05_大学数学(二)-欧氏空间(1-3向量积)
欧氏空间
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.
向量的内积与欧氏空间
向量的向量积与混合积的应用
在物理学中的应用
向量积可以用于描述旋转运动的角速度和角加速度等物理量；混合积可以用于描述三维空间中的力矩 和旋度等物理量。
在工程学中的应用
向量积和混合积可以用于解决机构学、动力学和流体力学等领域的问题，例如分析机械结构的运动状 态和受力情况等。
05
欧氏空间中的向量分解
线性无关与向量组
几何意义
向量内积在几何上表示两个向量在正交坐标轴上的投影长度乘积之和。
向量内积的性质
01
非负性
$vec{A} cdot vec{B} geq 0$，当 且仅当$vec{A}$与$vec{B}$同向或
反向时取等号。
03
分配律
$(vec{A} + vec{C}) cdot vec{B} = vec{A} cdot vec{B} + vec{C}
向量的内积与欧氏空间
• 向量内积的定义与性质 • 欧氏空间的基本概念 • 向量的模与向量的数量积 • 向量的向量积与混合积 • 欧氏空间中的向量分解
01
向量内积的定义与性质向量源自积的定义定义向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作"·"，其结果是一个标量。具体定义为： 对于两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，其 内积为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
向量的数量积的定义与性质
• 定义：向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的数量积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$，其中$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$ 分别是向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的分量。
欧氏空间（Eulerspace）
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧氏空间复习
欧氏空间复习 一、欧氏空间定义如果V 是实数域R 上维线性空间，而且存在V 上二元实函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l R αβγ∈∈。
则称V 为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。
我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有：● 基的度量矩阵正定；● 不同基的度量矩阵合同（由此可以证明标准正交基的存在性） ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补欧氏空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。
标准正交基的存在性一可以通过基的度量矩阵为正定矩阵及其正定矩阵和单位矩阵合同的性质证明。
其次可以通过施密特正交化方法证明。
我们有： ●n 维列向量12,,,n ααα 为n R 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足T A A E =，换句话说A 是正交矩阵。
注意一个正交矩阵决定两组正交基，一个是正交矩阵的列向量组，另外一个是正交矩阵的行向量组。
● 标准正交基的过度矩阵是正交阵。
●根据施密特正交化我们可以推出，对任意实可逆矩阵A 存在正交矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。
●如果12,,,n εεε 为欧氏空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。
在欧氏空间
一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质
二、教学目的： 1．理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位
向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离．
2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ 与η的内积<ξ,η>．
1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.
例4 令H是一切平方和收敛的实数列
(x1, x2,..., xn ), xn2 n 1
所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标
量与向量的乘法:
设 (x1, x2,...), ( y1, y2, ), a R.
规定 (x1 y1, x2 y2 ,...); a (ax1, ax2 ,...)
的实数与它们对应，并且下列条件被满足：
1) , , 2) , , , 3) a , a ,
4) 当 0 时, , 0
这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
例1 在 Rn 里,对于任意两个向量
标准正交向量组 • 3．掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及
基本性质，并会求某些子空间的正交补． • 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． • 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论．
三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空 间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法
3．掌一握些不等式 , 2 , ,
三、重点难点： 1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
05_大学数学(二)-欧氏空间(1-3向量积)
| |22||·| |+| |2 =( | || |)2.
证毕
定理 1.3(余弦定理）
设， 为欧氏空间Rn 中两个向量，则
| |2 | |2 | |2 2 | | | | cos , .
－
证:
| － |2=（ －， － ) =（ , ) －2( ,)+( , )
分配律
(iv) （ , ） 0, 且（ , ）= 0 iff = 0. 非负性
定义 1.3
设 n 维向量 = (a1, …, an). 定义
| |
(,)
12
2 2
2 n
.
为向量 的模 (或范数、长度).
