有限元法理论及其应用第一次作业
有限单元法课后习题全部解答_王勖成
d 2w dx2
δ
dw dx
−
d 3w dx3
δ
w
L 0
= 0
∫ 1.5 如有一问题的泛函= 为 Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+ qwdx ，其中 E,
I,
k 是常数，q
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
∫ = δΠ(w)
L 0
x3 L2
)
+
a2 (x2
−
x3 L
)
+
x3 L3
（1）
x3 上式中的最后一项 L3 前面没有待定系数，这是由于使用了在 x=L 处φ=1 的强制边界条件。
从物理意义上说，相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将（1）
式代入教材（1.2.26）式，得到残量：
R(
x)
=
a1 (−6
x L2
+
Q
δφ
dΩ
+
Γ−Γq
k
∂φ ∂n
δφ
dΩ
−
Γq
αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
δφ d
Γ
欧拉方程： k
∂2φ ∂x2
+
k
∂2φ ∂y 2
+
Q
=0
Γφ
自然边界： αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
=0
Γ
−
Γq
强制边界：
k
∂φ ∂n
=0
习题 1.8： 板弯曲问题的平衡方程为：
有限元法在机械设计中的应用
有限元法在机械设计中的应用
有限元法是一种常用于机械设计中的数值分析方法，它通过将连续物体离散化成有限数量的单元，再针对每个单元进行力学分析，最终得到整个物体的应力、应变和变形等结果。
以下将介绍有限元法在机械设计中的应用。
有限元法可以用于机械结构的强度分析。
在机械设计中，往往需要根据物体所受的外力来确定其结构是否能够满足强度要求。
有限元法通过建立物体的有限元模型，并施加合适的边界条件和载荷条件，可以计算出每个单元的应力分布，进而得到整个物体的应力分布情况。
通过比较得到的应力值和材料的强度极限，可以评估物体是否满足强度要求，从而指导设计优化。
有限元法在机械设计中的应用广泛。
通过有限元法进行强度分析、刚度分析、疲劳寿命分析和动力分析等，可以评估物体的性能和可靠性，从而指导设计的改进和优化，提高机械产品的质量和可靠性。
“有限元法原理及应用”讲义-2012
二、最小总势能原理
一个“系统”是一个结构加上作用与其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功 为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势 能定义为 0，则在任何可能的构形上任何一部分外力的势能就是“0 － 外力所作的功” 。 如何对系统总势能进一步理解？ 系统总势能用符号 p 表示， 它是系统位移的泛函， 对于系统每一个 “可能位移” （场） ， 系统有一个总势能与之对应。它是系统的一个状态函数。 “可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。 举例：对于一个图 1-1 所示，一端受集中力 P，具有刚度 k 的单自由度线性弹簧。
d p kDeq dD PdD 0
2
所以： Deq
P k
该结果与静力学求出的结果相同！ 2、多自由度系统、矩阵形式 如果决定一个系统的构形需要 n 个独立的量， 那么这个系统就具有 n 个自由度， 称为广 义坐标。 对于有限自由度（离散系统）问题，势能 p 是广义坐标的函数。广义坐标记为 Di 。 势能表达式为： p p ( D1 , D2, ..., Dn ) 它的全微分为：
位移是可能的待定参数必须满足一定约束关系因此该问题的独立参量广义坐标只里兹解往往是过刚的除非假定场包含了精确由于前面两点经典里兹法在解决实际问题时尤其是几何形状复杂的二三维问题解决的办法下面以一维直杆的分析为例子研究基于里兹法考虑图21a所示的结构长度改为3l把杆分为三个部分
“有限元法原理及应用”讲义
对于图 1-3 所示的多自由度弹簧系统，其总势能为：
p
1 1 1 2 k 1 D1 k 2 ( D 2 D1 ) 2 k 3 ( D 3 D 2 ) 2 P1 D1 P2 D 2 P3 D 3 2 2 2
有限元法作业
考核科目：有限元法程序设计及应用题目：数值分析方法在电机磁场分析中的应用永磁电机磁场有限元分析数值分析方法在电机磁场分析中的应用有限元法作为一种强有力的工程分析方法被广泛应用于航空航天、汽车、电子电气、船舶、压力容器、核能、生物医药等众多领域。
对于机电工程领域，有限元法同样极为重要，在各类机械设计分析、机械和电子工程问题定量分析与优化设计中有限元是最主要的数值方法，并且无一例外地是构成各种先进、有效的计算软件包的基础。
目前，有限元分析己成为计算机辅助设计的一个重要组成部分。
在机电工程中，电机的设计、制造、应用是极为重要的一环，几乎所有的机电产品都设计到电机的应用。
电机不仅是工业自动化的源动力，而且是人类现代化动力支柱极重要之一，所以电机的设计和工业现代化息息相关。
而电机设计与制造一个极重要的环节就是电机电磁场的分析和应用。
磁场的稳定、强度、分布等直接关系到电机的设计和性能。
而且在实际应用中，由于电机设计缺陷而导致的工业事故也是频频发生。
但是鉴于电磁场问题的复杂性，即各类电磁装置在其结构、几何形状以及材料性质变化上的复杂性，使得我们需要解决的电磁场问题的规模越来越大、难度越来越深。
而有限元法是目前电气工程中解决电磁场边值问题的强有力手段，它有效地解决了电磁场计算中的通用性与精确性的问题，在工程中获得了广泛应用。
