第一讲向量分析与场论(I)

第一讲：向量分析与场论（）

向量分析与场论基础

《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。

一、 物理量的分类 、物理量

、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如：考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度和该点坐标()具有函数关系：( , , )，这就构成了一种标量场，这个标量场为温度场；若在某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速和该点坐标()具有函数关系： ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ，其中( , , )、( , , )以及( , , )分别为向量 ( , , )在轴、轴以及轴的分量， 、 以及分别为轴、轴以及轴三个方向的单位向量，（通常又称为方向向量）这就构成了一种向量场（或称为场向量），这个向量场为流速场。

本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁场》课程教案服务，故不追求数学上严格性与广延性。

在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。例如力可表示为。 二、几个有用的场向量、向量加、减运算

1、 位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描述。该位移向量

模分

别表示为：

（）

| | ( ) （）

对于向量的叠加，满足平行四边形

如图所示

()()() （）

对二向量的叠加，在图象上还可以形象地看成三角法则。如图所

示，可先画出处第一个

向量，以这个向量的末

点做为第二个向量的

起点，画出第二个向

量，则从第一个向量的起点到第二个向量的

末点所引的有向线段即为二个向量与的叠加结果。

问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大于这两个向量模中的任意一个模。

同理，向量 ‘’运算为‘’运算的逆运算，例如空间两个点()与()之间的位移向量为从点到点所引的一条有向线段，大小与方向如图所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确定为两矢径 与之差

– ( – ) ( – )

( – ) （）

例一、 空间轴上取任意两点与，其距离为，由这两点向空间任意点点引出两个

位移向量分别为与，求与向量差。

解法：由三角形合成法则，容易看出，到所引向量与到点所引向量与到点所引向量 相等，

即

解法：设空间任意点点坐标为（、、）、点、点坐标坐标为分别为（、、）、（、、），由题设条件则有

由（）式：

(–)(– )(– )

(–)(– )(– )

所以：

[(–)(–) ][ (– ) (– )][(– ) (– )]

（）

、单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位向量。单位向量的含义在于：单位向量的模为，方向与该向量的指向一致。例如：位移向量的单位向量为：||( )／( )

／( )／()／()

由单位向量的概念，（）式矢径向量又可表示为：

||（）

例题：空间一点（，，），由该点到轴引垂线，求）垂足到点的位移；）该位移的方向向量。解：解题分析：本题的解题关键在于，找出垂足点的坐标。既然是点到轴做垂线，该位移一定垂直于轴，也就意味着位移处于过垂足点且平行于平面的平面上，如此，根据坐标的定义，可以判定，垂足点的坐标值一定与点的坐标值相等，由于在轴上，垂足点的、坐标值均为，设垂足点为，则点的坐标为（，，）。关于位移的图形表示如图所示，由式（）得–(– )(– )(– )

的单位向量为

()／( )

2、 线元

向量：在空

间任意一路径的某

一点上，任取一长度微元，

线元的大小为微元长度，方向为路径在这点的切向方向，用表示，如图所示。

，其中以及分别表示线元末端点与线元初始点的坐标差。

例

如图，试表示出在半径为的圆轨道上任意一点处的线元

解

分析，在实际问题的计算时，对线元的表示应根据实际问题采取有利于计算的表达方

式，在本例，我们采用种表达方法，）直角

坐标下的表达；）极坐标下的表达 第一种方法：由定义有

由于在平面，

，所以有

上式中和分别表示在圆上弧角为θ θ处以及弧角

为θ处两点的坐标差和坐标差。

由于在圆上，圆路径可用以弧度角参数方程表示

θ θ θθ θθ

θ(θ θ ) （）

第二种方法：对于一些计算，为方便起见把圆上任意一点处的切向方向的方向向量写成α，如图，在弧角为α处点的线元又

可写为

α α α

上式，为弧元α所对应的弧长 注意：）在圆上任意一点的方向向量都是

写

成α，但是不同的点所对应的α方向是不同的；）单位径向向量可以表示为：αα , 切向比径向多转度，故

α（απ ） （απ ）

所以有

α αα （）

面元向量: 在空间任意曲面的某一点上，任取一面积微元，面元的大小为面积微元的面积，方向为该面积微元在这点的法向方向，如图所示。

（）

式中，表示曲面在该点的法向的单位向量，故又可表示为： （）

式中， 、以及为法向单位向量的三个 坐标投影分量。故又可以写成

（）

上式 、以及分别表示面元在、以及平面的投影 注意：对曲面上的一点，法向是指过该点且垂直于该

图、面元的表示

点所做的微分平面，若不加以说明，满足这一条件的方向就有两个，如图所示，其的反方向也垂直于该点所做的微分平面，一般对于闭合曲面而言，法向一般是指外法向，即指向曲面外部；对于非闭合曲面，则可根据实际计算情况加以定义。 例 试确定无限大平面上任意一点的面元

解 要定量地表示出面元，要建立坐标系，如图设无限大平面上为 ；确定面元有两个因

素，其一为面元的大小，其二为面元的方向。对于本问题，假设垂直于平面指向上面的方向为法向，故平面上任意一点的法向都相同，是向上为。对于面元大小，可以是直角坐标表示，也可以是柱坐标表示，具体需要根据实际的计算需要确定，在本例中，分别给出面元大小的直角坐标表示以及柱坐标表示 1） 面元的直角坐标表示, 在坐标（）点处的面元如图所示

（）

) 处面元表示如图所示， 面元大小为为

θ （） 面元为

θ （）

意一点的面元 解 球面面元的图示

如图所示，面元 大小为： θφ•θ（） 其中θφ代表面元的横 向弧边弧长， θ代表面元 的纵向弧边弧长。由定义得在