高考数学曲线的参数方程复习讲义
主题2参数方程第一讲曲线的参数方程精品
课标考纲解读1、通过分析抛射体运动中时间与运动物体位置的关系，了解参数方程，了解参数的意义。
2、能够进行参数方程与普通方程的互化。
考点知识清单1、参数方程的概念⑴在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数｛：兗）），并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的_______ ，联系变数x,y的变数t叫做_______ ，简称 _____ 。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _____ 。
⑵_____ 联系变数x,y的桥梁，可以是一个有______ 义或______ 意义的变数，也可以是 ______ 的变数。
2、参数方程和普通方程的互化⑴曲线的_____ 和 ____ 是曲线方程的不同形式。
⑵在参数方程与普通方程的互化中必须使 ______保持一致。
例题及母题迁移［例1］设质点沿原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为n rad/s试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
60［解析］显然点M的坐标x,y随着/ AOM的变化而变化，直接写出x 与y的关系式有困难，选一个新的变数0 = AOM，用B将坐标x,y 表示出来，再找0与t的关系。
［答案］解:如图2- 1-1所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0.设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知｛：舊鳥，又0青t （t以s为单位），得参数方程｛心卞旨_0）y Jsin —t—60［母题迁移］1、当方程是（）0变化时，由点P（2cos 0 ,3sir所确定的曲线的参数A{ x =2cos VA{y ：3sin 'ix z3cos 71 C{y =2sin 二B{ x =3sin JB{y =2cos '1x -」sin ■'D{y=J2cos ■'［例2］设飞机一匀速v=150m/s做水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度）⑴求炸弹离开飞机后的轨迹方程；⑵飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标［答案］解：⑴如图2- 1-2所示，A为投弹点，坐标为（0,588）, B 为目标，坐标为（x0, 0）.记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M（X,Y）为飞行曲线上任意一点，它对应时刻t.炸弹初速度V。
高考数学复习考点知识讲解课件76 参数方程
养．
必备知识—基础落实
一、必记4个知识点
1．参数方程的概念
任意一点
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上________的坐标x，y都
x=f t ，
是某个变数t的函数：ቊ
并且对于t的每一个允许值，由方程
y=g t ．
这条曲线上
组所确定的点M(x，y)都在__________，那么方程叫做这条曲线的参
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
3π
1
(2)若C1 ，C2 交于A，B两点，点P的极坐标为(2 2，－ )，求
+
1
PB
4
的值．
PA
2．[2022·石家庄市重点高中高三摸底考试]已知曲线C的参数方程为
x = cos θ
ቊ
(θ为参数)，A(2，0)，P为曲线C上的一个动点．
y = sin θ
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求
解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角
坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
【对点训练】
[2022·惠州市高三调研考试]在直角坐标系xOy中，曲线C1 的参数方
12
.
3+sin2 θ
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
x = cos α ，
解析：(1)因为曲线C1的参数方程为ቊ y = sin α (α为参数)，所以曲线C1的普通
方程为x2＋y2＝1.
因为曲线C2的极坐标方程ρ2＝
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高三数学—参数方程讲义数学参数方程讲义一知识结构二教学重点与难点重点： 1．根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
2．分析直线，圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。
难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三．本讲内容提要 1．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标变数的函数都是某个并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数都在这条曲叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．圆的参数方程可表示为.参数的几何意义是圆上一点和圆心的连线与 X 轴正半轴的夹角。
3．椭圆参数方程（为参数）4．双曲线参数方程（为参数），5．抛物线的参数方程可表示为. t 为以抛物线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。
6．经过点，倾斜角为的直线 l 的参数方程可表示为（t为参数）。
设 M(x,y)为直线上的任意一点，参数 t 的几何意义是指从点 P 到点 M 的位移，可以用有向线段数量来表示。
参数 t 带符号. 四典型例题 1．直线的参数方程及其应用⑴求直线上点的坐标 1．一个小虫从出发，已知它在 x 轴方向的分速度是－3，在 y 轴方向的分速度是4，问小虫 3s 后的位置 Q。
分析：考虑 t 的实际意义，可用直线的参数方程(t 是参数)。
解：由题意知则直线 PQ 的方程是。
关于直线 l：，其中时间 t 是参数，将代入得2．求点的对称点的坐标。
解：由条件，设直线的参数方程为(t 是参数)，∵A 到直线 l 的距离，∴代入直线的参数方程得。
参数方程讲义
参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程1．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k 的值．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，求PF 的值．4．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t ，y ＝3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长．题型一 参数方程与普通方程的互化例1 (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．(2)在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．思维升华 消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．题型二 参数方程的应用例2 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．思维升华 已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值．思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标； (2)求△P AB 面积的最大值．1．将参数方程化为普通方程是解决问题的一般思路，体现了化归思想．2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.A 组 专项能力提升(时间：50分钟)1．求直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．4．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)7．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．8．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．。
高考数学(理)总复习讲义： 参数方程
第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。
最新届高考数学一轮复习讲义第讲参数方程
变式训练 2 已知直线 l 的参数方程为xy＝＝t4－－22t (t 为参数)，P 是椭圆x42＋
y2＝1 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值．
解 将直线 l 的参数方程xy＝＝t4－－22t (t 为参数)转化为普通方
程为 x＋2y＝0， 因为 P 为椭圆x42＋y2＝1 上任意一点， 故可设 P(2cos θ，sin θ)，其中 θ∈R.
因此点 P 到直线 l 的距离
d＝|2cos
θ＋2sin 12＋22
θ|＝2
2sinθ＋π4， 5
所以当
θ＝kπ＋π4，k∈Z
时，d
取得最大值2
10 5.
极坐标、参数方程综合应用
例 3 (2011·福建)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x－y ＋4＝0，曲线 C 的参数方程为xy＝＝sin3cαos α， (α 为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单 位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，点 P 的极坐标为4，π2，判断点 P 与直线 l 的位置关系； (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离 的最小值．
(2)求直线 AM 的参数方程．
解 (1)由已知，点 M 的极角为π3，且点 M 的极径等于π3，故 点 M 的极坐标为(π3，π3)．
(2)点 M 的直角坐标为(π6， 63π)，A(1,0)，故直线 AM 的参数
x＝1＋π6－1t，
方程为
y＝
3π 6t
(t 为参数)．
思想与方法
转化思想在解题中的应用
届高考数学一轮复习讲义 第讲参数方程
要点梳理
忆一忆知识要点
1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变量 t 的函数xy＝＝gftt，. 并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x，y)都在 这条曲线上，则称上式为该曲线的 参数方程，其中变量 t 称为参数 ．
参数方程 讲义
参数方程基础知识点击：1、 曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、 求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标；选参：选择合适的参数；表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式.结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、 曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程.4、 参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程.(2) 由普通方程化为参数方程.(3) 利用参数求点的轨迹方程.(4) 常见曲线的参数方程.5、 几种常见曲线的参数方程(1) 直线的参数方程(ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.(ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程 (ⅰ)圆222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos r y r x (ϕ为参数)ϕ的几何意义为“圆心角” (ⅱ)圆22020)()(r y y x x =-+-的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00r y y r x x （ϕ为参数ϕ的几何意义为“圆心角” （3）椭圆的参数方程 (ⅰ)椭圆12222=+b y a x (0>>b a ) 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数） (4)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线12222=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕbtg y a x sec （ϕ为参数） （5） 抛物线的参数方程px y 22= (p>0) 的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数） 其中t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为选择题、填空题.6、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x t D ∈是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.参数方程 普通方程 ； 普通方程参数方程 这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.二、例题分析消去参数 恰当选择参数1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ） A ．1(,2)2- B ．31(,)42- C ．(2,3) D ．(1,3) 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤5．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
高三数学参数方程知识点
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高三关于参数方程的知识点
高三关于参数方程的知识点参数方程是解决平面几何问题中一种常见的数学工具，它通过引入参数变量来描述曲线的运动轨迹或者点的位置。
在高三数学学习中，参数方程是一个重要的知识点，下面将详细介绍参数方程相关的内容。
一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数变量表示出曲线上每个点的坐标，常见的参数变量有t、θ等。
一条曲线的参数方程一般为：x = f(t)，y =g(t)，其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过给定不同的参数值，就可以确定曲线上的各个点的坐标。
二、平面曲线的参数方程表示1. 直线的参数方程直线的参数方程常常选择一个点作为起点，然后给出直线的方向向量，并以参数t确定直线上其他点的位置。
设直线过点P(x₁,y₁)，方向向量为v(a, b)，则直线的参数方程可以表示为：x = x₁+ at， y = y₁ + bt，其中t为参数。
2. 圆的参数方程对于圆，其参数方程可以通过将x和y表示为两个函数的关系得到。
设圆的圆心为(h, k)，半径为r，则圆的参数方程可以表示为：x = h + rcos(t)， y = k + rsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程与圆类似，只是在计算x和y的时候引入了椭圆的长轴和短轴。
设椭圆的中心为(h, k)，半长轴长为a，半短轴长为b，则椭圆的参数方程可以表示为：x = h + acos(t)，y = k + bsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。
4. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以通过将x表示为关于y的函数得到。
常见的抛物线方程为y = ax² + bx + c，通过解这个方程得到x与y之间的关系，可以得到抛物线的参数方程。
三、参数方程在几何问题中的应用参数方程在解决几何问题中具有广泛的应用，例如曲线的切线和曲率、曲线的长度、曲线的弧长等。
1. 曲线的切线和曲率通过参数方程，可以求出曲线上任一点处的切线方程和曲率。
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第四节参数方程 理
