函数的平均变化率与导数

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导数的概念及运算

知识梳理

1. 平均变化率与瞬时变化率

(1)函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y

∆∆= .

(2)函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念

(1)函数()f x 在x x =处的导数:()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =处的瞬时变化率即()0'x f =

(2)函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数,称()x f '为()f x 的导函数(简称导数)即()x f '=

3. 导数的几何意义与物理意义 (1)几何意义

切线方程为: (2)物理意义

4.基本初等函数的导数

①;C '= ②()

;n x

'= ③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '=

;⑥();x e '=

⑦()l g a o x '=

; ⑧()ln x '=

.

5.导数的运算法则

_______ ______ ______ [](4)()'C f x ⋅=_______ ___________ 6.复合函数的导数

()()()()的导数的关系为:的导数与复合函数x g u u f y x g f y ===,

【题型分析】

一.导数的概念及其几何意义

例1:(1)若0'()2f x =,则当k 无限趋近于0时

00()()

2f x k f x k

--=________

(2)如图,函数

()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ,, 的坐标分别为

()()()()()====k x f x x f y x f y x x f y 切线的斜率即:处的在点是曲线处的导数在函数000'0,P ()=

0'x f ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t V V V ===t t t t ()()()'

1f x g x ±=⎡⎤⎣⎦()()()'

2.f x g x =⎡⎤⎣⎦()()'

15f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()()'

3f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

(04)(20)(64),,,,,,则((0))f f = ;

(1)(1)

lim

x f x f x

∆→+∆-=∆

.(用数字作答)

二.导数的计算

例2:求下列函数的导数

(1)

2()(2)()f x x a x a =+- (2)22()cos sin cos f x x x x =⋅+

(3

()x x

f x =(4

()f x =

(5)

()()ln ln ln f x x =⎡⎤⎣⎦ (6)()2()3lg 1cos2x

f x x =⋅-

三.与切线相关的问题

例3:(1)曲线32

242y x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是_________。

(2)若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=,则点P 的坐标为__。

(3)曲线

1

y x

=

和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是__。 (4)设曲线1

1

x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =____。

(5)在函数3

8y x x =-的图象上,其切线的倾斜角小于4

π的点中,坐标为整数的点

有____个。

(6)曲线

12

x y e =在点()

24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______。

(7)点P 在曲线

32

3

y x x =-+

上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是________。

(8)已知曲线3:3S

y x x =-及点(2,2)P ,则过点P 可向S 引切线,其切线共有__条。 (9)点P 是曲线

2ln y x x =-上任意一点,则P 到直线2y x =-的距离的最小值是

______。

例4:已知点P 在曲线4

1

x

y e =+上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,求α的取值范围。

例5:偶函数432

()f x ax bx cx dx e =++++的图象过点(0,1)P ,且在1x =处的切线方

程为2y x =-,求()y f x =的解析式。

四.导数的综合应用

例6:对正整数n ,设曲线(1)n y x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,

则数列1n a n ⎧⎫

⎨⎬+⎩⎭

的前n 项和n S =__________。

例7:已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,已知'(0)0f >,且对于任意实数x 都有()0f x ≥,则

(1)

'(0)

f f 的最小值为( ) A .3 B .

52 C .2 D .32

例8:过点()0,4P -作抛物线24G x y =:的切线,求切线方程。

例9:已知过点()0,1P -的直线l 与抛物线24x y =交于两点()11,A x y 、()22,B x y 。1l 、2l 分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线。M 、N 分别是1l 、2l 与直线1y =-的交

点。

(1)求直线l 的斜率的取值范围

(2)试比较

PM 与PN 的大小,说明理由。

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