇（其中 =奇S =偶S , ）8．若}{},{n n b a 为等差数列，,,11k nk n k n k n b B a A ∑∑====则=mmb a 要点核心解读1．等差数列的前n 项和公式及应用公式1：;2)(1n n a a n s +=公式2：;2)1(1d n n na s n -+= 公式3：Bn An S n +=2一般地，若已知首项1a 和n a 或,1n a a +求n S 用公式1；若已知首项1a 和公差d ，求n S 用公式2；其他情况下，应视条件灵活运用所学知识（等差数列的性质、通项公式、前n 项和公式等）进行转化，使问题得到解决．如：已知等差数列}{n a 中，(1)若,1285=+a a 求;12s (2)若,18,684==a a 求;20S (3)若,5,12125==S S 求⋅10s对于(1)可利用等差数列的性质得.72126)(62)(128512112=⨯=+=+=a a a a S对于(2)可先由条件求出首项1a 和公差d ，再由公式2求⋅20S对于(3)可先由条件利用公式3得到关于A 、B 的方程组，解出A 和B 的值，再由公式3求⋅10S 2．前n 项和公式与通项公式的结合，即方程思想的运用等差数列的通项公式与前n 项和公式反映了等差数列的首项、1a 公差d 、通项n a 前n 项和n s 以及项数n 之间的关系，通过它们可由n n t S a d a ,,,和n 五个量中的任意三个求出另外两个，即“知三求二”，运用这一方法可以解决等差数列中基本量的求解，如求1a 和d ，项数n 等问题．3．等差数列前n 项和的主要性质等差数列}{n a 的前n 项和n s 具有以下常用性质：,,,,)1(34232n n n n n n n S s s S S s s ---仍成等差数列．Bn An S n +=2)2(即n s 是n 的缺常数项的二次函数．(3)若等差数列首项1a 与公差d 异号，即01<d a 时，前n 项和n s 必有最值，若1a 与d 同号，即,01>d a 则11a s =即是n S 的最值（此种情况较明显，一般不必研究）．(4)等差数列}{n a 中，当n 为奇数时，+=-1,a S S h 偶2121+=-n a d n （中间项）； 21.+=n n a n S （项数与中间项的积）； 11-+=n n s s 偶奇（项数加1比项数减1）．当n 为偶数时，;2d n s s =-⋅奇偶 12122S ,22.++=+=nnn a n a S a n an s 偶奇4．等差数列前n 项和的最值解决等差数列前n 项和最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数方法解决，常用的有以下几种： (1)找转折项：若给出等差数列的通项公式或首项、公差易求时，一般可找转折项来求n s 的最值，若n S d a ,01<必有最值，当0,01><d a 时，n s 有最小值；当0,01<>d a 时，n S 有最大值，由通项0≥n a （或)0≤n a 便可求出转折项，从而求出n S 的最值．(2)二次函数法：利用前n 项和公式=-+=d n n na s n 2)1(1,)2(212n da n d -+结合二次函数的性质讨论最大值或最小值．（将n s 看做自变量n 的二次函数）．(3)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． 5．数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系由n n n a a a a a s +++++=-1321 与++=-211a a s n ,123--+++n n a a a 可得n n n a S S =--1).2≥n （又,11a S =⎩⎨⎧⋅≥-==∴-)2(),1(11n S S n s a n nn利用此关系式可由n S 求n a 或进行n S 与n a 的相互转化．典例分类剖析考点1 前n 项和公式的运用命题规律(1)利用前n 项和公式求其他的量（如首项,1a 公差d ．项数n 等）．(2)利用前n 项和公式解决一些简单的求和问题． [例1] （2010年浙江模拟题）在小于100的正整数中共有多少个数被3除余27这些数的和是多少？ [解析] 被3除余2的正整数可以写成)(23N n n ∈+的形式．[答案] 由,10023<+n 得,3232<n 即n 可取0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整数中共有33个数被3除余2．把这些数从小到大排列出来就是2，5，8，…，98，它们组成一个等差数列},{n a 其中,33,98,2331===n a a 因此它们的和为.16502)982(3333=+⨯=S[启示] 本题运用等差数列通项公式和前n 项和公式解题．[例2] 已知}{n a 为等差数列，,,n S m S m n ==其中,n m =/,,+∈N n m 求⋅+n m S [答案] 解法一：（常规解法，方程思想）思路：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=d m m m a n d n n na m 2)1(,2)1(11由可解出.,1d a故 .2)1)(()(1d n m n m a n m S n m -++++=+解法二：（常规方法，整体代换，不求),1d a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=-+=],)1(2[22)1(],)1(2[22)1(1111d m a m d m m m a n d n a n d n n na m 以上两式相减，即=+--+-])()(2[21221d m m n n m n a .n m -.0,=/-∴=/n m n m∴ 上式可化为.2)1(21=--+-d n m a 即.2)1(21-=-++d n m a 由 2)1)(()(1dn m n m a n m s n m -++++=+])1(2[2)(1d n m a n m -+++=.)2(2n m n m --=-⋅+=解法三：设),(2+∈+=N x Bx Ax s x则⎩⎨⎧=+=+②①.,22m Bn An n Bm Am ①一②得.)