重要性质
范数的性质: , , Rn , R, 则
| |2 | |2 2 | | | | cos , . 证毕
定理 1.4(勾股定理）
设 1，2， , k 为欧氏空间Rn 中两两正交 的向量，即（i , j ) 0, i j. 则
|12 k |2 |1 |2 | 2|2 | k |2 .
1) | |0, | | = 0, iff = 0; 非负性
2) | | = ||·| |;
正齐次性
3) | | | | | |. 三角不等式
特别:
若 | |=1, 则称 为单位向量.
易知, Rn 中的单位向量有 e1, e2 ,…, en 等.
定理 1.1(Chauchy-Schwarz不等式）
三维向量空间中向量的内积来源于物理和 几何背景。考虑物理问题：
例1.1
F
S
高考数学中的空间解析几何中的欧氏空间
高考数学中的空间解析几何中的欧氏空间空间解析几何是数学中的分支之一，它主要探讨的是三维空间中的几何性质和相关的数学问题。
欧氏空间则是空间解析几何中的基础概念。
欧氏空间是指三维空间中的一种几何结构，其特点是平行公理和直角公理。
平行公理指的是任意一条直线只有一条平行线，而直角公理则是指相交的两条直线会形成一个直角。
这两条公理决定了欧氏空间的几何性质。
在欧氏空间中，点和向量是两个基础的概念。
点代表空间中的一个位置，而向量则代表了一个有方向和大小的量。
在这个空间中，每一个点都可以用三个坐标来表示，而每一个向量则可以用三个分量来表示。
空间解析几何中，平面和直线是两个重要的概念。
在欧氏空间中，平面可以用三个点或一个点和一个法向量来表示。
直线则可以用两个点或一个点和一个方向向量来表示。
欧氏空间中的距离可以通过勾股定理来计算。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2），那么它们之间的距离可以用勾股定理来计算：AB的距离=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]欧氏空间中的向量运算包括加法、减法、数乘和内积。
向量加法是指将两个向量的分量分别相加，而向量减法则是将两个向量的分量分别相减。
向量的数乘是指将一个向量的分量乘以一个标量，而向量的内积则是两个向量的对应分量相乘后求和。
欧氏空间中的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别代表x轴、y轴和z轴。
极坐标系则由一个原点和极角和极径组成，极角代表了向量与z轴的夹角，而极径则是向量的长度。
在高考数学中，空间解析几何通常是一个比较难的题型。
这类题目需要考生熟练掌握欧氏空间的基础概念和相关的计算方法，才能顺利解题。
因此，对于准备参加高考的学生来说，掌握空间解析几何是至关重要的。
总的来说，欧氏空间是空间解析几何中的一个基础概念，它形成了空间解析几何的基础。
欧氏空间内积的性质及应用
欧氏空间内积的性质及应用欧氏空间是指以欧几里德度量为基础的向量空间，其中的向量可以进行加法、数乘和内积运算。
欧氏空间内的内积是一种常见的运算，具有一些重要的性质和应用。
本文将详细介绍欧氏空间内积的性质及其应用。
一、欧氏空间内积的性质：1. 正定性：在欧氏空间中，内积满足正定性，即对于任意非零向量x，有内积⟨x,x⟨>0。
这一性质保证了内积能够给出向量的大小和方向信息，且仅当向量为零向量时，内积为0。
2. 对称性：内积是对称的，即对于任意向量x和y，有⟨x,y⟨=⟨y,x⟨。
这一性质表明内积不依赖于向量的顺序。
3. 线性性：内积具有线性性，即对于任意向量x，y和z，以及任意标量a，有⟨ax+y,z⟨=a⟨x,z⟨+⟨y,z⟨。
这一性质是内积运算的基本性质，使得内积可以方便地与向量的其他运算（如加法、数乘等）结合使用。
4. 正交性：如果两个向量的内积为0，则它们被称为正交向量。
欧氏空间中的正交向量在几何上相互垂直，且具有一些重要的性质，如正交向量的线性无关性。
正交向量在许多应用中起到关键作用，如最小二乘法和信号处理等领域。
5. 柯西-施瓦茨不等式：欧氏空间中的内积满足柯西-施瓦茨不等式，即对于任意向量x和y，有⟨x,y⟨≤∥x∥∥y∥，其中∥x∥和∥y∥分别表示向量x和y的范数。
这一不等式给出了内积和向量范数之间的关系，具有重要的几何意义。
