图形与几何领域解决问题
小学数学“图形与几何”疑难问题分析-2019年精选教育文档
小学数学“图形与几何”疑难问题分析“图形与几何”是小学数学教学的严重的组成部分，是学生认识空间事物的严重基础，有利于帮助学生建立正确的空间观念，培养学生的数学想象能力与空间思维，培养学生严格的学习能力。
本文将在明确“图形与几何”教学的学习目标、教学理念、教学内容的基础上，促进全体学生综合发展的原则，使得学生都获得优良的数学教育，促进例外学生的数学能力都得到一定的发展，课程的内容要与学生的学习需要以及社会的现实需要相结合。
本文将对小学数学“图形与几何”教学的中的问题进行探讨。
并且提出相应的解决对策。
一、小学数学“图形与几何”教学中的疑难问题1.在教学中的教学目标不够明确。
在新的课程教育标准逐渐深入实施的今天，各级各类学校都在深入的学习相关的理念，现行的小学数学教材就是依据新的课程标准编写的，但是有许多的教师对新的教学理念理解不够深入，对教材中的内容缺少深入的分析与细密的思考，还是依据传统的教学模式进行教学，依据自己内心的想法想当然采取教学手段，在这种教学模式下，学生的学习能力得不到提高，达不到教学目标。
教师若是要想胜利的上好一节课，就是对教材进行分析，构建前后联系的知识体系，分析知识之间的联系，把握教育教学的主线，分析教材编写者的意图，根据教材的编排才能够采取灵敏有用的教学手段，才能够有用的达到教育教学的目标。
数学的课程标准不仅仅包括对学生传授知识与技能，还包括学生的内心情感、对问题的思考、数学思维能力的培养等等，因此，教师要促进学生全面发展。
2.教师不够关注学生。
新的课程标准明确的指出：“数学教学应该是师生相互互动、积极参与、共同进步与发展的过程，在教学中，要关注学生的主体地位，教师充分的发挥自身的作为学习活动的组织者、引导者的作用。
小学数学教师在教学中要增强师生之间的互动与交流，给与学生更好地学习环境与学习空间。
许多教师在教学中也确实做到了这一点，但是当学生出现错误的时候，教师会自动的给与忽略，没有告诉学生自己错在哪里、为什么错了，学生没有办法真正的理解知识，仅仅靠机械记忆去学习。
数学解决立体几何问题的常用方法和技巧
数学解决立体几何问题的常用方法和技巧在数学领域，立体几何是一个关键而有趣的分支，涉及到三维空间中的形状和对象的研究。
解决立体几何问题需要一些常用的方法和技巧，我们将在本文中探讨这些方法和技巧。
一、平面几何的基础知识在处理立体几何问题之前，我们首先需要掌握一些平面几何的基础知识。
这包括直线、角度、三角形和多边形等基本概念。
熟悉这些概念可以帮助我们更好地理解和解决立体几何问题。
二、几何图形的投影图形的投影是解决立体几何问题的重要方法之一。
当一个立体图形在不同的平面上投影时，会得到不同的图形。
通过观察和分析这些投影图形，我们可以推断出立体图形的性质和特征，从而解决问题。
三、空间坐标系空间坐标系是解决立体几何问题的另一种常用方法。
通过引入坐标系，我们可以将问题转化为代数方程的求解。
这在处理立体图形的位置、距离和角度等问题时非常有效。
四、欧拉公式欧拉公式是解决多面体问题的一条重要定理。
该定理表明，一个凸多面体的顶点数、棱数和面数之间存在着一种简单的关系。
应用欧拉公式，我们可以在已知条件下求解立体图形的未知数值，从而解决问题。
五、相似三角形和比例关系相似三角形和比例关系是解决立体几何问题的常用技巧之一。
当两个三角形的对应角相等时，它们就是相似三角形。
通过分析相似三角形之间的比例关系，我们可以求解立体图形的未知长度、面积和体积等问题。
六、空间角的性质空间角是解决立体几何问题的另一种重要工具。
通过研究空间角的性质，我们可以得到很多有用的结论。
例如，对于任意一个点，通过将其与多个点相连，可以形成不同的空间角，这些空间角之和为360度。
七、平面切割和截面图平面切割和截面图是解决立体几何问题的实用方法之一。
通过在立体图形上进行平面切割，我们可以得到截面图，从而更好地理解和分析立体图形的性质。
截面图可以帮助我们推断立体图形的形状、面积和体积等信息。
八、立体图形的拓扑性质立体图形的拓扑性质指的是图形在变形过程中保持的不变性质。
八年级数学如何解决复杂的平面几何问题
八年级数学如何解决复杂的平面几何问题在八年级数学学习中，平面几何是一个重要的内容，涉及到各种几何图形的性质、相似与全等、平行与垂直等知识点。
当面临复杂的平面几何问题时，我们可以采用一些有效的方法和技巧来解决。
本文将介绍一些解决复杂平面几何问题的技巧和方法。
方法一：分析题目首先，我们需要仔细分析题目，理清楚问题的要求。
有时候问题可能会给出一些已知条件，而我们需要推导出一些其他的结论。
这就要求我们对图形的性质和定理有一定的了解。
例如，如果题目给出了一个等边三角形ABC，要求证明三角形ABC的内角都是60°。
我们可以通过分析等边三角形的性质得知，等边三角形的三条边相等，三个内角也都相等且等于60°。
通过这种分析，我们可以快速得出结论。
方法二：应用几何定理在解决复杂的平面几何问题时，我们需要运用一些几何定理和性质。
例如，分析题目中涉及的几何图形的性质，如直角三角形的勾股定理、相似三角形的比例关系等。
这些定理和性质是解决问题的基础，熟练掌握它们对于解决问题至关重要。
在运用定理时，我们要确保条件满足，然后应用相应的定理进行推导。
方法三：引入辅助构造有时候，为了解决问题，我们可以引入一些辅助构造。
通过添加线段、点等，构造出与原问题有一定联系的图形，以便更好地分析和解决问题。
例如，在证明两个三角形全等时，如果给定两个对应的边相等，我们可以通过添加一个公共点，使用辅助线段来构造两个等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质推导出所需的结论。
方法四：运用数学推理数学推理是解决问题的重要手段之一。
通过利用几何图形的性质和定理，我们可以进行严密的推理和证明。
例如，利用线段延长或平移，我们可以得到一些等角关系，运用角的性质来推导问题。
在应用数学推理时，我们要思考如何从已知条件出发，逐步推导出所需的结论。
同时，在推理过程中要注意提炼关键信息，排除无效的步骤，确保推理的严谨性。
方法五：多加练习练习是提高解决复杂平面几何问题能力的关键。
数形结合在实际问题中的应用案例
数形结合在实际问题中的应用案例数形结合在实际问题中的应用案例1. 引言数学和几何学是我们日常生活中不可或缺的一部分。
数形结合作为数学和几何学的交叉点，将抽象的数学概念和形状、图形相结合，可以帮助我们解决实际问题并深入理解数学的应用。
本文将通过几个应用案例，展示数形结合在实际问题中的重要性和价值。
2. 案例一：房屋设计假设你是一名建筑设计师，你的任务是设计一个舒适、实用的房子。
在设计过程中，数形结合起到了重要的作用。
你需要根据房屋的布局和尺寸计算出每个房间的面积和体积。
通过数学计算，你可以确定每个房间的大小和容量，以确保房屋满足居住者的需求。
在设计外观时，你可以使用数学原理和几何形状来确定房屋的外部结构和造型，例如使用三角形的石墙或圆形的阳台。
在室内设计中，你可以运用数学的比例和比例关系来布置家具和装饰品，以提高空间的利用率和美观度。
3. 案例二：汽车设计想象一下你是一名汽车设计师，你的目标是设计一辆外观时尚、性能出色的汽车。
在汽车设计中，数形结合同样发挥着重要作用。
你需要考虑汽车的整体比例和尺寸，以确保汽车在外观上比例协调。
通过使用几何图形和数学原理，你可以设计出具有良好比例的车身，使其在视觉上更加吸引人。
利用数学模型和几何原理，你可以优化汽车的空气动力学性能，使其在行驶过程中减少阻力和能耗。
在车内设计中，你可以运用数学和几何概念来确定座椅的角度、仪表盘的位置以及按钮的布局，以提高乘坐舒适性和人机交互体验。
4. 案例三：城市规划城市规划是一个涉及复杂的多维问题，数形结合在其中扮演着重要的角色。
城市规划师需要考虑人口数量、土地利用、交通流量等诸多因素。
数学和几何概念可以帮助城市规划师评估和优化城市的布局和形状。
在确定城市区域的大小和规模时，可以使用数学模型和几何原理来计算和优化土地的使用效率。
在交通规划中，数形结合可以帮助规划师设计合理的道路网络和交通流动，以提高城市的通行效率和交通安全性。
数学和几何概念还可以应用于建筑物的设计和风景区的规划，以创造出美观、宜居的城市环境。