()(22m n n m B n m A -=-+-.1)(,-=++∴=/B n m A n m故),()()(2n m n m B n m A +-=+++即.)(n m n m S n m --=+-=+ 解法四：（利用性质，简化运算）等差数列中若,q p n m +=+则⋅+=+q p n m a a a a 不妨设,n m >m m n n n m a a a a S S ++++=--++121⋅+-=-=+)(2)(1m n a a n m m n .2)(211-=--=+=+∴++nm m n a a a a m n n m.)()(2)(1n m n m a a n m S n m n m --=+-=++=∴++注意多种方法的比较．[启示] 由于本题是字母系数，用解法一太繁琐，此法不可取．d a ,1是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素,1a ,d 再解决其他问题．但本题解法二关键在于求出了-+-(|21a .2)=-d n m解法三的关键在于求出了,1)(4-=++B n m 这种设而不解的“整体化”思想，在解决有关数列的问题中要注意运用，同时要注意等差数列中Bn An s n +=2的应用．母体迁移 1．(1)（上海高考题）已知数列}{n a 中，=1a ,2,71+=-+n n a a 求=+++1721a a a (2)（2010年湖北省重点中学联考题）已知数列}{n a 中，,2,3,7221+==-=+n n a a a a 则=100S 考点2 等差数列的性质命题规律(1)利用等差数列前n 项和的性质简化运算过程． (2)等差数列的性质在求和中的灵活运用．[例3] (1)等差数列}{n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求公差d ．(2)有两个等差数列},{},{n n b a 满足=++++++++n n b b b b a a a a 321321,327++n n 求⋅55b a[解析] (1)前12项中奇数项，偶数项分别构成以21,a a 为首项，2d 为公差的新的等差数列，n n b b b a a a ++++++ 2121,)2(分别为等差数列}{},{n n b a 的前玮项和，因此可用等差数列前n项和公式或其他相关性质解答．[答案] (1)解法一：前12项中=⨯⨯+=d a S 225661奇,3061d a +,3662256)(611d a d d a S +=⨯⨯++=偶 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++∴,354)366()306(,3236630611127:d a d a d a d a l 解得⎩⎨⎧==.2,51a d 解法二：)()(11311242a a a a a a S S +++-+++=- 奇偶)()()(11123412a a a a a a -++-+-=⋅=d 6⎪⎩⎪⎨⎧=+=,354,3227偶奇偶奇S S S S ⎩⎨⎧==∴.162,192S 奇偶S.5,6162192=∴=-=-∴d d S S 奇偶(2)解法一：设等差数列}{},{n n b a 的公差分别为,,21d d 则,21212)1(2)1(211121112121d n b d n a d n n nb d n n na b b b a a a n n -+-+=-+-+=++++++ 则有 ⋅++=-+-+32721212111n n d n b d n a ①又由于,44211155d b d a b a ++= ② 观察①②，可在①中取,9=n得⋅=++⨯=++126539297442111d b d a 故⋅=126555b a解法二：设}{},{n n b a 的前n 项和分别为,,n n B A 则有=n n B A ,327++n n 其中2)(1na a A n n +=由于,2591a a a =+即,2591a a a =+ 故.929)(5919⨯=⨯+=a a a A同理.959⨯=b B 故995599⨯⨯=b a B A 故⋅=++⨯==1265392979955B A b a解法三：因为等差数列前n 项和.2a bn an s n =+=⋅+)(abn n 根据已知，可令=+=n n B kn n A ,)27( .)3(kn n +,654)247(5)257(455k k k A A a =⨯+⨯-⨯+⨯=-=∴ .124)34(5)35(455k k k B B b =⨯+-⨯+=-=⋅==∴1265126555k k b a 解法四：由⋅=++⨯==-=--126539297,99551212B A b a k b a B A n n n n [启示] (1)把目标式用o ．与d 两个基本量来表示，此法具有普遍性．若能进一步利用好等差数列的性质，则可使求解过程简捷．(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映，利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果．母体迁移 2．(1)在等差数列}{n a 中，=++1272a a a ,24求⋅13S (2)等差数列}{n a 的公差,21=d 且,145S 001=求++31a a ⋅++995|a a (3)已知等差数列}{n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7：6，求中间项．(4)已知等差数列}{n a 的前4项和为25，后四项和为63，前n 项和为286，求项数n ．考点3 等差数列}{n a 各项取绝对值后组成的数列|}{|n a 的前n 项和命题规律(1)将不熟悉的数列问题转化为熟悉的数列问题．(2)利用数列与二次函数的关系确定哪些项为正，哪些项为负．[例4] 在等差数列}{n a 中，,12,60171-=-=a a 求数列|}{|n a 的前n 项和．[解析] 本题实质是求等差数列}{n a 前n 项绝对值的和，需要先搞清哪些项是正的，哪些项是负的． [答案] 等差数列}{n a 的公差.316)60(12117117=---=--=a a d)1(360)1(1-+-=-+=∴n d n a a n.633-=n又.21,0633,0<<-∴<⋅n n a n∴ 等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设n S 和/n S 分别表示数列}{n a 和|}{|n a 的前n 项和．