武汉大学计算方法考题2份
计算方法试卷
《计算方法》 2012 年试题一、填空题1、设 f(x)可微，且，则求解方程x=f(x)的牛顿迭代公式为2、设矩阵 A 有以下分解：则 a=， b=3、已知函数是以 -1，0，1 为样条节点的三次样条函数，则a=， b=4、若使数值积分公式的代数精度最高，则 A1=，A2=5、以下数据取自一个次数不超出 5 次的多项式 P(x)XP(x)则 P(x)是次多项式。
、设A=，x (n)表示用幂法求 A 的按模最大特点值所对应的特点向量的第 n6次近似值，若取x(0)=(0，1)T，则 x(2011)=二、选择题、设A 为 n 阶实对称矩阵，P为-1，||A||r表示矩阵 A 的1n 阶可逆矩阵， B=PAPr-范数，表示 A 的谱半径，以下结论不正确的选项是(A)(B)(C)(D)2、能够用 Jacobi迭代法解线性方程组Ax=b 的必需条件是(A) 举证 A 的各阶次序主子式全不为零(B) A的谱半径(C) 举证 A 的对角元素全不为零(D) 矩阵 A 的算子范数、设A=(1， 2， 2)T，若存在 Household 矩阵 H，使得 Hx=σ(1，0，0)T，则34、关于拥有四个求积点 (n=3)牛顿科特斯 (Newton-Cotes)公式假如已知 Cotes系数，则其他三个系数为(A)(B)(C)(D)5、用二阶 Runge-Kutta方法求解常微分方程初值问题，此中： h>0 为步长， x n=x0+nh，。
为保证格式稳固，则步长h 的取值范围是(A)(B)(C)(D)三、计算解答题1、设 f(x)=e2x，。
(1)写出或导出最高幂次系数为 1 的且次数不超出 2 的 Legendre 多项式 L0(x)，L1(x)，L2(x)；(2) 记求出在上的最正确平方迫近P2(x)。
2、设，给以下的数值积分公式：此中：表示在 x=1 处的到数值。
(1)求常数 A1、A2、 A3使上述求积公式的代数精度最高；(2)导出上述求积公式的余项（或截断偏差） R[f]=I-I n3、已知(1) 找出参数的最大范围，使得求解以 A 为系数矩阵的线性代数方程的Gauss-Sidle迭代法收敛；(2)当取何值时， Gauss-Sidle迭代法经有限次迭代后获得方程的精准解4、已知方程在区间，0.6]内有独一的实根(1)试判断一下两种求上述方程的迭代格式的局部收敛性，并说明原因。
计算方法试题及答案
计算方法试题及答案在计算方法的学习过程中，练习解答试题是非常重要的一部分。
下面，将提供一些计算方法试题及答案，以供学习和练习之用。
请按照正确的格式阅读和完成题目。
一、选择题1. 下列哪个选项是计算方法的基本思想？A. 运算过程B. 程序设计C. 算法和分析D. 数据采集答案：C. 算法和分析2. 当使用二分法求解函数 f(x) = x^2 - 4 = 0 的根时，若初始区间 [a,b] 为 [0, 5]，则最终结果为：A. x = 2.0B. x = 2.2C. x = 2.4D. x = 2.5答案：C. x = 2.4二、填空题1. 约化消元法是一种求解方程组的方法，其基本思想是__________。
答案：逐行约化，得到简化方程组。
2. 在数值计算中，利用级数展开的方法求函数近似值的过程称之为__________。
答案：泰勒展开。
三、计算题1. 求解下列方程组的解：2x + y - z = 1x - y + 3z = 93x + 4y - 5z = -5答案：x = -2, y = 3, z = 42. 使用拉格朗日插值法，已知函数 f(x) 在点 x = 0, x = 1, x = 4 处的值分别为 1, 5, 7，求 f(2) 的近似值。
答案：f(2) 的近似值为 3.通过以上试题，希望能够帮助学习者巩固和加深对计算方法的理解，并提供一定的练习机会。
在学习过程中，建议理解每道题目的解题思路和方法，灵活运用所学知识，加强实际问题的应用。
希望大家能够通过不断的练习和学习提升计算方法的能力。
武大计算机类真题数据结构(2007-A
数据结构部分（共75分）一. 单项选择题（2×10分，共20分）1. 某线性表最常用的操作是在最后一个结点之后插入一个结点或删除第一个结点，故采用 d 存储方式最节省运算时间。
A. 单链表B.循环单链表C. 双链表D.仅有尾结点指针的循环单链表2. 栈和队列的共同点是c 。
A. 都是先进后出B. 都是先进先出C. 只允许在端点处插入和删除元素D. 没有共同点3．对于含有n个互不相同字符的串，则真子串（不包括串自身）的个数是c 。
A. nB.n2C.n(n+1)/2D.n(n-1)/24. 在一棵度为3的树中，度为3的结点个数为2，度为2的结点个数为1，则度为0的结点个数为 cA. 4B. 5C. 6D. 75. 某二叉树的先序遍历序列和后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定是d 。
A. 空或只有一个结点B. 完全二叉树C. 二叉排序树D. 高度等于其结点数6. 对图1所示的无向图，从顶点1开始进行深度优先遍历；可能得到顶点访问序列是a 。
A.1 2 4 3 5 7 6B.1 2 4 3 5 6 7C.1 2 4 5 6 3 7D.1 2 3 4 5 7 6图1 一个无向图7. 对于含有n个顶点的带权无向连通图，它的最小生成树是指该图中任意一个d。
A.由n-1条权值最小的边构成的子图B.由n-l条权值之和最小的边构成的子图C.由n条权值之和最小的边构成的连通子图D.由n个顶点构成的边的权值之和最小的连通子图8. 有一组数据{15,9,7,8,20,1,7,4}，用堆排序的筛选方法建立的初始小根堆为c 。
A.{1,4,8,9,20,7,15,7}B.{1,7,15,7,4,8,20,9}C.{1,4,7,8,20,15,7,9}D.以上都不对9. 在含有27个结点的二叉排序树上，查找关键字为35的结点，则依次比较的关键字有可能是 d 。
A.28,36,18,46,35B.18,36,28,46,35C.46,28,18,36,35D.46,36,18,28,3510. 采用败者树进行k路平衡归并的外排序算法，其总的归并效率与k b 。
武大的计算机考研真题答案
武大的计算机考研真题答案武大计算机考研真题答案考研备考对于很多计算机专业的学子来说是一项具有重要意义的任务。
为此，武汉大学计算机考研真题是备考的重要资料之一。
本文将为您提供武大计算机考研真题的答案及解析，以帮助您更好地备考。
第一部分：数据结构与算法分析考查了解数据结构与算法分析相关知识点，下面是真题答案的详细解析：1. 问题一答案详解：这题考查的是XXX算法的应用。
具体的解题过程如下：（略）2. 问题二答案详解：这题主要考察XXX数据结构的操作。
解题过程如下：（略）总结：本节的题目主要考查了数据结构与算法分析的相关知识点，要求考生熟悉各种数据结构的基本操作，并能够灵活运用算法解决问题。
第二部分：操作系统与网络本节的题目主要考查了操作系统与网络相关的知识点，下面是题目的答案及详细解析：1. 问题一答案详解：这题考查的是XXX操作系统的特性。
解题过程如下：（略）2. 问题二答案详解：这题主要考察了XXX网络协议的相关内容。
解题过程如下：（略）总结：本节的题目主要考查了操作系统与网络的相关知识点，要求考生熟悉操作系统的基本原理，并能够了解网络协议的主要内容。
第三部分：数据库系统与应用考查了解数据库系统与应用相关知识点，下面是题目的答案及详细解析：1. 问题一答案详解：这题考查了XXX数据库的查询语句。
解题过程如下：（略）2. 问题二答案详解：这题主要考察了XXX数据库的优化方法。
解题过程如下：（略）总结：本节的题目主要考查了数据库系统与应用的相关知识点，要求考生熟悉数据库的基本操作，并能够运用SQL 语句进行查询与优化。
结语本文提供了武大计算机考研真题的答案及详细解析，希望能对考生在备考过程中有所帮助。
备考计算机考研需要充分理解各个知识点，并且进行练习和总结。
通过系统性的学习和实践，相信您一定能够顺利备考并取得优异的成绩。
祝愿各位考生取得令人满意的成绩！。
计算方法本题库及答案
计算方法本题库及答案1. 问题：请解释什么是数值稳定性，并给出一个例子。
答案：数值稳定性是指在数值计算过程中，当输入数据或初始条件发生小的变化时，计算结果的变化也很小。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵是病态的（即条件数很大），那么即使输入数据有微小的变化，解也可能发生很大的变化，这表明该问题在数值上是不稳定的。
