高一数学难题海伦公式原理和和推广应用

高一数学难题海伦公式原理和和推广应用

海伦公式原理

中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的

面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长：

p=(a+b+c)/2

注1："Metrica"(《论》)手抄本中用s作为半周长，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法

都是可以的，但多用p作为半周长。

由于任何n边的多边形都可以分割成(n-2)个三角形，所以海伦

公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

海伦公式推广应用

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c)/2,则

S△ABC

=1/2aha

=1/2ab×sinC

=1/2rp

=2R2sinAsinBsinC

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。