数值计算方法试题集和答案

《数值计算方法》复习试题

一、填空题：

1、⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为

A ⎡⎤⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦。

答案：

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501

4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数为 ，

拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；

5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；

答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---

=+

6、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为

( 1

2+-n a b )；

10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2

系数为

( 0.15 )；

11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均

不为零)。

12、 为了使计算

32)1(6

)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表

达式改写为

11

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式

19992001-改写为 199920012

+ 。

13、 用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区

间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1

k k k k x x x x ，该迭

代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121

。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿

插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、 求积公式

⎰∑=≈b

a k n

k k x f A x x f )(d )(0

的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具

有( 12+n )次代数精度。

21、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）

次。

22、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则

a =( 3 )，

b =（ 3 ），

c =（ 1 ）。

23、)(,),(),(10

x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑==

n

k k

x l

0)((

1 )，

∑==

n

k k j

k x l

x 0

)((

j

x )，当

2

≥n 时

=

++∑=)()3(20

4x l x x

k k n k k

( 32

4

++x x )。

24、

25、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f x x x ()=

+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确

()x x x f ++=

11

。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10

次。

28、写出求解方程组

⎩⎨

⎧=+-=+2

4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式

()()

()() ,1,0,4.026.111112211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛 。 31、设

A =⎛⎝ ⎫

⎭⎪

5443,则=∞A 9 。

32、设矩阵

482257136A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦的A LU =，则U = 4820161002U ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 。 33、若4

321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。

34、线性方程组121015112103x ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦的最小二乘解为 11⎛⎫ ⎪⎝⎭ 。

36、设矩阵

321204135A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦分解为A LU =，则U = 32141003321002⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦ 。 二、单项选择题：

1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ C ）。 A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B ． 1)(

2、设

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为( C )． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 3

4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。 A ． 对称阵 B ． 正定矩阵

C ． 任意阵

D ． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。