5-1-1_奇数与偶数[1].题库教师版

5-1奇数与偶数

一、奇数和偶数的定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数

性质2：偶数±奇数=奇数

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数

性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

三、两个实用的推论

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶

模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质

【例 1】1231993

……的和是奇数还是偶数？

++++

【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.

【巩固】2930318788

+++++

……得数是奇数还是偶数？

【解析】偶数。原式中共有60个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有30个奇数，为偶数个。

【巩固】(200201202288151152153233

++++-++++

……）（……）得数是奇数还是偶数？

【解析】200至288共89个数，其中偶数比奇数多1，44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多1，42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。

【例 2】12345679899

+⨯+⨯+⨯++⨯的计算结果是奇数还是偶数，为什么？

【解析】特殊数字：“1”．在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数⨯偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数+偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数．

【巩固】123456799100999897967654321

+++++++++++++++++++++的和是奇数还是

偶数？为什么？

【解析】在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321

++++++++++++++是偶数，而100也是偶数，所以

+++++的和是偶数．1234567991009998979676

++++++++++++++++54321

【巩固】东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038137564

=⨯+，他做得对吗？

【解析】等式左边是偶数，1375

⨯是奇数，64是偶数，根据奇数+偶数=奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的．

【例 3】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10

（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27

【解析】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（2）可以。12345678927

+++++++-=或12345678927

---+++++=

【例 4】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.

【解析】不能。因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。【巩固】能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.

【解析】从性质上看，选出5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可以把题目中的数都除以2.那么本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.

【例 5】一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为

75.

【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是20。而由题

意知道原来的三个偶数分别18,20,22，它们的和是60。

【例 6】多米诺骨牌是由塑料制成的1×2长方形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0，1，2，…，6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1，…，两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数

相同，且以点数相同的端相连，例如：

……

……

现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多

少点?并简述你的理由．

【解析】由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6．

【巩固】一条线段上分布着n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？

【解析】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.

模块二、奇偶运算性质综合及代数分析法

【例 7】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?

【解析】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成立。

【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？

【解析】不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b、b-c、a-c都为奇数，再根据

奇偶性进行判断。

【巩固】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？

【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为a b c abc

+++。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。

【例 8】已知a,b,c中有一个是511，一个是622，一个是793。求证：(1)(2)(3)

---是一个偶数

a b c