数学分析第2章(2.3-2.4)

x 0 1
x
ln[ lim ( 1 x ) x ] ln e 1 .
x 0
例5 解
求 lim
e
x
1 x
x 0
.
令 e
x
1 y , 则 x ln( 1 y ),
当 x 0时 , y 0 .
原式 lim
y ln( 1 y )
y 0
lim
1
1
y 0
1.
ln( 1 y )
y
同理可得
lim
a
x
1 x
x 0
ln a .
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
★
指数函数
y a
x
(a 0, a 1)
;
在 ( , ) 内单调且连续
★
对数函数
y log
a
x
(a 0, a 1) ;
数学分析电子教案
重庆邮电大学数理学院
高等数学教学部
沈世云 62460842 shensy@cqupt.edu.cn
第二章 极限与连续
第一节 第二节 第三节 第四节 数列极限和无穷大量 函数极限 连续函数 无穷小量与无穷大量的阶
第三节 连续函数
一、连续的定义 二、连续函数性质与运算 三、初等函数的连续性 四、间断点及其分类 五、闭区间上连续函数的基本性质 六、函数的整体连续性 —— 一致连续
例如 s in x , c o s x 在( , ) 内连续， 故 ta n x , c o t x , s e c x , c s c x 在其定义域内连续．
定理
则有 lim
x x0
若 lim g ( x ) a , u g ( x ), 函数
x x0
f ( u ) 在点 a 连续 ,
( 1 x 1 )(
2
x 0
x ( 1 x 1)
lim
x 1 x 1
2

0 2
0.
x 0
四、间断点及其分类
f 在点 x0 处连续必须满足的三个条件： f 在点 x0 处有定义； f 在点 x0 处有极限； f 在点 x0 处的极限等于 f(x0)
1. 概念
设 f 在 x0 的某去心邻域有定义,若 f 在 x0 无定义, 或 f 在 x0 有定义而不连续, 则称 f 在 x0 间断, x0 称为 f 的间断点或不连续点．
．
2. 局部保号性
定理 f 在 x0 连续, 且 f ( x 0 ) 0 ,则 r :
0 r f ( x 0 ) U ( x 0 ), x U ( x 0 ),
f ( x ) f ( x0 ) 0, f ( x ) r
．
3. 局部保序性
f, g 在 x0 连续, f ( x 0 ) g ( x 0 ) U ( x 0 ), s.t.
2.极限存在 左 右 极 限 存 在 并 相 等
例1
试证函数
1 x s in , x 0 , f (x) x x 0, x 0
在x
0
连续．
证
x 0
因 lim f ( x ) lim x s in
x 0 x 0
1 x
0 ，而 f ( 0 ) 0 ，
x x 0 , y 0 就是
定义
2
设 函 数 f ( x)在 U ( x0) 内 有 定 义 ,如 果
函 数 f ( x)当 x x0 时 的 极 限 存 在 ,且 等 于 它 在 点 x 0 处 的 函 数 值 f ( x 0 ) , 即 lim
x x0
f ( x) f ( x0)
成立 .
lim
x x0
f [ g ( x )] f ( a ) [ lim g ( x )].
x x0
意义
1.极限符号可以与函数符号互换;
2 .变量代换 ( u g ( x )) 的理论依据 .
例4
求 lim
ln( 1 x ) x
x 0
.
1
解 原式 lim ln( 1 x )
2. 分类
1) 跳跃间断点
如果 f ( x ) 在点 x 0 处左 , 右极限都 x 0 为函数
存在 , 但 f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ), 则称点 f ( x )的跳跃间断点 .
x 0, x 0,
例8 解
讨论函数
x, f (x) 1 x ,
在 ( 0 , ) 内单调且连续
★
y x

