高中数学《三角函数》

一、弧度制与任意角的三角函数1．角的概念：一条射线绕着端点旋转所成的图形．按其旋转方向分为：正角，零角，负角．2．任一已知角α的弧度数的绝对值l r α=；180πrad ︒=，1801rad 57.30π︒⎛⎫=≈︒ ⎪⎝⎭；3．三角函数定义：在平面直角坐标系中，()P x y ，为α终边上原点外的任意一点，22r x y =+，α的正弦：sin y rα=；余弦：cos x r α=；正切：tan yx α=；4．同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=．5．诱导公式：角π2k α⋅±()k ∈Z 与α的三角函数值的关系：奇变偶不变，符号看象限．（k 的奇偶，函数名互变） 二、三角函数的图象与性质1．正弦函数sin y x x =∈R ，⑴图象：正弦曲线（如右）；⑵定义域：R ；值域：[11]-，；周期：2π； ⑶奇偶性：奇函数；⑷单调增区间：ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；单调减区间：π3π2π,2π()22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 2．余弦函数cos y x x =∈R ，的图象由正弦曲线向左平移π2个单位； 知识梳理知识结构图第8讲三角函数yx O 2ππ-π-2π3．正弦型函数sin()y A x ωϕ=+，可由正弦函数经过平移与伸缩变换得到，可以研究它的性质；4．正切函数πtan π()2y x x k k =≠+∈Z ，；三、三角恒等变换1．两角和与差的三角函数正弦公式：()S :sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+， ()S :sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-； 余弦公式：()+C :cos cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-， ()C :cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+； 正切公式：()tan tan T :tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅， ()tan tan T :tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅．2．二倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-． 3．辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+，其中tan b aϕ=．尖子班学案1【铺1】 （2008宣武二模文2）已知sin cos 1θθ->，则角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B考点：任意角的三角函数、同角三角函数关系、诱导公式 【例1】 ⑴ 若α为第二象限角且coscos22αα=-，则2α在第_______象限．⑵ 记cos(80)k -︒=，那么tan100︒=（ ）A ．21k k -B ．21k k -- C ．21k k - D ．21k k --⑶ 设π04α<<，若6sin cos 2αα+=，则1tan 1tan αα+=- ．⑷ 已知π1sin 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πsin πsin 63x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．【解析】 ⑴ 三<教师备案>α为第二象限角时，2α是哪个象限角，3α是哪个象限角？π2π,2ππ2k k α⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），于是πππ,π242k k α⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，讨论k 的奇偶可得2α为第一或第三象限角；2ππ2ππ,33633k k α⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，当0,1,2k =时，得到3α为第一、 二、四象限角．经典精讲12341234 y x4321也可通过直接划分象限得到，以判断3α所在象限为例：将每个象限平均分为三份（因为判断的是3α），从x 轴正 半轴开始，依逆时针方向分别循环标上1,2,3,4，如图， 当α为第二象限角时，所有标上2的部分为3α可能在的位置． ⑵ B ⑶⑷ 1916【备选】 已宽为1的长方形木块，在桌面上无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一个小木板档住，如图，使木板底面与桌面成30︒的角，问点A 走过的路程及走过的弧度所在的扇形的总面积．【解析】 三段圆弧所对扇形的总面积为2221π1π1π721π2222234⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．尖子班学案2【铺1】 （2010海南文10）若4sin 5α=-，α是第三象限的角，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A． BC． D【解析】 A目标班学案1【铺2】tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒︒的值是____________． 【解析】考点：三角恒等变换【例2】 ⑴（2009东城二模文6）若3cos25θ=，4sin 25θ=，则角θ的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限⑵（2008山东文10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A． BC ．45-D ．45⑶已知πcos 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π3π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．求sin x 、πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与πtan 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【解析】 ⑴ B⑶ sin x =45；πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；π31tan 2417x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．【备选】求cos10(tan10sin50︒︒⋅︒的值． 【解析】 2-．尖子班学案3【铺1】 （2009天津理7）已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0x ω∈>R ，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度【解析】 A考点：正弦型函数与图象变换【例3】 ⑴（2010福建文10）将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12⑵（2009天津文7）已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0x ω∈>R ，的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A ．π2 B ．3π8 C ．π4 D ．π8⑶（2010天津文8）右图是函数()sin y A x x ωϕ=+∈R ，在区间π5π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将()sin y x x =∈R 的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解析】 ⑴ B⑵ D目标班学案2【拓2】 ⑴（2010辽宁理5）设0ω>，函数πsin 23y x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π3个单位后与原图象 重合，则ω的最小值是（ ）A ．23B ．43C ．32D ．