北师大版黄金分割
北师大版九年级上册4.4.4黄金分割课件
?
的塔身，变得丰富多
彩，非常协调、美观
黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
如果 AC AB
BC AC
,
那么称线段AB被点C黄金分割，
点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比称为黄金比.
分析：设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为 x个单位，
则CB为 1x个单位，
AC BC AB AC
２、方法(1)判断黄金分割点的方法 (2)作线段黄金分割点的方法
３、延伸:黄金分割在现实生活中的价值与 意义。
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
尝试பைடு நூலகம்
底BC与腰AB的长度,计算: B C 0.;618
AB
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
再计算: C D 0..(6精1确8 到0.001)
BC
A
黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形底边
与腰之比约为0.618;
E
D ☆点D是线段AC的黄金分割点. ☆再作∠C的平分线,交BD于E,
《黄金分割》
请你欣赏
活动一：建立黄金分割的概念．
（1）下面的几张图片，哪张构图最美？
活动一：建立黄金分割的概念．
（2）芭蕾舞演 员做相同的动 作，踮脚尖和 不踮脚尖，哪 个更美？
（３）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？
下列矩形中,哪些比较匀称?
①
③
618,这样的矩形称之为黄金矩形.
B
C △CDE也是黄金三角形,……
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
找一找
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形?
教案 北师大版 初中数学 八年级下册《黄金分割》教案
教案北师大版初中数学八年级下册《黄金分割》教案一. 教材分析北师大版初中数学八年级下册《黄金分割》教案旨在让学生理解黄金分割的概念，掌握黄金分割的应用。
通过本节课的学习，学生能够了解黄金分割的历史背景，熟悉黄金分割的基本性质，并能够运用黄金分割解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的知识，具备了一定的观察、分析、解决问题的能力。
但部分学生可能对黄金分割的概念和应用存在理解上的困难，需要教师在教学中给予关注和引导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握黄金分割的概念，了解黄金分割的基本性质，能够运用黄金分割解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生独立思考和合作解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和审美观念。
四. 教学重难点1.重点：黄金分割的概念及其应用。
2.难点：黄金分割性质的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生独立思考，发现问题，解决问题。
3.合作学习法：鼓励学生之间相互讨论、交流，共同提高。
六. 教学准备1.准备相关图片、实例等教学资源。
2.设计好课堂练习题和作业。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中常见的黄金分割实例，如建筑、艺术品等，引导学生观察、思考，引出黄金分割的概念。
2.呈现（10分钟）教师简要介绍黄金分割的历史背景，讲解黄金分割的定义和性质，引导学生通过观察、操作，理解黄金分割的特点。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，运用黄金分割的知识解决实际问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生在课堂上完成。
通过练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考黄金分割在实际生活中的应用，如设计、建筑等领域。
北师大版数学九年级上册第4课时黄金分割课件
1.经过点B作BD⊥AB,使BD= 1 AB
2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.
A
D E
CB
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形
ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那
么我们可以惊奇地发现
BE BC BC AB
1.60
解得 x = 0.96. 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则 y0.96 0.618.
1.60 y
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
练一练
1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽
与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约
美神维纳斯，她身体的各 个部位都隐藏比例0.618，虽 然雕像残缺，却能仍让人叹服 她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6，而 缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面 还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为 边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2， 则S1与S2的关系是（ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与 长之比也接近0.618;
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时 还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐 上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温 度是23℃(体温)，也是正常人体温(37℃)的 黄金点(23=37×0.618).这说明医学与0.618 有千丝万缕联系,尚待开辟研究。人体还有几 个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚 脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点 在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.