小学数学“图形与几何”领域基本活动经验分析
小学数学“图形与几何”领域基本活动经验分析图形与几何是小学数学的一个重要领域，主要涉及到图形的认识、分类和性质以及几何关系的认识和应用。
下面是对小学数学“图形与几何”领域基本活动经验的分析。
一、图形认识与分类1. 图形的基本属性：小学阶段学生通过观察和比较，能够认识和描述图形的基本属性，例如直线段、封闭曲线、直角、等边等。
2. 图形的命名与分类：学生需要学会命名常见的图形，如三角形、四边形等，并能根据图形的属性进行分类，如按边数、角度等进行分组，培养学生的分类思维和观察能力。
二、图形性质的认识与应用1. 图形的对称性：学生能够认识到图形的对称轴和对称关系，并能够通过折纸实践来寻找图形的对称轴。
在此基础上，学生能够通过对称关系进行图形补全和图形屈折操作。
2. 图形的相似和全等关系：学生能够通过观察和比较，认识到相似和全等的概念。
并能够根据图形的性质，判断图形的相似和全等关系。
学生能够根据对称性和边长比较，认识到三角形的相似关系。
3. 图形的面积和周长：学生能够通过活动和实践，认识到面积和周长的概念，并能用简单的方法进行估算和计算。
如通过单位格数、划分成小矩形等方式来近似计算图形的面积和周长。
三、几何关系的认识与应用1. 直线与曲线的相交关系：学生能够通过观察和实践，认识到直线与曲线的相交情况，如直线与圆的相交情况。
并能够用直尺和圆规来画出给定的直线和曲线，培养学生的几何构造能力。
2. 平行线与垂直线的关系：学生能够通过观察和比较，认识到平行线与垂直线的关系，并能够通过图形的性质和线段的长度比较判断直线之间的关系。
3. 三角形的内角和外角：学生能够通过观察和实践，认识到三角形的内角和外角的关系，并能通过三角形的性质求解各种角度问题。
四、图形的应用学生能够通过实际生活中的情形，运用图形的知识和技巧进行问题的解决，如通过图形的分类和性质判断物体的形状、通过图形的相似关系进行比例计算等。
小学数学“图形与几何”领域的基本活动经验可以通过图形的认识与分类、图形性质的认识与应用、几何关系的认识与应用以及图形的应用等方面进行分析，培养学生的观察、分类、比较、分析和解决问题的能力，为后续的数学学习奠定了基础。
发展学生图形与几何问题解决能力的实践分析——以“圆”项目化学习为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４发展学生图形与几何问题解决能力的实践分析发展学生图形与几何问题解决能力的实践分析㊀㊀㊀ 以 圆 项目化学习为例Һ唐嘉欣㊀（广州市荔湾区西关培正小学，广东㊀广州㊀５１０１４０）㊀㊀ʌ摘要ɔ项目化学习是在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，激发学生学习动机，促进学生积极探究，让学生经历各种数学学习过程的学习模式．项目化学习运用在数学教学中对教师的教学㊁学生的学习有积极的实践意义．本文聚焦第三学段六年级 图形与几何 领域 圆 这一单元，在对教材和学情进行分析后，重整教学内容并进行项目化学习方案的设计，确立项目化学习的流程，结合项目开展的全过程对项目化学习在图形与几何领域对学生问题解决能力进行阐述．ʌ关键词ɔ图形与几何；问题解决能力；项目化学习ʌ基金项目ɔ本文为广州市荔湾区２０１９年教师小课题‘第二学段学生图形与几何问题解决能力的研究 以ＰＢＬ项目化学习为视角“（２０１９Ｘ１１）研究成果之一．‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“（下文简称‘课标（２０２２年版）“）对第三学段（５ ６年级）的学段目标中提出， 尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观㊁逻辑推理和其他学科的知识㊁方法分析与解决问题，形成模型意识和初步的应用意识㊁创新意识 ．‘课标（２０２２年版）“中将学生的几何直观㊁推理意识㊁模型意识㊁应用意识和创新意识这几个核心素养都蕴含在问题解决中．在大部分图形与几何领域的数学课堂教学中，教师最常使用的是直接讲授的方式．虽然教师的教学设计有学生讨论和表达自己的观点的环节，但是整个学习过程都由教师严格控制，甚至在教学预设中，教师会把学生所有发言的可能性都描述出来．这类常规教学模式的亮点是能高效完成教学任务，使大部分学生能较好地掌握基本知识和基本技能（双基）．但这只达成了新课标提出的 关注学生知识的获得 ，而未能做到 关注学生思维的获得 ．教师在充分预设下，提出的 问题 ，最终答案必将是教师心中的唯一．这样的问题会制约学生创造性和个性化的发展，不利于对学生问题解决能力的培养．问题是数学教学的心脏，而问题处理则是一种确定结构中不良问题的目标和解决障碍的过程．教师在课堂中，所预设的问题一般都是结构完整的问题，既有解题所需要的有关信息，又有清晰的问题，而学习者只需利用已有的方法，根据已经确定的问题解决途径就能够很轻松地找出问题的答案（教师预设的问题通常拥有唯一的解题路径和唯一的答案）．而在现实生活中学生要面临的更多的是拥有大量无关信息㊁结构不良的问题，问题解决的途径和能够使用的信息资源也都不清晰．比如 把圆形面饼放入长方体的打包盒 就是一个结构不良的问题．要解决这个问题，首先要明确 我想实现什么（把圆形面饼放入长方体中） ．然后就是查找能够满足这种情况的数据和信息．在信息化时代，一条关键词可能会产生很多的信息，于是下一步必须从查找到的有关数据中逐步剔除与之不相干的数据．问题求解过程中产生的数据通常是真实的，并伴随着问题情境产生的．这就要求学生对问题情境进行仔细分析．学生如果没有仔细地对所要求处理的问题情境进行仔细分析与甄别，那么所得到的关于问题的结论也通常是不全面的．对这种干扰型信息的分析可以更有效地提高学生的认识，进而加深学生对问题相关理论的了解．最后，对结构不良的问题的处理必须通过多次重复尝试，并调整解题途径来找到最佳的处理途径．所以学生在给出了问题路径和解决方法之后，必须反省和检验自己问题的结果，并在实践情境中加以尝试和检验是否有效，而一旦在实际检验中发现问题仍然无法有效解决，就必须逐步返回排查错误因素，纠正错误，并提出新的解决办法．项目化学习的相关理论指出，问题解决过程是一个使用高阶认知策略的过程，但它同时需要用到大量的低阶认知策略．例如，对问题情境的现有资料加以搜集㊁汇总㊁分析，以此确定问题所要求的资料．也就可以从现有的旧知中找出可能的问题解决的途径．而问题解决方法还包括了对各种问题解决策略的研究与比较㊁探究问题的原因和解释问题等，有时也要求推导出所有可能的结果，并通过所得到的各种方案研究哪一个解决方案更符合当下的情境．笔者与课题组成员根据课题计划安排，梳理了第三学段 图形与几何 领域中适合开展项目化学习的内容，在六年级开展 圆 内容的项目化学习．一㊁对教材的分析圆 这一单元的学习是在学生学完了对长方形㊁正方形等平面图形的周长㊁面积等相关概念和计算以及直观认识圆（可以识别的外在特征）的基础上展开的．长方形㊁正方形㊁三角形㊁平行四边形和梯形都属于直线图形，而圆形是曲线图形．从直线图形到曲线图形，对学生来说是一个飞跃．因为学习曲线图形的概念和方法与学习直线图形相比是有变化的．学生通过对圆的深入学习，不仅了解了一些关于圆的知识，掌握了画圆的技能，还通过不同问题情境的学习，理解了 化曲为直 等积变形 和 极限 等数学思想方法，进而发展了问题解决能力．二㊁对学情的分析在进行项目化教学中，教师利用学生课上访谈，帮助他们完成有关 圆 的ＫＷＨ表（见表１），从中了解到学生对于 圆 的基本概念和一般性认知（圆的各部分名称㊁如何借助工具画圆）已经非常丰富．他们对于 圆 的知识准备，已经超过了传统课堂静态的知识呈现．例如，关于圆周长与面积的运算，学生会用相关公式进行运算，他们的主要困惑是这个公式怎样产生的，公式背后的原理是什么？又如，学生希望了解为何车轮都设计成圆形？在他们的提问中，我们可以发现学生所需要的更多是将科学知识和日常生活经验结合起来的新知识．因此课题组教师从这些问题中进行选择㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４并将其转化为驱动性问题．表１㊀关于 圆 的ＫＷＨ表我已经知道了什么？（Ｋｎｏｗ）我还想知道什么？（Ｗｈａｔ）我想运用这些知识解决怎样的问题？（Ｈｏｗ）圆有圆心㊁半径和直径．圆周率是３．１４ 的无限不循环小数．圆周长和圆面积公式．圆是一个轴对称图形．圆周率是怎样得到的？圆周长和圆面积公式是怎样得到的？怎样用圆规画圆？为什么轮胎㊁井盖是圆形的？周长相等时，长方形㊁正方形㊁圆形谁的面积大？三㊁ 圆 项目化学习设计方案表２㊀ 圆 项目化学习设计项目名称：圆项目时长：３周学科：数学教师：唐嘉欣㊁叶练冲㊁潘双强年级：六年级相关学科：信息技术（ＵＭＵ平台，用于前期数学阅读和操作实践）项目简述圆 是人教版六年级第一学期第五单元的知识，本单元的内容与生活联系密切，立足于学生已有的知识和学习能力，开展项目式学习促进单元教学，从学生自身的学习需求出发，真正让学生了解为什么学㊁怎样有效地学㊁学到的知识可以用于解决生活中的什么问题．教材和相关资料：人民教育出版社出版的六年级第一学期数学（２０２２版）教材核心知识项目中的主要知识点：通过动手操作，对圆周率的含义有初步了解，理解和掌握圆的周长计算公式，并运用这个公式来解决实际问题．通过探索，了解并掌握圆的面积计算公式，并能够根据面积公式来解决一些简单的实际问题．通过实验㊁探索㊁分析㊁反思等过程，培养数学活动经验，在解决一些与圆有关的数学问题的过程中提高解决问题的能力．在推导圆的周长和面积的计算公式过程中，让学生们体会和掌握变换㊁极限等数学思想．学科关键概念或能力：空间观念，问题解决的能力．驱动性问题本质问题：通过对圆的探索，学生不仅需要了解关于圆的一般基础知识，还需要体验 化曲为直 等积变形 极限 等数学思想方法．通过实践来培养数理逻辑思维和解决问题的能力．驱动性问题：关于 圆 我知道什么？还想知道什么？圆的周长和面积实验．合理利用空间．成果与评价个人成果：常规纸笔练习．数学阅读拓展．圆知识的思维导图．评价的知识和能力圆的相关知识．归纳总结㊁综合理解的能力．续㊀表㊀高阶认知问题解决：借助已有知识解决和分析问题的能力．实践与评价涉及的学习实践：探究性实践：根据自己收集的资料，提出数学问题，明确必要的数学条件和步骤；制定问题的解决方案；分析和解释数学可视化数据；对方案进行合理解释并发表自己的意见．社会性实践：让学生自由组成不同的项目小组，相互倾听他人的观点并给出回应．调控性实践：指定问题解决方案；反思解决问题的步骤．评价的学习实践：探究性实践．社会性实践．调控性实践．项目过程项目启动 完成关于 圆 的ＫＷＨ表，根据ＫＷＨ表提取驱动性问题，在ＵＭＵ平台上搭建学习框架．项目探索 为解决驱动性问题，在ＵＭＵ平台上自主进行前期文本学习．项目实践 分组进行项目实践．项目评价 在ＵＭＵ平台上对各组实践结果进行评价．所需资源阅读材料㊁计算器㊁电脑表３㊀ 圆 项目化学习资源与环境设计学习项目学习类型资源与环境项目前项目中项目后我知道的 圆项目开启文本：项目导向单，数学绘本．搜索平台．话题交流：我最想解决的问题（ＵＭＵ平台）．寻找 圆心主题活动微视频：圆的认识．文本：前置学习单．动手操作素材．话题交流：挑战不可能之寻找圆心（ＵＭＵ平台）．画出美丽的 圆长作业微视频：用圆规和直尺设计图案．文本：前置学习单．动手操作素材．长作业：设计美妙的图案（ＵＭＵ平台）．解决生活实际问题实践性作业文本：实验报告．动手操作，完成实验报告．实验报告分享（ＵＭＵ平台）．四㊁对项目化学习的实施分析（一）前置学习，基于学情设计任务借助ＵＭＵ平台开启项目．学生进入学习项目，先通过阅读文本（绘本㊁文章），将已有的㊁零散的对 圆 的一般性认知与相关知识相结合，再通过课堂教学用圆规画圆的方法，进一步了解圆心㊁半径和直径，以及半径和直径的关系．同时课堂教学借助微课演示圆规画圆的过程，让学生初步感受 圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合 的几何学基本概念，最终使学生修正和完善 圆 的有关概念，从而㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４形成系统的㊁科学的 圆 概念体系．ＵＭＵ平台㊁微课等信息化手段的使用，体现了‘课标（２０２２年版）“的教学宗旨：通过合理运用现代信息技术，创造丰富多彩的课程资料，创设生动活泼的课堂教学，积极推进学校数学教育教学方式方法的改革．（二）任务推动，基于主题自主学习通过 圆 的ＫＷＨ表，课题组教师借助ＵＭＵ平台把驱动性问题细分为不同的项目子任务（见表３）． 数学新课程实施必须以学生数学素质的培养为基本任务，课堂中对数学活动实践的掌握也是其数学素质形成的条件 ．学生经历 做 和 想 的过程，并在此过程中加以沉淀与积累，进而逐渐内化成自身的数学素养．项目化学习的重要特点之一是通过有意义的驱动式提问来提高学生的学习积极性，使他们积极参与学习． 圆 的项目化学习中，教师设计了 圆周长实验 圆面积实验 合理利用空间 等驱动性问题，让学生置身于一种探究的环境中，让学生经历一次自发的㊁与自己能力匹配的学习之旅．在学习的过程中，学生根据自己的能力做出不同的尝试和努力，真正实现 跳一跳摘苹果 ．就学生自身而言，他们可以获得充满成功感的有效学习体验．（三）评价分享，基于对核心知识的深度理解项目化学习中的成果不单是要做出某些实物，更重要的是解决现实生活中的真实问题，体现对核心概念的理解，展现自己和小组成员在此学习过程中的深入思考与实践．在 圆 项目化学习后，学生围绕驱动性问题呈现了形式多样的成果．通过这些成果，学生能够切实感受到运用数学知识解决实际问题的收获和感悟．项目化学习成果的呈现除了课堂上ＰＰＴ㊁思维导图口头汇报外，借助ＵＭＵ平台上传成果让组内成员相互评价㊁相互学习．五㊁项目化学习对发展学生图形与几何问题解决能力的实践意义课题组教师在六年级数学课堂中实施 圆 的项目化学习，是项目化学习在小学数学课堂中一个成功的实践案例，有显著的正面实践意义．第一，项目化学习能有效培养学生发现问题㊁分析问题和解决问题的能力．正如余文森在‘有效教学的实践与反思“一书中指出的 没有问题就不会有解释问题和解决问题的思想和方法 ，项目化学习以问题为起点串联起整个学习的全过程，问题是一种教学手段，也是教学目标（通过解决问题实现教学目标）．通过课题实践检验，项目化学习有利于提升学生的问题解决能力．第二，项目化学习能够充分发挥学生的主体性．‘课标（２０２２年版）“明确指出， 有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者㊁引导者与合作者 ．项目化学习以学生为中心，根据学生本身的需要提出课题，全面落实课改精神．第三，项目化学习可以有效训练学生团队合作学习的集体意识．项目化学习是以项目协作为主的学习模式，在项目的全过程中学生和学生之间有大量的互动交流，这一过程能有效地训练学生的数学表达能力，也可以培养团队的合作能力．总㊀结项目化学习中，学生所产生的数学知识㊁学习体验与一般常规数学课堂中产生的知识和体验是不同的．项目化学习从开始就设置具有挑战性的问题．这些问题一般都有多种解决问题的路径，同时，由于学生选择了不同的解决问题的路径，因此就会产生不同的结果．在进行项目化学习时，高阶思维的问题情境能激发学生学习的内在动力．教师在指导和推进学习进程时会对学生明确提出带有问题解决㊁创造㊁推理分析等高阶认知策略的项目任务，学生将会在真实有效的驱动性问题下展开学习并生成真实的学习成果．在学习成果产生的过程中，学生会遇到与问题相关的新旧知识，学生为解决新问题将会自然而然地进入低阶学习，例如找与问题相关的资料㊁识记一些公式和定理㊁整合相关知识使之形成知识网络等．学生在这个过程中其实就自主获得了解决问题所需要的技能．学生在项目化学习中的学习实践是一种包含知识㊁行为和态度的不断转换的过程．常规学习过程一般都是先学后练（做），但项目化学习则需要学生在对问题探究与解决中，把一般的学习转化为有意义的学习实践．学习实践突出的是 做 和 学 的不可分割性，学生在学习实践中不仅能掌握解决问题的基本知识和基本技能，还能对问题㊁对知识有更深层次的认识和理解．数学课堂应以培养学生的数学素养为核心目标，学生通过数学活动中获得的经验逐步获得数学素养．通过 圆 项目化学习，课题组教师发现，学生不仅掌握了圆的相关基础知识，而且在解决各驱动性问题中经历了观察㊁实验㊁猜测㊁计算㊁推理㊁验证等活动，感受了 化曲为直（圆周长） 等积变形（圆面积） 等数学思想方法，发展了数学思维能力和问题解决能力．