3⑵（2011江南十校二模文8）若将函数πsin 6y A x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0A ω>>的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ω的值可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 ⑴ C⑵ D考点：正弦型函数的图象性质【例4】 ⑴（2010朝阳一模文4）下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的是（ ）A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑵（2010重庆文6改编）下列函数中，是偶函数，且在ππ42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数的是（ ）A ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑶（2009全国Ⅰ文10）如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4π3⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么ϕ的最小值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2⑷（2010东城二模文14改编）已知函数()sin f x x ω=，π()sin 22g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，有下列命题：①当2ω=时，()()f x g x 的最小正周期是π2；②当1ω=时，()()f x g x +的最大值为98，最小值为2-；③当2ω=时，将函数()f x 的图象向左平移π2可以得到函数()g x 的图象．④当2ω=时，()()f x g x +的对称中心为π3π,0()28k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）．【解析】 ⑴ D⑵ A ⑶ A⑷ ①②④【备选】 （2010江苏10）设定义在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为 ． 【解析】 23考点：三角函数性质综合【例5】 （2010海淀一模文15）已知函数()()sin ,f x A x x ωϕ=+∈R （其中00A ω>>，， ππ22ϕ-<<），其部分图象如图所示． ⑴ 求()f x 的解析式； ⑵ 求函数ππ()44g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值及相应的x 值．【解析】 ⑴ π()sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；⑵ 当π4x =时，()g x 取得最大值12．【备选】 已知函数()2π2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，⑴求()f x 的周期和单调递增区间；⑵若关于x 的方程()2f x m -=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围．【解析】 ⑴单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．⑵ []0,1m ∈．考点：三角函数与二次函数结合【例6】 是否存在实数a ，使得函数253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，请说明理由．【解析】 存在32a =满足题意．【备选】 设函数2()sin cos f x x x a =++，⑴ 若()0f x =有实数根，试确定实数a 的取值范围．⑵ 若171()4f x ≤≤对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ 5,14a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦⑵ 23a ≤≤．已知1sin cos 5θθ+=，且θ是第二象限角，则cos 2θ的值是________．【解析】 7cos225θ=-．（2011北京文15）已知函数π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑴ 求()f x 的最小正周期：⑵ 求()f x 在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ ()f x 的最小正周期为π⑵ ()f x 的最大值为2；()f x 的最小值为1-．【演练1】（2009海淀一模文1）若sin 20α>，且cos 0α<，则角α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 C【演练2】（2010崇文二模文4）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）A ．πsin 23y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．1πsin 26y x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．πsin 23y x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．1πsin 26y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，真题再现实战演练【解析】 B【演练3】（2010陕西文3）对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）A ．()f x 在ππ42⎛⎫⎪⎝⎭，上是递增的 B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 的最大值为2【解析】 B【演练4】（2010崇文一模文13）若π3πcos ,π252αα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则tan α= ． 【解析】 34-【演练5】（2010宣武二模文7）已知命题⑴α∃∈R ，使sin cos 1αα=成立；⑵α∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+成立；⑶αβ∀∈R ，，都有()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-成立．其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【解析】 C【演练6】（2010宣武文15）已知函数22()2sin cos sin cos ()2222x x x xf x a a =+-∈R⑴ 当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵ 当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos21sin 2xx +的值．【解析】 ⑴最小正周期为2π，对称轴方程为3ππ()4x k k =+∈Z ，⑵ 13．（2009北京大学自主招生保送生测试4）已知对任意x 均有cos cos 21a x b x +-≥恒成立，求a b +的最大值．【解析】 2cos cos 21a x b x +-≥即22cos cos 10b x a x b +-+≥．记2()21f x bx ax b =++-，则对[11]x ∀∈-，，()0f x ≥恒成立． 考虑将a b +转化为函数在某处的取值，2()(21)1f x x b ax =-++，令221x x =-，解得1x =或12-．有1(1)011()1022a b f a b f ++=⎧⎪⎨⎛⎫-++=- ⎪⎪⎝⎭⎩≥≥，∴12a b a b +-⎧⎨+⎩≥≤． 现考虑最大值能否取到．2a b =-时，2()2(2)(1)f x bx b x b =+-+-，22(2)8(1)(32)0b b b b ∆=---=-≥，大千世界取23b=，43a=时，0∆=，()0f x≥恒成立，故a b+可取到2．从而a b+的最大值为2．本题也可以由(1)10(1)10(0)10f a bf a bf b=++⎧⎪-=-++⎨⎪=-⎩≥≥≥去确定()a b，的大致范围，再讨论得到a b+的最大值．。