第三章三角函数

第三章 三角函数

∮3.1 任意角的三角函数的概念

一、考纲要求：

1、理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2、掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义。

3、并会利用与单位园有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切。 二、重难点：（1）弧度与角度的关系与概念 （2）任意角的三角函数的定义 三、知识要点：

1、角的概念及推广

（1）角的定义，一条射线绕端点旋转而成的图形。 （2）正角、负角、零角的定义。（略） （3）象限角、区间角、轴上角的概念。（略） （4）终边相同角的表示及性质。（略） 2.弧度制与角度制的变化

（1）弧度的定义：弧长等于半径所对圆心角的为1弧度 （2）弧度、角度的换算：1弧度=

π

︒

180 180

1π

=

︒弧度

（3）弧长公式，扇形面积公式： ||R α=l ，211

22

S ||R R.α==l 3.任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数的定义：略 （2）三角函数的定义域，值域：略

（3）各三角函数值在各象限内的符号：略 （4）特殊角的三角函数值：见下表

2、三角函数线：略

四、典型例题选讲

例1：见《创新大课堂》P56，热身练习1-5题，例1，例2，例3，例4. 例2：填空

1.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 。

2.一个扇形OAB 的周长为20，当扇形的半径，圆心角分别为 时，此扇形面积最大。

3.若θ 为第四象限角，则 )cos(sin )sin(cos θθ⋅的符号为 。

4.若0sin cos θθ>g 且0cos tan θθ

5.已知角的终边上一点P 与点A （-3，2）关于y 轴对称，角β的终边上一点θ与点A 关于原点对称那么sin sin αβ+的值为 。 例3：已知245

,,23336

ππαβπαβπαβ<+<-<-<-求的范围。

例4：（1）已知角β的终边在直线y =上，求sin β和cos β的值。 （2）已知α角的终边上的一点A 的坐标为)3cos 2,3sin 2(-，求锐角α的值。

例5：已知一扇形的圆心角是α，02απ<<，其所在园的半径是R 。

（1）若,103

R cm π

α=

=，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积。

（2）若扇形的周长是一定值(0)c c >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

例6：（1）设α是第四象限的角，试比较sin α和tan α的大小； （2）：若(0,

)4

π

θ∈，求证：sin tan θθθ<<。

练习题：见同步训练（十六）。

∮3.2 同角三角函数关系式及诱导公式

一、考纲要求：

1、 灵活运用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角求值，化简和恒等式变化。 二、考向指导：

熟练掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式，并能熟练运用，主要突出算法、算理的考查。

三、重点：同角三角函数八大关系式的灵活运用。 四、知识要点：

1、同角三角函数的基本关系。

（1）倒数关系：ααcot tan ⋅=1，1sec cos ,1csc sin =⋅=⋅αααα

（2）商的关系

αα

α

αααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系αααααα2

2

2

2

2

2

csc cot 1,sec tan 1,1cos sin =+=+=+

1°同角三角函数的三个关系式在计算、化简和证明中应用极为广泛，同时应熟练地掌握其等

价

形

式

，

即

ααα

α

αααα22cos 1sin ,tan sin cos ,tan cos sin -==

⋅=，

α

αααcat 1tan ,sin 1cos 22=

-=，并能灵活运用这些公式。 2°已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余五种三角函数值时，要注意公式的合理选择，特别要注意开方时的符号选取。

3°学会得用方程思想解三角题，对于ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值均可以求出。

2、三角函数的诱导公式：略。诱导公式是指角α的三角函数与诸如，α-，πα±，32

α±，

3

2

πα±，2πα-，2k πα+等角的三角函数之间的关系。 诱导公式可概括为)(90Z k k ∈+︒⋅α的各三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时，原函数值的符号，即“奇变偶不变，符号看象限。”

诱导公式主要作用：化任意角的三角函数为锐角三角函数。步骤：任意角的三角函数→正角的三角函数→0-2π的角的三角函数→锐角的三角函数

五、典型例题选讲

例1：见《创新大课堂》P59，热身练习1-5题，

例2：（1）已知3

1

sin =α，求α角的其余三角函数。 （2）已知)1,0(,sin ±≠≠=m m m α，求α角的其余三角函数。

例3：填空

（1）已知1753

cos()α+=

o

且18090α-<<-o o

，则15cos()α-=o 。