第四节 参数方程知识梳理一、参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，(*) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程．二、圆的参数方程 圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ. (θ为参数)特别地，圆心在原点，半径为r 的圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.(θ为参数)其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度． 三、椭圆的参数方程中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ.(φ为参数)其中参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 四、双曲线的参数方程中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ. (φ为参数)其中参数φ的范围为φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2注意：sec φ＝1cos φ.五、抛物线的参数方程开口向右，焦点在x 轴上的抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt . (t 为参数)，其中参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数，其范围为t ∈(－∞，＋∞)．六、直线的参数方程 1．标准式．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为θ的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ. (t 为参数) 其中，t 是直线上的定点M 0(x 0，y 0)到动点M (x ，y )的有向线段M 0M →的数量，即M 0M ＝t ，当点(x ，y )在点(x 0，y 0)的上方时，t ＞0；当点(x ，y )在点(x 0，y 0)的下方时，t <0，当点(x ，y )与点(x 0，y 0)重合时，t ＝0.以上反之亦然．于是参数t 的绝对值等于直线上的动点M 到定点M 0的距离．由于直线的标准参数方程中t 具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决，方便了很多．2．点斜式．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt . (t 为参数)其中，(x 0，y 0)表示该直线上的一点，ba表示直线的斜率．当a ，b 分别表示点M (x ，y )在x 方向与y 方向的分速度时，t 就具有物理意义——时间，相应的at ，bt 则表示点M (x ，y )在x 方向，y 方向上相对(x 0，y 0)的位移．七、渐开线与摆线的参数方程(了解) 1．渐开线的参数方程． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ (φ为参数)，其中r 为基圆的半径，φ为过切点的半径与x 轴正方向所成的角．(如图1)图1图22．摆线的参数方程． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r－cos φ (φ为参数)，其中r 为圆的半径，φ为定点作圆周运动时所转过的角(如图2)．八、参数方程和普通方程的互化 1．由参数方程化为普通方程(重点)——消去参数．消参数常用的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．消参时应特别注意参数的取值范围对x ，y 的限制．由参数方程化为普通方程一般是唯一的．2．由普通方程化为参数方程(难点)——选参数．参数选法多种多样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的．基础自测1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，(t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y －7＝0，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案：－62．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2－cos 2α (α是参数)表示的曲线的普通方程是____________________．答案：y ＝－x 22＋3(|x |≤2)3．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．解析：直线l 的普通方程为y ＝x －a ，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)，代入直线l 的方程中，得0＝3－a ，所以a ＝3.答案：34. (2013·宝鸡三模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1，(t 为参数)，则直线l 被曲线C 截得的线段长度为________．解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，该曲线是圆，圆心为(0,3)，半径为3；直线l 的普通方程为3x －y ＋1＝0，圆心到直线的距离为d ＝|－3＋1|2＝1，所以，直线l被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.答案：4 21．(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝__________.解析：将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.于是得A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝8－(－8)＝16.答案：162．(2013·江西卷)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t 2得曲线C 的普通方程为y ＝x 2，利用互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将y ＝x 2化为极坐标方程为sin θ＝ρcos 2θ.答案：sin θ＝ρcos 2θ1．(2013·华南师大附中三模)以平面直角坐标系的原点为极点，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则它的圆心到直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)的距离等于__________．解析：圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，圆心为C (2,0)，直线l 的普通方程为x＋y －1＝0，所以圆心到该直线的距离为d ＝|2＋0－1|2＝22.答案：222．(2013·湖南十二校二模)设极点与坐标原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，已知直线l 的极坐标方程是：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝a ，a ∈R ，圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝23＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，若圆C 关于直线l 对称，则a ＝__________.解析：直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2a ＝0，圆C 的圆心为(23，2)，因为圆C 关于直线l 对称，所以，圆心(23，2)在直线l 上，得3×(23)－2＋2a ＝0，解得a ＝－2.答案：－23．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1 (t 为参数)，则过曲线C 上横坐标为1的点的切线方程为____________．解析：曲线C 的普通方程为y ＝29x 2＋1，则切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，119.由y ′＝49x 得切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝49，故所求的切线方程为4x －9y ＋7＝0.答案：4x －9y ＋7＝0。
高中数学第二讲参数方程一参数的曲线方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
所以 y＝1±sin θ.