研究电机暂态行为的最有效方法之一便是时步有限元法早在上世纪70年代初期P. Sylvester和M.V.K. Chari 就把有限元法引入到电磁计算中这是电磁场数值分析中的一个重要转折点。
有限元法以变分原理为基础，用剖分插值的办法建立各自由度间的相互关系，把二次泛函的极值问题转化为一组多元代数方程组来求解。
它能使复杂结构、复杂边界情况的边值问题得到解答。
近20年，由于数值处理技术的提高，例如采用不完全Cholesky 分解法、ICCG法、自适应网格剖分等方法，使得有限元法在电磁场数值计算中，越来越占据主导地位。
有限元课后习题答案
有限元课后习题答案1.1有限元法的基本思想和基本步骤是什么首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
1.2有限元法有哪些优点和缺点优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
1.3有限元法在机械工程中有哪些具体的应用静力学分析模态分析动力学分析热应力分析其他分析2.1杆件结构划分单元的原则是什么？1）杆件的交点一定要取为节点2）阶梯形杆截面变化处一定要取为节点3）支撑点和自由端要取为节点4）集中载荷作用处要取为节点5）欲求位移的点要取为节点6）单元长度不要相差太多2.2简述单元刚度矩阵的性质。
单元刚度矩阵是描述单元节点力与节点位移之间关系的矩阵。
2.3有限元法基本方程中每一项的意义是什么？{Q}---整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束力）;{}---整个结构的节点位移列阵；[K]---结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。
2.4简述整体刚度矩阵的性质和特点。
对称性奇异性稀疏性主对角上的元素恒为正2.5位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。
2.6写出平面刚架问题中单元刚度矩阵的坐标变换式2.7推导平面刚架局部坐标系下的单元刚度矩阵。
2.8简述整体坐标的概念。
单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’O’Y’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。
有限元热分析第1次大作业(16-17)
课程名称：有限元与热分析数值仿真
2016—2017学年第二学期
第一次大作业（任课教师：钱作勤）
1、简述工程热力学的三大基本定律，并深刻阐述其重要意义和应用领域。
2、一台小型化工装置采用水蒸汽再热循环。
透平蒸汽进口参数为8.5Mpa和480
度。
再热参数为1.2Mpa和440度。
凝汽压力为7kPa.。
透平和泵的效率分别为0.92和0.80。
画出该循环的T-S图。
并确定：1）每千克工质的净功；2）再热占总吸热量的百分比；3）循环热效率。
3、一稳定运行的理想蒸汽压缩制冷系统采用R134a作为工作流体，压缩机进口
是压力为0.16Mpa的饱和蒸汽。
冷凝器出口参数为0.9Mpa和32度。
质量流量为5kg/min。
压缩机等熵效率为80%。
试确定：1）压缩机功率；2）冷吨；
3）性能系数。
南京理工大学研究生 有限元方法理论及应用考试 个人答案
目录1等参单元及其应用 (1)1.1概述 (1)1.1.1等参单元的概念、原理 (1)1.1.2等参单元对有限元法工程应用的意义 (1)1.2等参单元的数值积分方法 (1)1.2.1等参单元刚度矩阵的数值积分方法 (1)1.2.2确定积分阶的原理 (2)1.2.3全积分单元与减缩积分单元讨论和评价 (3)1.3线性等参单元 (3)1.3.1全积分、减缩积分线性等参单元有关问题的分析讨论 (3)1.4等参单元的应用 (5)2分析与计算 (6)2.1四节点平面等参单元的收敛协调性 (6)2.2八节点平面等参单元 (8)2.33节点平面三角形单元 (9)2.420节点六面体等参单元 (10)2.520节点六面体等参单元 (11)3上机实验 (15)3.1实验一 (15)3.1.1实验题目 (15)3.1.2实验目的 (15)3.1.3建模概述 (15)3.1.4计算结果分析与结论 (16)3.1.5实验体会与总结 (32)3.2实验二 (33)3.2.1实验题目 (33)3.2.2实验目的 (33)3.2.3建模概述 (33)3.2.4计算结果分析与讨论 (34)3.2.5实验体会与总结 (36)3.3实验三 (36)3.3.1实验题目 (36)3.3.2实验目的 (36)3.3.3建模概述 (37)3.3.4计算结果分析与结论 (37)3.3.5实验体会与总结 (44)1 等参单元及其应用1.1 概述1.1.1 等参单元的概念、原理普通单元受到两个方面的限制：（1）单元的精度。
单元的节点数越多，单元精度越高；（2）单元几何上的限制。
普通矩形和六面体单元都不能模拟任意形状几何体，所有几种普通单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。
为了解决上述矛盾，方法就是突破矩形单元和六面体单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，这类单元位移模式和形函数的构造和单元列式的导出不能沿用构造简单单元的方法，必须引入等参变换，采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
同济大学有限单元法课程大作业
利用ABAQUS有限元非线性分析软件，对拱在集中荷载作用下进行特征值屈曲分析和静态的非线性屈曲分析。
通过考虑几何非线性并引入初弯曲，得出结构发生失稳的极限荷载，并且由失稳的临界荷载得出结构荷载位移曲线。
ABAQUS中非线性屈曲分析采用riks算法实现，可以考虑材料非线性、几何非线性以及初始缺陷的影响。
其中，初始缺陷可以通过屈曲模态、振型以及一般节点位移来描述。
利用ABAQUS进行屈曲分析，一般有两步。
首先是特征值屈曲分析，此分析为线性屈曲分析，是在小变形的情况下进行的，也即上面提到过的模态，目的是得出临界荷载（一般取一阶模态的eigenvalue乘以所设定的load），且需要在inp文件中修改关键字。
其次，就是所谓的后屈曲分析，此步一般定义为非线性，原因是在大变形情况下进行的，一般采用位移控制加修正的弧长法，可以定义材料非线性，以及几何非线性，加上初始缺陷，所以也称为非线性屈曲分析。
此步分析，为了得到极限值，需要得出荷载位移曲线的下降段，除了采用位移控制以及弧长法设定外，还是需要在inp文件中嵌入上一步得到的节点数据。
ABAQUS建立的模型如图1所示，由于我们组选取的是以正弦曲线作为拱的形状，我就将每个单元的节点坐标得到，利用abaqus里的样条曲线模拟的正弦曲线，较直线连接精确，接近实际结构。
图1拱曲线模型示意图运行软件，得到的荷载位移曲线与编程计算得到的进行比较如图2所示。
图2编程与软件计算结果对比图随后又分析了不同矢跨比、集中荷载不同作用位置对拱结构荷载位移平衡路径的影响，曲线图分别如图3、4所示。
图3不同矢跨比对平衡路径的影响图4集中荷载不同作用位置对平衡路径的影响在调试软件的过程中发现，拱结构的平衡路径对于截面几何尺寸、材料性质、拱曲线形状等较为敏感，故又选取了另外一组数据进行了建模，并与编程计算结果进行比对，如图5所示。
图5改变基本信息后的荷载位移曲线。
有限单元法课堂作业
ANSYS结构静力分析论文学院：能源与动力工程学院姓名：马江卫班级：热能1003学号：10110302一．ANSYS简介ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。
由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, AutoCAD等，是现代产品设计中的高级CAE工具之一。
二．结构分析概述工程中用以担任预定任务，支撑载荷的建筑物都可称为结构，如桥梁、隧道、房屋、塔架、支架、挡土墙和水坝等。
按照几何特征，结构可分为杆件结构、薄壁结构和实体结构等等。
有限元方法的最广泛应用即结构分析分析的对象主要包括梁、拱、钢架、组合结构及其他实体结构等。
结构静力分析是ANSYS家族中7种结构分析之一，主要用来分析由于稳态外载所引起的系统或零部件位移、应力、应变和作用力，很适合求解惯性及阻尼的时间相关作用对结构影响并不显著的问题，其中稳态载荷主要包括外部施加的力和压力、稳态的惯性力，如重力和旋转速度，施加位移、温度和注量等。
三．结构分析目的和意义为了使结构在工程应用中既能安全、正常的工作，又能符合经济的要求，就要对其进行受力、变形、强度、刚度和稳定性的分析和计算。
通过对经历结构的分析，让我们熟悉了ANSYS软件的基本操作，对有限元分析的思想方法也有了初步的理解；更有利于工程上一些问题的研究，任意设定荷载工况，并可完成各种复杂的静、动荷载以及温度荷载工况组合，能很方便地计算出结构所承受的弯矩、扭矩、轴力以及应力分布和变形情况，找出桥梁在各种运动车辆荷载作用下的最不利位置，有效地解决一些过载，过热等问题。
四．结构静力分析基本步骤1 确定工作文件名（Jobname）、分析标题（Title）【注意】这一步可以省略或在分析结果后根据需要添加。
2 进入前处理器（∕PREP7）(1) 定义单元类型。
有限元理论与技术-习题-有限元法.(优选)
填空题：1、利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。
2、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
3、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
4、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
5、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
6、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
7、在有限单元法中，单元的形函数N i在i 结点N i= 1 ；在其他结点N i= 0 及∑N i= 1 。
8、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
（√）10、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
（√）11、形函数N i(xi,yi)= ＿＿(i=j)N i(xi,yi)= ＿＿(i≠j)简答题：1、有限元分析的基本思路答：首先，将物体或求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点互相连接的子域（即单元），原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程称为离散化。
其次，在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数，即分片近似。
具体做法是在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，这是有限元法的创意和精华所在。
有限元方法例题解答
2023《有限元技术》习题一参考答案1、用欧拉方程求泛函()1022[()]'2(0)0,(1)0J y x y y xy dx y y ⎧=--⎪⎨⎪==⎩⎰的极值曲线。
解：22'2F y y xy =--，代入欧拉方程'0y y dF F dx-=， 得：''++0y y x =，解微分方程得通解：12sin cos y C x C x x =+-，代入边界条件(0)0,(1)0y y ==，解得sin sin1xy x =-。
2、如图所示，一长度为L 质量为M 的项链悬挂在跨度为2a 的A 和B 两点，项链在重力场中自然下垂，试求该链悬在稳定状态时的曲线方程。
（重力加速度为g ）解： （方法一）将原坐标系(),x y 向下平移1C 个单位(),x y ，拟采用1cosh y C t =代换求解 在新坐标系中，悬链在稳定状态时能量处于最小值。
悬链线质量密度MLλ=， 长度为dl 的势能为：()Mgy dW dmgy dl gy dl L λ====，悬链总势能泛函：(a a a a Mg W dW dx dx L --===⎰⎰⎰，约束条件为：悬链线长度aL -=⎰，泛函的被积函数：(),F y y '=，势能泛函取极小值时的欧拉方程为：'1'y F y F C -=， 即：21C -=，化简得：y C =于是：dx =x =，令1cosh y C t =（在新坐标系下才能作此代换），得：1sinh sinh dy C tdt t =⎧=，代入x =，得112x C dt C t C ==+⎰所以，21x C t C -=，21cosh cosh x C t C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭回代1cosh y C t =得：211cosh x C y C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线关于y 轴对称得20C =，1C由悬链线长度112sinhaaL C C -==⎰给出， 故新坐标系下所求曲线方程为11cosh x y C C ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1C 由11sinh 2L aC C =确定。
有限元法理论及应用参考答案(推荐文档)
有限元法理论及应用大作业1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？答：有限元分析的主要步骤主要有：（1）结构的离散化，即单元的划分；（2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；（3）等效节点载荷计算；（4）整体分析，建立整体刚度方程；（5）引入约束，求解整体平衡方程。
2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。
题2图答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。
有限元划分网格的基本原则:1.拓扑正确性原则。
即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接2.几何保持原则。
即网络划分后，单元的集合为原结构近似3.特性一致原则。
即材料相同，厚度相同4.单元形状优良原则。
单元边、角相差尽可能小5.密度可控原则。
即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。
（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。
（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。
3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？题3图答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。
（b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。
（c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。
（d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。
4、什么是等参数单元？。
答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。
5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？(1).⎪⎩⎪⎨⎧++=++=26543221),(),(y x y x v yx y x u αααααα (2). ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2652423221),(),(yxy x y x v yxy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。
有限元法在数学建模中的应用
有限元法在数学建模中的应用有限元法是数学建模中非常重要的一种技术，它广泛应用于工程、物理、材料等领域。
本文将重点探讨有限元法在数学建模中的应用，介绍有限元法的基本原理以及在实际问题的求解中如何使用有限元法。
一、有限元法基本原理有限元法是一种计算数值解的方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。
有限元法的基本思想是将一个复杂的物理问题分解成许多小的单元，每个单元内近似为均匀的物理特性，然后利用这些小单元之间的相互作用来描述整个问题的行为。
具体而言，将一个有限区域分割成若干个小的有限元，形成一个有限元网格。
然后在每个有限元内选择一种适当的插值函数和数学方法，利用有限元法求解方程，计算各节点处的场量值。
最终通过将所有单元的解拼接成总体解来解决整个大型问题。
二、有限元法的应用在数学建模中，有限元法被广泛应用于求解各种物理问题。
以下几个问题是常见的应用场景。
1、弹性力学问题弹性力学问题涉及到力学中物体变形和应力分布的关系。
例如，通过有限元法求解一个材料的弹性力学问题，即在一定的边界条件下，计算出其内部的应力和变形分布等参数。
有限元法可以将复杂的材料变形和应力分布问题简化为有限元之间的局部线性问题。
在每个单元内用局部多项式函数近似表示物理量，并将各单元之间的信息连接起来，最终得到整个材料的应力和变形信息。
2、流体力学问题流体力学问题涉及到流体的流动、压力分布以及物体受到的阻力等问题。
通过有限元法求解流体力学问题，可以计算流体内部的压力、速度、流量等重要参数。
常见的有限元法方案包括有限元、有限体积法和有限差分法。
3、电磁场问题电磁场问题涉及到电磁波传播、电荷分布等问题。
通过有限元法求解电磁场问题，可以计算电荷、电势、磁场等电磁参数。
例如，有限元法可用于计算电磁波在介质中的传播和反射，以及导体中的电流分布。
三、有限元法在实践中的应用在实际应用中，有限元法需要通过软件来实现计算。
较为流行的有限元软件包有ANSYS、Comsol、ABAQUS等。
有限元法理论及其应用第一次作业
1、 证明3节点三角形单元的插值函数满足
(,)i j j i j N x y δ= 及1i j m N N N ++=
2、如图1所示3节点直角三角形单元，厚度为t,弹性模量是E ，泊松比ν=0。
设坐标原点在节点3。
试求：形函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单元刚度矩阵e K 。
验证e
K 的性质。
并
从T3单元刚度矩阵公式来分析为什么e K 元素与单元大小和在坐标系中的位置无关？
图1
3、如图2所示单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求：单元等效节点载荷向量。
图2
4、如图3所示一根直杆，长度2L ，截面积A ，弹性模量E ，杆受到轴向的线分布力：q cx =。
试用2个2节点一维杆单元求解其位移、应力。
要求推导详细的有限元求解列式，设置合理的参数将求解结果绘制成曲线，并与精确解进行对比分析。
图3。
有限元理论与技术-习题-有限元法
填空题：1、利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。
2、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
3、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
4、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
5、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
6、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
7、在有限单元法中，单元的形函数N i在i 结点N i= 1 ；在其他结点N i= 0 及∑N i= 1 。
8、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
〔√〕10、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
〔√〕11、形函数N i(xi,yi)= ＿＿(i=j)N i(xi,yi)= ＿＿(i≠j)简答题：1、有限元分析的基本思路答：首先，将物体或求解域离散为有限个互不重叠仅通过节点互相连接的子域〔即单元〕，原始边界条件也被转化为节点上的边界条件，此过程称为离散化。
其次，在单元内，选择简单近似函数来分片逼近未知的求解函数，即分片近似。
具体做法是在单元上选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，这是有限元法的创意和精华所在。
有限元法基本原理与地的应用ANSYS上机指导
“有限元法基本原理与应用”课程有限元分析软件ANSYS上机指南华东理工大学机械与动力工程学院2009年9月目录Project1 简支梁的变形分析 (1)Project2 坝体的有限元建模与受力分析 (3)Project3 平板中心开小孔应力集中系数分析 (5)Project4 旋转磁盘应力分析.................... (7)Project5 压力容器的有限元求解1 (9)Project6 压力容器的有限元求解2 (11)Project7 容器接管有限元建模与变形分析 (13)Project1 梁的有限元建模与变形分析计算分析模型如图1-1 所示, 习题文件名: beam。
NOTE:要求选择不同形状的截面分别进行计算。