6. 三角不等式：欧氏空间中的内积满足三角不等式，即对于任意向量x和y，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥，其中∥x∥和∥y∥分别表示向量x和y的范数。
这一不等式给出了向量加法和内积之间的关系，保证了向量范数的一致性。
7. 等距性：欧氏空间中的内积具有等距性，即对于任意向量x和y，有∥x+y∥^2=∥x∥^2+2⟨x,y⟨+∥y∥^2。
这一性质可以被视为勾股定理的推广，将向量加法和内积结合在一起，描述了欧氏空间中的距离关系。
二、欧氏空间内积的应用：1. 几何：欧氏空间的内积可以用于计算向量之间的夹角和距离。
一、欧式空间的定义及性质课件
, xn yn 给出，那么 H 是一个欧氏空间. n1
练习 1 (a1,a2 ), (b1,b2 )为向量空间中任意
两向量,证明:
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R2对 , ma1b1 na2b2 作成欧氏空间的充分 必要条件是 m > 0, n > 0.
这表明一元二次方程
, x2 2 , x , 0 无 实 根 , 因
而它的判别式小于 0, 即
4 , 2 4 , , 0 于是 , 2 , ,
这就是著名的柯西-施瓦兹不等式. 也可表示为
1.欧氏空间V的内积具有以下基本性质.
(1)a V , , 0 0, 0
证 ,0 0, 0 , 0
(2) , , V , , , ,
证
, , , ,
, ,
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(3) , V ,k R, ,k k ,
证 ,k k , k , k ,
(4)i , j V ,ai ,bj R, i 1, 2, , m, j 1, 2, , n
m
n
mn
aii , bj j
恒正性 :当 0时, 0
其中, , 是V3的任意向量，k 是任意实数.
工程数学第五章_1 欧氏空间
∧
f
s cos( f , s )
第五章
工
程
数
学
定义1 定义1
设a,
b∈R3, ∈
∧
记 a 与b 的夹角为 ( a,b )
∧
为向量a 内积( 称数 a b cos(a , b ) 为向量 与b 的内积 数量 积 ), 记为 a ·b , 即
a ⋅ b = a b cos(a , b )
∧
(1)
第五章
所以
a ⋅ b = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
(2)
第五章
工 因为
程
数
学
a ⋅b , 所以 cos(a, b) = | a |⋅|b|
∧
a⋅a=x12+y12+z12 ,
a 的长度
a = a ⋅ a,
∧
a ⋅b a 与 b 的夹角 (a, b) = arccos a b
(a, b≠0)
第五章
工
程
数
学
a 与 b 线性相关 ⇔ a + tb = 0 ⇔ (a + tb, a + tb)=0 ⇔ ∆=0
⇔ ( a, b) = a b
综合(1), (2) 定理证毕
第五章
工
程
数
学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义5 定义5 向量a, b 之间的夹角 夹角定义为 夹角
( a, b ) (a, b) = arccos a b
β 的内积 记为 α, β ) , 即 的内积. 记为(
(α, β)= x1 y1 + x2 y2+ …+ xn yn (3)
第五章
欧式空间的内积运算
欧式空间的内积运算欧式空间是数学中非常重要的一个概念，它在几何学、线性代数、物理学等领域起着举足轻重的作用。
在欧式空间中，内积运算是一种非常重要的运算，它可以用来度量欧式空间中向量的相似度、夹角以及长度等属性。
本文将会生动地介绍欧式空间以及内积运算的定义、性质和应用，希望能够对读者有一定的指导意义。
首先，让我们来了解一下什么是欧式空间。
欧式空间是一个具有内积的实数向量空间，它由一组实数向量组成，并且满足一定的性质。
在欧式空间中，我们可以定义向量的加法和数乘运算，从而使得欧式空间构成了一个线性空间。
除此之外，欧式空间还定义了内积运算，它是一个二元运算，将欧式空间中的两个向量映射为一个实数。
内积运算可以用来计算向量的长度、夹角以及向量之间的相似度等。