不 妨 取 y ＝ 1 ＋ sin θ ， 则 所 求 的 参 数 方 程 为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ(θ
为参数)．
归纳升华
1．消去参数的方法主要有三种． ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代
入消元法或加减消元法消去参数．
②利用三角恒等式借助 sin2θ＋cos2θ＝1 等消去参数．
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方
法
)例如借助1＋2tt22＋11－ ＋tt222＝1，t＋1t 2－t－1t 2＝4
等 )从整体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围， 确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围．
消去参数 t，得 a＝1. (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是xy＝＝t12＋. 2t， 把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0， 因此 P 在曲线 C 上． 把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到3－＝11＝＋t22，t， 这个方程组无解，因此点 Q 不在曲线 C 上．
归纳升华 1．满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与 曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．
一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第 三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义 等，建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式； 第四步，证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲 线上的点．(求解过程中第四步通常省略，但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围．)
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 xy＝＝gf（（tt）），就叫作这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．
高考参数方程知识点讲解
高考参数方程知识点讲解高考数学中，参数方程是一个比较重要的知识点。
参数方程是一种以参数形式表示的函数，通过引入一个或多个参数，可以更灵活地描述图形在坐标平面上的运动轨迹。
接下来，我们将对参数方程的相关知识点进行讲解。
1. 参数方程的概念及表示方式在解析几何中，参数方程是用参数表示一个集合点的位置所满足的运算关系。
一般来说，参数方程通过引入独立变量（或称为参数），从而将平面上的点与参数之间建立起一种对应关系。
参数方程的标准形式可以写作：x = f(t)，y = g(t)，其中x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
2. 参数方程的图形表示参数方程可以用于描述一条曲线在平面上的运动轨迹。
以二维平面为例，我们可以通过改变参数t的取值范围，使得曲线上的点在平面上运动。
通过适当地选择参数的取值范围，可以得到曲线的各个特点，例如曲线的形状、方向等。
3. 参数方程与直角坐标方程的转换在解题时，有时我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程表示为参数方程。
这种转换可以帮助我们更好地理解和分析问题。
将直角坐标方程转换为参数方程时，我们可以通过引入适当的参数，将曲线上的点与参数建立起一一对应的关系，从而得到参数方程的表示式。
相反地，将参数方程转换为直角坐标方程时，我们需要通过消元法或代数运算将参数方程表示为关于x和y的等式。
这样，在直角坐标系下，我们可以得到曲线的方程。
4. 参数方程的应用参数方程在物理学、力学等领域有着广泛的应用。
通过引入参数，我们可以更好地描述和分析运动过程中物体的位置、速度、加速度等物理量。
在几何学中，参数方程可以用于描述曲线的性质和形状。
例如，通过引入角度参数，我们可以得到单位圆的参数方程，进而分析圆的性质。
参数方程也可以用于描述曲线的运动轨迹、曲率等特征。
此外，参数方程还可以用于解决几何题。
在解题过程中，我们可以通过构造合适的参数方程，将问题转化为方程组求解或参数边界求解等数学问题。
第二讲 参数方程复习课
学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线直线的标准参数方程即过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝x 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． (4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． (5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e－t)2(t 为参数，a ，b >0)．解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴(x ＋4y 9)2＋(y －2x 9)2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e －t )2，解得⎩⎨⎧2xa ＝e t ＋e －t ， ①2yb ＝e t－e－t ， ②∴①2－②2，得4x 2a 2－4y 2b 2＝4， ∴x 2a 2－y 2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝(sin θ＋1sin θ)2－(sin θ－1sin θ)2＝4，即x 2－y 2＝4，∴x 24－y 24＝1. 又∵θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2，当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin 2θ－1sin θ≤0，∴曲线为等轴双曲线x 24－y 24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得 t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.① ∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12＋b ＋12＝4，(b －1a ＋1)×(－1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1，|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1. 