北师大版数学九年级上册《黄金分割》教学设计1
北师大版数学九年级上册《黄金分割》教学设计1一. 教材分析北师大版数学九年级上册《黄金分割》是学生在学习几何基础知识后的进一步拓展。
本节课主要介绍黄金分割的定义、性质和应用。
教材通过丰富的图片和实例，使学生感受黄金分割的美学价值，提高学生对数学的兴趣。
教材内容安排合理，由浅入深，有利于学生掌握黄金分割的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的基础。
但学生对黄金分割的概念和应用可能较为陌生，需要通过实例和操作来加深理解。
同时，学生可能对数学的美学价值缺乏认识，需要通过本节课的教学来培养。
三. 教学目标1.理解黄金分割的概念，掌握黄金分割的性质。
2.能够运用黄金分割解释生活中的美学现象。
3.培养学生的审美情趣，提高学生对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.黄金分割的概念和性质。
2.黄金分割在生活中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究黄金分割的知识。
2.运用实例和图片，让学生感受黄金分割的美学价值。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力。
4.利用多媒体技术，提高教学的趣味性和互动性。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于展示黄金分割的美学价值。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
3.分组讨论的材料和工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些著名的黄金分割作品，如建筑、绘画等，引导学生对黄金分割产生兴趣，并提出问题：“这些作品有什么特殊的比例关系吗？”2.呈现（10分钟）介绍黄金分割的定义和性质，通过示例让学生理解黄金分割的概念。
如，展示一个矩形和它的黄金分割线，让学生观察和描述黄金分割线的特点。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，寻找身边的黄金分割现象，并用自己的语言描述。
教师巡回指导，给予适当的反馈和引导。
4.巩固（10分钟）教师邀请几名学生上台演示他们找到的黄金分割现象，并解释黄金分割的应用。
其他学生听后进行评价和讨论，加深对黄金分割的理解。
北师大版八下《黄金分割》word教案3篇
大路中学数学讲学稿1、掌握黄金分割的含义.2、能通过作图找到一条线段的黄金分割点.学习重点能通过作图找到一条线段的黄金分割点.学习难点掌握黄金分割的含义并能进行简单运用.一、学前准备1.填空（1）四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a:b=c:d ）那么这四条线段a,b,c,d 叫做，简称.反过来，如果四条线段a,b,c,d 成比例线段，则可以记作.（2）已知a=2,b=4,c=6；若a ，b ，c ，x 是成比例线段，则x=；若a ，x ，b ，c 是成比例线段，则x=.（3）若=y x 25则=x y ；=+y y x ；=-yy x ； （4）小明的身高为1.6m ，测得他的影长为1m ，在同一时刻，旗杆的影长为5m ，则旗杆的实际高度是. 2．选择（1）已知cd ab =，则把它改写成比例式后错误的是 （ ） Ab dc a = Bd a b c = C d c b a = D ad c b = （2）一个矩形的长为2cm ，宽为1cm ，则它的长、宽及对角线的比为 （ ） A 4：2：5 B 4：2：10 C 2：1：5 D 2：1：25 3.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +2b －4c =24.求2a －3b +c 的值4.已知：d c b a ==f e=3（b +d +f ≠0），求f d b e c a 3232+-+-的值二、探究活动1、自主探究·解决问题五角星是我们常见的图形.在下图中，度量点C 到点A ，B 的距离，AB AC 和ACBC相等吗？2、师生探究·合作交流如图，在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的比叫做.其中ABAC =≈，=2AC . 3、学以致用·牛刀小试作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.你知道为什么吗？线段AB 有没有除点C 以外的黄金分割点呢？如果有应满足怎样的条件？三、自我测验1、选择（1）已知线段AB 的黄金分割点是C ，且AC ＞BC ，则下列各式正确的是 （ ）A . AB 2=AC ·CB B . CB 2=AC ·AB C . AC 2=CB ·ABD . AC 2=2AB ·BC（2）若AB=a ，C 点是AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则BC 等于 （ ）A.a 215- B.a 253- C. 1 D. 