在 圆 项目化学习中，学生自主生成的有关 圆 的问题始终贯穿学习的全过程．学生在 问题 的学习中，始终处于需要解决的问题情境中，使其产生了紧张感，激发起强烈的解决问题的意愿，从而实现其自主学习㊁自觉去解决问题的目的．一个有效的项目化学习，问题解决是一个个不断通关的过程．在解决终极问题前，学生要解决一系列与之相关的 关卡问题 ，这些 关卡问题 恰恰就是学生要掌握的基础知识．学生在经历解决 关卡问题 的过程中，其学习成功感和学习自信心也会得到提升．在项目化学习中，学生的关注点聚焦在 问题 上，学生经历一系列的通关解决问题的过程，不仅没有数学学习的疲惫感，还可以得到成就感，从而提高了其对数学学习的兴趣．课题组以 图形与几何 领域的内容为切入点进行了项目化学习实验，学生可以在实际的问题情境中，在熟悉的事情中认识数学和掌握数学，用数学的眼睛看实际世界，用数学的思维思考实际世界．学生心中的数学不仅是单纯的公式㊁图像和数值，也是可以解决实际生活问题的好助手．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０２２年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０２２．［２］余文森．有效教学的实践与反思［Ｍ］．西安：陕西师范大学出版总社有限公司，２０１１．［３］张春雨．小学生 图形与几何 知识结构化能力的培养策略与实践研究［Ｄ］．西南大学，２０２１．［４］贺冬梅，段君丽．长春地区小学生几何直观能力培养的调查报告［Ｊ］．长春教育学院学报，２０２２，３８（０２）：１１８－１２４．。
几何数学解题技巧
几何数学解题技巧
几何数学是数学领域的一个重要分支，涉及到平面几何、立体几何等多个方面。
解决几何数学问题需要具备一定的基础知识和技巧，以下是一些常用的几何数学解题技巧：
1.画图：解决几何数学问题的第一步是画出几何图形，通过图形可以更清晰地理解题目意思，有助于找到解题思路。
2. 利用等式和性质：几何数学中有很多重要的等式和性质，如勾股定理、相似三角形的性质等，掌握这些等式和性质可以帮助我们更快速地解决问题。
3. 观察图形特征：几何数学问题中的图形往往具有一些特征，如对称性、相似性等，观察这些特征可以帮助我们找到规律和解题思路。
4. 使用代数方法：有些几何数学问题可以使用代数方法进行求解，如利用二元一次方程求解两个未知量，或者利用向量的运算求解空间几何问题。
5. 引入辅助线：有时候我们需要引入一些辅助线来辅助解题，如引入中垂线、平分线等，通过这些辅助线可以将复杂的几何问题简化为更易解决的问题。
以上是一些常用的几何数学解题技巧，掌握这些技巧可以帮助我们更快速地解决
几何数学问题。
核心素养下小学图形与几何领域教学实践与思考心得体会
核心素养下小学图形与几何领域教学实践与思考心得体会
1. 激发学习兴趣：在教学过程中，可以通过丰富多样的教学资源和实物，让学生亲身感受几何图形的特点和用途，激发学生的学习兴趣和好奇心。
2. 强调观察与实践：图形与几何是一门实践性较强的学科，学生需要通过观察实物和实际操作，来发现图形的性质和规律。
教师可以设计一些实际操作的活动，让学生亲自动手去实践，加深对图形与几何的理解。
3. 培养空间想象力：图形与几何涉及到空间的概念和判断，培养学生的空间想象力是非常重要的。
在教学过程中，可以采用模型、投影和旋转等方法，帮助学生形成空间思维，提高他们在图形与几何问题上的解决能力。
4. 引导问题解决：在图形与几何的学习中，学生需要学会观察、发现问题，并尝试解决问题。
教师可以引导学生提出问题、分析问题，并帮助他们找到合适的解决方法。
这种问题解决的过程，可以培养学生的思维能力和创新意识。
总之，图形与几何是培养学生核心素养的重要领域，教师应尽可能提供丰富的学习资源和实践机会，引导学生主动参与，培养他们的观察力、实践能力和问题解决能力。
同时，教师也应把握好教学内容的层次，根据学生的认知水平和学习需要，有针对性地设计教学活动，提高学生的学习效果和兴趣。
数学中的平面几何问题与解决方法
数学中的平面几何问题与解决方法在数学中，平面几何是一门研究平面图形、点、线、角、面积等概念和它们之间的关系的学科。
本文将探讨数学中常见的平面几何问题，以及解决这些问题的方法。
一、平面几何的基本概念在开始讨论平面几何问题之前，我们首先需要了解一些基本概念。
平面几何中最基本的概念是点、线和面。
点是没有长度、宽度和高度的，它只有位置的概念。
线是由无限多个点组成的，它没有宽度，但有长度。
面是由无数条线组成的，它有长度和宽度，但没有高度。
二、平面几何问题的分类平面几何问题可以分为几个不同的类别，其中包括以下几种常见问题：1. 线段相交问题：给定平面上的多条线段，判断它们是否相交。
2. 角的性质问题：研究角的度量和特性，如锐角、直角、钝角等。
3. 同位角问题：研究同位角的性质和关系，如同位角相等的定理。
4. 平行线问题：研究平行线的性质和判定方法，如平行线的性质、平行线的判定、平行线的性质等。
5. 相似图形问题：研究相似图形的性质，如相似三角形的性质、相似多边形的性质等。
6. 圆的性质问题：研究圆的性质和相关定理，如圆心角、弧长、扇形面积等。
三、解决平面几何问题的方法解决平面几何问题的方法有多种，我们常用的方法包括以下几种：1. 几何画图法：通过画图来理解问题，找到问题的关键点，进而解决问题。
2. 投影法：将平面中的线段、角度、面积等图形投影到另一个平面上进行研究，从而简化问题的解决过程。
3. 分析法：通过对几何问题进行分析和归纳，找到问题的规律和特性，从而解决问题。
4. 利用已知条件和定理：根据已知条件和几何定理，进行推理和演算，解决问题。
5. 应用坐标系：通过引入坐标系来描述和分析几何问题，从而求解问题。
四、实例分析为了更好地理解平面几何问题和解决方法，我们来看一个具体的实例。
假设有一个矩形ABCD，其中AB=5厘米，BC=3厘米。
现在将矩形绕点B顺时针旋转一个角度θ，使得新的矩形A'B'C'D'的边AB'与CD重合，边BC与AD'重合。
关注图形与几何领域教学,发展学生空间观念
关注图形与几何领域教学，发展学生空间观念图形和几何是数学领域中的重要分支之一，它与日常生活密切相关，无处不在。
在教学中，关注图形与几何领域的发展，可以帮助学生培养良好的空间观念和解决问题的能力。
本文将探讨关注图形与几何领域教学的重要性，并介绍一些有效的教学方法。
关注图形与几何领域的教学能够帮助学生培养良好的空间观念。
空间观念是指个体对物体位置、形态、大小和方向等性质的理解能力。
它对于个体的日常生活和学习具有重要意义。
通过学习图形和几何，学生可以锻炼空间想象力，提高感知、观察和分析问题的能力。
在这个过程中，学生需要通过观察、比较、推理和判断等活动，逐渐形成对形状和空间的感知和理解，从而培养出较强的空间观念。
关注图形与几何领域的教学能够促进学生解决问题的能力。
图形与几何的学习不仅仅是为了获得相关的知识和技巧，更重要的是培养学生解决问题的能力。
在图形与几何领域，学生需要通过观察和分析问题，找出问题的关键点，运用所学的知识和方法，进行构造和推理，最终解决问题。
这个过程中，学生需要运用逻辑思维、创造性思维和批判性思维等能力，培养出良好的问题解决能力。
接下来，介绍一些有效的教学方法，帮助学生在图形与几何领域发展空间观念和解决问题的能力。
教师可以设计一些富有情境和趣味性的教学活动，以激发学生的学习兴趣和积极性。
可以利用实物、模型、图表、图片等教具，让学生进行观察、比较和归纳，从而感知形状和空间的特征。
教师可以引导学生运用所学的知识和方法解决实际问题。
可以设计一些与日常生活相关的问题，让学生通过运用几何知识，来解决与形状、位置和方位等相关的问题。
教师可以组织学生进行合作学习，培养学生的合作精神和团队合作能力。
通过小组讨论、合作探究等形式，学生可以相互交流和合作，共同解决问题，从而提高学习效果和学习质量。
关注图形与几何领域的教学，对于发展学生的空间观念和解决问题的能力具有重要意义。
通过富有情境和趣味性的教学活动，运用所学的知识和方法解决实际问题，以及组织学生进行合作学习，可以帮助学生培养良好的空间观念和解决问题的能力。