内积运算在欧式空间中有许多重要的性质。
首先，内积运算满足对称性，即对于任意两个向量u和v，有内积(u, v) = 内积(v, u)。
其次，内积运算满足线性性质，即对于任意的向量u, v和标量a，有内积(a*u, v) = a*内积(u, v)和内积(u+v, w) = 内积(u, w) + 内积(v, w)。
此外，内积运算还满足正定性，即对于任意的非零向量u，有内积(u, u) > 0。
这些性质使得内积运算成为了一个非常有用的工具，在许多实际问题中得到了广泛的应用。
内积运算在欧式空间中有许多重要的应用。
首先，内积运算可以用来计算向量的长度。
根据内积运算的定义，我们可以得到一个向量u的长度为sqrt(内积(u, u))。
其次，内积运算可以用来计算向量之间的夹角。
根据内积运算的性质，我们可以得到cos(theta) = 内积(u, v) / (sqrt(内积(u, u)) * sqrt(内积(v, v)))，其中theta表示向量u和v之间的夹角。
此外，内积运算还可以用来计算向量之间的相似度。
通过计算两个向量的内积，我们可以得到它们之间的相似度，从而在机器学习、模式识别等领域中得到广泛应用。
欧氏空间的知识点总结
欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。
在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。
欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。
2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。
在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。
例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。
3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。
内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。
在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。
内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。
二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。
- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。
- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。
- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。
2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。
- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。
线性代数-欧氏空间
, 2
,
0
,
即
, 2 , ,
两边开方后便得到
, 当α,β线性相关时，必有β=kα，从而
, k ,
k
故 , k , k
即(7.4.2)中等式成立. 反之，若(7.4.2)中等 式成立，则或者β=0 ，或者(7.4.3)式对
,
t
,
等式成立，这意味着此时
t , t 0 由内积性质(4)，即知
性质2 设α , β是欧氏空间中的元素， 且α⊥β，则
2 2 2
证 由正交的定义，
2 , , 2 , ,
, ,
2 2
所得到的等式是普通几何空间中勾股 定理的推广. 它对于多个元素也成立，即 若α1,α2,…,αm两两正交，则
1 2 m 2 1 2 2 2 m 2
为基底ε1,ε2,…,εn的度量矩阵.
式(7.4.4)或(7.4.5)说明，在取定了一组 基后，任二元素的内积可由基的内积αij决 定，或由度量矩阵A决定. 换言之，只要给 出了度量矩阵A，就给出了V上的内积. 度 量矩阵完全确定了内积.