无法判断 ACB（3）若点C 为线段AB 的黄金分割点，则ABAC等于 （ ） A.215- B.215+ C.215-或253- D.253-2、填空（1）已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AB AC =215-，则ACCB 的近似值为（2）点C 是线段AB 上的一个黄金分割点，且AC>BC ，若AB ＝5cm ，则AC ＝_____，BC=____. （3）若点C 是线段AB 上一点，AB ＝1，AC ＝215- ，则AC ：BC ＝______. （4）把长为10cm 的线段黄金分割，则较长的线段长为；较短的线段长为.（结果精确到0.01）四、学习收获1、通过今天的学习，你有何收获？2、预习中遇到困惑解决了吗？3、你还有哪些疑惑？五、应用与拓展1、如图，点C,D 是线段AB 的两个黄金分割点，已知AB=1，试求CD 的长2、作图（1）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.设法做出一个黄金矩形（2）底边与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形，设法做出一个黄金三角形3、收集一些有关黄金分割的数学知识，例如黄金分割的由来、黄金分割在实际生活中的运用等等，介绍给你的同伴.北师大版八年级数学第四章相似图形第二节黄金分割教案1、课题§4.2 黄金分割2、教学目标：知识技能目标：(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；(2)会进行黄金分割的有关计算。
北师大版4.2_黄金分割课件
黄金身材比例
人 体肚 脐 不 但是 黄 金 点美 化身型，有时还是医疗效果黄 金点，许多民间名医在肚脐上 贴药治好了某些疾病。人体最 感舒适的温度是23℃(体温)， 也是正常人体温（37℃）的黄 金点（23=37×0.618）。这说 明医学与0.618有千丝万缕联系 ,尚待开拓研究。人体还有几个 黄金点：肚脐上部分的黄金点 在咽喉，肚脐以下部分的黄金 点在膝盖，上肢的黄金点在肘 关节。上肢与下肢长文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。 但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
读一读
耐人寻味的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地 大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的 极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰 好在此纬度上。这不免让人联想起许多与 北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀 水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山， 吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金 分割的纬度上。
正五角星形,有庄严雄健之美.
A
C
B
度量C到点A、B的距离,
AC AB
与
BC AC
相等吗？
A
C B
A C B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB
=
BC AC
AC = BC
AB AC
AC2=AB
∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
实际 应用
知识的升华
1．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金 比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时 室内温度调到什么温度最适合。 2．在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618， 越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾 舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.68米， 下半身1.02米，她应该选择多高的高跟鞋看起来 更美呢？
教案 北师大版 初中 数学 八年级 下册 《黄金分割》 优秀参赛教案
教案北师大版初中数学八年级下册《黄金分割》优秀参赛教案一. 教材分析《黄金分割》是北师大版初中数学八年级下册的一章内容。
这一章节主要介绍了黄金分割的定义、性质和应用。
通过学习黄金分割，学生可以培养对美的鉴赏能力，提高对数学与实际生活的联系的认识。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础，对数学问题有一定的探究能力。
但是，对于黄金分割这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和操作来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解黄金分割的定义和性质。
2.能够运用黄金分割解释生活中的现象。
3.培养学生的审美观念和观察能力。
四. 教学重难点1.黄金分割的定义和性质。