提升学生图形与几何解决能力的实践与思考——以人教版数学五年级长方体和正方体PBL 项目化学习为例
提升学生图形与几何解决能力的实践与思考——以人教版数学五年级长方体和正方体PBL项目化学习为例唐嘉欣现今全球的趋势和21世纪教育的重点，是培育下一代在当今世界取得成功所需要的、更深入学习的素养和能力：在核心的学术内容之上，建立批判性思维的能力、合作的能力、沟通的能力、创造性地解决问题的能力、分析的能力。
项目化学习是一种能有效地培养学生这些21世纪所需的学习素养和能力的教学策略。
（陈姵如，斯坦福大学评价、学习与公平中心研究员）学科项目化学习是基于学科中的关键概念和能力的项目化学习。
本文结合人教版（2013版）数学五年级《长方体和正方体》项目化学习的实践进行思考与探究。
1 空间与几何的数学项目化学习小学的空间与几何学习，从平面到立体，可以形成“动手做”的实践性数学任务系列。
学生通过动手测量、计算与画图、制作，深化对相关概念、算法的认识与理解，能有效促进学生的空间观念的发展。
在一线的教学中，教师基本都能给予学生动手操作的时间，但更多的是让学生做出成果，而没有让学生经历分析与探索问题的历程，学生并不理解背后的原理、为什么要这样做，学生的学习没有改变机械、低阶、被动接受的实质，只不过从动脑的机械化变成了动手的机械化而已。
项目化学习在一开始就用具有挑战性的问题创造高阶思维的情境，激发学生学习的内动力，明确对学生提出带有问题解决、创造、系统推理分析等高阶认知策略的项目任务，让学生在强大的驱动性问题所产生的内动力中创造一个真实的作品。
在完成作品的过程中，在与各种材料和文本互动中，学生再来进行低阶学习。
在项目化学习中，学生从一开始就很清楚所学的知识是用来做什么的，学生对自己所学的内容产生意义感和价值感，每一个学生都知道所学的知识除了能应对考试，还能对自身与世界的联系有怎样的价值。
在诸多数学项目化学习的实验和研究中发现，在“图形与几何”领域，项目化学习对学生的几何学习有积极影响。
通过项目化学习，学生对数学概念有了更深刻的理解，进行了更深度的创造性思考和发展了更深层次的思维。
整体思想在初中数学解题中的应用——以“图形与几何”问题为例
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７整体思想在初中数学解题中的应用整体思想在初中数学解题中的应用㊀㊀㊀ 以 图形与几何 问题为例Һ林㊀芹㊀陈豫眉㊀（西华师范大学，四川㊀南充㊀６３７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在初中数学学习阶段，对于一些数学问题若过度拘泥于常规解法，则很难找到解决问题的突破口，容易造成寸步难行的局面．当 山重水复疑无路 时，尝试观察问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，便能使原本的问题化繁为简㊁化难为易，达到 柳暗花明㊁一举成功 的效果．因此，本文将以图形与几何问题过程中蕴含的整体思想为主线，挖掘其内含的解题策略，以期帮助学生了解更多的解题方法，培养学生的整体意识，提升学生数学思维的敏捷性㊁概括性与灵活性．ʌ关键词ɔ整体思想；初中数学；图形与几何著名数学教育家波利亚认为： 掌握数学就意味着要善于解题 ．然而，善于解题并不意味着一味地使用自身熟悉的㊁做过的题型去 套 ．这种只满足于解出答案，不对问题所蕴含的思想㊁方法进行归纳的学习方式已经无法满足学生内在发展的需要．因此，教师在教学中应该有意识地培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力，提高数学素养．整体思想作为数学思想中的重要思想，旨在从已有问题的整体性质出发，认真观察问题的整体结构，对其进行恰当的分析与改造，把握住问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，将其中的某部分看成一个整体［１］，挖掘式子或图形之间的内在联系，再对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使得原有式子或图形的结构变得更加清晰明了，容易解决．图形与几何问题较为重视推理过程，整体思想非常符合这一要求，它能将学生的思维过程有效地融合在一起，而又不至于太过分散［２］．这种以整体的眼光看待问题㊁解决问题的方法，在解决图形与几何问题中发挥着不可替代的作用．１㊀整体思想在求解图形面积中的应用通过观察归纳，不难发现中小学阶段在求解图形面积的相关问题是有共通之处的．求解平面不规则图形的面积问题的解题关键其实就在于需将原有的不规则图形转化为规则图形求解，既能考查学生的读图㊁识图能力，又能考查学生的数学转化思想与思维的灵活性［３］．而数学的整体思想恰好在这一类求解图形面积问题中发挥着不可替代的作用，在求解此类问题时，常常需要学生运用整体的眼光去看待原有的不规则图形，即从原有图形的局部结构特征入手，与其所学的规则图形关联起来，达到解决问题的目的．例１㊀如图１，☉Ａ㊁☉Ｂ㊁☉Ｃ两两不相交，且半径都是０．５ｃｍ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图１分析㊀本题若依据常规思路，我们会考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们发现，尽管上述图形的阴影部分是规则图形扇形，但我们不知道每个扇形所对圆心角的度数，故无法顺利求解出每个扇形的面积．然而，若用整体的眼光去看待问题，由于三个扇形的半径均为０．５ｃｍ，那么自然可以将三个阴影部分转换成一个半径为０．５ｃｍ的半圆，既打通了思维上的阻碍，还简化了计算的过程．例２㊀如图２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，分别以ＡＣ㊁ＢＣ为直径画半圆，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图２分析㊀本题若依据常规思路，我们首先考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们可以发现，上述图形的阴影部分均为不规则图形，无法根据标准图形面积的计算公式直接计算．那么，我们可以转换思路，尝试利用差值思想，结合其他标准图形解决问题．然而，经观察思考发现其他图形中仍包含未知的不规则图形，也无法顺利解㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７决问题．因此，先不考虑结论，我们先从已知的可利用的条件入手．将各部分阴影面积分别用Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，ａ，ｂ来表示，再利用已知条件，建立三个等式：Ｓ１＋Ｓ３＋ａ＝１２π１２ˑ２()２＝π２，①Ｓ１＋Ｓ２＋ｂ＝１２π１２ˑ４()２＝２π，②Ｓ１＋ａ＋ｂ＝１２ˑ４ˑ２＝４，③由①＋②－③，得Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝５π２－４．例３㊀如图３，矩形ＡＢＣＤ被两条对角线分成了四个小三角形，已知四个小三角形的周长和为８６ｃｍ，一条对角线长为１３ｃｍ，求矩形的面积．图３分析㊀本题若依据常规思路，为求解矩形的面积，则需知道矩形ＡＢＣＤ的长和宽．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解矩形相应的边长．然而，若运用整体思想，根据矩形面积公式Ｓ＝ＡＢ㊃ＢＣ，只需求解出ＡＢ㊃ＢＣ的值．由题可知ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝８６－２（ＡＣ＋ＢＤ）＝８６－４ˑ１３＝３４，可以得到ＡＢ＋ＢＣ＝１７．再将上述式子两边同时平方，可得ＡＢ２＋２ＡＢ㊃ＢＣ＋ＢＣ２＝２８９．又因为ＡＢ２＋ＢＣ２＝１３２＝１６９，所以ＡＢ㊃ＢＣ＝６０．例４㊀如图４，两个正方形有一个公共顶点，已知大㊁小正方形的边长分别为ａ１，ａ２，求әＡＢＣ的面积．（用ａ１，ａ２的代数式表示）图４㊀㊀图５分析㊀本题若从常规思路解决问题，想要求解әＡＢＣ的面积，需要知道әＡＢＣ相应的底边与高，方可利用三角形面积公式进行求解．