3.4 圆周角和圆心角的关系 教案

一、情境导入 在下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？
二、合作探究
探究点：圆周角定理及其推论
【类型一】 利用圆周角定理求角的度数
如图，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则
∠C 的度数是( )
A ．25°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝1
2×50°＝25°.故选
A.
方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数
如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°
解析：因为AB ︵＝AC ︵
，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.故选B.
方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合
如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上． (1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数；
(2)若AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．
解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵
，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．
解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝1
2×52°＝26°；
(2)设⊙O 的半径为x ，则OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x
＝4，∴⊙O 的半径为4.
方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合
如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵
的
中点，求证：∠B ＝∠BEC .
解析：由点B 是CD ︵
的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．
证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵
，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .
方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合
如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .
(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明； (2)求证：CP ＝BP ＋AP .
解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．
(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵
所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵
所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；
(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP
＝BP ＋AP .
方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合
如图，点E 是BC ︵
的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .
解析：点E 是BC ︵
的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．
证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵
，∴∠BAE ＝∠CBE .∵∠E ＝∠E (公共角)，∴△BDE ∽△ABE ，∴BE ∶AE ＝DE ∶BE ，∴BE 2＝AE ·DE .
方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．
三、板书设计
圆周角和圆心角的关系
1．圆周角的概念 2．圆周角定理
3．圆周角定理的推论 1.如图，已知圆心角∠BOC ＝78°，则圆周角∠BAC 的度数是( )[来源:] A ．156°
B ．78°
C ．39°
D ．12°
2.圆周角是24°，则它所对的弧是( )[来源:Z.xx A ．12° B ．24° C ．36 D ．48°
3.如图，在⊙O 中，若C 是BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ）
A.1个
B.2 个
C.3个
D.4个
4.如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ，若∠BAD=60°，则∠BCD 的度数为（ ） A.40°B.50°C.60°D.70°
5.如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵
上一点，D ，E 是AB ︵
上不同
的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D ＋∠E 的度数为( )
A ．m
B ．180°－m
2
C ．90°＋m
2
D ．m
2
[来源:学科网]
6.如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC
⌒ =BD ⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= .
7.如图，已知点E 是圆O 上的点，B ，C 是AD ︵
的三等分点，∠BOC ＝46°，则∠AED 的度数为________．
8.如图，在⊙O 中，F ，G 是直径AB 上的两点，C ，D,E 是半圆上的三点，如果弧AC 的度数为60°，弧BE 的度数为20°，∠CF A =∠DFB ，∠DGA =∠EG B ．求∠FDG 的大小
O
D
C
B A
C
· B
D
O A
E O
D C
B
A
9.如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=EC
10.如图，在锐角△ABC 中，AB ＞AC ，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DE ，DF.:学科网ZXXK]
(1)求证：∠EAF ＋∠EDF ＝180°.
(2)已知P 是射线DC 上一个动点，当点P 运动到PD ＝BD 时，连接AP ，交⊙O 于点G ，连接DG.设∠EDG ＝∠α，∠APB ＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论(在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．
本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆。