学案2：等差数列及前n项和(二).doc

学案2：等差数列及前n项和(二)

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1.等差数列定义式： ,若数列o,A,0成等差数列则

2.等差数列的(1)通项公式q, =；(2)通项公式推广：%=

(3)等差数列通项公式。〃是关于n的一次函数％ =

>7 — a. n — a

(4)公差d的计算方法：①d=a n— a n_｝②d=—------------- —③d=— ------ —

n-1 n-m

3.等差数列的常用性质

⑴｛□〃｝为等差数列，(1)若m + n = p + q则.

(2)若m + n = 2p时，则.

(2)当d〉0时，｛&｝单调递；当d=0时，｛%｝为常数列；当d<0时，0｝单调递—.

4.等差数列的前〃项和公式：(1) S〃 = ______________ = ____________

(2)等差数列｛%｝的前n项和S〃是关于n的二次函数，且常数项为0,则$〃 =.

5.证明数列｛%｝是等差数列的常用方法：

方法一：运用等差数列的定义：％】一。〃=d；

方法二：运用等差中项性质：2% 二%1 .

6.设&是等差数列｛%｝的前n

(1)数列圣是等弟数列;

n

(2)数列S m9S2m - S m9S3m -,Sm一Sgim 是等差数列;

s

(3)设等差数列的项数为2n,则有：S2n=n(a n+a fl+i\ S^-S^=nd,工=鱼

S奇a n s

(4)设等差数列的项数为2n-l,则有：S”】=(2〃—1)《；S.-S f,=，室=——

一"' S 偶n-\

(5)若数列｛福与｛久｝都是等差数列，且前n项的和分别为Sn和T n ,则亳=务，是中间项)

T2n-1 b n

7.在等差数列｛%｝中

(1)若。〃 =m, a m = n(m。〃)，则《= , a tn+n = 0

⑵若，〃 =sjm。〃)，则-----

8.求等差数列前刀项和肉最值的两种方法

(1)函数法：利用等差数列前〃项和的函数表达式Sn=昂*bn,通过配方或借助图象求二次函数最

值的方法求解.

(2)邻项变号法：

&20,

①用〉0,冰0时，满足八的项数〃使得角取得最大值为S;

②当0VO,技)时，满足、八的项数E吏得S〃取得最小值为琳总+1N0

题型一：等差数列前n项和的性质应用

例1： (1) (2).已知等差数列0｝的前〃项和为S〃,且Sio=lO, 520=30,则$30=•

(2)等差数列a)的前10项之和为140,其中奇数项之和为125，则&=。

(3)等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32： 27,公差d=

(4)等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77,偶数项之和为66,

则中间项二，总项数为o

(5)若两个等差数列｛%｝和｛如｝的前〃项和分别为&和T n ,

①若&=2〃 + 3 ,求，_= ；②若岛=2〃 + 3,则色= ___________

如〃 +3 T. ------------ T n〃 +3 b7

题型二：数列求和

例2：已知数列｛%｝的前〃项和S n=\2n-n2f求数列｛园｝的前〃项和7；。

题型二：最值I可题

例3： (1)等差数列0｝满足幻+。8+。9>0, a7+aio

(2)设等差数列｛&｝的前〃项和为S”且&>0,血+&>0, &衍V0,贝IJ满足£>0的最大自然

数〃的值为( )

A. 6

B. 7

C. 12

D. 13

变式1：已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,并且S|°>O,S/O,若5Z1 < 5,对〃E N*恒成立，正整数k=・

变式2：在等差数列｛%｝中，印=7,公差为d,前〃项和为& ,当且仅当〃=8时，取得最大值,

则d的取值范围为

1.等差数列｛“〃｝中，3(口3+。5)+ 2(。7+"|()+。13)=24,则该数列前13项的和是()

A. 13

B. 26

C. 52

D. 156

2.已知等差数列｛〃〃｝满足吻=3, £—&一3=51(〃>3), &=10(),则〃的值为( )

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

3.设等差数列｛&｝的前n 项和为S n,若 S3=12, S6=42,则a10+a,i+a12= ( ) (A) 156 (B)102

(C) 66 (D) 48

4.------------------------------------------------------------------在等龙数列｛an｝中，公差d=—，且％

+q+% ------------------------------------------------------------角9 =60,但+“4+"6 --------- %oo =()

2

A. 85

B. 145

C. 110

D. 90

5.等差数列｛。〃｝中，。1+3缠+。15= 120,则2。9一。1。的值是( )

A. 20

B. 22

C. 24

D. -8

6.数列｛如｝的通项公式％= _ ,己知它的前n项和为S〃=9,则

n=()

〃 J 〃 +1 +

A 9

B 10

C 99

D 100

7.已知数列｛。〃｝是等差数列，若％+“7 +%()=17 , % +角+。6 + 一・+。14=77旦练=13

则化=.

8.数列｛%｝是等差数列，若项数为奇数，旦奇数项和为44，偶数项和为33,则该数列的项数为.

9.己知等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是

10.设％,d为实数，首项为％,公差为6/的等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，满足5我+ 15 = 0,

则d的取值范围是 .

11.等差数列｛%｝, ｛如｝前n项和分别为s〃，羸若& = 竺,，则& = ___________

b n 2〃一3 T9

若金=玉=1,则查=

T n 2/?-3 b<)

12.等差数列｛%｝的前〃项和S，且皿=12,S|, >0,S.v0.则公差d的取值范围；