由内积的对称性，有 aij i , j j ,i a ji , i, j 1,2,, n
i1 j 1
引入矩阵记号，令
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n a2n
an1 an2 ann
(7.4.4)
x1
X
x2
xn
y1
Y
y2
yn
则(7.4.4)式可写为
, X T AY
(7.4.5)
其中X、Y分别是α , β在基底 ε1,ε2,…,εn下的 坐标，A是由基底的内积组成的矩阵，称
欧氏空间知识点总结ppt
欧氏空间知识点总结ppt一、基本概念欧氏空间是指在数学中对于平面几何和空间几何研究的一种数学模型，其基本特征是空间中存在一个规范内积。
欧氏空间可以用来描述物理空间和空间中的向量、距离等性质，在数学和物理学中有着广泛的应用。
1.1 点和向量在欧氏空间中，点是一个没有大小和方向的几何对象，通常用坐标表示。
向量是由起始点和终点确定的有方向的几何对象，通常也用坐标表示。
1.2 距离和长度在欧氏空间中，点之间的距离可以用欧氏距离来表示。
而对于向量来说，可以用向量的长度来表示。
1.3 直线和平面在欧氏空间中，直线和平面是两种重要的几何对象，可以用方程和向量来描述。
1.4 角度和投影在欧氏空间中，角度是一个重要的概念，可以用来描述向量之间的夹角。
另外，投影也是一个重要的概念，可以用来描述一个向量在另一个向量上的投影长度。
二、基本性质欧氏空间具有一些基本性质，这些性质在研究和应用中具有重要的作用。
2.1 内积和正交在欧氏空间中，内积是一个重要的概念，可以用来定义向量的长度和夹角。
同时，正交也是一个重要的性质，用来描述两个向量相互垂直的关系。
2.2 右手定则和叉乘在欧氏空间中，右手定则是一个重要的规则，用来确定向量的方向。
另外，叉乘也是一个重要的运算，可以用来求得两个向量相乘的结果。
2.3 正交基和标准正交基在欧氏空间中，正交基和标准正交基是两种重要的基的组合方式，可以用来描述向量空间的性质。
三、向量空间在欧氏空间中，向量空间是一个重要的概念，用来描述向量的性质和运算规则。
3.1 线性相关和线性无关在向量空间中，线性相关和线性无关是描述向量组合性质的两个重要概念。
3.2 基和维数在向量空间中，基和维数是两个重要的概念，可以用来描述向量空间的结构和性质。
3.3 子空间在向量空间中，子空间是一个重要的概念，用来描述向量空间的子集和性质。
四、应用领域欧氏空间在数学和物理学中有着广泛的应用，在各个领域都有着重要的作用。
4.1 几何变换在欧氏空间中，几何变换是一个重要的问题，可以用欧氏空间的性质来描述各种几何变换。
欧氏空间的定义与基本性质-PPT
a
a
a
证：在 C(a,b) 中， f ( x)与 g( x) 的内积定义为
b
( f ( x), g( x)) a f ( x)g( x)dx
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 ( f ( x), g( x)) f ( x) g( x)
从而得证.
3）
三角 不等式
对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有
设
C
cij
nn
C1,C2 ,
,Cn ,
n
则 i cki k , i 1, 2, , n
k 1
于是
n
n
nn
(i , j ) ( cki k , clj l )
( k , l )ckiclj
k 1
l 1
k1 l 1
nn
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
i 1
j1
m
m
(i ,i ) (i , j )
m
i 1
i j
(i ,i ) 1 2 2 2 m 2
i 1
例3、已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
解： , 22 12 32 22 18 3 2 ( , ) 2 1 1 2 3 2 2 1 0 ,
0 ,
定义2：设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积
, 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即
cos , 0
.
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
第二节 欧式空间的基本概念
|| 2 =
1 (1,0,1)T= ( 1 ,0,
2
2
1 | 3
||3=
1 (1,2,1)T = ( 1 ,
6
6
2, 6
1 )T . 6
2、 正交向量组的性质
定理2 正交向量组必是线性无关向量组.
证明
设 α1,…, αm 是一个正交向量组 , 则
i ,
j
=
|| i
||2
α=<α, α1>α1+…+ <α, αn>αn ; (2) <α,β> = x1y1+…+xn yn ; (3) ||α|| = x12 L xn2 ; (4) d (α,β) = ( x1 y1)2 L ( xn yn )2
证明 (1) 用 αi 与 α=x1α1+…+xnαn 两端作内积, 得 <α, αi >= <x1α1+…+xnαn ,αi > = xi<αi,αi > = xi ,
( i=1,2, …,n ) 所以 α=<α ,α1>α1+…+<α ,αn>αn .