方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝144cos 2α－44＝10，所以cos 2α＝38，所以tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎨⎧x4＝cos t ，y 23＝sin t ，所以(x 4)2＋(y 23)2＝(cos t )2＋(sin t )2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y 212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2102＋x 282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62，所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝(t 2＋1)2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3·sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．课时作业一、选择题1．直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2,1)到直线l 的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2<r ＝2，所以l 与C 相交但不过圆心．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2) D(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C. 5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1 D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x 216， ∴y ＝4t 2＝x 24， 即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(2－2，1) B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)式，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1 解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0，∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝|－3－0|12＋(－22)2＝1.8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________． 答案 2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1.10．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝________.答案 4p |t 1|(或4p |t 2|)解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，则|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|(或2p |2t 2|)，∴|MN |＝4p |t 1|(或4p |t 2|)．三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2为圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 15．设飞机以v ＝150 m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s. 将t 0＝230代入x ＝150t 0中，得x 0＝30030 m.。
高考复习课件第84讲曲线的参数方程
，
其中参数φ的几何意义是 离心角 .
复习目标
课前ห้องสมุดไป่ตู้习
高频考点
课时小结
1．在平面直角坐标系中，曲线C：
x＝2＋
22t，
(t
y＝1＋ 22t
为参数)的普通方程为
.
答案：x－y－1＝0
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．直线
为
.
x＝－1＋tsin 40°， y＝3＋tcos 40°
x，y都是某个参数t的函数
x＝ft， y＝gt，
①并且对于t的每
一个允许值，由方程①所确定的点 (x，y) 都在这条曲线
上，那么方程①就叫作这条曲线的参数方程，联系x、y
的变数t叫作 参数
.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．直线的参数方程
①经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
高频考点
课时小结
考点三·参数方程的应用
【例 3】(2014·新课标卷Ⅰ)已知曲线 C：x42＋y92＝1，直 x＝2＋t，
线 l：y＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l
于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
所以当 φ＝π6时，S 取最大值 2.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．参数方程与普通方程互化时，要注意保持等价性． 2．当涉及椭圆上的点时，都可考虑利用椭圆的参数 方程，设点的坐标为(acos φ，bsin φ)，将其转化为三角问 题进行求解． 3．一般地，涉及圆或圆锥曲线上的点的最值问题、 定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑 利用圆或圆锥曲线的参数方程进行处理．
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6、学生说直线过原点，不妨设x>0,可以解决．很好！大家来做做看，让学生上黑板板演．
7、教师可追问，有没有其它方法呢？
8、学生说不妨设出与直线平行的直线 ，当直线与椭圆相切时，切点到直线的距离最大．此方法可让学生板演．
例2．在曲线 ： ，在曲线 求一点，使它到直线 ： 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．
曲线的参数方程
导学案
成绩
课程名称
高考数学二轮复习（人教版）教案
开卷
闭卷
√
教研室
高三数学组
A卷
√
B卷
复习时间
年
月
日
时
分至
时
分
适用专业班级
班级姓名学号
考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、教学目标
1.理解直线的参数方程及其应用；
2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为 (t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段P0P的数量.使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)．对于形如 (t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题。
椭圆的参数方程:____________教材第44页椭圆参数的理解_______________.