2.黄金分割在生活中的应用。
五. 教学方法1.实例教学：通过生活中的实例，让学生直观地感受黄金分割的美。
2.小组讨论：分组讨论黄金分割的性质和应用，培养学生的合作能力。
3.问题驱动：引导学生发现问题，解决问题，提高学生的探究能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作黄金分割的PPT课件，展示相关实例和图片。
2.教学素材：准备相关的实例和图片，用于课堂讲解和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些美丽的图片，如建筑、艺术作品等，引导学生欣赏并思考这些美丽背后的数学规律。
进而引入黄金分割的概念。
2.呈现（10分钟）讲解黄金分割的定义和性质，让学生了解黄金分割的基本知识。
通过PPT展示相关实例，让学生直观地感受黄金分割的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，找出生活中的黄金分割现象。
每组选取一个实例，进行讲解和展示。
教师点评并给予指导。
4.巩固（10分钟）发放练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、填空题和解答题。
教师批改并进行讲解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考黄金分割在实际生活中的应用，如建筑设计、艺术创作等。
让学生举例说明，并进行讨论。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调黄金分割的定义和性质，以及其在生活中的应用。
北师大版九年级上册数学：黄金分割
（如图），如果 AC BC AB AC
CB A
长短 全长
那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的 黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄 金比。这个比例也可以写成 AC2=AB .BC
一条线段有几个黄金分割点？ 2个
探索美 你能求出黄金比吗？
设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为x个单位，则CB 的长度为(1-x)个单位．可列方程：
小亮认为， AC BC ．你同意他的看法吗？说说你的理由． AB AC
探索美
哪 张 构 图 更 美？
探索美
A
C
B
这两个问题可以抽象出同一个数学问题：在线段AB上， 有一个点C把线段AB分成两条线段AC和BC，当点C的位置比
较美时，AC 与 BC 的值是相等的。
AB AC
探索美
黄金分割的概念
一般的，点C把线段AB分成两条线段AC和BC
如果矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形 叫黄金矩形
探索美---实际应用
人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越
接近0.618越给人以美感，王小姐想以最佳的形象出现 在一次宴会上，经过测量，她身高1.60米，肚脐到脚 底的距离为0.96米，请你为王小姐选择一双高跟鞋， 使得视觉效果最佳（精确到0.1厘米）.
她是公元前一百多年希腊雕塑鼎 盛时期的代表作，
她的上半身和下半身的比值接近 0.618.
感悟美
黄 金 分 割 在 摄 影 上 的 应 用
摄影中4条线的4个交点是人们视觉最敏感的地方。
感悟美
黄金分割在建筑中的应用
课堂小结 A
C
B
长短
证明线段ＡＢ上的点Ｃ是线段ＡＢ的黄金 全 长
北师大版九年级上册数学：黄金分割
BC AB , BABCD的宽与长的比是黄金比吗?
D
FC
练倍 速 课 时 学
积累就是知识
请用所学知识回答上面的问题
解 : 1 BC AB , BC AE, AE AB ,点E是AB的黄金分割点;
BE BC
BE AE
2. BC AB ,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比,
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC与AB的比称为黄金比.
练倍
速 • 如何求一条线段的黄金比呢？
课 时
• 一条线段有几个黄金分割点？
学
心动 不如行动 自己找出
• 如图4-6,已知线段AB按 照如下方法作图:
黄金分割点
D
使1.经过BD点B1作ABBD. ⊥AB,
2.连接AD,2在AD上截
4探索三角形相似的 条件
（黄金分割）
查阅 & 欣赏 ☞ 黄金分割 与生活
练倍
速
课
时
学
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
查阅 & 欣赏 ☞ 黄金分割 与生活
练倍 速 课 时 学
• 世界名画<蒙娜丽莎>之所以有名,也得益于黄金分割,无 论是画面整体还是局部.
• 人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
查阅 & 欣赏 ☞黄金分割 与生活
练倍 速 课 时 学
• 视力表中的E同样具有黄金分割的美,儿童乐园的标志,赏 心悦目的摄影作品,都凝聚着设计师对黄金分割的运用, 中央电视台的主持人均处在屏幕的黄金分割点位置.
