中考数学专题练习圆周角定理(含解析)

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中考数学专项练习圆周角定理(含解析)

0° 0 中考数学专项练习圆周角定理（含解析）是⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，∠ CAB=40 D+ ∠ABD 的度数为〔〕A. 100°B. 110°C. 120°D. 1502.A 、C 、B 是⊙O 上三点，假设∠ AOC=40°，那么∠ ABC 的度数是 ()A. 1 0°B.C.80°C 的外接圆，∠ OCB=40 °，那么∠ A 的度数等于A. 6B. 5C. 4，连接 BD ， O D. 3.如图，⊙ O 是△ A一】单项选择题图，那么DD. 304.如图，EF是⊙ O的直径，把∠ A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB 与⊙ O交于点P，点B与点O 重合．将三角板ABC 沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠ POF＝x°，那么x 的取值范围是( )A. 30≤x≤60B. 30≤x≤90C.30≤x≤120D.60≤x≤1205.如图，圆心角∠ BOC=100°，那么圆周角∠ BAC 的大小是A. 50°B.100°C.130°D.200°6.以下各命题正确的选项是:〔〕A. 假设两弧相等，那么两弧所对圆周角相等B. 有一组对边平行的四边形是梯形.C. 垂直于弦的直线必过圆心 D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.7.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 10的圆，把刻度尺 CA 的 0刻度固定在刻度尺可以绕点 O 旋转．从图中所示的图尺可读出 sin 〕B.C.D. 【二】填空题 8.如图， P 是⊙ 0 直径那么∠ A 的度数为10.如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正方形 CF ，那么以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 ___ ．.如图， AB 是⊙的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作DE ⊥AB ，交 O 于点 D ，E 两点，过点 D 作直径 DF ，连结 AF ，那么∠ DEA= AB 延长线上的点， PC 切⊙0于 C 、假设∠ P=40是半圆的直径，，那么的大小是假设∠ BO ∠BCD ，那么弧 BD 的长为11 A. 半圆的圆 AOB 的o12. 如图，⊙ O的半径为6，四边形ABCD 内接于⊙ O，连接OB，OD，13. __________________________ 如图，AB 是⊙O的直径，C、D、E都是⊙ O上的点，∠ A=55°，∠B=70°，那么∠ E的度数是．14. _____________________________________ 如图，AD 和AC 分别是⊙ O的直径和弦，且∠ CAD=30°，OB⊥A D交AC于点B，假设OB=5，那么BC等于__________________________ ．O 的内接四边形ABCD 中，∠ A=105°，那么∠ BOD 等于【三】解答题16. 如图，在⊙ O 中，AC 与BD 是圆的直径，BE⊥ AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F形ABCD 是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；2〕求证：BE=CF．17. 如图，AB 是? O的直径，点C在? O上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠ COB=2∠PCB.〔1〕求证：PC是? O 的切线；〔2〕求证：BC= AB ；〔3〕点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，假设AB=4 ，求MN ·M C 的值.【四】综合题18. 如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，P是⊙O 上一点．〔1〕操作：请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠ P 的平分线；2〕说理：结合图②，说明你这样画的理由．〔1〕⊙D 的半径；〔2〕CE 的长．【一】单项选择题【考点】垂径定理，圆周角定理【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由〝一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半〞解答 . 【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系 .【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在△ OCB 中， OB=OC 〔⊙ O 的半径〕，∴∠O BC=∠0CB 〔等边对等角〕；∵∠ OCB=40°，∠ C0B=180°﹣∠ OBC ﹣∠ 0CB ， ∴∠COB=100°；又∵∠ A= ∠C0B 〔同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半〕， ∴∠ A=50 °，应选 B 、【分析】在等腰三角形 OCB 中，求得两个底角∠ OBC 、∠0CB 的度数，然后根据三角形的内角和求得∠ COB=100°；最后由圆周角定理求得∠ A 的度数并作出选择．【考点】圆周角定理【考点】圆周角定理【解析】【分析】∠ BOC ，∠ BAC 是同弧所对的圆周角和圆心角，∠ B OC=2∠ BAC ，因为圆心角∠ BOC=100°，所以圆周角∠ BAC=50°.【点评】此题考查圆周角和圆心角，解此题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答。

圆周角定理及圆的内接四边形-练习题含答案解析

【答案】证明：为的直径，，，，，，；
解：，，，，
在中，，，，
在中，，，．
【解析】由AB为直径，，易得，然后由垂径定理证得，，继而证得结论；由，，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得，然后由圆周角定理，证得，则可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解：是的直径，，，，．
故答案为．
9. 如图，已知圆周角，则圆心角 ______．
【答案】
【解析】解：，．
故答案为．
根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
10. 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，，则的度数为______．
解得：，，，
故选：C．
设的度数，的度数，由题意可得，求出即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
4. 如图，已知AC是的直径，点B在圆周上不与A、C重合，点D在AC的延长线上，连接BD交于点E，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
又AD平分，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，正确．，，，，故错误．，，
又，
故错误．
故答案为：．
先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出、．
本题利用了：等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形内角和定理．
7. 如图，AB为直径，点C、D在上，已知，，则 ______度

2021年中考数学复习：圆周角定理专项练习题1(含答案)

2021年中考数学复习：圆周角定理专项练习题11．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且，若∠ABC＝∠CAD，则弦AC＝．2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为．3．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB＝10，BC＝4，则DP＝．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝°．5．如图，⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB ＝35°，则∠APB的度数是．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝2∠AOB，如果∠BAC＝40°，那么∠ACB的度数是．7．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于D且CD ＝OD，若AB＝2，则⊙O的直径为．9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于点D．若CD＝5，BC＝8，则AB的长为．10．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），M，N分别是BP，AB的中点．若AB＝4，∠APB＝30°，则MN长的最大值为．11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝70°，则∠EAC的度数为．12．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于．13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于．14．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC＝度．15．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝10cm，AB＝6cm，则⊙O的半径长为cm．。

圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（1）（2）（3）A．28°B．31°C．38°D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（4）（5）（6）（7）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2B．4C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°12．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（13）（14）（15）A．75°B．60°C．45°D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37°B．47°C．45°D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20.在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°二．填空题21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．24．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．25．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．26．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．（28）（29）（30）30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．三．解答题31．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．32、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．33.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．36．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．37．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析AC、AF、AB的关系，并说明理由．39.如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，（1）判断△DBC的形状，并说明理由．（2）若∠BAC=60°，判断AD、AB、AC有怎样的关系？并说明理由．40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；三解答题28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD11。

中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案

圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 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圆周角定理中考题(含解析)

圆周角定理中考题（含解析）一．解答题（共4小题）1．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．2．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．3．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．圆周角定理中考题（含解析）参考答案与试题解析一．解答题（共4小题）1．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．2．（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．3．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．4．（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．。

(名师整理)最新人教版数学中考《垂径定理圆心角圆周角定理》专题精练(含答案解析)

垂径定理圆心角圆周角定理一选择题：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（）A．100° B．110° C．120°D．130°4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（）A.3≤OM≤5B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜55、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )A．15°B．28° C.29°D．34°7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( )8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（）A. B. C． D.9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20º，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15º与30º B．20º与35º C．20º与40º D．30º与35º10.图中∠BOD的度数是（）A．55° B．110° C．125° D．150°11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°12.如图,弦AB∥CD，E为上一点，AE平分，则图中与相等（不包括）的角共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个13、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长14.如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分15.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A. B. C.或 D.或或16.如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（）A. B. C. D.17.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．718.如图，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q。

中考数学《圆（一）》专题练习含答案解析

圆（一）一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为度．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=°．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=度．三、解答题（共5小题）26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．圆（一）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【解答】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．【解答】解：A、∠A=∠D，正确；B、，正确；C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；∴∠BCD=∠A=38°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．【解答】解：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠BCO=（180°﹣∠BOC）=×（180°﹣144°）=18°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆周角定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故选C【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．【解答】解：∵∠DOB=140°，∴∠AOD=40°，∴∠ACD=∠AOD=20°，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理．【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理．【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．【解答】解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案是：①②④．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为25度．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB 的度数．【解答】解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=40°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为2．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【解答】解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为42°．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=28°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D=∠BAC即可求解．【解答】解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC，∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°，∴∠D=∠BAC=28°．故答案为：28°．【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC 的关系．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形．三、解答题26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD==5cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF +S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【点评】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．。

人教版九年级数学上册《圆周角》题组训练(含答案解析)

提技能·题组训练圆周角定理及其推论1.( 滨州中考 ) 如图 , 在☉ O中, 圆心角∠ BOC=78°, 则圆周角∠ BAC的大小为 ()A.156°B.78 °C.39°【解析】选C.∠BOC是所对的圆心角D.12°, ∠ BAC是所对的圆周角,∴∠ BAC=∠ BOC=39°.2.( 海南中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 弦 BC=1,点 A 是圆上一点 , 且∠ BAC=30°, 则☉ O的半径是 ()A.1B.2C.D.【解析】选A. 方法一 : 连接OB,OC.∵∠ BAC=30°, ∴∠ BOC=2∠ BAC=60° ,∵OB=OC,∴△ OBC是等边三角形 ,∴OB=OC=BC =1.方法二 : 作直径 CD,连接 BD.则∠ CBD=90°, ∵∠ BDC=∠ BAC=30°, ∴CD=2BC=2,∴OC=CD=1.3.( 长春中考 ) 如图 , △ABC内接于☉ O,∠ABC=71° , ∠ CAB=53° , 点 D 在上,则∠ ADB的大小为()A.45°B.53 °C.56 °D.71 °【解析】选 C.在△ ABC中, ∵∠ ABC=71° , ∠ CAB=53°,∴∠ C=180°-71 °-53 °=56° , ∴∠ ADB=∠C=56°.D,则∠ BOD=. 4.( 佛山中考 ) 图中圆心角∠ AOB=30° , 弦 CA∥ OB,延长CO与圆交于点【解析】因为圆心角∠ AOB=30°, 弦 CA∥OB,所以∠ AOB=∠CAO=30°,又 OA=OC,所以∠ CAO=∠ ACO=30° , 所以∠ AOD=∠ CAO+∠ ACO=60° =∠ AOB+∠ BOD,所以∠BOD=30°.答案 : 30°5.( 贵阳中考 ) 如图 ,AD,AC 分别为☉ O的直径和弦 , ∠CAD=30°,B 是 AC上一点 ,BO⊥AD,垂足为【解析】在Rt△AOB中 , ∠A=30° ,BO=5cm,∴AO=5cm,∵AD是直径 ,∴AD=10cm,∠C=90°, 在 Rt△ ADC中,∠A=30°,AD=10cm,∴CD=5cm.答案: 56. 如图 , 正方形ABCD的顶点都在☉O上 ,P是弧DC上的一点 , 则∠ BPC=.【解析】连接 BD,则 BD是直径 ,∴△ BCD是等腰直角三角形 ,∴∠ BDC=45°, ∴∠ BPC=∠ BDC=45°.答案 : 45°【知识归纳】圆周角与直径1.当题目中出现了直径时 , 常作辅助线 , 利用直径所对的圆周角是直角解决问题 .2.当出现 90°的圆周角时 , 常连接该圆周角所对的弦 , 则该弦为直径 .7. 如图 , 在☉ O中, 直径 AB与弦 CD相交于点 P, ∠CAB=40°, ∠APD=65° .(1)求∠B 的大小 .(2)已知 AD=6,求圆心 O到 BD的距离 .【解析】 (1) ∵∠ APD=∠C+∠CAB,∴∠ C=65°-40 °=25° .∴∠ B=∠C=25° .(2) 过点 O作 OE⊥ BD于 E, 则 DE=BE.又∵ AO=BO,∴OE= AD= ×6=3.∴圆心 O到 BD的距离为 3.圆内接四边形1. 如图 , 四边形 ABCD内接于☉ O,如果∠ BOD=130°, 则∠ BCD的度数是 ()A.115°B.130°C.65°D.50°【解析】选 A. ∵∠ BOD=130°, ∴∠ A= ∠BOD=65°, ∵∠2.( 莱芜中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 已知∠ OAB=22.5°, 则∠C 的度数为 ()A. 135 °B.122.5 °C.115.5°D.112.5 °【解析】选 D.如图, 作所对的圆周角 .∵OA=OB,∴∠ OBA=∠ OAB=22.5° . ∴∠ AOB=180 ° - ∠ OAB-∠ OBA =180° -22.5 ° -22.5 °=135° .∴∠ D= ∠ AOB=×135°=67.5 °.∵四边形 ACBD是圆内接四边形 ,∴∠ C+∠D=180° .∴∠ C=112.5 °.【方法技巧】1. 在圆中 , 求角的度数时 , 常利用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补来完成.2.有时需要自己作出与已知角互补的圆周角 , 才能运用圆内接四边形的性质 .3. 四边形 ABCD内接于☉ O,AD∥BC,∠ B=75° , 则∠ C=.【解析】∵AD∥ BC,∴∠ A+∠B=180° ,∴∠ A=180°-75 °=105°,答案 : 75°【变式训练】已知 , 四边形 ABCD内接于☉ O, 且∠ A∶∠ C=1∶2, 则∠ BOD= ° .【解析】∵四边形 ABCD内接于☉ O,∴∠ A+∠C=180°.又∠ A∶∠ C=1∶ 2, 得∠ A=60° .∴∠ BOD=2∠A=120°.答案 : 1204.如图 , △ ABC内接于☉ O,AD为△ ABC的外角平分线 , 交☉ O 于点 D, 连接 BD,CD,判断△DBC的形状 , 并说明理由 .【解析】△DBC为等腰三角形 . 理由如下 :∵四边形 ABCD为☉ O的内接四边形 ,∴∠ DCB+∠DAB=180°,又∠ EAD+∠DAB=180°,∴∠ EAD=∠DCB.又∠ DAC=∠DBC,∠EAD=∠DAC,∴∠ DBC=∠DCB,∴DB=DC,即△ DBC为等腰三角形 .【错在哪？】作业错例课堂实拍A,B 为☉ O上的两点 , ∠ AOB=100° , 若点 C 也在☉ O上, 且点 C不与 A,B 重合 , 求∠ACB的度数 .(1)错因 :____________________________________.(2)纠错 :____________________________________________________________ _________________________________.答案： (1) 点 C也可能在劣弧AB上，需要分情况讨论(2)当 C在优弧AB上时，∠ ACB=1∠AOB=50°，当 C 在劣弧AB上时，∠ ACB=2 180°-50 °=130°。

九年级数学圆周角定理(基础)(含答案)

圆周角定理（基础）一、单选题(共11道，每道8分)1.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB=48°，则∠AOB的度数为( )A.96°B.48°C.42°D.24°答案：A解题思路：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，∠ACB=48°∴∠AOB=2∠ACB=96°试题难度：三颗星知识点：略2.如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )A.∠BB.∠CC.∠DEBD.∠D答案：D解题思路：同弧或等弧所对的圆周角相等∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角∴∠D=∠A试题难度：三颗星知识点：略3.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是( )A.25°B.27.5°C.30°D.35°答案：D解题思路：∵∠A=60°，∠ADC=85°∴∠B=∠ADC-∠A=25°∵∠B与∠AOC对着同一条弧AC∴∠AOC=2∠B=50°∴∠C=∠ADC-∠AOC=35°试题难度：三颗星知识点：略4.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于( )A.20°B.25°C.35°D.50°答案：B解题思路：∵AB是⊙O的直径，∠AOC=130°∴∠BOC=180°-∠AOC=50°∵∠D与∠BOC对着同一条弧BC∴∠D=∠BOC=25°试题难度：三颗星知识点：略5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的度数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为( )A.15°B.28°C.29°D.34°答案：C解题思路：如图，点A，B的度数分别为88°，30°∴∠AOB=88°-30°=58°∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB∴∠ACB=∠AOB=29°试题难度：三颗星知识点：略6.如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=( )A.55°B.110°C.120°D.125°答案：D解题思路：如图，设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠E与∠AOB对着同一条弧AB，∠AOB=110°∴∠E=∠AOB=55°又∠ACB+∠E=180°∴∠ACB=180°-55°=125°试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC=40°，则∠CAD等于( )A.40°B.50°C.60°D.70°答案：B解题思路：∵∠ADC与∠ABC对着同一条弧AC，∠ABC=40°∴∠ADC=∠ABC=40°∵AD是⊙O的直径∴∠DCA=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=50°试题难度：三颗星知识点：略8.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC 的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：D解题思路：∵∠AOC与∠ADC对着同一条弧AC，∠ADC=30°∴∠AOC=2∠ADC=60°∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C∴弧AC=弧BC∴∠BOC=∠AOC=60°试题难度：三颗星知识点：略9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=( )A.110°B.120°C.135°D.140°答案：D解题思路：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C=180°又∠A=40°∴∠C=180°-40°=140°试题难度：三颗星知识点：略10.如图，圆内接四边形ABCD中，边BA的延长线上有一点E，且∠EAD=50°，则∠C的度数为( )A.50°B.40°C.130°D.140°答案：A解题思路：∵点E在BA的延长线上，∠EAD=50°∴∠BAD=180°-∠EAD=130°∵四边形ABCD内接于圆∴∠C+∠BAD=180°∴∠C=180°-∠BAD=50°试题难度：三颗星知识点：略11.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，弧CB=弧CD．若∠C=110°，则∠ABC 的度数等于( )A.55°B.60°C.65°D.70°答案：A解题思路：如图，连接AC∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∠C=110°∴∠DAB=180°-∠C=70°又弧CB=弧CD∴∠BAC=∠DAC=∠DAB=35°∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ABC=90°-∠BAC=55°试题难度：三颗星知识点：略。

人教版2023年中考数学专题复习练习圆的性质

第26 讲圆的性质一．圆周角定理（共11小题）1．（2021•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（）A．40°B．35°C．30°D．25°2．（2022•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°3．（2022•朝阳）如图，在⊙O中，点A是BĈ的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°4．（2022•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）A．4√3B．8C．4√2D．4 5．（2021•营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D̂上任意一点，则∠ADB度数为（）是ABA．112°B．124°C．122°D．134°6．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°7．（2021•辽宁）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD ＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．140°8．（2020•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°9．（2021•盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是．10．（2021•朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7√3，则弦AB所对的圆周角的度数为．11．（2021•辽宁）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝．二．圆内接四边形的性质（共1小题）12．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．三．三角形的外接圆与外心（共2小题）13．（2021•沈阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2√3，∠ACB＝60°，连接OA，̂的长是（）OB，则ABA ．π3B ．2π3C ．πD ．4π314．（2020•锦州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC ＝30°，AC ＝6，则AĈ的长为．四．圆与解直角三角形（共1小题）15．（2022•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，连接AE 和BE ，BC 平分∠ABE交⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin ∠ECD =35，CE ＝5，求⊙O 的半径．五．圆与相似三角形（共6小题）16．（2021•锦州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点（位于AB下方），CD 交AB 于点E ，若∠BDC ＝45°，BC ＝6√2，CE ＝2DE ，则CE 的长为（）A．2√6B．4√2C．3√5D．4√3 17．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．18．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB 上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D 和点E．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若sin∠BAC=35，CE＝6，求OF的长．19．（2022•营口）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．̂=CD̂，连接AC，20．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．21．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是BĈ的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD=√14，求线段DM的长．第 26 讲圆的性质参考答案一．圆周角定理（共11小题）1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．B ； 7．C ； 8．B ； 9．（−√3，1）； 10．60°或120°； 11．32；二．圆内接四边形的性质（共1小题）12．40°；三．三角形的外接圆与外心（共2小题）13．D ； 14．2π；四．圆与解直角三角形（共1小题）15．（1）结论：CD 是⊙O 的切线，证明见解析部分；（2）256．；五．圆与相似三角形（共6小题）16．D ； 17．（1）见解析；（2）365．； 18．（1）见解析；（2）2√10．；19．； 20．（1）证明见解答过程；（2）8√155．； 21．（1）见详解；（2）2．；。

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．如图，在⊙O中，AB＝AC，⊙AOB＝40°，则⊙ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等3．如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°4．如图，在⊙O中，点A是BC的中点，⊙ADC＝24°，则⊙AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°5．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒6．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°7．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．36°B ．40°C ．46°D ．65°8．下列说法正确的是（）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9．下列命题是真命题的是（）A ．相等的两个角是对顶角B ．相等的圆周角所对的弧相等C ．若a b <，则22ac bc <D ．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1310．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒11．如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EB ．若4AB =，1CD =，则EB 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．2.512．如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作OD AB ∥交O 于点D ．连接,AD BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．23π 13．如图，ABC ∆中，AB 是O 的直径，AC 交O 于点E ，BC 交O 于点D ，点D 是BC 中点，O 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中⊙A ABE ∠=∠；⊙BD DE =；⊙AB AC =；⊙F 是EC 中点，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题14．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝2，∠ACB ＝30°，那么⊙O 的半径等于_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊙CD ，若CD =CB ＝2，则阴影部分的面积是______．17．如图，在半径为1的O 上顺次取点A ，B ，C ，D ，E ，连接AB ，AE ，OB ，OC ，OD ，OE ．若65BAE ∠=︒，70COD ∠=︒，则BC 与DE 的长度之和为__________．（结果保留π）．18．如图，ABC内接于⊙O，AB＝BC，⊙BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝________．19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，⊙AOC＝120°，则⊙CDB＝_____°．三、解答题21．如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是BD的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．(1)求证：BF 是⊙O 的切线．(2)若BF ＝3，1sin 3A =，求BD 的长． 22．如图，在⊙AOB 和⊙COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，若⊙AOB ＝⊙COD ＝60°．(1)求证：AC ＝BD ．(2)求⊙APB 的度数．23．如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ⊥于M ，求证：AM DC CM =+．24．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，,,//,//AD DB AE EC FG AB AG BC ==．利用平移或旋转的方法研究图中的线段,,DE BF FC 之间的位置关系和数量关系．参考答案及解析：1．C【详解】先由圆心角、弧、弦的关系求出⊙AOC=⊙AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．解：⊙在⊙O 中，= ，⊙⊙AOC=⊙AOB ，⊙⊙AOB=40°，⊙⊙AOC=40°， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=20°，故选C ．2．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．3．A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB ⊙CD ，⊙⊙ADC +⊙BAD =90°，⊙⊙ADC =35°，⊙⊙BAD =90°﹣35°=55°，故选：A ．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．4．C【分析】直接利用圆周角求解．【详解】解：⊙点A 是BC 的中点，⊙AC AB =，⊙⊙AOB =2⊙ADC =2×24°=48°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出AOM ∠，AOB ∠，可得结论．【详解】解：如图，连接AO ．AMN △是等边三角形，60ANM ∠∴=︒，2120AOM ANM ∠∠∴==︒， ABCDE 是正五边形，360725AOB ∠︒∴==︒，1207248BOM ∠∴=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．6．C【分析】根据圆周角定理可得50AOC ∠=︒，根据切线的性质可得90PAO ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】AC AC =，⊙ABC ＝25°，250AOC ABC ∴∠=∠=︒，AB 是⊙O 的直径，∴90PAO ∠=︒，9040P AOC ∴∠=︒-∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．7．A【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙C =⊙A ，然后利用余角的性质计算出⊙A ，从而得到⊙C 的度数．【详解】解：如图，连接AD ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙A =90°−⊙ABD =90°−54°=36°，⊙⊙C =⊙A =36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．D【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A 和B 是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故选D ．9．D【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A 选项错误，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B 选项错误，不符合题意；若a b <，则22ac bc ≤，故C 选项错误，不符合题意；在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒，BPC A ∠=∠，然后利用互余计算出⊙A 的度数，从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙90ABC ∠=︒，⊙90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙50BPC A ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C【分析】设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，先利用垂径定理得到AC =2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE 的长，再利用勾股定理即可求出BE ．【详解】解：设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，由垂径定理得122AC BC AB ===，在Rt ⊙OAC 中，222OA OC AC =+，⊙()22221r r =+-， ⊙52r =， ⊙AE =5，⊙AE 是圆O 的直径，⊙⊙B =90°，⊙在Rt ⊙ABE 中，3BE ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．12．B【分析】根据圆周角定理可得⊙AOB =30°，再由OD AB ∥，可得AOB ADB SS =，从而得到阴影面积等于扇形AOB 的面积，即可求解．【详解】解：⊙15ACB ∠=︒，⊙⊙AOB =30°， ⊙23023603AOB S ππ⨯==扇形， ⊙OD AB ∥，⊙AOB ADB S S =，⊙阴影面积等于扇形AOB 的面积，⊙阴影面积等于3π．故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．C【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论⊙；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论⊙；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论⊙；因为只有ABE △是等腰直角三角形时，才能满足结论⊙．【详解】解：连接OD，AD、DE．AB是O的直径，∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），ADB90∴⊥，AD BC点D是BC中点，=，故⊙正确；∴∠=∠，AB ACBAD CAD∴BD DE=，∴=，故⊙正确；BD DEDF是O的切线，∴⊥，OD DF=，BD DCAO BO=，∴，OD AC//∴⊥，DF AF∴，DF BE//⊙点D是BC的中点，∴点F是EC的中点，故⊙正确；只有当ABE△是等腰直角三角形时，45∠=∠=︒，BAC ABE故⊙错误，正确的有⊙⊙⊙共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．14．155︒【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ .顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ∠=∠ ,122C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.15．2【分析】根据题意和圆周角定理得∠O ＝60°，则△OAB 是等边三角形，根据AB ＝2即可得．【详解】解：∵OA ＝OB ，∠ACB ＝30°，OA =OB ，∴∠O ＝60°，∴△OAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴OA ＝AB ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握这些知识点．16．23π【分析】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC 是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC 的面积即可．【详解】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，CD =CB ＝2，⊙CE 1BE ==，⊙⊙ECB =30°，⊙CBE =60°，⊙CO =BO ，⊙△OBC 是等边三角形，⊙⊙BOC =60°，OC =OB =2，⊙2602123602S =π⨯⨯-⨯阴影=23π故答案为：23π 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．17．13π##3π 【分析】由圆周角定理得2130BOE BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式分别计算出BE 与DC 的长度，相减即可得到答案．【详解】解：⊙65BAE ∠=︒，⊙2130BOE BAE ∠=∠=︒又O 的半径为1，BE 的长度=130113=18018ππ⨯，又70COD ∠=︒，⊙DC 的长度=7017=18018ππ⨯， ⊙BC 与DE 的长度之和=13761-==1818183ππππ，故答案为：13π．【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．18【分析】根据AB ＝BC ，可得⊙C =⊙BAC =30°，再由圆周角定理，可得⊙D =30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：⊙AB ＝BC ，⊙⊙C =⊙BAC =30°，⊙⊙C =⊙D ，⊙⊙D =30°，⊙AD 为⊙O 的直径，⊙⊙ABD =90°，在Rt ABD △ 中，AD ＝2，⊙D =30°，⊙cos302BD AD =⋅︒==．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．AB =CD （答案不唯一）【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．【详解】解：⊙OE =OF ，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，⊙AB =CD ．故答案为：AB =CD （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 20．30．【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆心周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】⊙⊙BOC ＝180°﹣⊙AOC ＝180°﹣120°＝60°，⊙⊙CDB ＝12⊙BOC ＝30°．故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．(1)见详解(2)BD=16 3【分析】（1）根据直径所对圆周角得出⊙ACB=90°，根据C是BD的中点，得出DC BC=，利用等弧所对圆周角得出⊙CAB=⊙CBD即可（2）连结OC，交BD于G，根据垂径定理得出OC⊙BD，DG=BG=12BD，由三角函数求出AF=9，利用勾股定理求出ABAB BFBCAF⋅===（1）证明：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙C是BD的中点，⊙DC BC=，⊙⊙CAB=⊙CBD，⊙CE=CF，BC⊙EF，⊙BE=BF，⊙⊙FBC=⊙CBE，⊙⊙FBC=⊙CBE=⊙CAB，⊙⊙CAB+⊙CBA=90°，⊙⊙FBC+⊙CBA=90°，⊙FB⊙AB，AB为直径，⊙BF为⊙O的切线；，（2）解：连结OC，交BD于G，⊙DC BC=，OC为半径，⊙OC⊙BD，DG=BG=12 BD，⊙BF＝3，1 sin3A=，⊙31sin 3BF A AF AF ===， ⊙AF =9，在Rt △ABF 中AB⊙S △ABF =12BC ·AF =12AB ·BF ，⊙AB BF BC AF ⋅=== ⊙sin A =sin⊙CBG =13CG BC ==，⊙3CG =，在Rt ⊙BCG 中83BG ==， ⊙BD =2BG =163．【点睛】本题考查圆的切线判定，等弧所对圆周角性质，线段线段垂直平分线性质，等腰三角形等腰三角形三线合一性质，勾股定理锐角三角函数，面积等积式，本题难度不大，是中考常考试题，掌握好相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)60°【分析】（1）通过证明⊙AOC ⊙⊙BOD ，即可求证；（2）由（1）可得⊙OAC ＝⊙OBD ，从而得到⊙P AB +⊙PBA ＝⊙OAB +⊙OBA ，利用三角形内角和的性质即可求解．（1）证明：⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙AOB BOC COD BOC ∠+∠∠+∠＝，即⊙AOC ＝⊙BOD ，在⊙AOC 和⊙BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙AOC ⊙⊙BOD （SAS ），⊙AC ＝BD ．（2）解：⊙⊙AOC ⊙⊙BOD ，⊙⊙OAC ＝⊙OBD ，⊙⊙PBA ＝⊙ABO +⊙OBD ，⊙OAB =⊙P AB +⊙OAC ，⊙⊙P AB +⊙PBA ＝⊙P AB +⊙ABO +⊙OBD =⊙P AB +⊙OAC +⊙ABO =⊙OAB +⊙OBA ，⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝60°，⊙⊙AOB 是等边三角形，⊙⊙OAB +⊙OBA ＝120°⊙⊙P AB +⊙PBA ＝120°，⊙()180********APB PAB PBA ∠︒-∠+∠︒-︒︒＝＝＝．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．23．见解析【分析】在MA 上截取ME MC =，连接BE ，利用圆周角定理易得()ABE DBC AAS ≅，利用三角形的性质得到AE CD =即可求解．【详解】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ⊥，BE BC ∴=，BEC BCE ∴∠=∠．AB BD =，∴AB BD =，ADB BAD ∴∠=∠，而ADB BCE ∠=∠，BCE BAD ∴∠=∠．又180BCD BAD ∠+∠=︒，180BEA BCE ∠+∠=︒，BEA BCD ∴∠=∠．BAE BDC ∠=∠，()ABE DBC AAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=，AM AE EM DC CM ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．24．(1)4(2)见解析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时⊙OPC 的面积最大，当OP ⊙OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的⊙OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ），得到⊙OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．（1）解：⊙AB ＝4，⊙OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在⊙OPC 中，设OC 边上的高为h ，⊙S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ⊙当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊙OC ，如图⊙，则PO PH >，当OP ⊙OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．⊙⊙OPC 的最大面积为4，故答案为：4．（2）证明：如答图⊙，连接AP ，BP ．⊙⊙AOP ＝⊙BOD ，⊙AP ＝BD ，⊙CP ＝DB ，⊙AP ＝CP ，⊙⊙A ＝⊙C ，在⊙APB 与⊙CPO 中， AP CPA C AB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ）， ⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙AB 是直径，⊙⊙APB ＝90°，⊙⊙OPC＝90°，⊙DP⊙PC，⊙DP经过圆心，⊙PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．25．DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等，BF与FC相等且在一条直线上【分析】易知DE是△ABC的中位线，则DE∥BC∥AG；由此可知四边形ADEG和四边形DBFE都是平行四边形，故AG＝DE＝BF；由全等三角形可得AG＝FC，故DE＝BF＝FC．【详解】解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE＝BF＝FC，∵AG∥BC（已知）∴∠G＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG＝∠FEC（对顶角相等），又AE＝EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；∴AG＝FC，FE＝EG（全等三角形的对应边相等），可以看做△AGE绕点E旋转180°得到△CFE，又∵AD＝DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，BC，∴DE∥BC，DE=12即DE∥BF，DE∥FC，∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形∴AG＝BF，BC，∴BF＝FC＝12∴DE＝BF＝FC，可以看做⊙ADE沿直线AE平移得到△EFC，故线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，BF与FC在一条直线上，数量关系是DE＝BF＝FC．【点睛】题考查的是三角形中位线定理、平行四边形及全等三角形的判定和性质．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．第21页共21页。

2019年中考数学备考之圆三大定理突破训练：圆周角定理综合练习题(含解析)

备考之圆三大定理突破训练：圆周角定理综合练习一．选择题1．如图，将一块三角板放置在⊙O中，点A、B在圆上，边AC经过圆心O，∠C为直角，∠ABC＝60°，P为圆上异于A、B的点，则∠APB的度数为（）A．60°B．120°C．30°或150°D．60°或120 2．如图，已知在⊙A中，B、C、D三个点在圆上，且满足∠CBD＝2∠BDC．若∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°3．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠BOC的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD＝8，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．56．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣67．如图所示，cos∠BAC的大小等于（）A．B．C．D．8．如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上一点，D是的中点，∠DAC＝40°，则∠CAB的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°9．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC ＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B．C．2﹣D．110．如图，在⊙O内（含边界）放置六个全等的正方形，这些正方形均有两个顶点在圆上，另两个顶点分别紧靠相邻正方形的顶点，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC的长为，CD的长．12．如图，O是半圆的圆心，半径为4．C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．若∠COA＝60°，则FG＝．13．如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，BC＝1.5cm，则⊙O的半径是cm．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是．15．如图，AB是⊙O的直径，E是OB的中点，过E点作弦CD⊥AB，G是弧AC上任意一点，连结AG、GD，则∠G＝．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上AB同侧的两点，＝，BA，DC的延长线交于点E，AE＝AB（1）求证：EC＝2CD（2）延长AC，BD交于点F，求sin∠F的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．（1）求证：BE∥AF；（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．18．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C．（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE 至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝3，求⊙O和菱形ABFC的面积．20．已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD．（I）如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小；（Ⅱ）如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小．21．如图，AB为⊙O的直径，点C，D为上的点，且＝，延长AD，BC相交于点E，连接OD交AC于点F．（1）求证：△ABC≌△AEC；（2）若OA＝3，BC＝4，求AD的长．22．如图，AB是圆的直径，点C、D分别在AB两侧的半圆上，AC＝BC，点E是BD延长线上一点，且AE∥CD．（1）求证：△ADE是等腰直角三角形．（2）若AB＝6，DE＝2，请求出CD的长．23．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠BAC＝50°，求∠EBC和∠EDC的度数．参考答案一．选择题1．解：连接OB，PA＝PB．∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠P＝∠AOB＝60°，当点P′在劣弧AB上时，∠AP′B＝180°﹣60°＝120°，∴∠APB的值为60°或120°，故选：D．2．解：∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°，故选：B．3．解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴，∵∠ADC＝32°，∴∠BOC＝2∠ADC＝64°，故选：A．4．解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝50°，∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BCD＝∠DAB＝40°．5．解：解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE＝180°，又∵∠AOB+∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝6，故选：A．6．解：连接OD，交CB于点F，连接BD，∵＝，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∴BF∥DE，∴OB＝BE＝6∴CF＝FB＝OB•cos30°＝6×＝3，在Rt△POD中，OF＝DF，∴PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP＝CF﹣PF＝3﹣3．故选：B．7．解：如图，在Rt△EFG中，∵∠EGF＝90°，FG＝2，EG＝5，∴EF＝＝，∴cos∠FEG＝＝，∵∠BAC＝∠BEC，∴cos∠BAC＝cos∠BEC＝，故选：A．8．解：连接OD，∵D是的中点，∴，∴AD＝CD，∴∠C＝∠DAC＝40°，∴∠AOD＝2∠C＝80°，∵OD＝OA，∴∠DAO＝＝50°，∴∠BAC＝50°﹣40°＝10°，故选：A．9．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，则在Rt△ABC中，AB＝AC tan C＝2，∴⊙O的半径为，故选：B．10．解：如图，连接FB．由题意：∠MEB＝∠FEN＝90°，∠MEN＝120°，∴∠BEF＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，∵EB＝EF，∴△BEF是等边三角形，∴AB＝BF，∴＝，∴∠AOB＝＝30°，∴cos∠AOB＝，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝5；作BH⊥CD于H，如图，∵∠BCH＝45°，∴△BCH为等腰直角三角形，∴BH＝CH＝BC＝4，在Rt△BDH中，DH＝＝3，∴CD＝CH+DH＝4+3＝7，故答案为：8，7．12．解：作GH⊥AB，连接EO．∵EF⊥AB，EG⊥CO，∴∠EFO＝∠EGO＝90°，∴G、O、F、E四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，又∵∠GHF＝∠EGO，∴△GHF∽△OGE，∵CD⊥AB，GH⊥AB，∴GH∥CD，∴，又∵CO＝EO，∴CD＝GF．∵半径为4．∠COA＝60°，∴CD＝2，∴GF＝，故答案为：2．13．解：∵∠A＝30°，∴∠D＝∠A＝30°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵BC＝1.5cm，∴BD＝2BC＝3cm，∴⊙O的半径是1.5cm，故答案为：1.5．14．解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙Q上，∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，当点Q、E、C三点共线时，QE+CE＝CQ（最短），而QE长度不变，故此时CE最小，∵AC＝12，∴QC＝＝13，∴CE＝QC﹣QE＝13﹣5＝8，故答案为：8．15．解：连接OD，BD，∵CD⊥AB，E是OB的中点，∴∠OED＝90°，2OE＝OD，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠G＝60°，故答案为：60°．三．解答题（共8小题）16．（1）证明：如图1，连接AC，AD，OD，∵＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴＝，∵AE＝AB，∴AE＝2AO，∴EC＝2CD；（2）解：如图2，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵∠CAD＝∠BAD，∴AF＝AB，∴∠B＝∠F，设CD＝BD＝x，AE＝AB＝d，则EC＝2x，DE＝3x，BE＝2d，∵∠ACE＝∠B，∠E＝∠E，∴△EAC∽△EDB，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，设BD＝k，AB＝3k，∴AD＝＝k，∴sin F＝sin B＝＝＝．17．（1）证明：∵AH＝AC，AF平分线∠CAH∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，∴∠HAF+∠ACH＝90°∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，∴∠HAF＝∠BCE，∵E为的中点，∴，∴∠EBD＝∠BCE，∴∠HAF＝∠EBD，∴BE∥AF；（2）解：连接OH、CD．∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵AH＝AC＝6∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB∴△EBH∽△ECB，∴，EB＝2EH，由勾股定理得BE2+EH2＝BH2，即（2EH）2+EH2＝42，∴EH＝．18．证明：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，∴AD＝＝＝2，∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，∴△ADB∽△DFC，∴，∴，∴CF＝1，DF＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，过O作OG⊥AC于G，∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，∴四边形OGFD是矩形，∴OG＝DF＝2，∴sin∠FAH＝，∴，FH＝，Rt△AFH中，AH＝＝．19．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝62﹣x2，解得x＝2或﹣9（舍弃）∴AB＝9，BD＝，＝36．∴S菱形ABFC＝π•（）2＝π．∴S⊙O20．解：（Ⅰ）∵BC＝CD，∴＝，∴∠DBC＝∠BAC＝∠CAD，∵∠CBD＝36°，∴∠BAC＝∠CAD＝36°，∴∠BA D＝36°+36°＝72°．（Ⅱ）∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠DBE+∠CBD＝∠BAE+∠ABE，∵∠CBD＝∠BAC，∴∠ABE＝∠DBE＝24°．21．（1）证明：∵＝，∴∠CAE＝∠CAB，∵AB是直径，∠ACB＝∠ACE＝90°，∵AC＝AC，∴△ABC≌△AEC（ASA）．（2）连接BD交OC于K，作OH⊥BC于H．∵OH⊥BC，∴CH＝HB＝2，∵OB＝3，∴OH＝＝，∵＝，∴OC⊥BD，DK＝KB，∵•BC•OH＝•OC•BK，∴BK＝，∴OK＝＝，∵OA＝OB，DK＝KB，∴AD＝2OK＝．22．解（1）∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°．又∵AC＝BC，∴∠CAB＝45°∴∠CDB＝∠CAB＝45°．∵AE∥CD，∴∠E＝∠CDB＝45°∴△ADE是等腰直角三角形．（2）过点C作CF⊥BD于F，则△CDF是等腰直角三角形．∵△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝DE＝2，∴在Rt△ADB中，由勾股定理可得BD＝＝8．在等腰直角三角形△ABC中，∵AB＝6，∴BC＝AC＝6．设DF＝CF＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△CBF中，由勾股定理可知CF2+BF2＝BC2，即x2+（8﹣x）2＝62，解得x＝4±．∵显然DF＞BF，∴x＝4+，∴CD＝x＝2+4．23．（1）证明：连接AD∵AB⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）∵AB＝AC，∠BAC＝50°，2019年中考数学备考之圆三大定理突破训练：圆周角定理综合练习题（含解析） 21 / 21 ∴∠ABC ＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°，∵AB ⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵∠BAC ＝50°，∴∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝25°，∵四边形ABDE 内接于⊙O ，∴∠BAC +∠BDE ＝180°，∵∠EDC +∠BDE ＝180°，∴∠EDC ＝∠BAC ＝50°．。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)

专题04 圆周角定理1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）（2）圆心O 在∠BAC 的内部（如图乙）（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）甲乙丙4.圆周角和直径的关系概念规律重在理解12BAC BOC ∠=∠半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.5.方法总结在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．6.圆内接四边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.推论1：圆的内接四边形的对角互补.推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．典例解析掌握方法【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．【答案】5．【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？【答案】见解析。

《圆周角定理典型例题及练习》

《圆周角定理典型例题及练习》圆周角定理典型例题及练
引言
圆周角定理是解决与圆相关的几何问题的重要工具之一。

本文将介绍一些典型的圆周角定理例题，并提供相关练，以帮助读者加深对圆周角定理的理解和应用。

例题
例题 1
已知圆 O 的半径为 r，圆心角为α 度，求圆周角的大小。

解答
根据圆周角定理，圆周角的大小等于圆心角的两倍，即圆周角= 2 * α 度。

例题 2
已知弧 AB 的长度为 l，圆心角为α 度，求弧 AC 的长度。

解答
根据圆周角定理，圆心角所对应的弧长与圆心角成正比。

设弧AC 的长度为 x，则根据比例关系有l / α = x / 360°。

解得 x = l * (360° / α)。

练
1. 已知圆 O 的半径为 5 cm，圆心角为 60°，求圆周角的大小。

2. 已知弧 BC 的长度为 8 cm，圆心角为 120°，求弧 AB 的长度。

请在纸上计算后，再比较答案。

总结
圆周角定理是解决与圆相关的问题的重要定理。

通过学习典型
例题和进行相关练习，可以加深对圆周角定理的理解和应用能力。

希望读者通过本文的学习，能够更好地掌握圆周角定理，并能够灵
活运用到实际问题中去。

中考数学知识点过关培优训练：圆周角定理(圆)(附答案)

中考数学知识点过关培优训练：圆周角定理（圆）一．选择题1．如图，AB为⊙O的直径，D是半圆的中点，弦CD交AB于点E，AE＝2BE，AM⊥CD于点M，若CD＝6，则AM的长为（）A．3 B．4 C．2D．32．如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，已知圆周角∠A＝50°，则∠OBC的大小是（）A．50°B．40°C．130°D．80°4．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠A DC＝26°，则∠COB的度数是（）A．52°B．64°C．48°D．42°5．如图，⊙O的直径AB长为10，弦BC长为6，OD⊥AC，垂足为点D，则OD长为（）A．6 B．5 C．4 D．36．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°，则∠CAB的度数为（）A．26°B．74°C．64°D．54°7．如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（）A．50°B．45°C．35°D．30°8．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接BD，OC，若∠AOC＝120°，∠D的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．20°9．如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若＝2＝2，则下列说法正确的是（）A．AB＝AE B．AB＝2AE C．3∠A＝2∠C D．5∠A＝3∠C 10．如图，⊙A过点O（0，0），C（2，0），D（0，2），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°二．填空题11．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC＝70°，那么∠BAD＝．12．如图，ABC是⊙O上的三点，已知半径OB＝6，∠BAC＝30°，则的长为．（用含π的代数式表示）13．如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，∠CDB＝22.5°，则AB＝．14．如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BC∥AD，AB＝AD，∠BOD＝160°，则∠CBO的度数是．15．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若∠CAB＝20°，则∠D＝°．17．如图，⊙O的直径为cm，弦AB⊥弦C D于点E，连接AD，BC，若AD＝4cm，则BC 的长为cm．18．如图，在⊙O中，OA是半径，弦BC⊥OA，D为上一点，连接OB、AD、CD，若∠OBC ＝50°，则∠ADC＝°．19．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP 的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为．20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥直径AB，垂足为E，连接OC，BD，如果∠D＝55°，那么∠DCO＝°．三．解答题21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD，OB，且BD＝AB．（1）求证：OB∥CD；（2）若D为弧AC的中点，求tan∠BDC．22．已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A＝50°，∠B＝70°，连接DO，CO，DC（1）如图①，求∠OCD的大小：（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．23．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使得CD＝BD，连结AC交⊙O于点F，连接BE，DE，DF．（1）若∠E＝35°，求∠BDF的度数．（2）若DF＝4，cos∠CFD＝，E是的中点，求DE的长．24．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF ⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）若AB＝10，BC＝12，求△DFC的面积；（2）若tan∠C＝2，AE＝6，求BG的长．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG，DC的延长线相交于点F．（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径；（2）求证：∠FGC＝∠AGD；（3）若直径AB＝10，tan∠BAC＝，弧AG＝弧BG，求DG的长．参考答案1．解：连接AC，BC，AD，BD过B作BH⊥CD于H，∵AM⊥CD，∴BH∥AM，∴△BHE∽△AME，∴＝＝2，∵AB为⊙O的直径，D是半圆的中点，AM⊥CD∴△BCH，△ABD，△AMC是等腰直角三角形，∴设BH＝CH＝x，则AM＝CM＝2x，∴BC＝x，AC＝2x，∴AB＝x，∴AD＝AB＝x，∴DM＝＝x，∴CD＝CM+DM＝3x＝6，∴x＝2，∴AM＝2x＝4，故选：B．2．解：如图，①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣6，4），②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），③若∠C为直角，则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣2，0）为圆心、4为半径的圆与直线的交点上．在直线中，当x＝0时y＝2，即Q（0，2），当y＝0时x＝6，即点P（6，0），则PQ＝＝4，过AB中点E（﹣2，0），作EF⊥直线l于点F，则∠EFP＝∠QOP＝90°，∵∠EPF＝∠QPO，∴△EFP∽△QOP，∴＝，即＝，解得：EF＝4，∴以线段AB为直径、E（﹣2，0）为圆心的圆与直线恰好有一个交点．所以直线上有一点C满足∠C＝90°．综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为3，故选：C．3．解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．在△BOC中，OB＝OC，∠BOC＝100°，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝40°．故选：B．4．解：∵OC⊥AB，∴＝，∴∠COB＝2∠ADC＝52°．故选：A．5．解：∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3．故选：D．6．解：由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝26°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝64°，故选：C．7．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝20°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠ADC＝∠B＝70°，∴∠DAC＝∠DCA＝55°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝35°，故选：C．8．解：∵∠AOC＝120°∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°∴∠BDC＝∠BOC＝30°．故选：C．9．解：∵＝2＝2，∴∠BOD＝∠EOC＝∠DOE，∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，∴∠A＝45°，∵BC为直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴AB＝AE，故A、B错误；3∠A＝135°，2∠C＝135°，∴3∠A＝2∠C，C正确；5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，∴5∠A≠3∠C，D错误；故选：C．10．解：连接DC，在Rt△DOC中，tan∠OCD＝＝＝，则∠OCD＝30°，由圆周角定理得，∠OBD＝∠OCD＝30°，故选：B．二．填空题（共10小题）11．解：∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠BAD＝∠BOC＝×70°＝35°．故答案为：35°．12．解：∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝6，∴的长为：＝2π，故答案为：2π．13．解：∵∠CDB＝22.5°，∴∠COB＝2∠CDB＝45°，∵OC⊥AB，∴∠OBA＝∠COB＝45°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵半径为6，∴AB＝OA＝6，故答案为：6．14．解：如图，连接BD．∵∠BOD＝160°，∴，∴∠A＝100°．在△ABD中，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝40°．在△OBD中，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO＝10°，∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABD﹣∠OBD＝80°﹣40°﹣10°＝30°．15．解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，∠CBD＝75°，∴∠E＝∠CBD＝75°．∴∠AOC＝2∠E＝150°，故答案为：150°．16．解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°，在圆内接四边形ABCD中，∠ADC＝180°﹣70°＝110°．故答案是：110．17．解：如图，作直径DH，连接AH，CH，AC．∵DH是直径，∴∠DCH＝∠DAH＝90°，∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CDH＝90°，∴CH∥AB，∴∠CAB＝∠ACH，∴＝，∴AH＝BC，在Rt△ADH中，AH＝＝＝2（cm），∴BC＝AH＝2（cm）．故答案为2．18．解：如图，∵BC⊥OA，∠OBC＝50°，∴∠BOA＝40°∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，∴＝，∴∠BOA＝2∠ADC＝40°，∴∠ADC＝20°．故答案是：20．19．解：∵C，D分别是AB，BP的中点∴CD＝AP，当AP为直径时，CD长最大，∵AP为直径，∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，∴AP＝4∴CD长的最大值为2故答案为220．解：∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，∵∠D＝55°，∴由圆周角定理得：∠COB＝2∠BDC＝110°，∴∠DCO＝∠COB﹣∠CEO＝20°，故答案为：20．三．解答题（共6小题）21．解：（1）证明：连结OD，延长BO交AD于点E．∵AO＝OD，AB＝BD，OB＝OB∴△ABO≌△DBO∴∠ABO＝∠DBO∴∠AEB＝90°∵AC是⊙O的直径∴∠ADC＝90°∴∠AEB＝∠ADC∴OB∥CD；（2）∵D为弧AC的中点．∴∠DOC＝∠DOA＝90°，∠DCO＝∠DAO＝45°，AD＝CD ∵∠ACB＝90°∴OD∥BC∵OB∥CD∴四边形ODCB平行四边形，∴OB＝CD，∠BDC＝∠DBE，∴设OE＝x，则DE＝x，OD＝x，CD＝2x∴BE＝x+2x＝3x∴tan∠BDC＝tan∠DBE＝．22．解：（1）∵OA＝OD，OB＝OC，∴∠A＝∠ODA＝50°，∠B＝∠OCB＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°；（2）∵PD⊥OD，PC⊥OC，∴∠PDO＝∠PCO＝90°，∴∠PDC＝∠PCD＝30°，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴OP垂直平分CD，∴∠DOP＝30°，∵OD＝2，∴OM＝OD＝，OP＝．23．解：（1）如图1，连接EF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∵CD＝BD，∴DF＝BD＝CD，∴＝，∴∠DEF＝∠BED＝35°，∴∠BEF＝70°，∴∠BDF＝180°﹣∠BEF＝110°；（2）如图2，连接AD，OE，过B作BG⊥DE于G，∵∠CFD＝∠ABD，∴cos∠ABD＝cos∠CFD＝，在Rt△ABD中，BD＝DF＝4，∴AB＝6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，∵BO＝OE＝3，∴BE＝3，∴∠BDE＝∠ADE＝45°，∴DG＝BG＝BD＝2，∴GE＝＝，∴DE＝DG+GE＝2+．24．解：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC＝10，∴DF⊥AC，∵BD＝CD＝6，∵DF⊥AC，∴由射影定理得，CD2＝CF•AC，∴62＝10•CF，∴CF＝3.6，∴DF＝＝4.8，∴△DFC的面积＝CF•DF＝ 3.6×4.8＝8.64；（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，tan∠C＝2，∴BE∥DF，DF＝2CF，∵BD＝CD，∴CF＝EF，∴BE＝2DF，设CF＝EF＝x，则DF＝2x，∴BE＝4x，AB＝AC＝6+2x，∴AB2＝AE2+BE2，∴（6+2x）2＝62+（4x）2，∴x＝2，x＝0（舍去），∴AB＝10，BE＝8，∵BE∥FG，∴△ABE∽△AGF，∴＝，∴＝，∴BG＝．25．（1）解：连接OC．如图1所示：设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解得：R＝5，即⊙O的半径为5；（2）证明：连接AD，如图2所示：∵弦C D⊥AB∴，∴∠ADC＝∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD；（3）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．∵AB＝10，tan∠BAC＝＝，∴BC＝2，AC＝4，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝＝4，∴BE＝＝2，OE＝3，∵，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，∴四边形OEHG是矩形，GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9，在Rt△DGH中，DG＝＝＝3．。