第四章 微分方程模型

3、用微元法建立微分方程； 4、确定微分方程的定解条件（初边值条件； 5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）； 6、模型和结果的讨论与分析。
第一节 微分方程的简单应用
一、物体在液面上的浮沉振动问题 问题：一个边长为3米的立方体浮于水面上， 已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉浮 振动的规律和质量。 问题的分析：设水的密度为1000kg／ m 3 ，当 物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿 基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中 的那部分同体积的水的重量。
在t时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学 定律知，铅球运动的两个微分方程是：
0 x m m mg y x (0) 0 y (0) h (0) v cos y (0) v sin x
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解之得
x vt cos 1 2 y gt vt sin h 2
*
o
x 11.4米
*
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模型2——铅球投掷模型
下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。
关于铅球的投掷过程我们假设：
1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生 一个水平的初速度 v 0 。
2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到 铅球出手有一段时间 t 。 0 3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球 上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手 角度 相同。 用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组 建铅球的投掷模型。
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进一步分析铅球投掷模型2，我们还可以得到铅球 投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型1所给出 的最佳角度。对模型2还可以给出类似于模型1的全 部分析，这些我们留给读者去完成。
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第二节 减肥的数学模型
问题：如何建立减肥的数学模型？
问题分析： “肥胖者”从某种意义下说就是脂肪过多以至 超过标准，数学建模就要由此入手。 模型假设： (1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其中 b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、 生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体 育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。
所以铅球的运动轨迹为
g 2 y 2 x x tan h 2 2v cos
令y=0 ，铅球落地的距离为
2 2 1 2
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(2 1)
v v 2h 2 x cos sin ( 2 sin ) v cos g g g
(2 2)
它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手 速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球 投掷模型。 11
y2 12500 150 t 50 e （克／升） 2 2 100 t (100 t ) (100 t )
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三、 铅球掷远的数学模型
问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h，出 手角度为 （与地面的夹角），建立投掷距离与 V、h、 的关系式，并在V、h一定的条件下求最 佳出手角度和最远距离。
>0，
dw ２、若a－b<( )w0 ，即净吸收小于总消耗， <0， dt 则体重减少。 dw ３、若a－b＝ ( )w0 ，即净吸收等于总消耗， =0 ， dt 则体重不变。 ４、当t→＋∞时，由(3-3)式知
a b W (t )
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这表明只要适当控制a（进食）、b（新陈代 谢）、 （工作、生活）、 （体育锻炼），要使体 重等于多少是“可能”的.
正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、 工作和锻炼的习惯，即要适当控制a、α＋β。对于 少数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代 谢的改变也是必要的。
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思考题：
某人每天由饮食获取10500焦耳的热量，其中 5040焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付 67.2焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转化为脂 肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问 此人的体重如何随时间变化？
由（2-1），关系式（2-2）可表示为
x g 2v cos (h x tan )
2 2 2
dx 得最佳出手角度为 由 0， d v *
arcsin
2(v gh)
2
投掷的最远距离
v 2 x v 2 gh g
*
设h=1.5米，v=10米/秒 ，则
41.4

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二、液体的浓度稀释问题
问题：有两只桶内各装100升的盐水，其浓度为 0.5克／升。现用管子将净水以2升／分钟的速度输送 到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子以2升 ／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅 拌均匀，然后用管子以1升／分钟的速度输出，问在t 时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？ 解： 设y1 y1 (t )、
a b w (t t ) w (t ) t w (t )t 42000 42000
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体重变化的数学模型：
dw (a b) ( ) w 42000 dt w (0) w0 应用分离变量法，解方程(3-1)得
利用初始条件得
1 t ln (a b) ( ) w C 42000
(3 1)
( 3 2)
1 C ln (a b) ( ) w0
( ) t 42000
从而得
a b a b ( )w0 w e
模型1——抛射模型
在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内 用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度 和投掷角度对铅球的影响。 假设： 1、铅球被看成一个质点。 2、铅球运动过程中的空气阻力不计。
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3、投掷角和初速度是相互独立的。 4、设铅球的质量为m， 建立坐标系如图
M ( x, y )
(3 3)
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对(3-3)式求导得
dw (a b) ( ) w0 e dt 42000
( ) t 42000
(3 4)
由(3-1)、(3-3)及(3-4)可以对减（增）肥分析如下： １、若a－b>( )w0 则体重增加。
dw ，即净吸收大于总消耗， dt
第二只桶在t到t＋t 内盐的改变量
故 y1 50e