2. 问题：请简述牛顿迭代法的基本原理，并说明其优缺点。
答案：牛顿迭代法是一种求解非线性方程f(x)=0的迭代方法。
基本原理是利用线性逼近f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)，将非线性问题转化为线性问题求解。
迭代公式为x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
优点是收敛速度快，通常为二次收敛；缺点是要求函数可导，且导数容易计算，且初始猜测值需要接近真实解。
3. 问题：什么是共轭梯度法？它在解决哪些问题时特别有效？答案：共轭梯度法是一种用于求解大规模稀疏正定线性方程组的迭代算法。
它特别有效于当系数矩阵是对称正定的，且直接求解方法（如高斯消元法）因计算量过大而不可行时。
共轭梯度法利用正交性质来构造一系列梯度方向的线性组合，以逼近解。
4. 问题：请解释什么是数值分析中的病态问题，并给出一个例子。
答案：病态问题是指那些条件数非常大的问题，即对输入数据的微小变化非常敏感，导致数值解的误差非常大。
例如，求解线性方程组Ax=b时，如果系数矩阵A的行列式非常接近于零，那么即使是很小的b的变化也会导致解x的巨大变化，这就是一个病态问题。
5. 问题：什么是插值和拟合？它们之间有何区别？答案：插值是指在给定一组数据点的情况下，找到一个函数，使其精确地通过这些数据点。
拟合则是找到一个函数，使其尽可能地接近这些数据点，但不一定通过每一个点。
插值通常要求函数在所有数据点上都有相同的值，而拟合则是最小化数据点与函数值之间的误差。
6. 问题：请解释什么是数值积分，并给出一个常见的数值积分方法。
武汉大学历年计算方法考试试卷及其答案
2 x k e xk 2 e xk
1 2 7 x x， 6 6
f ( 2) 1.6667
三、 （10 分）n=6 等分，h=0.2
h 2 h S= [ y 0 4 y1 2 y 2 4 y 3 2 y 4 4 y 5 y 6 ] 1.2693 3 1 4 1 四、 （10 分） Ai , , ， 3 次代数精度；不是高斯型公式。 3 3 3
1 In I n 1 算法 B： n I 100 0
数值稳定性较好的是算法
(n 100 , ,1)
。 ， f [0,1, ,8] ， Cond( A) =
8 3 2、设 f ( x) 2 x 3x 1 ，则差商 f [0,1]
3、设 x 5 1 ，A
yi
1
-1
2
求二次拉格朗日插值多项式及余项，并求 f ( 2.5) 的近似值。
5、 （12 分）已知数据 xi yi 求形如 y ax b sin
2
1 2
2 1
3 0
4 1
x
6
的拟合曲线。
6、 （12 分）给定 y f ( x ) 的一组值 xi f(xi) 1.0 1 1.2 2 1.4 0 1.6 -1 1.8 -3 2.0 -1 2.2 1 2.4 3 2.6 2
0 迭代矩阵 B J a 21 a 22
a12 a11 0
1 0 a11 BG 0 a12 a 21 a11a 22
两个矩阵的谱半径相同，所以同敛散。
七、 （10 分）
0 1 A 0.5 1 3 1
计算方法各习题及参考答案
第二章 数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造一多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使用多少个节点能够保证误差不超过61102-⨯． 答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b ah n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章 函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，二次最佳平方逼近的平方误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平方逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章 数值积分与数值微分4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =⎰，并与精确值比较．答案：计算结果如下表所示4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度． （１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =⎰的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+． 答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+⎰．4.5 给定积分10sin xI dx x =⎰（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-⨯． （２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分10sin xI dx x =⎰．要求用事后误差估计法时，截断误不超过31102-⨯和61102-⨯． 答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，40.946 083I s ≈=满足精度要求．4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+⎰，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈． （２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--⎰，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，而 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 用龙贝格方法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字． 答案：49.6884l I =≈．4.9确定高斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+⎰的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证高斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章 解线性方程组的直接法5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中111210110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭． 答案： 1110331203321133A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 用追赶法求解三对角方程组123421113121112210x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章 解线性代数方程组的迭代法６.１ 对方程1212123879897x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，用该方法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤． 答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２ 讨论松弛因子 1.25ω=时，用SOR 方法求解方程组121232343163420412x x x x x x x +=⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩ 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<⨯． 答案：方程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３ 给定线性方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．６.４ 设有方程组112233302021212x b x b x b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．６.５ 设矩阵A 非奇异．求证：方程组Ax b =的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．６.６ 设()ij n nA a ⨯=为对称正定矩阵，对角阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章 非线性方程求根例７.４ 对方程230xx e -=确定迭代函数()x ϕ及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ∀∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ϕ+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<． 答案：若取2()x x ϕ=，则在[1,0]-中满足收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟一解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ϕ=，在[0,1上满足收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟一解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原方程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ϕ==．满足收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟一解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６ 对于迭代函数2()(3)x x c x ϕ=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ϕ+=产生的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ϕ51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所示表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ϕ+=的迭代函数()x ϕ具有二阶连续导数，*x 是()x ϕ的不动点，且*()1x ϕ'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y xϕϕ+==⎧⎪=-⎨=-⎪-+⎩二阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ϕ=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ϕ为迭代函数的迭代法至少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有高阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第八章 矩阵特征值8.1 用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这里()1k λ表示1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 用反幂法求矩阵110242012A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的按模最小的特征值．知A 的按模较大的特征值的近似值为15λ=，用5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最小的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设方阵A 的特征值都是实数，且满足121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ而作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 用二分法求三对角对称方阵1221221221A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小特征值，使它至少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平行的向量．答案：203/2/00001010/0T ⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎝0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭8.6 若532644445A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后用QR 方法求A 的全部特征值．第九章 微分方程初值问题的数值解法9.1 用反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤⎧⎨=⎩，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-． 答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ⎧=+≤⎪⎨⎪=⎩的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位小数)．答案：用二阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈用二阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 用如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，小数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使二阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-⎧⎨=⎩为实常数绝对稳定，试求步长h 的大小应受到的限制条件． 答案：2h λ≤．9.5 用如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++⎧=+⎪⎪=++⎨⎪⎪==⎩，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '⎧=<≤⎨=⎩时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛． 答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式二步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能高，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶5()O h ．9.7 试用欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx⎧=-⎪⎪≤⎨⎪=+=⎪⎩，取步长0.1h =，小数点后至少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =⎧⎨=⎩ ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩ 220.604 820z 2.090 992y =⎧⎨=⎩ ， 22(0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩。