什么是黄金分割
如图4-5,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如
果 AC:AB=BC:AC 那么称线段AB被点C黄金分割
北师大版九年级上册数学教案：4.4三角形相似的判定及黄金分割
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，使其能够运用三角形相似判定定理分析并解决实际问题，提高解决问题的策略选择和运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形相似判定：重点讲解AAA、AA和SAS判定定理，使学生掌握三角形相似的判定条件，并能准确运用这些定理解决具体问题。
-黄金分割概念及性质：强调黄金分割比例的定义，及其在几何图形和实际生活中的应用，让学生理解黄金分割的重要性。
-实际问题解决：通过典型例题，让学生学会将实际问题抽象为三角形相似问题，运用所学知识进行解决。
2.培养学生的数感和符号意识，使其掌握黄金分割的概念和性质，并能运用数学符号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行表达和计算，从而增强数学语言的表达能力。
3.培养学生的空间观念和审美观念，通过探索黄金分割在生活中的应用，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系，提高对几何美的感知和鉴赏能力。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和交流，让学生在探究相似三角形和黄金分割的过程中，学会倾听、表达、协作，培养良好的沟通能力。
此外，我还注意到在黄金分割部分的教学中，学生们对其概念和性质的理解相对较好，但在实际应用中计算黄金分割比例时，仍有一些学生感到困惑。针对这一情况，我将在下一节课中增加一些计算练习，让学生多动手操作，提高他们解决实际问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
北师大版九年级(上)数学第四章图形的相似讲义---黄金分割
第四章图形的相似1.黄金分割：(1).定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的准确值).(2).作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形【例1】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm ，下半身长与身高l 的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【例2的三角形是黄金三角形），若△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【例3】如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长为AB ，宽为PB 的矩形的面积，则( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定S 1和S 2的大小x【例4】如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【例5】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【例6】宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：第一步：作一个正方形ABCD ；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以点N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于点E ；第四步：过点E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．BC AB 215【例7】三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图①，在△ABC 中，已知AB＝AC，∠A＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于点D，并连接BD(保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．(3)设BCAC＝k，试求k的值．【例8】如图①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC 于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD各边的黄金分割点．。
4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第4章“相似三角形”中的4.4节“探索三角形相似的条件”，第4课时“黄金分割”。教学内容主要包括：1.黄金分割的定义及性质；2.黄金分割在生活中的应用；3.利用黄金分割解决实际问题。通过对黄金分割的学习，使学生掌握相似三角形在实际生活中的应用，培养他们的观察能力、动手能力和解决实际问题的能力。以下是具体的教学内容：
1.黄金分割的定义：介绍黄金分割的概念，即一条线段被分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
2.黄金分割的性质：引导学生发现并证明黄金分割的性质，如：黄金分割点将线段分为两部分，这两部分的长度比是（1+√5）/2。
3.黄金分割的应用：通过实例介绍黄金分割在建筑、艺术、生物等领域中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系。
4.实践活动：设计一些实践活动，如测量物体长度、制作黄金分割图形等，让学生在实际操作中体会黄金分割的美学价值。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过对黄金分割的学习，使他们在观察、操作和思考过程中形成对几何图形的直观认识，提高空间想象能力。
2.培养学生的逻辑推理和数学论证能力，通过探索黄金分割的性质，让学生学会运用逻辑思维和数学方法进行推理和证明。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如黄金分割比例的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题。
北师大版数学八年级第四章第二节《黄金分割》课件
∵ BACC = √5 - 1
2
√5 - 1
∴BC =
× 2 = √5 - 1
2
• 1.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>CB 则下列等式成立的是（ ）
(A) AB=AC•CB
(B) CB=AC•AB
(C) AC=CB•AB
(D) AC=2AB•BC
• 2.已知：线段AB=18cm ，点C是AB的黄金分割 点，且AC>BC ，求AC和BC的长.
解：由题可得
AC BD √ 5 －1
AB = AB =
2
又AB=80cm
∴AC=BD=
√ 5 －1
2
×80 ＝ 40√ 5 －40
cm
∴AD=BC= 120－40√ 5 cm
黄金分割点的作法
如果我们假设线段AB＝1，那么只需在这条
再 线段上构造长度为 5 1的线段。怎么作图呢？
探
2
新 【生1】可利用在数轴上表示一个实数的方法，
求：AC = ?
A
cB
作 业：
知识的升华
（1）作业本 习题4.3 第1题。(必做题) （2）利用“黄金分割”的作法画一个“黄金五角星”。
•祝你成功！
耐人寻味的0.618
掌握黄金分割的概念； 如何去确定黄金分割点或黄金比. 会用尺规作图法作出黄金分割点； 熟练进行有关黄金分割的计算。
；
HB AH
5 1 2
。
即:
AH AB
BH AH
.
