最新微分方程及其分类

，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
面的讨论，只不过得到的
和
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
于是 所以 方程(10.2.11)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、 泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型．
综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式
即可.
10.3 二阶线性偏微分方程标准化
又因为这个解中含有两个独立的任意常数 C1 ,C2 ， 而方程为二阶微分方程，所以 函数 yC1si2nxC2co2sx是 , 原方程的
把 y x 0 条 0 代 y 件 C 1 入 s2 i x n C 2 c2 x o 得 , s C2 1
把 y x 0 条 1 代 y 件 2 C 1 入 c 2 x o 2 C 2 s s2 x i得 n
C1
1 ,
2
因此方程满足初始条件的特解为
y1sin2xco2sx 2
二阶线性偏微分方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方 法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏 微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微 分方程求解是十分有用的.
10.2 数学物理方程的分类
(10.2.4)
或者进一步作变换 于是有 所以
又可以进一步将方程(10.2.11)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型．
2．当判别式
时：这时方程
(10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行
理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨 论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
其中
定理10.2.1 如果
的一般积分，则
（10.2.1）
为
的已知函数．
是方程
(10.2.2)
d2y dx2
4y
0
的解, 并求满足初始条件 y x0 0, y x0 1 的特解.
解
d dx y2C1co2xs2C2si2n x,
d2y d2 x4C1si2n x4C2co2xs 代 入 原 方 程 ， 有
4 C 1 s 2 x i 4 C n 2 c 2 x o 4 C 1 s s 2 x i 4 C n 2 c 2 x o 0 . 故函 y数 C1si2nxC2co2x s是 , 原方程
例 yxy, y2y3yex, (t2x)d t xdx0.
2.微分方程的分类
常 微 分： 方 未程 知 函 数 是 一微 元分 函方 数程 的 偏 微 分 方 未程 知： 函 数 是 多微 元分 函方 数程 的
3.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶 的微分方程？
微分方程及其分类
函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具 ，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是 十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接 找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有 时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这 样的关系式就是所谓的微分方程。
一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方 程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解 也表现出各自不同的特点．
我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
则当
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时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏
(1y)x2ysin x (2)xy d(1x x2)d y0
(3)yy0
(4 )y3yx1
(5)x(y)2x21 (6)y33y2x4
解 （1）是，1阶； （3）是，2阶； （5）是，1阶；
（2）是，1阶； （4）是，3阶； （6）不是。
4.微分方程的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。 （1）微分方 程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与
对于二阶线性偏微分方程
若判别式为 线性偏微分方程分为三类：
(10.3.1) ，则二阶
时，方程称为双曲型; 时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
设特征方程的解为
令
(10.3.2)
是方程
(10.2.3) 的一个特解． 在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(10.2.10)可
也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
．所以，方程(10.2.6) 即为
例1 一曲线通过点 (1, 2) ，且在该曲线上任一点 M(x,y)切线的斜率为 2x ，求这曲线的方程。
解 设所求曲 y线 y(x)为 。则y有 2x 对上式两边积分有 y x2 C
由于所求曲线通过点 (1, 2) 即满y足 x12
则C1. 所求曲线方程 y为 x2 1.
1.微分方程的定义 凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方 程叫微分方程。
微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解 （2）微分方程的特解 当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解 （3） 微分方程的初始条件
确定通解中的任意常数的附加条件。 5.微分方程解的几何意义
通解的图象: 积分曲线族.
特解的图象: 微分方程的积分曲线.
例3 验证:
y C1 sin2x C2 cos 2x 是