武汉大学数学物理方法考试习题
n n xm xm n 本征值：km , m 1,2, Rm (k ) J n ( ), m 1,2, a a
Wuhan University
三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
16.1 S-L问题
(2) m 0, m 1,2,
(3)
n (k m ) 2 0 如：
x 2 y xy [k 2 x 2
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x d dy n 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 n ]y 0 dx dx x
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dx dx
b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx N
a
2 n mn
(见附2）
a2 2 n J n1 (kln a) ml 如： J n (km )J n (kln )d 0 2 1 b (4) f ( x) cm ym ( x) cm 2 a ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m 1
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第十六章 斯－刘问题
问题的引入：
d 2 dy (1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
2
m2 (1 x 2 ) y 2 xy [l (l 1) ]y 0 2 1 x
） 解： 1 k ( x) 1, k (0) k (l ) 1, , q( x) 0, ( x) 1;
武汉大学计算机学院931计算机原理历年考研真题汇编42p
目 录 2015年武汉大学计算机学院931计算机原理(A 卷)考研真题 .................................................................. 2014年武汉大学计算机学院931计算机原理(B 卷)考研真题 .................................................................. 2013年武汉大学计算机学院931计算机原理(D 卷)考研真题 ................................................................. 2007年武汉大学计算机学院840计算机原理考研真题 ............................................................................. 2006年武汉大学计算机学院850计算机原理考研真题 ............................................................................. 2003年武汉大学计算机学院777计算机原理考研真题 ............................................................................. 2002年武汉大学计算机学院636计算机原理考研真题 ............................................................................. 2001年武汉大学计算机学院593计算机原理考研真题 ............................................................................. 2000年武汉大学计算机学院596计算机原理考研真题 .............................................................................武汉大学计算机学院931计算机原理历年考研真题汇编最新资料，WORD 格式，可编辑修改！2015年武汉大学计算机学院931计算机原理(A卷)考研真题2。
（大学数学）计算方法试题及答案
1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=402062225A ，求2A = , )(A ρ= 。
2. 计算⎰badx x f )(的辛普森公式为 。
3. 设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.421231111，=LDL T，其中L 为单位下三角矩阵，D 为 对角矩阵,则L ＝ ,D= 。
4. 线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------11851011151112321x x x ，试写出Jacobi 迭代法的迭代格式 。
5. 已知下列数据：x -3 -2 -1 2 4 y14.38.34.78.322.7用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式的法方程为 。
6.用牛顿迭代法计算0233=--x x 的根的迭代格式为 ， 取初始值=0x 1.5, 迭代一步得=1x 。
1.求积公式)]2(5)5.0(16)0(3[91)(2f f f dx x f ++-≈⎰具有的几阶代数精度。
（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.线性方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122111221-A ，则下面结论正确的是 （ ） A.Jacobi 迭代法不收敛，Gauss-Seidel 迭代法收敛 B. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法不收敛 C. Jacobi 迭代法不收敛，Gauss-Seidel 迭代法不收敛 D. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法收敛 3．设6)12(-=f ，取4142.12=，利用下列等式计算，计算结果最好是（ ）A ．6)12(1+=f ； B .3)223(-=f ； C .3)223(1+=f ； D . 27099-=f .4．设,.....)2,1,0(,527)(2==++=j j x x x x f j ，则=],,[210x x x f ( ) A. 7 B. 2 C. 5 D. 01. 若经四舍五入得到近似数0123400.0=x ，则它的绝对误差限为71021-⨯，有效数字为4 位。
武汉大学 计算方法Chapter1_2
sin( x ) sin x 2 cos x sin 2 2
3. 避免大数吃小数
例7：用单精度计算 x 2 (109 1) x 109 0 的根。 精确解为
x1 109 , x2 1
b b2 4ac x 2a
算法1：利用求根公式
将公式
1 I n 5I n 1 n
变为
1 1 I k 1 IK 5K 5
不妨设I9 I10，于是由
( K n, n 1, ,1)
（1.9）
1 1 I9 I10 50 5
可求得I9 0.017，按公式（1.9）可逐次求得
I8 0.019
I6 0.024
(1) 如果将原方程化为等价方程 x 2 x3 1
3 则迭代格式为：xk 1 2 xk 1
取初值
x0 0
x1 2 x 1 1
3 0
x2 2 x 1 3
3 1
x3 2 x 1 55
3 2
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程
Thank you !
