信号的采样与重构__上机实验

上机实验指导

实验一 信号的采样与重构

连续时间信号采样是获得离散时间信号的一种重要方式，但是时域上的离散化会带来信号在频域上发生相应的变化。在本实验中，我们将分别看到低通信号和带通信号在不同的采样率下得到的离散信号波形与连续信号波形在时域和频域上的对应关系。同时，离散信号的二次采样在实际的应用中可能是必须的，有时甚至是非常重要的。在实验的最后，我们也会看到离散信号的抽取和内插所带来的频谱变化。

由于matlab 语言无法表达连续信号，实验中我们采用足够密的采样点来模拟连续信号（远大于奈奎斯特采样的要求），即：

t=0:Ts:T （Ts=1/fs<<奈奎斯特采样频率）

实验中，为了分析离散信号与连续信号之间的频谱关系，加深对采样定理的理解，了解模拟频谱、数字频谱、以及离散信号被加窗后各自的频谱，从而直观的理解采样频率对频谱的影响和加窗后对频谱的影响。由此可以掌握数字处理方法对模拟信号进行频谱分析的基本原则，即：如何选择合适的信号长度、采样周期以使得对模拟信号的频谱分析的误差达到分析的要求。

在该实验中，用到的Matlab 函数有:

plot(x,y)，其作用是在坐标中以x 为横坐标、y 为纵坐标的曲线，注意x 和y 都是长度相同的离散向量；

xlabel(‘xxx ’)，其作用是对x 轴加上坐标轴说明“xxx ”；

ylabel(‘yyy ’)，其作用是对y 轴加上坐标轴说明“yyy ”；

title(‘ttt ’)，其作用是对坐标系加上坐标轴说明“ttt ”；

subplot(m,n,w)，其作用是当需要在同一显示面板中显示多个不同的坐标系时，m 、n 分别指明每行和每列的坐标系个数，w 为当前显示坐标系的流水号(1到m*n 之间)。

在实验中我们需要画出信号的频谱，对于连续信号频谱的逼近需要你自己编写，原理如下：

连续时间非周期信号()x t 的傅里叶变换对为：

()()j t X j x t e dt ∞-Ω-∞Ω=⎰ 用DFT 方法对该变换逼近的方法如下：

1、将)(t x 在t 轴上等间隔（宽度为T ）分段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲的幅度为其起始点的抽样值)(()(n x nT x t x nT t ===），然后把所有矩形脉冲的面积相加。该方

法实际为平顶处理，利用采样和零阶保持器就可以完成,则有：

∑∞-∞=Ω-⋅≈

Ωn nT j T e nT x j X )()(

2、将序列)()(nT x n x =截断成从t=0开始长度为0T 的有限长序列，包含有N 个采样，即时域加矩形窗，则上式又可以进一步近似为：

1

0()()N j nT n X j T x nT e --Ω=Ω≈∑ 由于时域采样，采样频率为1s f T

=，则频域产生以s f 为周期的周期延拓，如果是限带信号，则有可能不产生混叠，成为连续周期频谱序列，频域周期为s f 。

3、由于数值计算的限制，在频域上也只能计算离散点（频域抽样）上的数值。我们将频域的一个周期)(s f 中也分成N 段，即0NF f s =。每个频域采样点间的间隔为0F 。则上式可以进一步化简为：

{}

001

002211()()00()()()()[()]|s N jk nT

n F N N jnk jnk f N x n x nT n n X jk T x nT e T x nT e

T x nT e T DFT x n ππ--Ω=----===Ω≈===∑∑∑ 由此我们看到了DFT 与CTFT 之间的近似关系。如果将T 和0F 取得尽量小，则我们可以得到模拟信号的较精确的时频特性。

一、低通采样

考虑以下模拟信号x a (t) ，x a (t)=cos(2*pi*f 0*t)+ 2*cos(2*pi*10*f 0*t),令f 0=100Hz 。显然该信号的最高频率1kHz 。

1． 采样频率f s 大于信号最高频率10f 0的2倍时信号的恢复。

1）对信号以f s1=2.2kHz 的频率进行采样，得到抽样信号x(n)= x a (t)|t=nT ；

2）利用内插公式x r (t)=x(n)*[sin(pi*(t-n*Ts)/Ts)/ (pi*(t-n*Ts)/Ts)]恢复出原始

信号x ^a (t)；

3）绘出Δx(t)= x a (t)- x ^a (t)的时域波形；

4）利用前面介绍的画频谱的方法画出x a (t)和x(n)的频谱，对应3）中的误差曲线和频谱图说明是否有新的频率分量产生，是何原因？

2． 采样频率f s 低于信号最高频率10f 0的2倍时信号的恢复。

分别取fs=6*f0和fs=14*f0，重复1中的操作，注意观察时域波形和频谱的对应变化。

二、带通采样

通过该题目进一步加深对带通信号采样定理的认识，即不需要象低通采样那样需要信号最高频率的2倍才能恢复出原始信号。

带通信号的采样定理可描述如下：如果模拟信号f(t)为带通信号，其角频率限制在f L 和f m 之间，则必须的最低采样频率f s >=2（f m －f L ）。且当采样率满足f s ＝4 f 0/(2n+1)（f 0 ＝

（f m ＋f L ）/2为信号的中心频率，n=0,1,2,……），则可以无失真的从采样信号中恢复原始信号。注意当fs 的取值大于2fm 时，与低通采样定理意义相同。

考虑模拟信号x a (t) ，x a (t)=cos(2*pi*f 0*t)+ 2*cos(2*pi*f 1*t),令f 0=1.6kHz ，f 1=2kHz 。该信号带宽0.4k<

1．请你根据带通采样定理，选取适当的采样速率以得到抽样信号x(n)，然后同样用内插公式恢复成模拟信号，并思考如何由该模拟信号得到原来的带通信号。

2．请绘出带通信号的频谱及x(n)的频谱，观察并比较它们。

三、加窗后信号幅频特性的变化

考虑一个以指数率衰减的信号x a (t)=e -at

cos(2*pi*f0*t)，为简便起见，复数形式表示

为x a (t)=e -at e 2*pi*f0*t 。现在以fs=1/T 抽样，则得到抽样信号x(n)=x a (nT)，n=…,-3,-2,-1,0,1,2,…。这样的无限长序列计算机是无法存储的，通常的做法是令x L (nT)=x(nT)，n=0,1,.…,L-1，它是长度为L 的加窗信号。

模拟、采样、加窗后信号的频谱幅度如下： 22201()[2()]a X f f f απ=

+- 2201()12cos[2()]T T X f e f f e

ααπ--=--+ 22

02012cos[2()]()12cos[2()]TL TL

L T T e f f L e X f e f f e ααααππ------+=--+ 我们有极限 lim ()()L T X f X f →∞

=，lim ()()s a f T X f X f →∞= 其中：α=0.2s -1,f0=0.5Hz ，fs=1Hz 。

1、请在同一图中绘出模拟信号频谱|Xa(f)|2及采样信号频谱T|Xa(f)|2,在另外一张图

中绘出三个频谱|Xa(f)|2, T|Xa(f)|2,T|X L (f)| 2 (频率范围:0

2、改变x L (nT)=x(nT) 的长度L 并重复1，观察其中的变化。

四、信号的抽取和内插

设离散时间信号为汉宁窗信号（升余弦）：

)()]1

2cos(1[21)(n R N n n x N --=π 当N=32时：

1、 给出)(n x 的幅频特性曲线；

2、 给出x(n)经两倍抽取之后的幅频特性；

3、 给出x(n)经两倍内插之后的幅频特性；

4、 当N=16时，重复1、2、3。