α=x1α1+…+xnαn , β=y1α1+…+ynαn , (1) xi =<α, αi > (i=1,2, …,n) , α=<α, αi >α1+…+<α, αn>αn ,
n
n
nn
(2) <α,β>= xii , y j j =
两个向量 α 和 β 都指定了一个实数与之对应, 这个 实数记作 <α,β>， 且满足以下条件： (1)对称性： <α,β>=<β,α>; (2)齐次性： <kα,β>=k<α,β>; (3) 加性： <α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>; (4)非负性： <α,α> 0, 等号成立的充分必要条件是
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2
0.
所以 | (, ) || | | |。
重要不等式
n
n
n
| aibi |
ai 2
bi2 .
i 1
i1
i 1
定义 1.4
设， 为Rn 中两个向量，定义 与 的夹角为
, arccos
(, )
.
| || |
特别当（， ) 0时，称 与 垂直（正交）. 记为
（ , ）
=
| || |
1 >0, 1 <0.
二、Rn 中向量的内积，欧氏空间 Rn
在 Rn 中引进内积运算，建立n 维欧氏空间概念 n 维向量的长度 n 维向量间的夹角 n 维向量间的关系
定义 1.2
设 n 维向量 = (a1, …, an), = (b1, …, bn).
大学数学（二）
脚本编写：曾金平 刘楚中 课件制作：曾金平 刘楚中
本章目的
1. 在 Rn 中引进内积运算，建立n 维欧氏空间概念;
2. 讨论欧氏空间的正交基的概念及求法； 3. 讨论 三维欧氏空间R3 中向量积，直线及平面方
程等内容; 4. 建立一般内积空间的概念。
§1 内积、欧氏空间 Rn 一、R3 中向量的内积
) )
2
(r , r1) (r1, r1)
r 1
r 1 j 1
(r , ( j,
j j
) )
j
.
Schmidt 正交化过程
再令 1
|
1
1
|
1,
2
|
1
2
|
2,
…，
r
1
| r
| r,
则 1, 2, …, r 是一个正交规范基.
定义数：
a1b1 a2b2 anbn 为向量 与 的内积， 记为 （ , ）. 即
(, ) a1b1 a2b2 anbn.
性质
(i) （ , )= ( , );
交换律
(ii) （ , )= ( , );
(iii) （ , ) = ( , ) ( , ）;
且 | i| = 1, i = 1, …, r ,
则称 1, …, r 为 V 的正交规范基.
定理 2.2
若 n 维向量1, 2 , …, n 是一组标准正交基. 则 n 维向量 =(x1,x2,…,xn) 在基1, 2 , …, n 下的
第 j 个分量为:
x j (, j ), j 1，2， , n.
三维向量空间中向量的内积来源于物理和 几何背景。考虑物理问题：
例1.1
F
S
解:
F1
s
所做功 W = f1 ·s
= |F| ·|S|cos (F, S)
= F S.
定义 1.1
设， 为R3 中两个向量，记 与 的夹角为
, ，称数 | | | | cos，
向量的内积满足
| (, ) || | | |,
(1.8)
其中等号成立当且仅当向量 和 线性相关.
( , |
)
|2
,
( , |
)
|2
(, )
2( ,
)
( , |
)
|2
( ,
)2
(, |
)
|4
|
|2
(, ) | |2
例2.2
1 (
1, 2
1 2
,0,0), 2
(
1 , 2
1 2
,0,0), 3
(0,0,
1, 2
1 ), 2
4 (0,0,
1 , 2
1 ) 为 R4 的正交规范基.
2
证:
易算出( i , i )
(
1 )2 2
(
1 2
)2
1,
即|
i
|
=
1，
且 (1, 2 )
(211, / (1, 1),
1)
=
(2, 1) 2
21
(1,
1)
.
