力矩和力偶
力矩与力偶
1.2.2 力矩的性质 1.力F对O点这矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置即力臂d有关。 2.力在刚体上沿作用线移动时，力对点之矩不变。 3.力的大小等于零或力的作用线过矩心时，力矩等于零。 4.互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
§1.2 力对点之矩
1.2.3 合力矩定理 平面力系有一合力时，合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之 矩的代数和。
Ft
D 2
0
Fn
cos
D 2
1000 160 103 cos 20 75.2N m 2
计算力对点之矩的方法：1.利用力对点之矩的定义式计算。 2.利用合力矩定理计算。
§1.3 力偶
生活实例：
1.3.1 力偶的概念 1．力偶的定义：一对大小相等、指向相反的平行力组成的特殊力系称为力
偶。记作F , F 。
§1.3 力偶
性质1 力偶在任一轴上的投影的代数和为零。 力偶无合力，力偶对刚体的移动不产生任何影 响，即力偶不能与一个力等效，也不能简化为 一个力。
性质2 力偶对于其作用面内任意一点之矩与该 点（矩心）的位置无关，它恒等于力偶矩。
1.3.2 力偶的基本性质
§1.3 力偶
推论1 力偶可在其作用面内 任意移而不会改变它对刚体 的转动效应。
思考题：如图所示的圆盘，在力偶M=Fr和力F的作用
下保持静止，能否说力偶和力保持平衡？为什么？
§1-4 力的平移定理
力的平移定理 力可以等效的平移到刚体上的任一点，
但必须附加一个力偶，其力偶矩的大小等 于原力对该点之矩。
§1.4 力的平移定理
力的平移定理换句话说，就是平移前的一个力与平移后的一个力和一个附 加力偶等效。即一个力可以分解成为同平面内另一点的一个力和一个力偶。反 之共面的一个力和一个力偶也可以合成为同平面内的一个力，这便是力的平移 定理的逆定理。
力矩-力偶系
a b
M o (F ) Fd F (ob ab) F (l sin h cos )
2.合力矩定理 • 力系与其合力等效，对于使物体转动的效果，这种 性质依然存在，即合力对于一点O之矩，等于各分 力对点O之矩的代数和，这一普遍规律称为合力矩 定理。可用下式表示。
式中：
§1-3 力对点之矩、力偶
一、力对点之矩 —— 力矩 1 力矩
力的转动效果由两个因素决定： 1)、力的大小与点O到力作用线 的垂直距离 2)、力使物体绕O转动的方向
式中， Mo(F)=±Fh 表示此二因素，称为 力对点之矩简称力矩 力对点之矩的实质是 力 对通过矩心且垂直于平面 的轴的矩
其中O称为矩心，h 称为力臂，力矩为代数量，力使物体绕矩心逆 时针转动时为正，顺时针为负。
例题：梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100 Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束 反力。 • 解 （1）以梁为研 究对象，进行受力 分析并画出受力图 • 因系统为力偶系， 故FA必须与FB大 小相等、方向相反、 作用线平行。 • （2）列平衡方程
∑M=0
FBl - M = 0
（1）力偶无合力。 力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。 可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。 （2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
2.力偶的性质
（3）力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它 们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。 则可得： • 1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作 用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。 • 2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和 力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
《力矩和力偶》 讲义
《力矩和力偶》讲义一、引言在物理学和工程学中，力矩和力偶是两个非常重要的概念。
它们对于理解物体的旋转运动、机械系统的工作原理以及结构的稳定性都起着至关重要的作用。
接下来，让我们深入探讨一下力矩和力偶的相关知识。
二、力矩的定义和概念力矩，简单来说，就是使物体绕着某个固定点或轴转动的趋势。
它等于力与力臂的乘积。