当20≤n 时，]2)1(360[/-+--=-=n n n S S n n .2161232n n +-=当20>n 时，202020/2)(S S S S S S n n n -=-+-=)3219202060(22)1(360⨯⨯+⨯---+-=n n n .12602161232+-=n n ∴ 数列|}{|n a 的前n 项和为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-=.20,1260216123,20,21612322/n n n n n n S n[特别提醒] (1)对于这类数列的求和问题，一是要弄清哪些项为正，哪些项为负；二是要尽量将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，即等差数列的问题．(2)解答本题的关键是确定等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．母体迁移3．（2010年烟台模拟题）数列}{n a 的前n 项和为,102n n S n -=求数列|}{|n a 的前n 项之和．考点4 n S 的最值问题命题规律(1)用求二次函数的最值方法求其前，n 项和的最值，但要注意的是⋅∈+N n (2)利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． (3)利用“通项法”来求n s 的最值．[例5]等差数列}{n a 中，,,0941S S a =>则n S 取最大时，=n [解析] 解法一：n S 有最大值，n S ∴是开口向下的抛物线．由于,94s s =故对称轴为.5.6294=+=n 从而6=n 或7时，n S 最大，如图2 -2 -2 -1所示．解法二：=⨯+∴=d a S S 2344,194 .6,289911d ka d a -=⨯+ .0,01<∴>d a-=-+-⋅=-+=∴2122)1()6(2)1(n d d n n d n d n n na S n .213n d∴<,0d 开口向下，且对称轴⋅∈==+N n n ,5.62136=∴n 或7时，n S 最大．解法三：由解法二中①得-+-=-+=n d d n a a n (6)1(1.)7()1d n d -=由⎩⎨⎧≤≥+,0,01n n a a 得⎩⎨⎧≤-≥-.0)6(,0)7(d n d n ⎩⎨⎧≥-≤-∴<.06,07,0n n d 解得,76≤≤n 故6=n 或.7 [答案] 6或7[方法点拨] 解法一利用等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，结合二次函数的性质解答此题；解法二是从写出n s 的二次函数表达式入手；解法三是采用正负项分界法，解法更为简便．母题迁移 4．（2010年广东省部分重点中学联考题）数列}{n a 是等差数列，.6.0,501-==d a (1)从第几项开始有;0<n a(2)求此数列的前n 项和的最大值，考点5 等差数列的前n 项和公式的实际应用命题规律(1)从实际生活应用中抽象出等差数列的前n 项和公式模型． (2)利用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题．[例6] 某地在抗洪抢险中接到预报，24 h 后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h 内另筑起一道堤坝作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h ，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min 就有一辆车到达并投入工作，问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h 内完成第二道防堤，请说明理由．[解析] 本题利用总工时来计算总工作量的应用问题，而每辆车工时之和可以表示成一个等差数列的和，问题的本身可转化为求解关于翻斗车数量的不等式即可． [答案] 设从现有的一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列},{n a 则⋅-=--311n n a a ∴ 数列}{n a 构成首项为24，公差为31-的等差数列，设还需组织（n-l ）辆车，则=+++n a a a 21 ≥--+)31.(2)1(24n n n .2520⨯ .0)120)(25(,030001452≤--≤+-∴n n J n n η.241,2512025[]=-∴=≤≤∴n n n m i故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24 h 内完成第二道防堤[启示] 本题的基本关系是每辆车每小时的工作量×车数×时间=工作总量，母题迁移5．（原创题）假设某市2010年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%?优化分层测讯学业水平测试1．已知}{n a 是等差数列，,1010=a 前10项和,7010=s 则其公差=d ( )．23.-A 31.-B 31.C 32.D 2．等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 若,10,242==S s 则6s 等于( )．12.A 18.B 24.C 42.D3．已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和,n B 且,3457++=n n B A n n 则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数有( )．A.2个B.3个C.4个 D ．5个4．在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项的和为165．