梁承受均布载荷：1.0E3 Pa图1-1梁的计算分析模型梁截面分别采用以下三种截面（单位：m）：矩形截面：圆截面：工字形截面：B=0.1, H=0.15 R=0.1 w1=0.1，w2=0.1，w3=0.2,t1=0.0114,t2=0.0114,t3=0.007 1.1 进入ANSYS程序→ANSYS →Interactive →change the working directory into yours →input Initial jobname: beam→Run1.2设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK1.3选择单元类型ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete… →Add… →select Beam 2 node 188 →OK (back to Element Types window)→Close (the Element Type window)1.4定义材料参数ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models→Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1E11, PRXY:0.3→OK1.5定义截面ANSYS Main Menu: Preprocessor →Sections →Beam →Common Sectns →分别定义矩形截面、圆截面和工字形截面：矩形截面:ID=1,B=0.1，H=0.15 →Apply →圆截面：ID=2,R=0.1 →Apply →工字形截面：ID=3,w1=0.1，w2=0.1，w3=0.2，t1=0.0114，t2=0.0114，t3=0.007→OK1.6生成几何模型生成特征点ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints →In Active CS →依次输入三个点的坐标：input:1(0,0),2(10,0),3(5,2) →OK✓生成梁ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Lines →lines →Straight lines→连接两个特征点，1(0,0),2(10,0)→OK1.7 网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing→Mesh Attributes→Picked lines→OK→选择: SECT:1（根据所计算的梁的截面选择编号）；Pick Orientation Keypoint(s):YES→拾取：3#特征点(5,2) →OK→Mesh Tool→Size Controls) lines: Set →Pick All(in Picking Menu) →input NDIV:200→OK (back to Mesh Tool window) →Mesh →Pick All(in Picking Menu) →Close (the Mesh Tool window)1.8 模型施加约束✓最左端节点加约束ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Displacement→On Nodes→pick the node at (0,0)→OK→select UX, UY,UZ,ROTX, ROTY→OK✓最右端节点加约束ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Displacement→On Nodes→pick the node at (10,0)→OK→select UY,UZ,ROTX, ROTY →OK✓施加均布的载荷ANSYS Main Menu: Solution→Define Loads →Apply→Structural →Pressure→On Beams→Pick All→V ALI:1.0E3 →OK1.9 分析计算ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS→OK(to close the solve Current Load Step window) →OK1.10 结果显示ANSYS Main Menu: General Postproc→Read Results→Last SetANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results→Deformed Shape…→select Def + Undeformed→OK (back to Plot Results window) →Contour Plot→Nodal Solu →select: DOF solution, UY, Def + Undeformed, Rotation, ROTZ ,Def + Undeformed→OK1.11 退出系统ANSYS Utility Menu: File→Exit →Save Everything→OKProject2坝体的有限元建模与应力应变分析计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam。
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1、 证明3节点三角形单元的插值函数满足
(,)i j j i j N x y δ= 及1i j m N N N ++=
2、如图1所示3节点直角三角形单元，厚度为t,弹性模量是E ，泊松比ν=0。
设坐标原点在节点3。
试求：形函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单元刚度矩阵e K 。
验证e
K 的性质。
并
从T3单元刚度矩阵公式来分析为什么e K 元素与单元大小和在坐标系中的位置无关？
图1
3、如图2所示单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求：单元等效节点载荷向量。
图2
4、如图3所示一根直杆，长度2L ，截面积A ，弹性模量E ，杆受到轴向的线分布力：q cx =。
试用2个2节点一维杆单元求解其位移、应力。
要求推导详细的有限元求解列式，设置合理的参数将求解结果绘制成曲线，并与精确解进行对比分析。
图3。