力臂是指从转动轴到力的作用线的垂直距离。
如果用M 表示力矩，F 表示力，L 表示力臂，那么力矩的计算公式就是 M ＝ F × L 。
为了更好地理解力矩，我们可以想象一个门。
当我们在门的把手处施加一个力来推动或拉动门时，门就会绕着门轴转动。
施加的力越大，或者力臂越长，产生的力矩就越大，门就越容易转动。
在实际生活和工程应用中，力矩的概念无处不在。
例如，用扳手拧螺丝时，我们通过施加力在扳手上，利用扳手的长度（力臂）产生足够的力矩来拧紧或松开螺丝。
三、力矩的性质1、力矩的方向力矩是一个矢量，它的方向根据右手定则来确定。
伸出右手，让四指沿着力臂的方向弯曲，大拇指所指的方向就是力矩的方向。
2、合力矩定理当一个物体受到多个力的作用时，这些力对某一点的合力矩等于各个分力对同一点的力矩的代数和。
3、力矩的平衡如果一个物体处于静止状态或者绕某一轴匀速转动，那么作用在物体上的所有力矩之和为零。
这就是力矩平衡的条件。
四、力偶的定义和概念力偶是由大小相等、方向相反、但不共线的两个平行力所组成的力系。
这两个力的作用线之间的垂直距离称为力偶臂，力偶中的力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
力偶的特点是它不能用一个单一的力来等效替代，只能产生转动效应。
例如，用两只手同时在方向盘的两侧施加方向相反、大小相等的力，方向盘就会转动，这就是力偶的作用。
五、力偶的性质1、力偶无合力由于力偶中的两个力大小相等、方向相反且不共线，所以它们的合力为零。
但这并不意味着力偶没有作用效果，它能够使物体产生纯转动。
2、力偶矩的大小和方向力偶矩的大小等于其中一个力的大小与力偶臂的乘积，其方向由力偶的转向决定。
第三章力矩和力偶
4.空间力偶 空间力偶 只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它 的作用面内任意移转；并且作用面可以平行移动。
空间力偶对刚体 刚体的作用效果决定于下列三个因素 刚体 (1)力偶矩的大小； (2)力偶作用面的方位； (3)力偶的转向。
解得
例2 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆 BC 上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩 为 ，OA ＝ r = 0.5 m。图示位置时OA与OB垂 直， 。且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩及铰链 O、B处的约束反力。 解：取圆轮为研究 对象。
解得
以摇杆BC为研究对象。
§3-4 力的平移
3.平面力偶的等效定理 平面力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩大小相等，转向 相同，则两力偶彼此等效。
推 论： (1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它 对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作 用面内的位置无关。 (2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对 刚体的作用。
当力系平衡时，各力对任—点O之矩的代数和皆为零。即
注：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡。
§3–2 2
力偶和力偶矩
等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共 线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。
:由两个大小相等 方向相反 不共线 平行 大小相等、方向相反 不共线的平行 力偶 大小相等 方向相反且不共线 力组成的力系。 力偶臂d： 力偶臂 ：力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面： 力偶的作用面：力偶所在的平面。
力矩的单位常用N·m或kN·m。
力矩、力偶的概念及其性质
Ad B
F
是独立量；
⑶ 性质3 平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相
等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证] 设物体的某一平面
QA
FR
F
A
FR
FR
B
DC
F
FR
B
Q
上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成FR，
Q',F'合成F'R ， 得到新力偶(FR, F'R ),
解： 简支梁上的载荷为力偶。由于力偶只能被力偶所平衡，
故支座A 、B 处反力必须组成一个力偶。B为滚动支座、约束