但是，经过观察发现，我们无法根据现有条件直接利用公式求解әＡＢＣ的面积．因此，需要转化为规则图形面积的加减来计算．如图５所示，我们可以利用辅助线补全上述图形，将原有的不规则图形补全为规则图形，使得整个图形成为矩形，这时所求的әＡＢＣ的面积就可以利用整个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即ＳәＡＢＣ＝ａ１（ａ１＋ａ２）－１２ａ１２－１２ａ２（ａ１＋ａ２）－１２ａ２（ａ１－ａ２），化简可得ＳәＡＢＣ＝１２ａ１２．通过观察上述问题，我们不难发现利用整体思想在求解图形面积问题中的关键是善于用 集成 的眼光．在求解此类问题的过程中，若拘泥于常规思路或解法，常常会发现无法运用现有的知识进行求解，即容易走入 死胡同 ．但是，如若我们认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，把握图形的整体结构特征，便能使原有的问题化繁为简㊁化难为易，达到柳暗花明㊁豁然开朗的效果．２㊀整体思想在几何问题中的应用几何问题，说到底也就是图形问题，旨在研究图形的性质．这就要求学生能够分辨出题目所给出的信息，且能够洞察隐藏在已知图形下的与解决问题相关的另一 子图形 ［４］，再利用 局部 或 全局 的整体性，将二者恰当地结合起来，使得原来无从下手的问题，变得简单，解决问题的思路也变得清晰明了．例５㊀如图６，求ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝．图６分析㊀由图可知，ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＥＡＤ，而øＥＡＤ＝øＢＡＣ，故ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＢＡＣ㊀①．同理ø３＋ø４＝１８０ʎ－øＡＢＣ㊀②，ø５＋ø６＝１８０ʎ－øＡＣＢ㊀③．由①＋②＋③可得ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－øＡＢＣ－øＡＣＢ－øＢＡＣ．而现在若想单独求解øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ的度数，将会无计可施．但是，根据题意可知，需要求解的是ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６的值．因此，我们不必拘泥于单个角的度数，应当从整体的角度入手，把握角与角之间的内在联㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７系．øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ是әＡＢＣ的三个内角，根据三角形的内角和定理，可知øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ．因此，我们只需将上述式子看成一个整体，就可得到ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－（øＡＢＣ＋øＡＣＢ＋øＢＡＣ）＝３ˑ１８０ʎ－１８０ʎ＝３６０ʎ．例６㊀如图７，已知在әＡＢＣ中，øＢＡＣ＝５０ʎ，ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，求øＢＤＣ的度数．图７分析㊀本题若依据常规思路，想要求解øＢＤＣ的度数，则需要分别求解出әＢＤＣ中øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解出相应的度数，解题陷入了困局．然而，我们若采用整体思想，不再拘泥于øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数，而是将两者看成一个整体，即尝试求解øＤＢＣ＋øＤＣＢ的度数．由于øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ，且øＢＡＣ＝５０ʎ，得到øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎ．又因为ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，可以得到øＤＢＣ＝１２øＡＢＣ，øＤＣＢ＝１２øＡＣＢ，即øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２（øＡＢＣ＋øＡＣＢ）＝６５ʎ．而在әＢＤＣ中，øＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，则可求得øＢＤＣ＝１１５ʎ．例７㊀如图８，在平行四边形ＡＢＣＤ中，øＤＡＢ＝７０ʎ，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，并且ＡＥ平分øＤＡＦ，求øＥＡＣ的度数．图８分析㊀根据图８可知，øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ．但想要求解øＥＡＣ的度数，无须分别求解两个角的度数，只需要运用整体思想，将øＥＡＦ和øＦＡＣ看成一个整体．根据题意可以发现，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，又因为ＡＥ平分øＤＡＦ，øＤＡＢ＝７０ʎ．故可以得到øＤＡＢ＝øＤＡＥ＋øＥＡＦ＋øＦＡＣ＋øＣＡＢ＝２（øＥＡＦ＋øＦＡＣ）＝７０ʎ，即øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ＝３５ʎ．例８㊀如图９，已知ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ交ＡＯ的延长线于点Ｄ，Ｅ是ＢＣ的中点，求证：ＤＥ＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图９分析㊀通过观察，利用整体思想，对其进行补形，延长ＡＣ，ＢＤ，交于点Ｆ．由题意可知，ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ，可知әＡＢＦ为等腰三角形，可以将原图中的凹五边形看成是等腰三角形ＡＢＦ的一部分，如图１０所示，则点Ｄ就是ＢＦ的中点，ＡＢ＝ＡＦ且ＢＤ＝ＤＦ．又由于Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＥＤ为әＢＣＦ的中位线，即ＤＥ＝１２ＣＦ＝１２（ＡＦ－ＡＣ）＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图１０综上所述，在求解某些图形与几何问题时，不要执拗于计算出某部分具体的值．应当从已有问题的整体出发，认真观察图形与几何的整体结构，运用 集成 的眼光，尝试将部分图形与几何看成一个整体，建立起局部与整体的联系，对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使原有图形与几何的结构变得清晰明了，使问题变得易于解决．ʌ参考文献ɔ［１］贾应龙．整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：３６－３７．［２］石浩冰．整体思想在几何计算题中的应用［Ｊ］．教师，２０１５（３２）：７６．［３］相剑利．平面不规则图形面积求解策略［Ｊ］．数学大世界，２０１０（１０）：１２－１５．［４］魏东升．整体思想在立体几何解题中的应用探究［Ｊ］．教学考试，２０２１（２９）：６５－６８．。
初中二年级几何学习技巧如何利用数学工具解决几何问题
初中二年级几何学习技巧如何利用数学工具解决几何问题初中二年级是在数学学科中接触到几何的第一个年级，几何是数学中重要的一个分支，对于学生的空间想象力和逻辑思维发展具有重要的促进作用。
然而，许多学生在初中二年级的几何学习中常常遇到困难，不知道如何正确地使用数学工具来解决几何问题。
