二次函数与一元二次方程根的分布练习

班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：张雪利

课次：第次学生：上课时间：

教学目标

教学重难点

快速练习

1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）

A．B．C．D．

2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）A．0＜m＜2 B．-3＜m＜1 C．-2＜m＜0 D．-1＜m＜1

3.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）A．B．

C．D．

4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．

可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0）

5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．

征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件.

6. 设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？

由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．

解：经配方有y＝2(x-a)2+3，对称轴为x=a．

当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．

当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．

当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．

根据上述分析，可知．

当a ≤3时，y max =f(4)=2a 2-16a+35．y min =f(3)＝2a 2

-12a+21． 当3＜a ＜4时，y min ＝f(a)＝3．

其中，a ≤3.5时，y max ＝f(4)＝2a 2

-16a+35．

a ≥3.5时，y max ＝f(3)＝2a 2

-12a+21．

当a ≥4时，y max ＝f(3)＝2a 2-12a+21．y min ＝f(4)＝2a 2

-16a+35．

7. 已知二次方程()()2

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1

12

m -

<<即为所求的范围。

8. 已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由

()()0102200m f ∆>⎧⎪

-+⎪->⎨

⋅⎪>⎪⎩

⇒ ()2

18010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 3223220m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩或 ⇒ 0322m <<-或322m >+即为所求的范围。

9. 已知二次函数()()()2

22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一

个小于1，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1

22

m -<<

即为所求的范围。 10. 已知二次方程()2

2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f <

⇒ ()4310m +< ⇒ 1

3

m <-即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）

11. 设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：

(1)m为何值时，有一正根、一负根；

(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1；

(3)m为何值时，有两正根；(4)m为何值时，有两负根．

(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？

解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0，∴m＜-2．反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．

(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．

依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1＜0，

(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件

依韦达定理有

(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即

[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．

∴(7m+1)(9m+10)＜0．

12．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．

解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：

＜1， β＞2．

13．已知函数

的图象都在x 轴上方，求实数k 的取

值范围． 解：（1）当

，则所给函数为二次函数，图象满足：

，即

解得：

（2）当 时，

若 ，则

的图象不可能都在x 轴上方，∴

若

，则y =3的图象都在x 轴上方

由（1）（2）得：

反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．

14．已知关于x 的方程3x 2

-5x ＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a 的取值范围．

解：设f （x ）=3x 2

-5x ＋a ，由图象特征可知方程f （x ）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的

解得-12＜a ＜0．

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

15. 函数()()2

220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

解：对称轴[]012,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。

（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min

32f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 32522a b b ++=⎧⎨

+=⎩ ⇒ 1

0a b =⎧⎨=⎩

；