反力 NB应沿支承面的法线，固定支座A的约束反力RA ，它与 NB 应组成一力偶，故也应沿铅垂线而与NB方向相反，且 RA=NB。 根据平面力偶系平衡方程有:
m 0, m NB cos l 0
工程力学
力矩、力偶的概念及其性质
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向；
转动效应--取决于力矩的大小、转向。
一、力对点的矩 ⒈ 定义
A F
d
+
MO (F )
B
-
O
3
二、合力矩定理
⒈ 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和
即：
⒉ 证明（略）
由合力投影定理有： od=ob+oc
得：NB 5.66kN RA
A
M
B
A
M
B
C l
C RA l
NB 45
(a)
(b)
力矩与力偶
力矩与力偶矩——关于两道习题的一点分析力矩与力偶矩是力学中很重要的两个概念，它们对于解决力系简化及平衡问题是不可缺少的。
以下对于二者的概念、具体的应用作些比较：概念力矩（力对点之矩）是一个矢量。
对于平面内任意的一个力F，在同一平面内任取一点O，称为矩心，点O到F的作用线的距离称为F的力臂，力矩的大小即力的大小与力臂的乘积，其方向与F对O的旋转效应满足右手定则。
事实上，设F的作用点为C，则r = r oc时有M o=r×F，其大小与图示三角形的面积相等。
对于作用在刚体上的力系{F1，F2，…，F n}，定义向量和：M o=Σr i×F i为力系{F1，F2，…，F n}对O的主矩，O为矩心。
可见，一个力（或一个力系）的力矩（或主矩）的大小方向与矩心的选取有关，矩心不同，结论不同。
力偶是一个力系{F，－F}，由大小相等，方向相反，作用线平行（但不重合）的两个力组成。
我们来看看力偶对空间任意一点的主矩：M o=r1×F＋r2×（－F）= r21×F其中r21 = r2－r1，是从一个力的作用点指向另一个力作用点的向量，这与O点的选取是无关的。
力偶对任一点的主矩即定义成力偶的力偶矩。
比较两者的概念可知：力偶矩是一个特殊力系的主矩，因此在力系主矩的合成中，力偶矩必须考虑在内；但因为构成该力系的两力的特殊关系，使力偶这个力系的主向量恒为0，而主矩与矩心无关，对任意一点的主矩恒定且不为0。
应用例1 图示简支梁AB上,受作用线相距为d=20cm的反向力F，－F组成的力偶和力偶矩为M的力偶的作用。
若F=100N，M=40N·m，θ=60°，梁长l=1.6m，求支座A和B 的约束反力。
解：这是个平衡问题，先确定研究对象，本题较简单，取AB梁，分析受力情况（如图4）：B处辊轴约束，仅能提供垂直斜面向上的支持力，∴F NB方向如图所示。
思路一 ：因力偶{F，－F}和M均对主向量无贡献，而R=0, ∴F NA=-F NB,方向如图所示。
力矩与力偶理论资料
O
l2
D ND
解： 杆AB为二力杆。
§3-3 力偶系的合成与平衡
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
D
ND
§3-3 力偶系的合成与平衡
一、力偶系的合成
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
M m1 m2 mm m
§3-3 力偶系的合成与平衡
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
m 0
平衡方程的投影形式
mx 0 my 0 mz 0
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41.2N m
3、合力矩矢L的大小和方向：
L
2 lx
2 ly
2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, j
Lx cosL, i 0, L
F Xi Yj Zk
则：：
i X
j Y
k Z
m0 ( F ) x 单位 y z
§3–1 力对点之矩
二、 力对点之矩的矢积式与解析式
[m0 ( F )]x yZ zY [m0 ( F )] y zX xZ [ m0 ( F )]z xY yX
§3–1 力对点之矩
力矩和力偶
力矩和力偶
力矩和力偶是力学中的两个基本概念，它们在力的作用方式和使用效果上存在一些区别。
力矩是一个向量，它描述了力对物体产生转动作用的效果，是力对某一轴线或点的作用力矩。
力矩的大小等于力的大小和其到旋转轴或点的距离的乘积，方向垂直于轴或点。
在计算上，力矩等于力与力臂的乘积，其中力臂是从旋转轴或点到力的作用线的垂直距离。
力偶是一对大小相等、方向相反且不共线的平行力，它们的作用效果是使物体产生转动。
这对力在相互垂直的平面上，其中一个力垂直于这个平面，另一个力平行于这个平面。
在实际应用中，力偶可以用来转动锁紧物体，例如螺栓、螺母等。
综上所述，力矩和力偶虽然都涉及到力的作用，但它们的作用方式和使用效果有所不同。
力矩描述的是力对物体产生转动作用的效果，而力偶则是一种产生转动作用的特殊方式。
第三章 力矩和力偶理论
o F’
B
m F
d
A
力偶没有合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力 与之平衡。它是力学中的又一基本要素，其作用使物体 发生转动，以力偶矩表示。
m(F , F ) mo (F ) mo (F ) F OA F OB Fd
m + 逆时针 – 顺时针
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
2. 力对轴之矩
力对轴之矩等于力在垂直于该轴 的平面上的投影对轴和平面的交 点之矩
m z ( F ) mo ( Fxy ) Fxy h 2 Aoab
F
z Fz a mz(F) o
Fxy
mx 0
my 0
mz 0
三个方程，解三个未知量。 一个方程，解一个未知量。
p.9
平面力偶系的平衡条件
m 0
理论力学
理论力学
本章主要内容
一、力矩和合力矩定理
1. 力对点之矩 2. 力对轴之矩
3. 力对点之矩和力对轴之矩的关系
4. 合力矩定理
二、力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
p.5
理论力学
理论力学
一、力矩和合力矩定理
(Theorem of Resultant Moment)
4. 合力矩定理
mo ( R) mo ( F1 ) mo ( F2 ) mo ( Fn ) mo ( F ) m z ( R) m z ( F1 ) m z ( F2 ) m z ( Fn ) mz (F )
动力学中的力矩与力偶推导
动力学中的力矩与力偶推导动力学是研究物体运动的力学分支，力矩与力偶是在动力学中的重要概念。
力矩是描述力对物体的旋转效果，而力偶则是用来描述力矩对物体的作用效果。
在本文中，将详细推导力矩与力偶的定义以及它们在动力学中的应用。
1.力矩的定义与推导在物理学中，力矩又称为力的转矩，它用来描述力对物体产生的旋转效果。
力矩的大小与力的大小以及力与物体转动轴之间的垂直距离有关。
假设一个力F作用在物体上，该力与物体转动轴之间的距离为r，力F的力矩M可以通过以下公式计算：M = F × r其中，M代表力矩，F代表力，r代表力与转动轴之间的距离。
对于多个力作用在同一物体上，其合力矩等于各力矩的矢量和。
若有n个力分别为F1、F2、...、Fn，作用在同一物体上，它们与转动轴的距离分别为r1、r2、...、rn，合力矩M_total可以通过以下公式计算：M_total = F1 × r1 + F2 × r2 + ... + Fn × rn2.力偶的定义与推导力偶是由一对大小相等、方向相反的力组成，它们沿着同一直线作用于物体上。
力偶的作用效果是产生一个力矩，其大小与力的大小相等，方向垂直于该直线。
假设一个力偶大小为F，力偶的力矩M_couple可以通过以下公式计算：M_couple = F × d其中，M_couple代表力偶的力矩，F代表力偶的大小，d代表力偶之间的距离。
当多个力偶作用在同一物体上时，其合力矩等于各力偶力矩的矢量和。
若有n个力偶大小分别为F1、F2、...、Fn，力偶之间的距离分别为d1、d2、...、dn，合力矩M_couple_total可以通过以下公式计算：M_couple_total = F1 × d1 + F2 × d2 + ... + Fn × dn3.力矩与力偶的应用力矩与力偶在动力学中有广泛的应用。
它们常常用于分析刚体的平衡条件、机械系统的运动以及转动运动等。
1.5力偶与力偶矩
力偶的三要素
1.力偶矩的大小 2.力偶在作用平面内的转向 3.力偶的作用面
力偶的特性
1、力偶没有合力，不能与一个力平衡，只能用力偶来平衡。 2、力偶对物体的转动效果可用力偶矩来度量。 3、凡是三要素相同的力偶都是等效力偶，可以相互代替。
§3.2 力偶与力偶矩
三、力偶与力偶矩的性质
相同点
使物体转动状态பைடு நூலகம்变。
力偶矩是矢量，逆时针为正，顺时针为正。
力偶的三要素和特性
力偶在作用面内可以任意移动和转动， 而不改变它对物体的作用。
力偶的转动作用 取决于力偶矩， 在同一平面内凡 是力偶矩相同的 力偶，一定是等 效力偶。
不改变力偶矩的大小和转动条件下同时改 变力偶中力的大小和力偶臂，不改变它对 物体的转动作用效果。
力矩 不同点 不同点 力偶
转动效应与矩心有关
对作用面内任一点矩 为常数，即等于力偶 矩。
小结
• • • • • • 力偶 力偶臂 力偶矩 力偶矩公式 力偶三要素 力偶三特性
§3.2 力偶与力偶矩
一、 力偶
1、力偶：由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成 的。 m F , F 记作 2、力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。
§3.2 力偶与力偶矩
二、力偶矩
