2-7 非正弦周期电流电路的基本分析方法

k 1
式中 2 π ，T为周期函数 f (t ) 的周期。k 1,2, 为正整数。a k 为 cos kt 项的系数， bk 为 的系数。
T
sin kt 项
同频率的正弦项和余弦项可合并，上面级数可写成：
f (t ) A0 Ak sin( kt k )
设 U m 30 2V的单相工频全波整流电压，通 过 R1 200 和 C 200μF 的滤波器，加在 R2 2kΩ 的负载电阻上，如图所示。求负载的端电压 。
例题
解
直流分量： U ab0 2次谐波：
XC2 1 106 7.96 2C 200π 200
2000 27V 24.5 V 2000 200
例题
解
单相全波整流波分解成傅里叶级数：
u
2U m 2 2 (1 cos 2t cos 4t ) π 3 3 5 2 30 2 2 1 sin( 4 π 50t 90) π 3 2 sin( 8π 50t 90 ) 3 5 [27 18 sin( 200 πt 90) 3.6 sin( 400 πt 90) ]V
或电流，如下图（c）、（d）所示。
对于非正弦周期电压和电流均可将它们分解为不同频 率的正弦量，然后分别分析各自在电路中的作用。 根据傅里叶级数的公式， f (t ) f (t T ) 可分解为：
f (t ) a0 a1 cos t a2 cos 2t ak cos kt b1 sin t b2 sin 2t bk sin kt a0 (ak cos kt bk sin kt )
例题
有一RC电路（图2－61）R1=9k ,R2=1k , C=10 μ F，接 is (2 2 sin 2πft)mA 的信号源， f 100Hz 。求信号源的端电压 u1和输出端电压 u2 各为何值？
用叠加定理进行计算
解
（1）直流分量：
X C 0 , I 20 0,U 20 R2 I 20 0
2
I1m U1m 式中，U0 和I0 为直流分量， 和 I1 为基波的有效值， U1 2 2
U 2m I 2m U2 和 I2 为2次谐波的有效值，余类推。 2 2
设 U m 30 2V的单相工频全波整流电压，通 过 R1 200 和 C 200μF 的滤波器，加在 R2 2kΩ 的负载电阻上，如图所示。求负载的端电压 。
电压和电流的有效值可按如下公式计算:
1 T 2 1 T 2 U u dt , I i dt 0 0 T T
在非正弦周期电压和电流所含谐波分量取有限的前几项时，它 们的有效值可按如下公式计算：
2 U U 0 U12 U 2 2
I
2 I 0 I12 I 2
1 106 (2)交流分量： X C 0.159 R2 5 2πfC 2π 10 10
解
Z 2 R2 jX C R2 1000 1k
I 2m R1 9 I Sm 2mA R1 R2 10
1.8 0mA
I1m ISm I2m (2 1.8)mA 0.2 0mA
2-7 非正弦周期电流电路的基本分析方法
非正弦周期变化的电压和电流，主要有两种情况： （1）正弦交流电源在非线性电路中要产生非正弦
周期电流和电压，如下图（a）、（b）所示。
2-7 非正弦周期电流电路的基本分析方法
非正弦周期变化的电压和电流，主要有两种情况： （2）电源或信号源发出的就是非正弦周期电压
I10 I S0 2mA , U10 R1 I10 9 2 18 V
例题
有一RC电路（图2－61）R1=9k ,R2=1k , C=10 μ F，接 is (2 2 sin 2πft)mA 的信号源， f 100Hz 。求信号源的端电压 u1和输出端电压 u2 各为何值？
解 （3）信号源端电压和输出端电压分别是：
u1 (18 1.8 sin 2π 10 t ) V
5
u2 1.8 sin 2π 10 t V
5
本例的电容C是与负载电阻R2串联的，由于它的 直流阻抗是∞，故能阻断信号源iS中的直流分量， 直到隔直的作用。 另一方面，本例的容抗XC<< R2对于交流不产 生有影响 的电压降，可使信号源中的交流分 量畅通无阻地输出。
各次谐波的幅值按如下计算：
1 T 1 2π a0 f (t )dt f (t )d(t ) T 0 2π 0
2 T 1 2π ak f (t ) cos ktdt f (t ) cos ktd(t ) T 0 π 0
2 T 1 2π bk f (t ) sin ktdt f (t ) sin ktd(t ) T 0 π 0
RL ( jX C 2 ) Z ab jX C 2 j7.96 RL jX C 2
设 U m 30 2V的单相工频全波整流电压，通 过 R1 200 和 C 200μF 的滤波器，加在 R2 2kΩ 的负载电阻上，如图所示。求负载的端电压 。
例题
解
jX C 2 7.96 U ab2m 18 90 18V 0.71 60 V 200 R1 jX C 2
例题
有一RC电路（图2－61）R1=9k ,R2=1k , C=10 μ F，接 is (2 2 sin 2πft)mA 的信号源， f 100Hz 。求信号源的端电压 u1和输出端电压 u2 各为何值？
解 U Z I R I 11.8V 1.8 0V 2m 2 2m 2 2m
k 1
2 A a , A a b 其中： 0 0 k k k 2

ak k arctan bk 以上级数称为傅里叶级数。 A0 a0 是它的直流分量， Ak sin( kt k ) 是第k次谐波分量，幅值为 Ak。k 1 代 表基波，它的频率和原周期函数的频率相同，k 2 代 表2次谐波，它的频率是基波的2倍，以此类推，它们 总称为高次谐波。
忽略4次以上各次谐波，得:
uab U ab 0 uab2 (24.5 0.716 sin 2t )V
本例的计算结果表明：
与负载电阻RL并联的电容C，对高于2次谐波 的频率，容抗很小，致使电源中的高次谐波电压不 能在输出端起作用（高次谐波电压绝大部分降在电 阻R1上），电源电压中的直流分量，绝大部分加在 RL上（R1的分压很小），故本电路较好地达到了滤 去交流分量的目的。
RI 9 0.2V 1.8 0 V U 1m 1 1m
例题
有一RC电路（图2－61）R1=9k ,R2=1k , C=10 μ F，接 is (2 2 sin 2πft)mA 的信号源， f 100Hz 。求信号源的端电压 u1和输出端电压 u2 各为何值？