完成第43页例题1；第45页至第46页的例题1、2、3。
三、要点解析
1.参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数： 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
3．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为 α∈[0，2π)。
4．椭圆的参数方程
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的参数方程为 θ∈[0，2π)。
5.解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径，尤其直线方程的参数方程时。
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1：方程 表示的曲线是；
【分析与点评】注意参数的范围。
得到 ，即 ，
所以 所以点到 两点的距离之积为2。
问题2： 有怎样的几何意义？ 中， 谁正谁负？
问题3：如果求点到 两点的距离之和，就是 ，则和为 正确吗？
五、解题反思
1、在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围；
2、在进行参数方程和普通方程互化时，要注意其前后的“等价性”。要体会限定变量范围的必要性和基本方法。如，诊ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题3、4题；
3、例1和例3，体现了参数方程的一些简单应用。要体会参数方程的实质----曲线上点的坐标的参数形式表示．这是应用参数方程解决问题的基石．
（2）设 与圆 相较于两点 ,求点到 两点的距离之积。
【教学处理】要给学生尝试解题的时间，再指名学生回答，教师点评并板书
【引导分析与精讲建议】
可提出以下问题与学生交流：
问题1：由（1）直线 的参数方程为 ，其中参数的意义是什么？
交流：强调是有向线段的数量。
观察解题过程，设 两点对应的参数为 ，把直线 代入到
题2．下列方程中，与方程 表示同一曲线的是___________。
【分析与点评】基本方法是将上述参数方程化为普通方程，既要“形”似，也要“神”似。这里的“形”似指：化为普通方程后的变量 之间的关系必须是 ；这里的“神”似指：参数方程中的变量 的范围要与普通方程中的变量 的范围完全一致．答案：（4）
题3．参数方程 （ 为参数）的普通方程是________________。
2.理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用；
3.会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
二、基础知识回顾与梳理
阅读教材第42页至第47页，写出几种常见的参数方程。
直线的参数方程:___________教材第46页直线参数方程中参数几何意义的理解__________________
圆的参数方程:______________教材第47页圆参数方程中参数几何意义的理解__________________
【备用题】已知曲线C的参数方程是 （ 为参数， ），试判断点 是否在曲线C上．
【分析与点评】先将曲线的参数方程化为普通方程，消去参数即为x+2y-7=0( )即曲线为一条线段，而不是直线，需要注意的是，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y得取值范围保持一致。
然后将点坐标代入方程验证即可。
题4．已知曲线C的参数方程为 （为参数， ）。则曲线C的普通方程_____________________。
【教学处理】先交流讨论，再教师板书。
【引导分析与精讲建议】
1、先由学生将直线l的参数方程化为普通方程，即为 ；
2、再引导学生在直角坐标系中画出直线和椭圆，寻求解决问题的方法；
3、教师可问怎样求出椭圆上的点到直线的距离的最大值呢？有什么方法？
4、学生提供不妨在椭圆上设出P点坐标（x,y）,得出点P到直线的距离 ；
四、范例导析
例1.已知曲线 ，直线 （为参数）
（1）写出曲线 的参数方程；
（2）直线 的普通方程；
【教学处理】本题旨在参数方程和普通方程的互化
【引导分析与精讲建议】
1、曲线C如何确立参数，参数有什么几何意义？直线 的参数如何消去？参数有何范围？
【备用题】已知直线l的参数方程为 （t为参数），点P是椭圆 上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值。
答案为：4．解：因为 所以
故曲线C的普通方程为：
【分析与点评】将参数方程化为直角坐标的普通方程，参数方程化为普通方程需要看清“消去”的目标.
3、要点归纳
（1）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
（2）在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y得取值范围保持一致．如诊断练习中的第3题。
【教学处理】
1、参数方程的教学要求不要拔高。但是参数方程与普通方程互相转化特别要注意等价性，本题直线与圆的位置关系.
2、本题也可通过画图来解．
答案为：2．解：直线 化成普通方程是
设所求的点为 ，则C到直线 的距离
当 时，即 时，取最小值1
此时，点的坐标是
例3：已知直线 经过点 ，倾斜角 。
（1）写出直线 的参数方程；
【分析与点评】消参后得 ，这里究竟是限定变量的范围还是限定变量的范围？当然同时限定两个变量的范围最保险。事实上，可结合图形解释-----本题只要限定的范围就足够了。
答案： 或
或
【变式】参数方程 （为参数， ）化为普通方程是__________.
【点评】答案是; ，可引导学生与题3进行对比辨析。要结合图形说明“等价性”