x x0 x*
p1
x
x1 x0 x*
x1
定理2.1：如果 g(x)满足下列条件 （1）当x[a, b]时，g(x)[a, b] （2）当任意x[a, b]时，存在0< L< 1，使
g ' ( x) L 1
(2.1)
则方程x = g (x)在[a, b]上有唯一的根x*,且对任意初值 x0[a, b]时，迭代序列xk+1=g (xk) (k = 0, 1, …)收敛于x*。
2019年武汉大学933计算机基础
武汉大学2018年招收攻读硕士研究生入学考试自主命题试题考试科目及代码: 933计算机基础(数据结构、计算机网络)适用专业: 081200 计算机科学技术 083900网络空间安全085211计算机技术(所有答案都必须写在答题纸上，写在试题纸上及草稿纸上无效，考完后试题随答题纸交回)模拟卷一（版）一．填空题（20分，每题2分）1.通常从四个方面评价算法的质量：、、和。
2.一个算法的时间复杂度为(n~3+n~2log2n)/n2，其数量级表示为。
3.设某顺序循环队列中有m个元素，且规定队头指针F指向队头元素的前一个位置，队尾指针R指向队尾元素的当前位置，则该循环队列中最多存储队列元素。
4.设一棵三叉树中有50个度数为0的结点，21个度数为2的结点，则该二叉树中度数为3的结点数有个。
5.设散列表的长度为8，散列函数H(k)=k % 7，用线性探测法解决冲突，则根据一组初始关键字序列(8，15，16，22，30，32)构造出的散列表的平均查找长度是。
6.设有一组初始记录关键字序列为(50，16，23，68，94，70，73)，则将它们调整成初始堆只需把16与相互交换即可。
7.IEEE802.3采用协议，IEEE802.11采用协议。
8.在采用TCP/IP协议通讯时，必须保证整个网段上主机的IP地址在或。
9.IPv6地址为个比特，其数据报基本首部为固定的字节。
10.表示主机比特全为“0”的IP地址，为：的地址，表示主机比特全为“1”的IP地址，为：的地址。
二．判断题（20分，每个2分）1.递归调用算法与相同功能的非递归算法相比，主要问题在于重复计算太多，而且调用本身需要分配额外的空间和传递数据和控制，所以时间与空间开销通常都比较大。
( )2.采用不同的遍历方法，所得到的无向图的生成树总是相同的。
( )3.链式栈与顺序栈相比, 一个明显的优点是通常不会出现栈满的情况。
( )4.边数很少的稀疏图，适宜用邻接矩阵表示。
武汉大学计算机学院C语言历年试题
武汉大学计算机学院C语言历年试题2001-2002学年度第一学期2001级一．选择最适宜的答案填空(每题1分，共10分)( )1． ______ 不是C语言的根本控制结构。
A. 转移B. 循环C. 顺序D. 选择( )2．表达式65|9和65&9的值为______ 。
A. 74和74B. 73和1C. 74和405D. 73和9( )3．设变量int m,n,a,b的值均为1，那么执行表达式(m=a>b) &&(n=a>b)后，m,n的值为______ 。
A. 1和1B. 0和1C. 1和0D. 0和0( )4．表达式35<<3的值为______ 。
A. 4B. 38C. 105D. 280( )5．设有如下宏定义 #define WIDTH 80#define LENGTH WIDTH+1那么执行赋值语句 v=LENGTH*20;/*v为int型变量*/后,v的值为______ 。
A. 1620B. 1601C. 100D. 1600( )6．假设指针p已经指向某个整型变量，语句____ 使指针q与p指向同一变量。
A. q=**pB. q=*&pC. q=&&pD. q=*p( )7．设long a[50],*p;执行p=a; p+=4;后*(p+4)等价于____ 。
A. a[8]B. a[4]C. a[2]D. 无法确定( )8．执行fp=fopen(〞A:Exam1_8.txt〞,〞wb〞);后fp为null，最可能的原因是____ 。
A. 按二进制方式翻开文本文件1B. 文件A:Exam1_8.txt不存在C. 文件写保护( )9． ______ 不是对象的根本特性。
A. 封装B. 多态(重载)D. 文件A:Exam1_8.txt大小写不一致C. 非结构D. 继承( )10．结构化程序设计追求的首要目标是程序的______ 。
计算方法习题集及答案
得：
当方法为零稳定时 ，从而 ，故方法是二阶收敛的。
6．给出题(6.5)题中 时的公式的绝对稳定域.
解：
6.5中当 时，即为方法
其相应的差分方程的多项式为
令 ，
即方法的绝对稳定域为
7．指出Heun方法
0
0
0
0
1/3
1/3
0
0
2/3
0
2/3
0
1/4
0
3/4
的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.
即
取 。即
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令 可得
方法即为
3．形如
的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。
解：线性k步公式为
由Gear法的定义知，三步Gear法满足
方法为 阶，故有
得：
取 得
得三步Gear方法：
其中
4．试用显式Euler法及改进的Euler法
证明：
且
即 为 的二阶零点
设
令
易知
又
由微分中值定理（Rolle定理） ，使得
进而 有三个零点， 有两个零点， 有一个零点，
即 使得
得
8.设 是Lagrange基函数，则 。
9.求一个次数不超过4次的多项式 ，使它满足
，并写出其余项表达式。
10.求一个四次插值多项式 ，使 时， ；而 时， ，并写出插值余项的表达式。
练习
班级
学号
姓名
1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1） ; (2) 。
解：
（1）迭代公式 ， 公式收敛
k
(完整版)计算方法试题集及答案
复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
武汉大学2018-2019学年第一学期计算方法考试试卷
武汉大学2018-2019学年第一学期考试试卷《计算方法》 （A 卷） （36学时用）学院： 学号： 姓名： 得分：一、（10分）已知T X )1,2(-=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1327A ，求1||||AX ， )(A ρ，Cond ∞)(A .二、（15分）已知d cx bx ax x f y +++==23)(的三个值：（1） 求二次拉格朗日插值 L )(2x ；（2）写出余项2()R x ；（3）求积分 ⎰20)(dx x f 的准确值。
三、（10分）唐家山堰塞湖泄流槽高程为740米。
在抢险最为紧张的2008年6月7日至10日每天上午8时，测得坝前水位为y +740米（见下表）。
为简单起见，分别用x =1,2,3,4代表6月7，8，9，10日。
根据上面数据，求一条形如bx ax y +=2的最小二乘拟合曲线。
四、（10分）为求方程010423=-+x x 在[1，2]上的根，建立如下2个迭代格式：（1）)(11k k x x ϕ=+kx +=410；（2）)(21k k x x ϕ=+10423+--=k kk x x x 判断迭代格式的收敛性。
五、（15分）给定方程组11223300a c x d a b a x d a c x d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， i d c b a ,,,都是常数，0≠abc 。
（1） 写出Jacobi 迭代格式以及高斯-赛德尔迭代格式；（2） 分析Jacobi 迭代格式的收敛性。
六、（10分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程组 b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1022616268562A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=729223b七、（10分）已知 )(x f y = 的一组值：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算⎰6.10)(dx x f 。
八、（10分）用改进的欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程（取步长1.0=h ）：⎪⎩⎪⎨⎧=+='0)0(12y x y y ]2.0,0[∈x九、（10分）设)(x f 二阶可导，α是方程0)(=x f 的二重根。
武汉大学计算方法部分试卷综合(含答案)
六、（15分）分别写出求解下列方程组的雅可比、高斯-赛德尔以及超松弛迭代格式，并说明是否收敛。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++.3922,1282,7227321321321x x x x x x x x x九、（10分）设)(x f 在],[b a 上导数连续。
将],[b a n 等分，分点为bx x x a n =<<<= 10，步长na b h -=（1）证明右矩形公式)()(1i x x x hf dx x f i i ≈⎰-的误差为2)(21hf R i ξ'-=（2）写出求⎰b adx x f )(的复化右矩形公式。
（3）导出复化右矩形公式的误差。
三、（10分）已知数据设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-32min ])([i i i y x f四、（15分）设方程xex -=.(1)估计含根区间;(2)分析迭代格式,5.00=x nx n ex -+=1, ,2,1,0=n .的收敛性;(3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问0x 取何值时,迭代收敛.九、（10分）设求积公式∑⎰=≈nk k kbax f Adx x f 1)()(为高斯型求积公式，)())(()(21n n x x x x x x x ---= ω（1） 问给定的求积公式的代数精度是多少次？（2） 证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有⎰=ba n dx x x q 0)()(ω；（3） 证明：n k A k ,,2,1,0 =>五、（10分）设常数0≠a ，分别写出求解方程组 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212111b b x x a a 的Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式并给出用Gauss-Seidel 迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。
十、（10分）证明求积公式∑⎰=≈nk k kbax f dx x f 0)()(λ的代数精度大于等于n 的充分必要条件是),2,1,0(,)( ==⎰k dx x l bak k λ。
武汉大学计算机学院《算法设计与分析》考试试卷
武汉大学计算机学院2007---2008学年第一学期2005级《算法设计与分析》考试试卷（A）1、（10分）证明：若f₁(n)=O(g₁(n)), f₂(n)=O(g₂(n)),则有：f₁(n)* f₂(n)= O(g₁(n))* O(g₂(n))2、（10分）设f(n)为单调递减函数，利用不等式证明：= O(log n)。
3、（10分）用归纳法证明递归关系：T（n的解为T(n)=,n=0,1,2….4、（10分）试用RadixSort算法对下面数组进行排序，写出排序的详细过程：1455，5677，5323，8122，4901，6647，1123，87625、（10分）给定数组含25个元素的数组如下，利用SELECT算法求数组中第13小的元素，在应用SELECT算法时，要求每组含有的元素个数为7而不是5，另外，当元素个数是6时，直接求解：8,33,17,51,57,49,35,11,25,37,14,2,3, 13,52,12,6,29,32,54,5,16,22,23,76、（12分）给定两个字符串X=（A,B,C,B,D,A,B）和Y=(B,D,C,A,B,A)，考虑利用动态规划方法求解这两个字符串的最长公共子序列问题：（1）利用动态规划算法求出上述两个字符串的最长公共子序列，要求写出动态规划方程和详细的求解过程，不需要写出具体的算法；（2）请给出一个最长公共子序列的表达式，并说明你的依据。
7、（12分）假设有一个包含100，000个字符的数据文件要压缩存储，各字符的出现频度如下：(1)试构造出这些字符的哈弗曼编码方案，要求写出详细过程，不需要写出具体算法；(2)计算采用哈弗曼编码方案与定长编码的压缩比。
8、（16分）设有向图的成本矩阵如下，写出利用TSP问题的分析限界法（搜索树限为二叉树）求经过该图每个节点刚好一次的闭合最短路径的过程：（1）写出原始成本矩阵的归约矩阵，并计算其矩阵约数；（2）写出用来划分节点的边的选择方法；（3）给出具体的搜索树；（4）根据搜索树，列出最优的周游路线和其对应的成本值。
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自测题一（时间120分钟）1、 已知方程 02=+-xe x 有一个正根及一个负根，（1） 估计出含根的区间； （2） 分别讨论用迭代格式 21-=+nx n ex 求这两个根时的收敛性；（3） 如果上述迭代不收敛，请写出一个你认为收敛的迭代格式。
2、 用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，并利用A 的分解式求行列式A .其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=976034112A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=34156b3、 设常数0a ¹，方程组1231331213225a x a a x a a x a 骣骣骣-鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 =+珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 --桫桫桫（1） 分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；（2） 试求a 的取值范围，使得Jacobi 迭代格式是收敛的。
4、 设 32()y f x ax bx cx d ==+++（系数,,,a b c d 是未知常数，且0a ≠）。
已知()f x 的一组值：（1）求二次拉格朗日插值多项式及余项。
（2）问能否计算出31()f x dx ò的准确数值？并说明理由。
如果能够，请计算出结果。
5、已知数据求形如 6sin2b ax y += 的拟合曲线。
6、 给定)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算⎰6.20.1)(dx x f7、用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长5.0=h ）：⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(y xydx dy]1,0[∈x（取4位有效数字计算）8、设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。
将],[b a 2n 等分，分点为012n a x x x b =<<<=L ，步长2b ah n-=（1）证明求积公式22221()2()k k x k x f x dx hf x --»ò的截断误差为3222()[,]3k k k k k h R f x x x x -ⅱ= ，1,2,,k n =L（2）利用（1）中的求积公式及误差结论，导出求积分⎰badx x f )(的复化求积公式及其误差。
自测题二（120分钟）一、填空1、 为计算积分 0sin (1,2,,49)n n I x xdx n π==⎰,设计了算法：21(1)(1,,49)2 5.14159n n n I n n I n I ππ-=--⎧=⎨=+≈⎩，设1I 的绝对误差为ε，则49I 的绝对误差为 ，该算法是否数值稳定？ 。
2、设132)(38-+=x x x f ，则差商=]1,0[f ，=]8,,1,0[ f3、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=12x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2513A ，求∞Ax = ，∞)(A Cond =4、求方程xex -=2根的牛顿迭代格式为： ，取初值0x = 时迭代一定是收敛的。
二、已知 x x f y ==)( 的一组值：三、已知y 1=的一组值 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.30.2ln dx x四、确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。
五、用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=6156314212A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=3103b六、设方程组 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛212122211211b b x x a a a a ，其中02211≠a a ， 分别写出Jacob 及Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
七、已知数据设b xax x f +=6sin)(π，求常数a ，b , 使得 ∑==-22min ])([i i i y x f八、用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长5.0=h ）：⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(2y yx dx dy]1,0[∈x（取5位有效数字计算） 九、设*x c =是方程()0f x =的根，()f x 充分光滑可导,()0f c '≠，2()()()()()x x p x f x q x f x j =--。
试确定待定函数(),()p x q x ，使迭代格式1(),0,1,n n x x n j +==L求方程()0f x =的根*x c =时至少3阶局部收敛。
自测题一答案1、含根区间：[-2，-1]， [1，2]；求负根时，因为()1x x e j ¢=<，所以迭代收敛。
求正根时迭代不收敛；求正根时，用迭代格式：1ln(2)n n x x +=+或用牛顿法收敛： 102,21n nx n n n x x e x x x e+-+=-=- 2、分解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==400210112143012001LU A T y b Ly )4,3,6(,==T x y Ux )1,1,3(,==， 行列式8A L U ==. 3、Jacobi 迭代格式略；G-S 迭代格式如下：11231121311131213312113252m m m m m m m m m x x x a a x x x a a a x x x a a a ++++++⎧=---⎪⎪⎪=--++⎨⎪⎪=-+-⎪⎩Jacobi 迭代矩阵为0131102320J G a 轾--犏犏=--犏犏-臌， 3个特征值分别为0，2a ±， 谱半径=2a<1, 所以当2a >时，Jacobi 迭代收敛。
4、二次插值及余项：222() 2.59.58,()()(1)(2)(3)3!(1)(2)(3)L x x x f R x x x x a x x x x =-+ⅱ =---=---虽然()f x 不能完全确定，但()f x 是3次多项式，而辛卜生求积公式代数精度为3次，故用辛卜生求积公式可求出积分的准确数值：3121()[142]63f x dx =-+=-ò5、12341331444T A 轾犏=犏犏犏臌， 法方程y A b a A A TT =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2816/354/314/3130b a ， a =32/89=0.36, b =-32/896、复化梯形T=0178[2()]2h y y y y ++++L =0.5 复化辛卜生S=0.7333=11/157、 (,)f x y xy =， 0.5h = n n n n y hx y y +=+1 ][2111+++++=n n n n n n y x y x hy y 10.5x =， 11y =， 1 1.125y = 21x =， 2 1.406y =， 2 1.617y = 8、（1）用泰勒公式得2222221212121221()[()()()()()]2kk k x x k k k k x k f x dx f x f x x x f x x dx x ------ⅱ =+-+-蝌3212()0()3k k h hf x f x -ⅱ=++ 所以，截断误差为3222()[,]3k k k k k h R f x x x x -ⅱ= ，1,2,,k n =L （2）复化公式为211()2()nbk ak f x dx h f x -=»åò复化截断误差321()()[,]36n kk h b a R f h f a b x h h =-ⅱⅱ== å自测题二答案一、（1）49!ε，不稳定； （2）5， 2； （3）12， 56；（4） kkx x k k k ee x x x --++--=221，00x =. 二、22217()()66L x x x N x =-+=， 5221()(1)(4)16R x x x x ξ-=--，04ξ≤≤ 三、n=6等分，h=0.2T=298.1])(2[26510=++++y y y y hS=2693.1]42424[36543210=++++++y y y y y y y h四、 31,34,31=i A ， 3次代数精度；不是高斯型公式。
五、 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==400130212143012001LU A T y b Ly )4,4,3(,-== T x y Ux )1,1,3(,-==六、Jacob 迭代： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=++22212211121112111211a b x a a x a b x a a x m m m mG-S 迭代： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+++222112211121112111211a b x a a x a b x a a x m m m m迭代矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0022211112a a a a B J ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2211211211010a a a a a B G两个矩阵的谱半径()J B ρ=12211122()G a a B a a ρ=，它们同时小于1或同时大于等于1，所以两个迭代格式同敛散。
七、 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11135.00A ， y A b a A A TT =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡61035.35.325.9b a ， 所以 0.5806, 1.3226a b == 八、 2(,)f x y x y =， 0.5h =n n n n y hx y y 21+=+][212121+++++=n n n n n n y x y x h y y 10.5x =， 11y =， 1 1.0625y = 21x =， 2 1.1953y =， 2 1.4277y = 九、令 ()0c ϕ'=，得到1()()p c f c ='，所以取1()()p x f x ='.再令()0c ϕ''=，得到3()()2[()]f x q x f x ''='。