所有偶数项的和为150，则n 等于( )．A ．9 B.10 C ．11 D ．125．等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有项．6．设,221)(+=x x f 利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求+-+-)4()5(f f f f +++ )0( )6()(5)f +的值为7．在数列}{n a 中，,66,2171==a a 且它的通项公式是关于正自然数n 的一次函数，则它的前10项和为8．（2010年济南市模拟题）近日国内某大报纸有如下报道：加薪的学问学数学，其实是要使人聪明，使人思维更加缜密．在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案，一是每年增加薪水1000元；二是每半年增加薪水300元，请选一种．一般不擅数学的，很容易选前者，因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如：在第二年的年末依第一种方案可以加得l 000 +2000 =3000(元)；而第二种方案在第一年加得300+ 600= 900（元），第二年加得900 +1200=2100（元），总数也是3000元．但到第三年，第一种方案加得1000+2000 +3000=6000（元）；第二种方案则为300+600 +900 +1200 +1500 +1800=6300（元），比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若能在该公司干三年以上，则应选第二种方案根据以上材料，如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少元？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1．（2011年全国高考题）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若,11=a 公差,24,22=-=+k k S S d 则k=( )．8.A 7.B 6.C 5.D2．若数列}{n a 是等差数列，首项.,0,020*********a a a a >+>ω,02006<a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是( )．4009.A 4010.B 4011.C 4012.D3．等差数列}{n a 与},{n b 它们的前n 项之和分别为n S 与,n S 若),(27417+∈++=N n n n S S n n 则1111b a 的值是( )． 47.A 23.B 34.C 7178.D 4．已知等差数列的前n 项和为,n s 若,0,01213><S S 则此数列中绝对值最小的项为( )，A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项5．（2009年安徽高考题）已知}{n a 为等差数列，=++531a a a .99,105642=++a a a 以n S 表示 }{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )．21.A 20.B 19.C 18.D6．根据市场调查结果，预测某种家用电器从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件），近似地满足--=2ln 2(90n n S n )12,,2,1)(5 =n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )． A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D ．8月、9月7．等差数列}{n a 中，,51-=a 它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项．余下的10项的平均值为4．则抽去的是( )．8.a A 6.a B 10.a C 11.a D8．设等差数列}{n a 满足,53138a a =且,01>a 则前n 项和n S 中最大的是( )．10.s A 11.S B 20.S C 21.s D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）9．等差数列}{n a 中，其前n 项和为100，其后的2n 项和为500，则紧随其后的3n 项和为10.（2009年辽宁高考题）等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且==-435,556a s S11.若一个等差数列前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的翱为390，则这个数列有项．12.（北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列}{n a 是等和数列，且,21=a 公和为5，那么8]a 的值为____，这个数列的前n 项和n s 的计算公式为三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）等差数列}{n a 的前n 项和记为,n s 已知,3010=a .5020=a(1)求通项,n a(2)令,242=n s 求n ．14.（13分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走Im ，乙每分钟走5 m ．(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15.（14分）（2010年湖北省部分重点中学联考题）已知}{n b 是首项为l ，公差为34的等差数列，且 nna a a b n n ++++++= 21221 (1)求证：}{n a 也是等差数列；(2)若++=++=+==874654332211,,,a a c a a a c a a c a c ,109a a +如此构成数列},{n c 求数列 }{n c 的通项公式，。

等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的前n项和解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算方法。

三、教学难点1. 等差数列的性质的理解与应用。

2. 等差数列的前n项和的计算方法的推导与理解。

四、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，展示等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法。

2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：教师通过PPT或黑板，展示一些数列的例子，引导学生思考数列的规律。

2. 讲解：教师讲解等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法，通过示例进行解释和说明。

3. 练习：教师给出一些等差数列的问题，让学生独立解决，并给出答案和解析。

4. 应用：教师给出一些实际问题，引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题，并提供解答和解析。

5. 总结：教师对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的重要性和应用价值。

六、教学拓展1. 引导学生思考等差数列的前n项和的性质，如奇数项和偶数项的和是否相等。

2. 引导学生探索等差数列的前n项和的公式推导过程。

七、课堂小结1. 回顾本节课学习的等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。

2. 强调等差数列的前n项和在实际问题中的应用价值。

八、作业布置1. 完成教材或练习册上的相关习题，巩固等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。

2. 选取一道实际问题，运用等差数列的前n项和解决，并将解题过程和答案写下来。

九、课后反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，观察学生对等差数列的概念、性质和前n 项和的计算方法的掌握程度。

2. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和解题策略，为下一节课的教学做好准备。

十、教学评价1. 学生完成作业的情况，判断学生对等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的掌握程度。

等差数列及其前n项和教案

一、等差数列的概念与性质教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质；2. 能够识别和判断一个数列是否为等差数列；3. 掌握等差数列的通项公式。

教学内容：1. 等差数列的定义：介绍等差数列的定义，即数列中相邻两项的差是常数；2. 等差数列的性质：介绍等差数列的性质，如任意一项都可以用首项和公差表示，任意一项与前一项的差等于公差等；3. 等差数列的通项公式：介绍等差数列的通项公式，即第n项等于首项加上公差乘以(n-1)。

教学活动：1. 通过实例引入等差数列的概念，引导学生发现等差数列的性质；2. 通过练习题，让学生练习判断一个数列是否为等差数列，并找出其首项和公差；3. 引导学生推导出等差数列的通项公式，并通过练习题巩固。

二、等差数列的前n项和教学目标：1. 理解等差数列前n项和的定义及其计算方法；2. 能够计算一个等差数列的前n项和；3. 掌握等差数列前n项和的性质。

教学内容：1. 等差数列前n项和的定义：介绍等差数列前n项和的定义，即数列中前n项的和；2. 等差数列前n项和的计算方法：介绍等差数列前n项和的计算方法，即利用首项、末项和项数的关系进行计算；3. 等差数列前n项和的性质：介绍等差数列前n项和的性质，如前n项和与首项、末项和项数的关系。