D
因此, 点H就是AB的黄金分割点 .
C
试试吧！
如图，已知线段AB,并且点C是线 段AB的黄金分割点，
北师大版数学九年级上册.4黄金分割课件
求观光区的高度.(结果精
确到1米)
训练：B本--第30页--第7题
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个
端点A.B固定在乐器板面上,支撑点C是靠
近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A
的黄金分割点,求支撑点C,D之间的距离.
阅读：数学书--第97页--随堂练习
采用如下方法找到黄金分割点：
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)过B作BD⊥AB使 = ；
D
E
(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；A
(3)在AB上截取AC＝AE，
则点C即为线段AB的黄金分割点．
C
B
阅读：数学书--第97页--读一读
F
A
G
H
B
E
D
C
小结
黄金分割
C
1.定义以及结论
A
B
2.一条线段有两个黄金分割点.
D
A
C
B
家庭作业
B本---第30页
第四章
图形的类似
第4节 黄金分割
书本第95页
类似三角形
1.定义：
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫
做类似三角形.
2.判定定理：
①两角分别相等的两个三角形类似.
②两边成比例且夹角相等的两个三角形类似
③三边成比例的两个三角形类似.
欣赏图片
黄金分割定义
短
长
A
C
B
短 长
长 全
全
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
BC AC
如果 AC AB 那么称线段AB被点C黄金分割.
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古希腊的一些神庙，在建筑时， 高和宽也是按黄金比0.618来建 立；他们认为这样的长方形看来是
文明古国埃及的金字塔， 形似方锥，大小各异。
较美观其大理石柱廓，就是根据
但这些金字塔底面的边
黄金分割律分割整个神庙的。
长与高之比都接近于0.618.
（四）深化提高，继续探索
人
体
人的肚脐是一个黄金分
中
割点。人体还有几个黄金分
就是非常的匀称，充满着美感.
（四）深化提高，继续探索
黄
金
分
割
在
艺
术
上
通过下面两幅图片可以
的
看出来，蒙娜丽莎的头
应
和两肩在整幅画面中都
用
处于完美的体现了黄金
分割，使得这幅油画看
起来是那么的和谐和完
美.
黄 金（四）深化提高，继续探索造型优小美提、琴声是音一诱种
分
人的弦乐器，它的
割 在
共鸣箱的一个端点
原长线段
=
较短线段 较长线段
从比值上理解：黄金比 即较长线段 = 5 1 原线段 2
0.618原线段
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
N
D
E
G
F
H
M
找出线段AB黄金分割点
一条线段有两个黄金分割点。
（二）操作应用，巩固概念
做一做
黄
作图法确定一条线段的黄金分割点
金
如图,已知线段AB按照如下方法作图:
的
割点：肚脐上部分的黄金分
黄
割点在咽喉，肚脐以下部分
金 分 割
的黄金分割点在膝盖，上肢 的黄金点在肘关节。上肢与
下肢长度之比均近似0.618.
