控制系统的传递函数
第二章 控制系统的传递函数
第二章
控制系统的传递函数
2．1 微分方程模型（时间域模型）
一、控制系统微分方程的分类
线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程 是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的 系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。 另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性，即当输入量的数 值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化 规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数 值的大小是无关的。 非线性系统：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。 非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的 运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。 一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出 的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。 非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运 动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是 非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波 振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。
控制系统的传递函数
例 2：RLC 电路（L-R-C 无源四端网络）如图，建立输入输出间的微分方程关
由基尔霍夫定律，回路的压降为 0，即输入电压由电感、电阻、电容上的电压 平衡。 Ur=UL+UR+UC 电流 与 有 即 的关系
第二章
控制系统的传递函数
与 在数值上具有一 ～
注意：该系统也是一个二阶系统 与例 1 相比，它们具有相同的模型形式。当
线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。
第二章
控制系统的传递函数
二、微分方程模型的建立 根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条 件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。
《自动控制原理》MATLAB中的传递函数模型实验
《自动控制原理》MATLAB中的传递函数模型实验一、实验目的1、熟练运用matlab软件，求解控制系统数学模型2、掌握传递函数在matlab中的表达方法3、掌握matlab求解拉氏变换和反变换4、掌握matlab求系统极值点和零点判断系统稳定性二、实验仪器Matlab2014b版三、实验原理（一）MATLAB中的传递函数模型传递函数在matlab中的表达方法控制系统的传递函数模型为：在MATLAB中，分子/分母多项式通过其系数行向量表示，即：num = [b0 b1 … bm]den = [a0 a1 … an]此时，系统的传递函数模型用tf函数生成，句法为：sys=tf(num, den) 其中，sys为系统传递函数。
如：num = [1 5 0 2]; den = [2 3 15 8];则：sys=tf(num, den)输出为：Transfer function:若控制系统的模型形式为零极点增益形式：此时，系统的传递函数模型用zpk函数生成，句法为：sys=zpk(z, p, k)。
zpk函数也可用于将传递函数模型转换为零极点增益形式，句法为：zpksys=zpk(sys)如：z=[-0.5 -1 -3]; p=[1 -2 -1.5 -5]; k=10;sys=zpk(z, p, k)传递函数的转换[num,den]=zp2tf(z,p,k)[z,p,k]=tf2zp(num,den)实际系统往往由多个环节通过串联、并联及反馈方式互连构成。
MATLAB提供的三个用于计算串联、并联及反馈连接形成的新系统模型的函数。
series函数计算两子系统串联后的新系统模型。
句法：sys = series(sys1, sys2)sys1, sys2分别为两子系统模型parallel函数计算两子系统并联后的新系统模型。
句法： sys = parallel(sys1, sys2)feedback函数计算两子系统反馈互联后的新系统模型。
控制系统的传递函数定义
控制系统的传递函数定义
控制系统传递函数是描述控制系统输入与输出关系的数学模型，通常用于分析和设计控制系统。
它表示了输入信号经过控制系统后的输出信号，可以用数学公式表示为输出信号Y(s)与输入信号U(s)的关系：Y(s)=G(s)U(s)。
其中，G(s)为系统的传递函数，它是一个复数函数，描述了控制系统的动态特性和稳态特性。
传递函数的分母描述了系统的阻尼和自然频率，分子描述了系统的增益和相位，通过对传递函数进行分析可以得到系统的稳态误差、稳定性、响应速度等性能指标。
因此，传递函数是控制系统分析和设计的重要工具，对于掌握控制系统的动态特性和优化系统性能具有重要意义。
- 1 -。
控制系统的传递函数及信号流图和梅逊公式
1 Ln LrLsLt
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
例2-7 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数 C(S)
R(S)
图2-45 例2-7图
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
解： P1 G1G2G3.