a
log a x
y a , u log
u
a
x.
在 ( 0 , ) 内连续
,
讨论 不同值 ,
(均在其定义域内连续 )
定理
基本初等函数在定义域内是连续的.
定理 一切初等函数在其定义区间内都是 连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
[a
x
1] 1) 0
a
x
x 0
lim ( a
x
故 y a 在 x 0 ( , ) 处连续
二、连续函数性质与运算
1. 局部有界性 定理 f 在 x0 连续 U ( x 0 ), K 0 , s. t. x U ( x 0 ),
f (x) K
x ( , ) 都是连续的
.
例4 证明
证
y a 在( , )内连续
对 x 0 ( , )，有
x
只须证明
x x0
lim a
x
a
x0
来自百度文库
x 0
lim y lim [ a
x 0
x0 x
a
x0
]
lim a
x 0
x0
x0
f ( x ) 在闭区间
[ a , b ]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如, 有理函数在区间
( , ) 内是连续的 .
例3
证明 函数 y sin x 在区间 ( , )内连续 .
任取 x ( , ),
证
y sin( x x ) sin x 2 sin
那 末 就 称 函 数 f ( x )在 点 x 0 连 续 .
" " 定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
x x0
lim f ( x )
1.在x0附近定义;
f ( x0 )
在x0有定 义
在 x 0 处的连续性
y
.
f (0 0) 0,
f (0 0 ) 1,
f ( 0 0 ) f ( 0 0 ),
x 0 为函数的跳跃间断点 .
o x
2) 可去间断点
x x0
如果
f ( x ) 在点 x 0 处的极限存在
,
但 lim f ( x ) A f ( x 0 ), 或 f ( x ) 在点 x 0 处无定 义则称点 x 0 为函数 f ( x )的可去间断点 .
对于 0 , 0 , 使当 0 x x 0 时 ,
恒有 g ( x ) a u a 成立 .
将上两步合起来:
0 , 0 , 使当 0 x x 0 时 ,
f ( u ) f ( a ) f [ g ( x )] f ( a )
例9
讨论函数 2 x, f ( x ) 1, 1 x , 在 x 1 处的连续性 0 x 1, x 1 x 1, .
y
y 1 x
2 1
y 2
x
o
1
x
解
f (1 ) 1 ,
x 0
或
x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 , 那 末 就 称 函 数
f ( x )在 点 x 0 连 续 , x 0 称 为 f ( x ) 的 连 续 点 .
设 x x0 x, x 0 就是
y f ( x ) f ( x 0 ), f ( x ) f ( x 0 ).
x U ( x 0 ), f ( x ) g ( x )
4. 不等式性质
f,g 在 x0 连续, U ( x 0 ), x U ( x 0 ),
0 0
f ( x ) g( x ) f ( x0 ) g( x0 )
5、反函数连续性定理
严格单调的连续函数必有同严格单调的 连续反函数
即 lim f ( x ) f ( 0 ) ，故 f 在 x
0 处连续．
2. 单侧连续
设 f 在[ x 0 , x 0 ) ( ( x 0 , x 0 ] )内有定义, 若 lim f ( x ) f ( x 0 ) ( lim f ( x ) f ( x 0 ) )
f [ g ( x )] f ( a ) f [ lim g ( x )].
x x0
证
f ( u ) 在点 u a 连续 ,
0, 恒有 0 , 使当 u a 时 ,
f ( u ) f ( a ) 成立 .
x x0
又 lim g ( x ) a ,
x x0

x x0

则称 f 在 x0 右(左)连续.
定理 函数 f 在 x 0 处连续 f 在 x 0 处既左连续又右连续．
例2
讨论函数 连续性 .
x 2, f (x) x 2,
x 0, x 0,
在 x 0 处的
解
lim f ( x ) lim ( x 2 ) 2 f ( 0 ),
x 0

x 0

lim f ( x ) lim ( x 2 ) 2 f ( 0 ),
x 0

x 0

右连续但不左连续 ,
故函数 f 在点 x
= 0 处不连续．
3.区间上的连续函数
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 x a 处右连续 函数 , ( a , b )内连续 , 并且在左端点 在右端点 x b 处左连续 , 则称
y f ( x)
x 的增量
.
y
y
x
y
x
0
x0
x0 x
x
0
x0
x0 x
x
连续的定义
定义 1 设 函 数 f ( x )在 U ( x0 )内 有 定 义 ,如 果 当 自 变 量 的 增 量 x 趋 向 于 零 时 ,对 应 的 函 数 的 增 量 y 也 趋 向 于 零 , 即 lim y 0
一、连续的定义
1.函数在一点的连续性
函数的增量
设函数 f ( x ) 在 U ( x 0 )内有定义 , x U ( x 0 ), x 0的增量 . x x x 0 , 称为自变量在点
y f ( x ) f ( x 0 ), 称为函数
y
y f ( x)
f ( x ) 相应于
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, y
cos x 1 ,
D : x 0 , 2 , 4 ,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x ( x 1) ,
2 3
D : x 0 , 及 x 1,
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间 [ 1 , ) 上连续 .
6. 四则运算性质
定理 若 f, g 在 x0 连续, 则 f g , f g , ( g ( x 0 ) 0 )都在 x0 连续．
f g
7. 复合函数的连续性
定理 设 y= f (u), u=g(x), 若 g 在 x0 连续, f 在 u0=f(x0)连续, 则 f og (即 y=f(g(x))在 x0 连续．
x 2
cos( x
x 2
)
cos( x
x 2
) 1,
则 y 2 sin
x 2
.
对任意的
, 当 0时 ,
有 sin ,
故 y 2 sin
x 2
x , 当 x 0时 , y 0 .
即 函数 y sin x 对任意
注意
2. 初等函数求极限的方法代入法.
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
求 lim sin
x1
( x0 定义区间 )
x
例6
解
e
1.
e 1.
原式 sin
1 e 1 sin
例7
求 lim
1 x x
2
1
x 0
.
1 x 1)
2 2
解
原式 lim