教学活动：1. 通过实例引入等差数列前n项和的定义，引导学生发现等差数列前n项和的性质；2. 通过练习题，让学生练习计算一个等差数列的前n项和，并运用其性质；3. 引导学生探究等差数列前n项和的计算方法，并通过练习题巩固。

三、等差数列的求和公式教学目标：1. 理解等差数列的求和公式及其推导过程；2. 能够运用求和公式计算等差数列的前n项和；3. 掌握求和公式的应用。

教学内容：1. 等差数列的求和公式：介绍等差数列的求和公式，即前n项和等于首项加末项乘以项数除以2；2. 等差数列求和公式的推导过程：介绍等差数列求和公式的推导过程，引导学生理解公式的来源；3. 等差数列求和公式的应用：介绍等差数列求和公式的应用，如计算特殊数列的前n项和。

等差数列及其前n项和教案

等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够识别等差数列的通项公式。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 等差数列的概念：定义、通项公式。

2. 等差数列的前n项和的计算方法：公式、性质。

3. 等差数列的应用：解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 重点：等差数列的概念、通项公式；等差数列的前n项和的计算方法。

2. 难点：等差数列的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解等差数列的概念、通项公式、前n项和的计算方法。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。

3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考等差数列的概念。

2. 讲解：讲解等差数列的概念、通项公式，引导学生理解等差数列的性质。

3. 练习：让学生自主完成等差数列的前n项和的计算，巩固所学知识。

4. 应用：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、通项公式和前n项和的计算方法。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，对教学方法进行调整，以提高教学效果。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对等差数列概念和前n项和计算方法的掌握程度。

3. 测验评价：进行等差数列相关知识的测验，评估学生的学习效果。

七、教学拓展：1. 等差数列的进一步研究：引导学生探讨等差数列的性质，如项数与项的关系、项的取值范围等。

2. 等差数列与其他数列的关系：介绍等差数列与等比数列等其他数列的联系和区别。

3. 等差数列在实际问题中的应用：举例说明等差数列在生活中的应用，如统计数据处理、财务计算等。

《等差数列的前 n 项和》导学案

《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程。

2、理解等差数列前 n 项和公式的特点，能熟练运用公式解决相关问题。

3、体会等差数列前n 项和公式中蕴含的数学思想，如倒序相加法。

二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

（2）理解等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系。

2、难点（1）倒序相加法的理解和应用。

（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式解决综合性问题。

三、知识回顾1、等差数列的通项公式：＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，其中$a_1$为首项，＄d$为公差，＄n$为项数。

2、等差数列的性质：（1）若$m ＋ n ＝ p ＋ q$，则$a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q$。

（2）＄a_n a_m ＝（n m)d$。

四、新课导入高斯是德国著名的数学家，他在小学时就表现出了非凡的数学才能。

有一次，老师让同学们计算 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ 100 的和。

高斯很快就得出了答案 5050。

他是怎么算的呢？原来，高斯发现 1 ＋ 100 ＝ 101，2 ＋ 99 ＝ 101，3 ＋ 98 ＝101，……，50 ＋ 51 ＝ 101，一共有 50 组这样的和，所以总和为50×101 ＝ 5050。

这种方法可以推广到求任意等差数列的前 n 项和。

五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列$＼｛a_n\｝＄的首项为$a_1$，公差为$d$，前 n 项和为$S_n$。

则$S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n$ ①将上式倒序可得：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1$ ②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋＼cdots ＋（a_n ＋a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄方法二：通项公式法因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$所以$S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼又因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，所以$a_1 ＋ a_n ＝ a_1 ＋ a_1 ＋（n 1)d ＝ 2a_1 ＋（n 1)d$则$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄六、等差数列前 n 项和公式的性质1、若数列$＼｛a_n\｝＄是等差数列，＄S_n$为其前 n 项和，则$S_{2n 1} ＝（2n 1)a_n$。

学案2：等差数列及前n项和(二).doc

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