本文将介绍一些初中二年级学生可以利用的数学工具以及一些建议的学习技巧，帮助他们更好地解决几何问题。
一、数学工具的使用1. 直尺：直尺是几何学习中最基本的工具之一，用来测量线段的长度、绘制直线等。
在使用直尺时，要保持直尺与纸张表面紧密贴合，并用铅笔轻轻地勾画所需的线段。
2. 溜线器：溜线器是一种用来画弧线和圆形的工具。
通过调整溜线器的两个脚的距离，可以画出所需的弧线或圆形。
在使用溜线器时，要注意保持脚的位置固定，使得画出的弧线或圆形准确无误。
3. 量角器：量角器是用来测量和绘制角的工具。
通过将量角器的顶点对准角的顶点，可以读取角的大小。
在使用量角器时，要保持量角器的底边与角的一条边对齐，并读取角度的刻度。
二、技巧与方法1. 观察几何图形：在解决几何问题之前，学生应该仔细观察给定的几何图形，理解图形的性质和特点。
例如，判断图形的对称性、直角与否等。
2. 利用已知条件：在解决几何问题时，学生应该充分利用已知条件，找出可用的数学工具和相关几何知识。
例如，当已知一个三角形的两个角时，可以使用量角器测量出第三个角的大小。
3. 运用数学工具：根据问题的要求，学生应该正确选择和使用数学工具来解决几何问题。
例如，在绘制平行线时，可以使用直尺来辅助绘制。
4. 推理与证明：几何学习不仅仅是解决几何问题，还要求学生具备一定的推理与证明能力。
学生在解决几何问题时，应该善于推理和运用几何定理来解答问题，并给出相应的证明过程。
5. 练习与实践：对于初中二年级的学生来说，几何学习需要进行大量的练习和实践。
通过频繁的练习，学生可以巩固基本的几何知识和技巧，并提高解决几何问题的能力。
初中数学图形解决问题教案
初中数学图形解决问题教案一、教学目标：1. 让学生掌握平面几何图形的基本性质和判定方法。
2. 培养学生运用图形解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和空间想象力。
3. 通过对平面几何图形的解决，培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 平面几何图形的性质和判定。
2. 常见的平面几何问题及解决方法。
3. 实际生活中的几何问题及应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：平面几何图形的性质和判定，以及解决实际生活中的几何问题。
2. 难点：对复杂图形的分析和解决，以及空间想象能力的培养。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一些生活中的实际问题，引导学生思考几何图形的性质和判定，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍平面几何图形的基本性质和判定方法，如线段的性质、直线的性质、圆的性质等。
3. 实例讲解：通过具体的例子，讲解如何运用平面几何图形的性质和判定解决实际问题。
4. 课堂练习：给出一些练习题，让学生运用所学的性质和判定方法解决问题，巩固所学知识。
5. 拓展提高：引导学生思考更复杂的问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调平面几何图形在实际生活中的应用。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习的情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后反馈：收集学生的课后反馈，了解学生在学习过程中的困惑和问题，及时进行教学调整。
六、教学资源：1. 教材：初中数学教材，平面几何部分。
2. 教具：黑板、粉笔、投影仪等。
3. 练习题：根据教学内容，设计的练习题和实际问题。
七、教学建议：1. 注重学生的参与，鼓励学生积极思考和提问。
2. 注重实践操作，让学生通过实际操作来理解和掌握几何图形的性质和判定。
3. 注重拓展提高，引导学生思考更复杂的问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
4. 结合实际生活中的问题，让学生感受几何图形在实际生活中的应用。
利用图形解决几何问题
利用图形解决几何问题几何学是数学的一个重要分支，研究的是空间和图形的性质与关系。
在实际生活中，我们经常会遇到各种与几何有关的问题，如测量、建筑、设计等。
而图形是解决这些问题的重要工具之一，通过图形的表示和分析，我们可以更直观地理解和解决几何问题。
一、图形的表示与分析图形是几何学中最基本的概念之一，通过图形的表示和分析，我们可以更好地理解几何问题。
在几何学中，我们常常使用平面直角坐标系来表示图形。
平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别是横轴和纵轴。
通过坐标轴上的点的位置，我们可以确定一个点的坐标。
利用平面直角坐标系，我们可以表示和分析各种几何图形。
例如，通过两个点的坐标，我们可以确定一条直线的方程。
通过三个点的坐标，我们可以确定一个三角形的性质。
通过多个点的坐标，我们可以确定一个多边形的性质。
通过图形的表示和分析，我们可以更好地理解和解决几何问题。
二、利用图形解决测量问题测量是几何学中一个重要的应用领域，通过测量，我们可以确定物体的大小、形状和位置。
而图形是解决测量问题的重要工具之一。
例如，在测量一个不规则物体的面积时，我们可以通过在纸上绘制一个与该物体形状相似的图形，然后通过测量图形的面积来估算物体的面积。
另外，图形的相似性也是解决测量问题的重要原理之一。
当两个图形相似时，它们的形状和比例相同，只是大小不同。
利用图形的相似性，我们可以通过测量一个图形的某些部分来推导出整个图形的大小。
例如，在测量一个高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的原理，通过测量楼下的影子长度和角度，以及太阳的高度，来推算出楼的高度。
三、利用图形解决建筑问题建筑是几何学的一个重要应用领域，通过几何的原理和方法，我们可以设计和建造出各种形状和结构的建筑物。
而图形是解决建筑问题的重要工具之一。
例如，在设计一个房间的平面布局时，我们可以通过在纸上绘制一个比例缩小的图形来模拟真实的房间，然后通过图形的分析和调整来确定最终的布局。
小学数学第二学段“图形与几何”解决问题新思路
小学数学第二学段“图形与几何”解决问题新思路作者：葛永楠来源：《辽宁教育·教研版》2017年第01期“图形与几何”小学数学教育重要的知识领域，在这个领域中的“测量”方面，第一学段（1～3年级）接触了长方形、正方形的周长和面积计算。
第二学段（4～6年级）在此基础上又学习了平行四边形、三角形、梯形的面积；长方体、正方体的表面积和体积（容积）；圆的周长和面积；圆柱、圆锥的体积等。
第二学段的图形增多，难度加大，图形间的内在关系复杂，一些变式问题导致思维能力和空间感不强的学生理解困难。
他们总是不知道这道题到底是求周长还是面积？是求表面积还是体积？是整圆还是半圆？钟表的指针是直径还是半径？诸如此类看似简单的问题，在他们眼中却是很难。
在此情况下，笔者通过实践总结、形成了一套操作方法，共分三个环节。
一、审题与复述笔者认为是整个操作方法里最核心的环节。
审题如果做好了做透了，那么正确解题就是水到渠成的事了。
（一）审题审题就是深入思考和反复推敲题目中的每一个字、每一个词的含义及其相互之间的关系。
审题能更清晰地掌握题目中的有效信息和数量关系。
笔者在训练学生审题的时候要求手中要执笔，用勾画和批注的方式帮助审题。
先勾画题中的关键信息，再批注出关键信息在数学中的符号，符号可以用字母也可以用文字表示。
那么，什么是题目中的关键信息，又怎么批注呢？下面以一道题为例。
该题目中关键的信息是已知条件中钟表的分针长度，当然还包括学生对直观图的理解和补充。
这些都让学生用笔勾画出来。
比如：针尖的位置、针尖走了一圈形成的痕迹用圆规画出。
然后是批注，就是把题目中实际的形象事物抽象为数学的基本符号，比如分针就是半径；1时到2时说明分针走了一圈；针尖走过的轨迹就是一个圆形。
通过以上操作，让学生在审题时不光是用眼看，还要动脑想，动手画。
充分调动所有的感官去分析、理解题目的意思。