（四）深化提高，继续探索
黄
金
分 割
世界艺术珍品——维纳
在
斯女，神她是西元前一
艺 术
百多年希腊雕塑鼎盛时
上
期的代表她作的，上半
的
身和下半身的比值接近
应 用
0.618.这样的身体给人的感觉
活动二：探索交流
B
A
C
B
C
想一想 观察表格，寻找数据之间的特殊关系：
= AC BC
AB AC
A构Βιβλιοθήκη 美的图片踮脚尖的演员（一）探索交流，建立概念
B
AA
CC
BB
C
这两个问题可以抽象出同一个数学问题：在线段AB上，
A
有一个点C把线段AB分成两条线段AC和BC，当点C的位置
比较 美时，AC 与 BC 的值是固定的，且都近似约等于0.618. AB AC
那么我们可以惊奇的发现，BC = AB 。点E是AB的
BE
BC
黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
A
E
B
1.点E是AB的黄金分割点吗？
2.矩形ABCD的宽与长的比是
D
F
C 黄金比吗？
BC = AB 比例的性质 BC = BE
BE
BC
AB BC
BC=AE
AE = BE AB AE
点E是AB的黄金分割点
异曲同工
如下方法也可以得到黄金 分割点？
如图，设AB是已知线段，在 AB上作正方形ABCD；取AD的 中点E，连接EB；延长DA至F， 使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH。点H就是AB的 黄金分割点。
想一想
（三）延伸拓展，深化概念
巴台农神庙
A
E
B
D
F
C
如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，
AE （即 BC ）是黄金比
AB
AB
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形
试一试 （三）延伸拓展，深化概念
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点 A，B 固定在乐器板面上。
（1）支撑点C是靠近点B的黄金分割点。试确定支撑 点C到端点B的距离。
（2）若 BD = 40 5 1 ，点D是线段AB的黄金分割吗？
A
D
C
B
解解：Q：AADC==1205401 2
•5A，BABDB==4400
5 1
580 40，=
5 1， 2
ADB=C1=20AB40 A5 C= =51201，4点0 D5是AB的黄金分割点。
BD 40 5 1 2
（四）深化提高，继续探索
黄
希腊巴台农神
金
埃及金字塔
分
割
在
建
筑
上
的 应 用
(1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？
(2)计算：AC:AB=
,BC:AC=
.
(3)点C是线段AB的黄金分割点吗？
答：(1)BD = 1, AD = 5
AC = 5 1, BC = 3 5
(2)点C是AB的黄金分割点。 因为通过计算可以发现：
AC = BC = 5 1 AB AC 2
艺
正好是整个琴身的
术 上
黄金分割点。
的
应
用
（四）深化提高，继续探索
黄 金 分 割 在 摄 影 上 的 应 用
摄影中4条线的4个交点是人们视觉最敏感的地方。
（四）深化提高，继续探索
黄 在用相机拍摄照片时，往往把主要景色放在黄金分割点上。 金 分 割 在 摄 影 上 的 应 用
（五）回顾反思，提高认识
北师大版八年级下册 第四章 相似图形
数学美的魅力
神 奇 的 麦 田 圈
数学美的魅力
神 奇 的 麦 田 圈
数学美的魅力
数学美的魅力
巴黎圣母院
数学美的魅力
希腊巴台农神庙
数学美的魅力
芭 蕾 舞
芭 蕾 舞
断 臂 的 维 纳 斯
蒙 娜 丽 莎 的 微 笑
这四面国旗中有相同的图案吗？
中国
（一）探索交流，建立概念
活动三：归纳定义
黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC = BC , 那么称线段AB被点C黄金分割，点 AB AC
C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比称为
黄金比. 黄金比： AC : AB = 5 1 :1 0.618
2
从形式上理解：成比例线段的形式。较长线段
回
头
一
学而不思则罔
看
，
我有哪些收获呢？ 我
与大家共分享！
想 说
…
课后我们要做的是:
☆收集身边的黄金分割的实例,与同伴谈 谈你对黄金分割的收获与体会；
☆完成一件包含黄金分割内容的作品。 知识象一艘船 让它载着我们
驶向理想的……
朝鲜
新加坡
新西兰
（一）探索交流，建立概念
活动一：初步体会 1、以下3张图片，哪张构图最美？
（一）探索交流，建立概念
活动一：初步体会
2、芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？
（一）探索交流，建立概念
活动一：初步体会
3、脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？
（一）探索交流，建立概念
分
1.经过点B作BD AB，使BD = 1 AB.
割
2
点
2.连接AD，在DA上截取DE = DB.
的
3.在AB上截取AC = AE.
作 点C是线段AB的黄金分割点
法 勾股定理和黄金分割是几何中的双宝,
“前者好似黄金，后者堪称珠玉”。
黄金分割的魅力远不止……
想一想 （二）操作应用，巩固概念
根据上述作图回答下列问题: