不等式恒成立或有解问题的解决策略

不等式恒成立或有解问题的解决策略

恒成立与有解问题的解决策略大致分四类： ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．

【考点突破】

【典例1】（2018届石家庄高中毕业班教学质量检测）已知函数()()()121x

f x axe a x =-+-.

（1）若1a =，求函数()f x 的图象在点()0,(0)f 处的切线方程； （2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）若1a =，则)12(2)(--=x xe x f x

，4)('-+=x

x

e xe x f

当0=x 时，2)(=x f ，3)('-=x f ， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以所求切线方程为23+-=x y 。

（Ⅱ）思路一：()()()121x

f x axe a x =-+-，)1(2)1()('+-+=a e x a x f x

，

由条件可得，首先0)1(≥f ，得01

1

>-≥

e a ， 令()'()(1)2(1)x

h x f x a x e a ==+-+，则

'()(2)0x h x a x e =+>恒为正数，所以()'()h x f x =单调递增，………﹝高阶导数的灵活应用﹞

而02)0('<--=a f ，0222)1('≥--=a ea f ，所以)('x f 存在唯一根0(0,1]x ∈，使得函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在)(0∞+x 上单调递增， ………﹝极值点不可求，虚拟设根﹞

所以函数)(x f 的最小值为()()()0000121x

f x ax e a x =-+-，只需0)(0≥x f 即可，

又0x 满足)1(2

200

++=x a a e x ，得()20000(1)(21)1

a x x f x x +-++=+，………﹝虚拟设根，整体代入﹞

因为0(0,1]x ∈，所以200210x x -++≥，即0)(0≥x f 恒成立，

所以实数a 的取值范围为1,1e ⎡⎫

+∞⎪⎢

-⎣⎭

. 【审题点津】不等式恒成立可以直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数的单调性，转化为函数的最值的正负来求解参数的取值范围.本题出现极值点不可求的情形，不妨引入虚拟设根，设而不求，整体代换，通过形式化的代换或推理，达到化简并求解问题的目标.

思路二：由条件可得，首先0)1(≥f ，得011

>-≥

e a ， 当0x >时，函数()0

f x ≥恒成立，等价于()121x

a xe x a

+≥-对任意0x >恒成立，

亦即函数1x y xe =的图象总在直线()21

21a y x a

+=-的上方（含边界）.

………﹝部分分离，数形结合，化为图象的位置关系﹞

令()()0x

Q x xe

x >=，则()()10x Q x x e '=+>，

所以()()0x

Q x xe x >=单调递增；

令()()()()01x

P x Q x x x e '=+>=，则()()20x P x x e '=+>，

所以()()()10x

P x x e x +>=单调递增，所以()()0x Q x xe x >=为凹函数，如图所示，

又()21

21a y x a +=

-是过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

的直线系，当直线与曲线相切时，可设切点为()00,T x y ，则()()()00000021112x Q x y x e y a a a x a '=+⎧+=⎪⎪⎪=⎨-⎪⎪⎪⎩

，即()()(

00021112x x x e a x e a a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎩

+⎪，……………﹝借助于导数的几何意义，寻找临界﹞

解得01x =，此时切线的斜率为()1Q '=只需

()212a e a

+≤即可，解得1

1

a e ≥

-

故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫

+∞⎪⎢

-⎣⎭

. 【审题点津】不等式恒成立也可以适当恒等变形，部分分离，化为函数过定点的直线与函数图象的位置关系；再利用导数的几何意义，应用运动的数学思想转化为直线的斜率与过定点的切线的斜率的大小关系求解参数的取值范围.

思路三：由条件可得，首先0)1(≥f ，得011

>-≥

e a ， 当0x >时，函数()0

f x ≥恒成立，等价于21

1x

a x a xe -≥

+对任意0x >恒成立. ………﹝将两个变量完全分离﹞

设函数()()21

0x

x F x x xe -=>，则()

()()2211x x x F x x e +-='-， 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时， ()0F x '<， 所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 所以()()max

11F x F e ⎡⎤==

⎣⎦

. 只需11a a e ≥+，解得11a e ≥

-. 故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫

+∞⎪⎢-⎣⎭

. 【审题点津】不等式恒成立也可以适当恒等变形，完全分离，使得参数和主元分别位于不等式的左右两边，再巧妙构造函数，最后化归为所构造函数的最值求解.

思路四：由于()()()()

()1212121x x f x axe a x a xe x x =-+-=-+--，

因为1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，如图所示，（证明略） ………﹝重要不等式1x e x ≥+是放缩的途径﹞

所以0112)1(122>+-=+-+≥+-x x x x x x xe x .

………﹝借助于重要不等式1x e x ≥+灵活放缩﹞

当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，等价于1

21

2+--≥

x xe x a x 对任意

0x >恒成立.

令()2121x x u x xe x -=-+，则()()()()()()()()

2222121122121211x x x x x xe x x x e e u x x x x e x xe x +-⎡⎤-+--+-⎣⎦'==--+-+， 当01x <<时，()0u x '>；当1x >时， ()0u x '<， 所以函数()u x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；