路 开通路—通路与任一节点相交不多于一次
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
闭通路—通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节 点相交不多于一次
6）前向通路—从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节 点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路
7）回路—就是闭环通路 8）不接触回路—如果一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘积。 10）回路增益—回路中多支路增益的乘积。
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的性质 (1)信号流图只适用于线性系统。 (2)支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信 号只能沿着支路上的箭头指向传递 (3)在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把 相加后的信号传送到所有的输出支路。
(4)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理。 (5)对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的， 这是由于描述的方程可以表示为不同的形式。
参考输入误差的传递函数为
CR(s) ER(s)G1(s)G2(s)
CR(s)
G1( s )G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
ER(s)G1(s)G2(s)
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第四章控制系统的传递函数
其中，
n
1 T
——环节的 固有频率
To 2
1 T
——环节的 阻尼比
如果0≤ξ<1，二阶环节称为振荡环节
例7 图示是由质量m、阻尼c、弹簧k组成的动力系统. 求G(s)
依动力平衡原理有 Xi(t) k m c
Xo(t)
d 2 xo dxo m 2 c kxo kxi dt dt
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应 的拉氏变换。
一般地,传递函数的表达式为
X o ( s) ao s n a1s n1 a2 s n2 an G( s ) X i ( s) bo s m b1s m1 b2 s m2 bm
2. 传递函数的性质
k
k为比例环节的增益或称为放大系数
例1
解
ni(t)
z1
求一对齿轮传动的传递函数 no z1 k ∴G(s)=k ni z2
最基本的运算放大器
no(t)
z2
例2
i 1= i 2
ei ea ea eo R1 R2
ei eo R1 R2
ei
R2 R1 e i2 a Ko a i3 i1 +
ZL=Ls
3.电容元件
dUC iC C dt
ZC(s) = 1/sC
例5
下图是一个由运算放大器组成的积分器， 求G(s)。 C R i + uc 取拉氏变换 uo Ui(s) R
Zc
i
+ Uo(s)
ui
解：
1 uc idt c
I ( s) U c ( s) cs
K s
1 Zc cs
ms2 X o ( s) csX o (s) kXo ( s) kXi (sG( s) 2 ms cs k
控制系统的传递函数
表示成零点、极点形式：
m
G(s)
Y (s) X (s)
bm an
Q(s) P(s)
Kg
(s zi )
i 1 n
(s pj )
z 式中： 称为传递函数的零点， i
j 1
称为传递函p数j 的极点。
Kg
bm an
Tuesday, June 16, 2020
—传递系数（零极点形式传递函数增益）
9
传递函数的表现形式
零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s) X(s)。
通过拉氏反变换可求出时域表达式y(t)。
Tuesday, June 16, 2020
2
传递函数的基本概念
[总结]: 传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为零时进行拉氏变化得到
的。
已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。通过反变换可求出 时域表达式y(t)。
Gm (s)M k f (t), G f
c (s) Gu (s) (s) U f (s)
(s)
Gm kf
(s)
U g (s) Mc (s)
5
传递函数的基本概念||例2-8a8'
求下图系统的传递函数。
R
L
方法1：见例2-1
求L上C式uo的'' (拉t)氏变R换C，uo得' (：t) uo (t) ui (t)
Tuesday, June 16, 2020
4
传递函数的基本概念||例2-8
上式有两个输入量，而传递函数只能处理单输入-单输出系统。对于线性系统， 可以将多个输入分别独立处理，然后叠加起来。下面分别讨论两个输入单独作用时 的传递函数。
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数可以描述控制系统的输入和输出之间的关系，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
因此，了解和掌握传递函数的概念和应用是非常重要的。
首先，让我们来了解一下传递函数的定义。
传递函数是指控制系统的输出响应与输入信号之间的函数关系，通常用G(s)表示。
其中，s是复变量，表示系统的复频域变量。
传递函数可以是一个分式函数，也可以是一个多项式函数。
通过传递函数，我们可以方便地分析系统的频域特性和时域特性。
接下来，我们来看一下传递函数的应用。
在控制系统设计中，我们经常需要根据系统的要求设计控制器，使得系统的性能指标满足要求。
而传递函数可以帮助我们分析系统的稳定性、超调量、静态误差等性能指标，从而指导我们设计出合适的控制器。
此外，传递函数也可以用于系统的仿真和性能评估，通过对传递函数进行频域分析和时域分析，我们可以了解系统的动态特性，评估系统的性能，找出系统存在的问题并进行改进。
在实际工程中，我们经常会遇到各种各样的控制系统，比如电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等。
而这些控制系统的动态特性往往是非常复杂的，需要通过传递函数进行分析和设计。
因此，掌握传递函数的应用是非常重要的。
最后，让我们来总结一下传递函数的重要性。