故
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1;
求3 = 31122 使
0 = (3, 1) = (311 22, 1) = (3, 1) 1 (1, 1) ,
0 = (3, 2) = (311 22, 2) = (3, 2) 2 (2, 2),
3
3
（（31
, ,
1）1) 1
（（ 23
, ,
22）） 2 ;
……
r
(r , 1) ( 1, 1)
1
( (
r, 2,
2 2
.
定义 1.5
定义了内积的 n 维实向量空间Rn 称为 n 维 欧氏空间（Euclid Space), 仍记为Rn.
定理 1.2(三角不等式）
设， 为欧氏空间Rn 中两个向量，则
| | | | | |.
证:
| |2 =（ ， ) =（ , )2( ,)+( , )
( 5 , 5 , 5) 5 (1,1, 1); 33 3 3
3
3
(1,3 ) (1, 1)
1
( 2 ,3 ) (2, 2)
225Βιβλιοθήκη = (4, 1, 0)2 6
(1, 2, 1) 3
5
(1, 1, 1)
= (4 1 5 , 1 2 5 , 0 1 5 )
n
n
证: ( , j ) ( xii , j ) xi (i , j )
i 1
i 1
x j ( j , j ) x j .
证毕
例2.1 e1, e2 , …, en 是 Rn 的一个正交规范基.
= (a1, …, an) Rn , = a1 e1 … an en 在 的表达式中, ej 前的系数即为 的第 j 个坐标.
n 维欧氏空间中任意一组两两正交 的向量组称为正交向量组.
定理 2.1 若n 维欧氏空间中向量
1, 2 , …, r 是一组两两正交的非零向量, 则1, 2 , …, r 线性无关.
证: 若有1, … , r , 使 r
11 … rr= j j 0 j 1 ||
r
r
(0, i )= (, i ) ( j j ,i ) j ( j ,i ) = i (i, i) .
j 1
j 1
由于1, 2 , …, r 非零, 知i =0.
故1, 2 , …, r 线性无关.
定义 2.2
设 n 维向量 1, 2 , …, r 是向量空间 V Rn 的一个基. 若 1, …, r 两两正交,
例2.3 设1= (1, 2, 1), 2= (1, 3, 1), 3= (4,1, 0), 试将
其正交规范化.
解: 1 =1= (1, 2, 1);
2
2
(1,2 ) (1, 1)
1
= (1, 3, 1)
4
6
(1, 2, 1)
= (1, 3, 1) ( 2 , 4 , 2) 3 33
的终点 A 和 B 可确定 , 所在平面上的一个三
角形 OAB.
B
A
O
由余弦定理, 知
2 · = 2| | ·| |cos = | |2+| |2 | |2
B
A
O
(x12 y12 z12 ) (x22 y22 z22 )
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
分配律
(iv) （ , ） 0, 且（ , ）= 0 iff = 0. 非负性
定义 1.3
设 n 维向量 = (a1, …, an). 定义
| |
(,)
12
2 2
2 n
.
为向量 的模 (或范数、长度).
重要性质
范数的性质: , , Rn , R, 则
| |22||·| |+| |2 =( | || |)2.
证毕
定理 1.3(余弦定理）
设， 为欧氏空间Rn 中两个向量，则
| |2 | |2 | |2 2 | | | | cos , .
－
证:
| － |2=（ －， － ) =（ , ) －2( ,)+( , )
特例3： 向量的平行关系:
两非零向量平行的充要条件是它们的夹 角余弦等于 1 或 －1。
若 //, 则有 0，使 = .
=(, ) = (, ) = | |2.
(, )= 2 (, ) = 2| | 2.
cos( , )
11 22
( 1 ) ( 1 ) 0，
2
2
(1, 3 ) (1, 4 ) 0, ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) 0，
(3, 4)
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 0.
22 2
2
由定理2.1, 1, 2, 3, 4 线性无关, 即为正交规范基.