只有这样做才能真正的把一道题审明白，在训练学生时要掌握一个口诀：一看、二想、三画。
全面提升六年级数学解决几何问题的技巧
全面提升六年级数学解决几何问题的技巧数学是一门学科中的重要组成部分，对于学生而言，数学解决问题的能力是非常关键的。
尤其是在六年级，几何问题的解决需要一定的技巧和方法。
本文将深入探讨如何全面提升六年级数学解决几何问题的技巧，为学生们提供一些建议和指导。
一、准确理解问题在解决几何问题之前，首要的是对问题进行准确的理解。
学生们应该认真阅读问题，理解问题所描述的情境，并找到问题的关键信息。
对于几何问题而言，学生需要明确图形的属性、关系以及所要求解决的具体内容。
只有准确理解问题，才能够给出正确的答案。
二、构建几何图形解决几何问题离不开几何图形的构建。
在构建几何图形时，学生们可以运用尺规作图的方法，使用直尺、圆规等工具，根据给定的条件画出所需的图形。
通过细致构建图形，有助于学生更好地理解问题，找出解决问题的路径。
三、灵活运用几何定理几何问题的解决常常依靠几何定理的应用。
六年级学生需要掌握并灵活应用常见的几何定理，如勾股定理、相似三角形的性质等。
在解决问题时，学生们可以将问题中的条件与相应的几何定理进行对应，将抽象的问题转化为具体的几何性质，进而得出结论。
四、整体思考，寻找关联在解决几何问题时，学生们还应该具备整体思考的能力，善于寻找图形之间的关联。
通过观察、比较图形的特点和属性，发现其中的规律和相似之处，从而推导出有关的结果。
在整体思考的基础上，多角度地分析问题，找出解决问题的思路和方法。
五、实践演练，积累经验提高数学解决几何问题的技巧，离不开实践演练和经验积累。
学生们应该多做几何问题的练习，通过不断地实践和反复思考，逐渐提高解决问题的能力。
在实践过程中，学生们可以尝试不同的方法和思路，探索问题的多种解决途径，拓宽思维的广度。
六、与他人合作，相互学习在学习过程中，与他人合作并相互学习是非常有益的。
通过与同学们共同讨论、比较不同的解题思路和方法，可以拓宽自己的思维，吸取他人的优点，进一步提升解决几何问题的能力。
小学数学教学反思：简单几何图形的教学难点与解决方法
小学数学教学反思：简单几何图形的教学难点与解决方法在小学数学教学中，简单几何图形是一个重要的教学内容，但是在教学实践中，我们常常会遇到一些难点。
本文将对小学数学教学中简单几何图形的教学难点和解决方法进行反思和探讨。
一、教学难点的分析1. 抽象性难点：简单几何图形在形状、大小、位置等方面具有一定的抽象性，学生难以直观理解和记忆。
例如，正方形、长方形、圆形等几何图形的定义，对于学生来说往往较为抽象，容易混淆。
2. 概念辨析难点：在几何图形的教学过程中，常常存在着一些容易混淆的概念。
例如，梯形和平行四边形的辨析，很多学生往往不能准确区分两者之间的区别，造成认识错误。
3. 图形性质的理解难点：几何图形的性质是学习几何学的基础，但学生对于图形性质的理解常常存在困难。
例如，平行线与垂直线的概念理解以及相关性质的掌握等。
二、解决方法的探讨1. 引导学生进行观察与实践：在教学过程中，可以通过引导学生观察和实践的方式，加深他们对几何图形的直观认识。
例如，让学生观察周围环境中的各种几何图形，了解它们在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 创设情境，提高学习动力：通过创设情境的方式，让学生在实际问题中运用几何知识进行解决，从而提高学习的动力和兴趣。
例如，设计一份与简单几何图形相关的数学游戏，让学生在游戏中积极参与，培养他们对于几何图形的理解和运用能力。
3. 强化概念辨析训练：在教学中，要重点对学生易混淆的概念进行辨析训练，帮助他们准确理解和记忆。
例如，通过比较梯形和平行四边形的定义和性质，让学生逐步理解和区分两者之间的差异。
4. 探索性学习，培养思维能力：在教学中，可以采用探索性学习的方式，让学生自主发现图形的性质和规律。
例如，通过引导学生观察和探索正方形、长方形等图形的特点和性质，让他们从中总结出相应的规律，培养他们的思维能力。
5. 多样化的教学资源：在教学中，可以利用多样化的教学资源来帮助学生理解和记忆几何图形。
数学问题解决技巧小学六年级形与几何知识总结
数学问题解决技巧小学六年级形与几何知识总结在小学六年级的数学学习中，形与几何知识是一个重要的部分。
要想解决数学问题，我们需要掌握一些技巧和方法，下面是我对数学问题解决技巧以及小学六年级形与几何知识的总结。
一、数学问题解决技巧1. 阅读理解题目解决数学问题首先要认真阅读题目，了解问题的要求。
多读几遍题目，理清思路，确定解题方向。
2. 梳理关键信息在阅读题目的过程中，梳理关键信息非常重要。
找出问题中的条件和限制条件，对数字、单位、条件进行整理归纳，有助于找到解题思路。
3. 弄清问题的类型数学问题的类型多种多样，例如加减乘除、找规律、代数方程等。
弄清问题的类型可以帮助我们选取合适的解题方法。
4. 运用简便计算方法在解题过程中，我们可以尝试使用一些简便计算方法，例如逆向思维、估算、凑整等。
这些方法可以快速解决一些看似复杂的计算问题。
5. 灵活应用策略解决数学问题时，我们可以根据题目特点运用一些常用的解题策略。
比如分析选项，列表或画图，引入未知数等，可以帮助我们简化解题过程。
二、小学六年级形与几何知识总结1. 图形的分类及性质在小学六年级，我们需要学习各种图形的分类及其性质。
例如，点、线、面的概念，直线和曲线的区别，正方形、长方形、正三角形等各种图形的特点。
2. 直角、直线和平行线直角是一个非常重要的概念，在几何学中有着广泛的应用。
我们需要学会识别直角，并了解直角的性质。
此外，还需要掌握直线的性质和平行线的判定方法。
3. 三角形和四边形在学习几何知识的过程中，我们还需要关注三角形和四边形的性质。
三角形包括等边三角形、等腰三角形和普通三角形，我们需要了解它们的边长和角度的关系。
四边形包括矩形、平行四边形和菱形等，我们要熟悉它们的特点和相应的计算公式。
4. 图形的投影和旋转图形的投影和旋转也是小学六年级形与几何知识的一部分。
投影是指图形在平行光线下的影子，掌握投影的基本概念和特点对于解决与图形相关的问题非常有帮助。
小学数学“图形与几何”类型错题分析及解决策略
小学数学“图形与几何”类型错题分析及解决策略摘要：“图形与几何”模块的学习对于学生的空间思维和能力的发展起着至关重要的作用。
教材中经常出现一些比较抽象、逻辑较强的题目，学生对此理解和掌握得比较差，做题的准确率不高。
分析和归纳学生常错的原因，并研究解决对策，可以减少学生的错误，并进一步提高教师自身的专业素养。
关键词：小学数学；图形与几何；错题分析；解决策略引言当图形和几何图形分开教学时，学生更容易接受它们。
可是一旦集合交叉出现，就容易产生认知错误。
为此目的，小学应加强这项艰巨任务的教学，帮助学生发展良好的意识形态，发展良好的思维方式和方法。
分析当前的图形和几何问题时出现较多错误，对学生的知识和概念了解不够深入。
为了改进这一点，本文分析了图形与几何的基本数学问题的性质，并提出了具体的解决方案。
一、小学数学“图形与几何”错题类型分析1.基础知识掌握不牢固学生对基本概念理解不透彻，混淆相关定义，导致不能正确解答题目。
高年级数学对学生关于基础知识的掌握程度要求更高，如在求长方体的表面积和体积时，如果学生没有弄清基本概念、掌握基本公式，那么，解题结果肯定会出现错误。
1.测量出现问题在小学“图形和几何”中，学生的记忆和计算量以及这两个词之间的概念差异也令人困惑，因此学生们经常面临这样的问题。
此外，一些学生无法有效地识别单元存在的问题，这往往导致解决时出现错误。
1.没有良好的学习习惯想要学好数学，必须有最基本的也是最不可缺的耐心、细心，具备仔细审题等好的学习习惯。
很多学生在做题时，没有看清楚题目、理清题目的意思就急着下笔；还有些学生字迹潦草，导致计算结果出错。
二、小学数学“图形与几何”错题解决对策1.教师层面1.提高学生的自主思考能力第一，教师必须认清图形和几何链错误的主要原因，改变学习观念，将教材中的要点与学生的实际生活联系起来，使抽象图形在学生心目中具体化。
在几何教学过程中，教师会保持传统的教学模式，导致学生在学习过程中无法访问相关的学习情景，或者无法有效地参与课堂学习交互，从而导致知识点模糊不清。