传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的重要工具，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
在实际工程中，掌握传递函数的应用是非常重要的，可以帮助我们设计出性能优良的控制系统。
综上所述，传递函数在自动控制原理中具有非常重要的地位和作用。
通过对传递函数的理解和应用，我们可以更好地理解和设计控制系统，提高系统的性能和稳定性。
希望本文能够帮助读者更好地理解传递函数的概念和应用，提高对自动控制原理的理解和应用能力。
控制工程基础第三章系统的传递函数
如图所示为机械转动系统，由惯性负载和粘性摩擦阻 尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角速度w为输出量
机械转动系统
dw ( t) 其运动方程式为：J + Bw ( t )= Ti ( t) dt W (s ) 1 K 其传递函数为：G ( s)= = = Ti (s ) Js + B Ts + 1 J 1 式中 T= , K = 。 B B
B
i(t)
C
uo (t)
x
机械平移系统
d 2x dx m 2 B k x f t dt dt
RLC电路
X s 1 1 2n Gs ＝ 2 F s ms Bs k k s 2 2n s 2 n
n
k m
B 2 km
C
uo (t )
其微分方程为：Ri( t)+ u0 () t = ui () t du0 () t i( t)= C dt 消去中间变量后，得 du0 () t RC + u0 () t = ui () t dt 通过拉氏变换求得电路的传递函数为： U0 (s) 1 G( s)= = Ui (s) Ts+1 式中 T=RC
4. 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节 dxi ( t) 其运动方程式为：x0 ( t )= TD dt 其传递函数为： G ( s)= TD s
式中 TD ─ 微分环节的时 间常数 。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这 在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在 实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节， 其传递函数具有如下形式：
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
自动控制理论传递函数
(is 1)
(
2 k
s2
2
k
k
s
1)
k 1
n2
(Tj s 1) (Tl2s2 2 lTl 1)
j 1
l 1
振荡环节
式中： m1 2m2 m, n1 2n2 n
从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些
基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最
基本的一些形式。
2020年4月18日
[解]各环节的微分方程和传递函数分别为：
运放Ⅰ：
u1(t)
k1ue
(t),
G1(s)
U1(s) U e (s)
k1
运放Ⅱ： u2 (t) k2[u1(t) u1(t)], G2 (s)
U 2 (s) U1(s)
k2 (s
1)
功放：
ua
(t)
k3u2 (t),
G3 (s)
Ua (s) U 2 (s)
y (t )
k
(1
e
t T
)
，式中：k为放大系数，T为时间常数。
当k=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分
布图如下：y(t) 1
原点处斜率为1/T
0.8
j S平面
0.6
0.632
0.4 0.2
1 T
0
Re
0
t
T
通过原点的 斜率为1/T。只有一个极点（-1/T）。
2020年4月18日
17
R
1 Cs
1 Cs
ui (s) RCs 1
2020年4月18日
19
振荡环节
（四）振荡环节：
时域方程：a2 y'' (t) a1 y' (t) a0 y(t) b0 x(t)
课件：控制系统的传递函数
s
Rs
如果H(s)=1，则下图所示的系统为单位反馈系统，它的闭环 传递函数为
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1sG2s
Gs 1 Gs
(2 - 50)
5
如果H(s)=1
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1sG2 s
1
Gs Gs
(2 - 50)
其中Gs
G1
s
G2
s
,
若令Gs
U V
s s
CR s R(s)
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1 s G2 s H
s
pp58:练习2-3 15
2.7 控制系统的反馈特性
闭环控制系统又名反馈控制系统。这类系统之所以被人们 广泛应用，其原理是它有着下列开环系统所没有的特性。
一: 反馈能减小参数变化对系统的影响
图(a)和(b)分别为开环和闭环系统的方框图。开环系统的输出
s
H
s
Rs
1
G2 sHs G1sG2 sH
s
Ds
（2-57）
当满足|G1(s)H(s) |>>1和|G1(s)G2(s)H(s) |>>1时，可得出如下 的结论：
13
CR s Rs
1
G1 s G2 s G1 s G2 s H
s
(2- 49)
1）当 | G1(s) G2(s ) H(s) |>>1时，由式（2-49）得
20
图2-41 扰动作用下系统的框图
10
求得扰动误差的传递函数为：
ED s Ds
1
G2sH s G1 s G2 s H
控制系统的传递函数
控制系统的传递函数考虑扰动的闭环控制系统X i (s )到X o (s )的信号传递通路称为前向通道；X o (s )到B (s )的信号传递通路称为反馈通道；1.闭环系统的开环传递函数将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即H (s )的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G 1(s )G 2(s )H (s )称为该 闭环控制系统的开环传递函数。
记为G K (s )。
闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号B (s )和偏差信号ε (s )之间的传递函数，即：2..x i (t )作用下系统的闭环传递函数令n (t )=0，此时在输入x i (t )作用下系统的闭环传递函数为：输入作用下系统的偏差传递函数 令n (t )=0，此时系统输入X i (s )与偏差ε (s )之间的传递函数称为输入作用下的偏差传递函数。
用)(s i εΦ表示。
3.n (t )作用下系统的闭环传递函数令x i (t )=0，此时在扰动n (t )作用下系统的闭环传递函数（干扰传递函数）为：扰动作用下系统的偏差传递函数，令x i (t )=0，此时系统在扰动作用下的偏差传递函数（称扰动偏差传递函数）。
)()()(1)()()()()(212101s H s G s G s G s G s X s X s i i +==Φ)()()(11)()()(21s H s G s G s X s s i i i +==Φεε)()()(1)()()()(21202s H s G s G s G s N s X s N +==Φ)()()(1)()()()()(212s H s G s G s H s G s N s s N N +-==Φεε。
2.3 控制系统的传递函数
控制系统的传递函数
第三节 控制系统的传递函数
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数
引言
控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模 型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系 统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变， 便需要重新列写并求解微分方程。 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在 复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究 系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典 控制理论中最基本也是最重要的概念
U c (s) 1 = U r ( s) RCs + 1
在式(2.65 )中，如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用， 则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur (t) 和初始电压uc (0)作用时，电路的输出响应。若uc(0)=0，则 有: 1 U c ( s) = U r (s) (2.66)
(2.68)
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，… an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式 (2.68)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：
[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s) =[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)
T1 s G (s) = T2 s + 1
(2.75)
它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-21(c)、(d)所示。在 低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.75)的传递函数。
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
自动控制原理--传递函数相关知识
26.5
1
s 17.25
17.25
26.5
s (s 17.25)2 (26.5)2 (s 17.25)2 (26.5)2
所以
y(t)
1 e17.25t
cos 26.5t 17.25 e17.25t 26.5
sin 26.5t
1 e17.25t
cos
26.5t
17.25 26.5
sin
26.5t
D(s) a0sn a1sn1 an1s an D(s) 0即是系统的特征方程。
G(s) N (s) b0 (s z1)(s z2 ) (s zm ) D(s) a0 (s p1)(s p2 ) (s pn )
s zi (i 1, 2 m)是N (s) 0的根，称为传递 函数的零点，s pi (i 1, 2 n)是D(s) 0的根 是传递函数的极点。
因为组成系统的元部件或多或少存在惯 性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶 次，即 n,是m有理真分式，若 ,我们m 就 n 说这是物理不可实现的系统。
二、传递函数的性质
(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件 下进行拉氏变换得到的；
(2)传递函数与微分方程一一对应；
(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物 理结构的有关信息；
R(s)
式中 ——环节的时间常数。
特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势。
实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即为微分环节。
5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的 二阶微分方程式来表示。
T2
d 2 y(t) dt 2
2 T
dy (t ) dt
控制系统的传递函数
求上式的拉氏变换，得：
ui
i
C
uo
UO (s) UI (s)
LCs 2
1 RCs
1
方法2：复阻抗（电阻、电容和电感）分别为 R、1 、Ls 。
则：(R
Ls
1 Cs
)
I
(
s)
U
i
(s)
Cs
1 Cs
I
(s)
U0
(s)
1
传递函数为：U0 (s)
Cs
1
Ui (s) R Ls 1 CLs 2 RCs 1
(s) U f (s) (s)
Gm kf
(
s)UMgc
(s) (s)
Saturday, December 28, 2019
6
传递函数的基本概念||例2-88a'
求下图系统的传递函数。 方法1：见例2-1
RL
LCuo''(t) RCuo'(t) uo (t) ui (t)
bm1sm1 b0 an1sn1 a0
G(s) Y (s) X (s) 称为系统或环节的传递函数，即：环节的传递函
数是它的微分方程在零初始条件下输出量的拉氏变换与输入量拉
氏变换之比。也可写成：Y(s)=G(s) X(s)。通过拉氏反变换可求
出时域表达式y(t)。
Saturday, December 28, 2019
3
传递函数的基本概念
[总结]:
传递函数是由线性微分方程（线性系统）当初始值为 零时进行拉氏变化得到的。
已知传递函数G(s)和输入函数X(s)，可得出输出Y(s)。 通过反变换可求出时域表达式y(t)。
控制系统传递函数优化
控制系统传递函数优化控制系统传递函数优化是控制工程领域一个重要的问题，它涉及到提高控制系统的性能和稳定性，以及减少系统的成本和复杂性。
通过对传递函数进行优化，可以改善系统的响应速度、稳定性和鲁棒性，从而更好地满足实际控制需求。
本文将介绍控制系统传递函数优化的一些主要方法和思路。
一、传递函数的概念与作用在控制系统中，传递函数是描述输入和输出之间关系的数学模型。
它可以将输入信号转换为输出信号，并代表了系统对输入信号的响应。
传递函数是控制系统设计和优化的重要基础，通过对传递函数进行分析和调整，可以改变系统的特性，以满足实际的控制要求。
二、控制系统传递函数的优化方法1. 参数调整法控制系统的参数对系统的性能和稳定性有重要影响。
通过调整传递函数中的参数，可以改变系统的动态特性和频率响应，从而实现对系统性能的优化。
常用的参数调整方法包括试错法、频域法和优化算法等。
2. 标定法标定是通过实验测量和数据处理，确定系统传递函数中的参数值。
通过对系统进行标定，可以获取准确的传递函数模型，从而更好地进行优化设计。
标定方法包括试验法、辨识法、信号分析法等。
3. 系统结构优化法控制系统的结构对系统的性能和复杂度有重要影响。
通过调整传递函数的结构，可以优化系统的性能和复杂度。
常用的系统结构优化方法包括模型简化、参数化控制等。
4. 级联与并联级联与并联是对控制系统传递函数的一种特殊组合方式。
通过将多个传递函数进行级联或并联，可以改变系统的动态特性和频率响应，从而实现对系统性能的优化。
级联和并联方法可以用于系统的增益补偿、频率响应调整等。
5. 频率域设计法频率域设计法是一种基于频域特性的传递函数优化方法。
通过分析系统在不同频率下的响应特性，可以对传递函数进行频率响应设计，以满足实际需求。
常用的频率域设计法包括根轨迹法、频率响应法等。
三、案例分析以某工业过程的温度控制系统为例，通过对传递函数进行优化，实现对系统的性能提升和稳定性改善。
第2章 控制系统传递函数
三、简化方框图： 简化方框图： 方框图变换法则： 1、方框图变换法则： 信号取出点后移： （1）信号取出点后移： 信号取出点前移： （2）信号取出点前移： 信号汇合点后移： （3）信号汇合点后移： 信号汇合点前移： （4）信号汇合点前移： 汇合点变换： （5）汇合点变换： 串联： （6）串联： 并联： （7）并联： 反馈： （8）反馈： 用变换法则化简方框图： 2、用变换法则化简方框图：
1.比例环节 比例环节来自 2、积分环节3、惯性环节： 惯性环节：
4、理想的微分环节： 理想的微分环节：
5、实际的微分环节： 实际的微分环节：
6、振荡环节： 振荡环节：
§2-3 方框图
一、方框图的四要素： 方框图的四要素： 1、信号线：表示信号单向传递 、信号线： 2、引出点：表示一信号分两路 、引出点： 3、汇合点：表示两信号代数相加 、汇合点： 4、环节：接受一信号，转换成另一信号 、环节：接受一信号， 环节的基本连接方式： 二、环节的基本连接方式： 1、串联连接方式： 、串联连接方式： 2、并联连接方式： 、并联连接方式： 3、反馈连接方式： 、反馈连接方式：
§2 控制系统的传递函数
§2-1
拉氏变换与拉氏反变换
内函数f(t)变 一、拉氏变换定义：把时域t内函数 变 拉氏变换定义：把时域 内函数 换成复数s域内函数 域内函数F(s) 换成复数 域内函数 常用函数拉氏变换： 二、常用函数拉氏变换： 1、阶跃函数 的拉氏变换： 的拉氏变换： 、阶跃函数f(t)的拉氏变换 2、指数函数 的拉氏变换： 、指数函数f(t)=eat的拉氏变换： 3、线性函数 的拉氏变换： 、线性函数f(t)=t的拉氏变换： 的拉氏变换 4、正弦函数 的拉氏变换： 、正弦函数f(t)=sinωt的拉氏变换： 的拉氏变换
控制系统的传递函数
比例环节
二、典型环节及其传递函数 典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等 多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。 时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性 研究系统的零、极点分布。 （一）比例环节： 时域方程： y(t ) kx(t ), t
0
Y ( s) 传递函数： G ( s) k X ( s)
U a ( s) 功放： ua (t ) k3u2 (t ), G3 ( s) k3 U 2 ( s)
直流电动机：
(s)(TaTm s 2 Tm s 1) kuUa (s) km M c (s)(Ta s 1)
Tuesday, January 08, 2019
5
传递函数的基本概念||例2-8
K Kg
z
i 1 n j 1
m
i
p
j
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11
传递函数的表现形式
若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 p1 , p2
1 1 为共轭复极点，则： 2 2 ( s p1 )(s p2 ) s 2 n s n 1 1 或： 2 2 (T1s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1 其中系数 n、 由 p1、p2 或 T1、T2 求得。
同样，共轭复零点可表示如下：
(s z1 )(s z2 ) s 2 2 n s n
或：
2
(T1s 1)(T2 s 1) T 2 s 2 2Ts 1
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12
传递函数的表现形式
若再考虑有n个零值极点，则传递函数的通式可以写成：
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例1：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图， 建立 ~ 间的微分方程关系式。
分析： 输入： 力 输出： m的位移
第二章 控制系统的传递函数
质量-弹簧-阻尼器系统
（1）对于 m，由牛顿定律
m的受力分析
，质点所受的合力与惯性力相等。有
（2）弹簧力
－弹簧系数
与位移成正比
第二章 控制系统的传递函数
阻尼器力
第二章 控制系统的传递函数
3、同一控制系统可以有不同的数学模型 同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热
变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而 建立的数学模型可能不同。 因此，建立数学模型时，一定要搞清输入 量、输出量。
四、数学模型的分类
1、微分方程 时间域 t
一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题 的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数 学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持 ；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有 生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位 ） 才有意义。
－阻尼系数
与位移的变化量成正比
由上面两式有
整理得
注意： 习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的
左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边； 由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高
于右边的阶次； 上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。
第二章 控制系统的传递函数
例 2：RLC 电路（L-R-C 无源四端网络）如图，建立输入输出间的微分方程关 系式。
析研究，称为模拟，这种方法称为功能模拟法。
说明：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的 方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为电模拟提供了良好的 条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的电网络代替要研究的系统 来进行计算和研究，方便，易行。
由基尔霍夫定律，回路的压降为 0，即输入电压由电感、电阻、电容上的电压 平衡。
Ur=UL+UR+UC 即 电流 与 的关系 有
第二章 控制系统的传递函数
注意：该系统也是一个二阶系统 与例 1 相比，它们具有相同的模型形式。当 与 在数值上具有一 定关系时，上述二个微分方程具有完全相同的形式。也就是说，在数学上 ～ ， ～ 具有相同的关系（静、动态关系），由此可见利用数学模型 研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机械系统进行实验 研究也是工程中的常用方法，就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进 行普遍意义的分析和研究。
第二章 控制系统的传递函数
本章重点：1 掌握控制系统建立数学模型的方法 2 应用拉普拉斯变换求解微分方程
2.0 概述 主要解决的问题：
1 什么是数学模型 2 为什么要建立系统的数学模型 3 对系统数学模型的基本要求
第二章 控制系统的传递函数
2.0 概述 一、数学模型的定义 1、 控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或
建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模 （白箱-系统的各元件及参数已知，结构已知）； 实验建模（数据建模，系统辨识） （黑箱-结构全不知道或灰箱-知 道一部分）。
第二章 控制系统的传递函数
二、建立数学模型的依据
通过系统本身的物理特性来建立。
如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等
单输入 单输出
2、传递函数 复数域 s=σ+iω - - -
3、频率特性 频率域 ω
---
4、状态方程 时间域 t
多输入 多输出 用一组微分方程描
述系统的状态特性
第二章 控制系统的传递函数
2．1 微分方程模型（时间域模型）
一、控制系统微分方程的分类
线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程 是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的 系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。 另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性，即当输入量的数 值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化 规律只与系统三、数学模型的特点
1、实物→（抽象）数学表达式 2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型
即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆在平衡位置附近 的自由运动 电阻、电容、电感电路中电容的放电过程 都是衰减振荡 。
相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。
应用： 模拟：两相似系统，通过分析一个系统而达到对另外系统分
关系：静态模型是t时系统的动态模型。
控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法 可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。
第二章 控制系统的传递函数
2、为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的
认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意 义就在于此）
变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达 式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型 动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系 的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。
第二章 控制系统的传递函数
二、微分方程模型的建立 根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条 件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。