t 50
y2 (t t ) y2 (t ) 流入 流出
y1 (t ) y2 (t ) 2t 1 t 100 100 (2 1)t
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将y1 50e 50 代入得： t dy2 y2 (t ) 50 e 100 t dt y (0) 50 2
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第三节 推断醉驾与凶杀案发生时间的数学模型
例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为 不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小 时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个 小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发 生时,司机是否违反了酒精含量的规定?
解 建立模型
设 x(t ) 表示 t 时刻血液中酒精的浓度，则由平
衡原理，在 [t , t t ] 时间段内，酒精浓度的改
变量 得
x(t t ) x(t ) kx(t )t
(2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有 效，而1千克脂肪含热量是42000焦耳。 19
(3)设体重W是时间t的连续可微函数，即W＝W(t)。 数学建模： 每天：体重的变化＝输入－输出 输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。
输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。 ab 于是每天净吸收量＝ 42000 w 每天净输出量＝ 42000 所以在t到t＋ t 时间内体重的变化：
y2 y2 ( t )
分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量，单 位为克，
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第一只桶在t到t＋t 内盐的改变量为
y1 (t ) y1 (t t ) y1 (t ) 0 2t 2t 100
y1 (t ) dy1 dt 50 y1 (0) 50
由假设1，有
C1 v0 , C2 0
F x (t 0 ) t 0 cos v 0 m
y(t 0 ) F t 0 sin gt 0 m
于是我们得到
由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度
v x(t 0 ) 2 y(t 0 ) 2 ( F F 2 t 0 cos v0 ) ( t 0 sin gt 0 ) 2 m m 15
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模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况， 因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过 程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。 若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和 铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有
为力的 式中m为铅球的质量，F是对铅球的推力， 方向既铅球的出手角度。
F2 2F 2F 2 2 ( 2 g g sin )t0 v 0 t0v0 cos m m m
(2 4)
式中 t 0 是推铅球时力的作用时间。 将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。
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v v 2h 2 x cos sin ( 2 sin ) v cos g g g
F2 2F 2F 2 2 v ( 2 g g sin )t0 v 0 t 0v0 cos m m m
2
2
1 2
(2 2)
(2 4)
分析出手速度模型(2-4)，不难看出v随着F和 t 0 的增加而增大，显然v随着 v 0 的增加而增大。这与 0 我们的常识也是一致的。由于 ，由(2-4)式 2 还可以看出v将随着 的增加而减少。因此，当 推力F和作用时间 t 0 不变时，运动员要提高铅球 的出手角度 ，就必须以降低出手速度为代价， 所以对于铅球投掷来说，模型1所给出的“最佳出 手角度”不一定是最佳的。
设物体的质量为m，物体在t时刻相对于静止 位置的位移为x，即x＝x(t), 由阿基米德原理知，引起振动的浮力为： x×3×3×1000g＝9000gx (N)
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由牛顿第二定律得 d2x m 2 9000gx dt 其中g＝9.8m／ s2 。
(1 4)
方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。 易得方程(1-4)的通解为 9000g 9000g x c1 cos t c2 sin t m m 2 于是周期为 T 2 9000g m 9000 g m 8937 (kg ) 解得 2
第四章 微分方程模型
a、微分方程建模的对象 涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动 ”、“追赶”、“逃跑”、、、等等词语的确 定性连续问题。 b、微分方程建模的基本手段 微元法 等。
c、微分方程建模的基本规则
1 、寻找改变量 一般说来微分方程问题都 遵循这样的文字等式 变化率（微商）=单位增加量--单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。 2、对问题中的特征进行数学刻画。
解一阶线性微分方程得
y2 (t ) dy2 1 y1 (t ) dt 50 100 t t y2 (0) 50
所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为
1 y2 y2 (t ) [12500 50(150 t )e 100 t
t 50

t 50
]
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球， t t0 时铅球出手，在区间 (0, t 0 )上积分（2-3）可得
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mx(t ) F cos my(t ) F sin mg
(2 3)
F x(t 0 ) t 0 cos C1 m F y (t 0 ) t 0 sin gt 0 C 2 m 其中C1 , C 2 分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。