M F , F F d
力偶矩记作 mF , F 或m
d ——力偶臂，m F——力的大小，N m——力偶矩，N . m
第3章 力矩理论和力偶理论
二、力偶系的平衡 平衡条件:
M M 1 M 2 M n M i 0
M R ( M ix )2 ( M iy )2 ( M iz )2 0
M 空间力偶系的平衡条件： M M
ix iy iz
0 0 0
A
z
F B b
a
y
O x x=0,y=18,z=20,
Mx=18×43.3-20×17.7=426 N· m My=20×17.7=354 N· m Mz= –18×17.7=-318 N· m
l 3 30 cm， 例： 一长方体的边长分别为l1 50 cm，l 2 40 cm，
F＝50 2 N，试求此力对OA轴之矩。
Fx
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
z
x
Fxy
Fy Fy
j
y Fx
y
x
Fxy
M z (F ) xFy yFx
M x (F ) yFz zFy M y (F ) zFx xFz
力对轴之矩
MO
z F
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
[整体]
z M2
Mx 0 My=0, M1+M3 sin300=0
M3= –10N· m
M1
Mz=0,
y
M2+M3 cos300=0
O
M 2 5 3N m
M3
300
x
例6：图示杆BC上固定销子可在杆AD的光滑直槽中滑动，已 知：L=0.2m，M1=200N· m，a=300，试求：平衡时M2。
力偶与力偶矩
可见，平面力偶的力偶矩也是一个代数量。
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§3-2 力偶与力偶矩
一、力偶 大小相等、方向相反、 作用线相互平行而不重 合的两个力 ( F , F ) 。 力偶作用面、力偶臂d（两力作用线之间 的垂直距离） 力偶的两个力不是平衡力系。 力偶的两个力在同一坐标轴上的投影之 和为零。
力偶无合力，即在任何情况下，一个力 偶都不能与一个力等效。
力偶对物体只产生转动效应。
二、力偶矩
—— 度量力偶对物体转动效应的物理量 用力偶的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。
m o ( F ) m o ( F ) F ( d x ) F x Fd
力偶的两个力对其作用面内任 一点之矩的代数和，其大小恒 等于一力的大小与力偶臂的乘 积，而与矩心的位置无关；其 正、负号与力偶的转向有关。 定义力偶矩为
《力矩和力偶》 讲义
《力矩和力偶》讲义在物理学和工程学中，力矩和力偶是两个非常重要的概念。
它们在理解物体的平衡、转动以及机械系统的运作中起着关键作用。
接下来，让我们深入地探讨一下力矩和力偶的相关知识。
一、力矩力矩，简单来说，就是力使物体绕着某个点或轴转动的趋势。
它等于力的大小乘以从转动点到力的作用线的垂直距离。
这个垂直距离被称为力臂。
为了更形象地理解力矩，我们可以想象一个门。
当我们在门的把手处施加一个垂直于门面的力时，门就会绕着门轴转动。
力越大，或者力臂越长，门就越容易转动，也就是说产生的力矩越大。
在数学上，如果用 F 表示力的大小，L 表示力臂的长度，那么力矩M 就可以表示为 M ＝ F × L 。
力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
力矩的方向也很重要。
它遵循右手螺旋定则。
如果用右手握住转动轴，四指的方向沿着力使物体转动的方向，那么大拇指所指的方向就是力矩的方向。
在实际应用中，力矩有着广泛的用途。
比如在机械设计中，工程师需要计算各个部件所受到的力矩，以确保机械结构的稳定性和可靠性。
在日常生活中，我们使用螺丝刀、扳手等工具时，也是在利用力矩的原理。
二、力偶力偶则是由两个大小相等、方向相反、但不在同一直线上的平行力所组成的力系。
这两个力的作用线之间的垂直距离称为力偶臂，力偶中的一个力乘以力偶臂就得到力偶矩。
力偶的特点是它只能使物体产生转动效应，而不能使物体产生移动。
比如，当我们用两只手同时在一个轮子的两侧施加一对大小相等、方向相反的力时，轮子就会转动起来，这就是力偶的作用。
力偶矩的大小等于其中一个力的大小乘以力偶臂的长度，方向同样遵循右手螺旋定则。
力偶在很多工程和物理问题中都有着重要的应用。
例如，在汽车的方向盘转动、电动机的转子转动等情况中，力偶都发挥着关键的作用。
三、力矩与力偶的关系力矩和力偶既有联系又有区别。
联系方面，力偶可以看成是由一对力矩组成的，它们的作用效果都是使物体产生转动。
而且，在一定条件下，力偶可以用一个等效的力矩来代替，或者一个力矩也可以用一个力偶来等效。
力偶和力矩的相同点和不同点
力偶和力矩的相同点和不同点好嘞，今天咱们就来聊聊力偶和力矩，这两个听起来有点高大上的概念，其实和我们的日常生活密切相关。
你有没有想过，咱们日常搬东西、开门、拧瓶盖的时候，都是在运用这些原理呢？就像咱们吃饭时，用筷子夹菜，夹的角度和力度都能影响到最后的成果，真的是个微妙的平衡。
先说力矩吧。
力矩可以简单理解为一种“转动的力量”。
想象一下，你在用力把一个重重的门推开，没错，那就是在施加力矩。
力矩的大小不仅和你施加的力量有关，还和这个力量作用点到转动轴的距离有关系。
就像在摩天轮上，越往外坐，推一下就能转得更快。
这个概念其实就像咱们说的“力道加上方法”，你越懂得如何用力，效果就越明显。
再来看看力偶。
力偶有点像兄弟二人组，两个方向相反、大小相等的力，它们在一个点上作用。
就像你跟朋友一起试图撕开一张纸，左右各用一只手，虽然你们用的力是一样的，但却能让纸在中间“撕裂”。
力偶的特点就是可以产生转动，而不造成平移。
这个就像咱们说的“和谐共振”，两边一起用力，才能把事情做好。
嘿，你有没有觉得力矩和力偶其实挺像的？对吧，都是为了让物体转动。
但它们也有不同的地方，像力矩可以单独存在，而力偶就需要一对来发力。
就像一个人搞不定的事情，两个人合力才能搞定。
力矩可以随时出现，比如你在地上转动一个物体，而力偶则得在两个相反方向同时施力才行。
真的是“一个萝卜一个坑”，各自都有自己的用处。
生活中其实常常能看到这两者的身影。
比如，开瓶盖的时候，咱们用手拧，这就是一个力矩的运用。
而如果你和朋友两个人一起拧，那就成了力偶的协作。
咱们可以说，力矩就像是单打独斗的英雄，力偶则是团队合作的最佳代表，虽然目标一致，但方式却各不相同。
别忘了，这些力的运用不仅在理论中，咱们身边的很多事情都是这些力的实践。
比如转动一个玩具车的轮子，力矩让它转动，而用两只手同时转动某个物体，就得靠力偶。
这不就像生活中的合作与奋斗，只有搭档齐心协力，才能获得更好的结果。
咱们在日常生活中也会感受到这两者的不同。
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3.1.1 力对点的矩的概念
工程实践表明，作用在刚体上的力除了产生移动效应外，有时还产生转动效应。而且除了 刚体绕质心的转动效应，还有刚体绕任一点的转动效应。这在生产和生活中是常见的。 如用扳手拧螺母,作用于扳手上的力F使其绕固定点O转动，如图3.1所示。同时，力对刚 体绕某一固定点的转动效应不仅与力的大小有关，而且与固定点到该力的作用线的距离有 关。因此，在力学上以固定点到力作用线的距离的乘积作为度量力F使刚体绕固定点O转 动效应的物理量。这个量称为力F对O点的矩，简称为力矩。以公式记为： Mo(F)=±Fh (3-1) O点称为力矩中心，简称为矩心，距离h称为力臂。 在平面力系中，力对点的矩是一个代数量，力距的大小等于力的大小与力臂的乘积。其正 负号表示力使刚体绕矩心转动的方向。通常规定，力使刚体逆时针方向转动时力矩为正， 反之为负。力矩的单位是：牛顿·米（N·m） 必须指出的是，作用于刚体上的力可以对任意点取矩。 力矩在下列两种情况下为零： (1)力的大小等于零； (2)力的作用线通过矩心既力臂为零。
3.3.2 固定端约束
工程实践中还有一种常见的基本约束，称为固定端约束。如 图3.13所示，建筑物上的阳台，插入地下的电线杆，固定 在刀架上的车刀等。这些构件的结构形式都是固定端约束的 例子。 固定端约束的特点是构件的受约束端既不能向任一方向移动， 也不能转动。故固定端约束在一般情况下有一组正交的约束 反力和一个约束力偶矩，如图3.14所示。
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3.3.2 固定端约束
图3.13 固定端约束
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3.3.2 固定端约束
图3.14 固定端的约束反力
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3.4 实训与练习
力偶与力偶矩 3.2.2 平面力偶等效的条件 3.2.3 力偶的性质 3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.2 平面力偶与力偶矩
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3.2.1 力偶与力偶矩
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第3章 力矩和力偶
教学重点和难点： 平面内力对点的矩的概念及计算 合力矩定理 力偶的概念及平面力偶系的简化 力偶系的合成与平衡
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第3章 力矩和力偶
3.1 力对点的矩 3.2 平面力偶与力偶矩 3.3 力线的平移定理 3.4 实训与练习
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
图3.8 水平放置的工件
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.1.1 力对点的矩的概念
图3.1 力对点之矩
图3.1 力对点之矩
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3.1.2 力矩的计算
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3.1.3 合力矩定理
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3.1.3 合力矩定理
图3.4 齿轮力矩的计算
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3.1.3 合力矩定理
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3.2 平面力偶与力偶矩
3.2.1
1.力偶的概念 一对大小相同、方向相反而作用线相平行的力组成的力系称为力偶。如 上图的用丝锥攻丝和汽车司机转动方向盘等的一对作用力。记作（F、 F`）。力偶的两个力所在的平面，叫作力偶的作用面，两力作用线间的 距离叫作力偶臂，一般用d表示。由以上例子可知，力偶对刚体的作用 效应是使刚体产生转动。 2、力偶的矩 力偶由两个力组成，它的作用是改变刚体的转动状态。因此，力偶对刚 体的转动效果，可以用力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数和 来度量。
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3.4 实训与练习
图3.15 转动轮
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3.4 实训与练习
图3.16 平衡的轮子
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3.2.1 力偶与力偶矩
图3.6 力偶矩的计算
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3.2.2 平面力偶等效的条件
平面力偶的等效是指它们对刚体的作用效果相同。由于力偶 对刚体只产生转动效应，而力偶的转动效应取决于力偶的三 要素。因此平面力偶等效条件是：同一作用面内的力偶矩大 小相同，力偶的转向相同。因此可以得出两个推论： ① 只要不改变力偶矩的大小和力偶矩的转向，力偶的作用 位置可以在它作用平面任意移动而不改变它对刚体的作用效 果。 ② 只有保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和 力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效果。
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3.2.2 平面力偶等效的条件
图3.7 力偶矩的等效
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3.2力组成的，因此具有与单个力所 不同的性质。 ① 力偶无合力 力偶的两个力在任何坐标轴上的投影代数和为零，既力偶不 能与力等效，因此力偶也不能与力平衡。 ② 力偶对刚体的作用效果取决于力偶的三要素，而与力偶 的作用位置无关。 ③ 力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩。既力偶无 矩心。
第3章 力矩和力偶
（时间：2次课，4学时）
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第3章 力矩和力偶
教学目标： 本章我们研究力对刚体的转动效应，由此引入力对点的矩与 力偶的概念。通过本章的学习，学生将掌握平面力对点的矩 的概念及计算方法，熟练而正确地计算力对任意点之矩。理 解和掌握力偶的概念及平面力偶系的简化及平面力偶系的平 衡条件，正确应用平衡方程求解平面力偶系平衡问题。
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3.4 实训与练习
要求： 1.图示与文字叙述的结合表明力线平移的结论 2.结合力线平移的结论说明乒乓球运动中的各种旋转球的产 生与力向一点平移的关系
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3.4 实训与练习
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3.3.1 力线平移定理
图3.11 力线平移
图3.11 力线平移
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3.3.1 力线平移定理
图3.12 园周力F对齿轮与轴的作用
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力线平移定理 3.3.2 固定端约束
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3.3 力线的平移定理
由力的可传性原理知道，作用在刚体上的力 可以沿其作用线移至刚体上任意一点而不改 变其对刚体的作用效果。这一节的问题是， 在不改变力对刚体作用效应的前提下，能不 能将作用在刚体上的力平行移动到作用线以 外的任一点呢?力线平移定理回答这个问题。
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3.3.1 力线平移定理
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3.3.1 力线平移定理
力线平移定理：作用在刚体上的力，可以平行移动至刚体内任一点，移 动结果得到一个和原来大小相同，方向相同，作用线平行的力；同时产 生一个附加力偶，其力偶矩等于该力对新作用点之矩。 力线平移定理表明了力对绕力作用线以外的点转动的刚体有两种作用， 一是平移力的作用，一是附加力偶矩的使刚体产生的转动作用。如图 3.12所示，圆周力F作用于齿轮上，为观察力的作用效应，将力F平移 至轴心O点，由此，对齿轮与轴而言，有力F`作用在轮轴上同时附加力 偶矩M使齿轮转动。力线平移定理是力系向一点简化的理论依据，也是 分析和解决工程实践中力学问题的重要方法。
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.2.4 平面力偶系的合成与平衡
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3.3 力线的平移定理
3.3.1
思考内容 1.在什么情况下力对点之矩为零。 2.为什么力偶不能与一力平衡，力偶系的平衡条件是什么。 3.如图3-15-所示的力F和力偶（F`、F``）对轮的作用有何不同，轮的 半径均为r, F`= F``=F/2。 4.一力偶不能与一力平衡，而如图3.16所示的轮子为什么又能平衡呢。 5.如图3.17所示的四个力偶，其中有三个在Oxz平面内，有一个在Oxy 平面内，力偶中力的单位为(N)，长度单位为(mm)，试分析这些力偶 哪些是等效的，哪些是不等效的。 6.如图所示的构架，在杆AC上作用一力偶矩为M的力偶，当求铰链A、 B、C的约束反力时，试问能否将力偶M移到BC杆上，为什么。如果图 的结构形式改成图3.18(b)的形式，当求铰链A、B、C的约束反力时， 试问能否将力偶M移到BC杆上。
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3.2.1 力偶与力偶矩
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3.2.1 力偶与力偶矩
在力偶的作用中，两个力中其中任一个力与两个力之间的距离既力偶臂 的乘积称为力偶矩，一般记为Mo(F、F`)，简单为M。 力偶在其作用面内转向不同，其作用效果也不同。因此，力偶对刚体的 作用效果，由两个因素决定。 ① 力偶的矩的大小； ② 力偶在其作用面内的转向。 由此可见：力偶矩与力对点的矩一样也是代数量。其单位与力矩相同， 为牛顿·米（N·m） 既 M=± Fd (3-2) 其中力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面称为力偶的三要素。
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3.1 力对点的矩
3.1.1
力对点的矩的概念 3.1.2 力矩的计算 3.1.3 合力矩定理
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3.1 力对点的矩
力对刚体的作用效应有两种：一个是如果力 的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。另一个是如果力的作用线 不通过刚体的质心，则刚体将在力的作用下 边移动边转动。这一节我们研究的是力对刚 体的转动效应。
实训目的 掌握平面内力对点的矩的概念及计算方法 掌握合力矩定理 掌握力偶的概念及平面力偶系的简化与力偶 系的合成与平衡
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3.4 实训与练习
实训内容 实训 作用在刚体上的力若沿其作用线平移，并不影 响其对刚体的运动效应。但是，若将作用在刚体上 的力从一点平行移动至另一点，其对刚体的运动效 应将发生变化。怎样才能使作用在刚体上的力从一 点平移至另一点，而其对刚体的运动效应相同呢？