金融数学--第二章
金融数学引论答案第二版
金融数学引论答案第二版【篇一：北大版金融数学引论第二章答案】>第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+x 元，年利率7%。
计算x 。
解：s = 1000s?7%+xs?7%20p10p20px = 50000 ? 1000s?7% = 651.72s?p7%102．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：设首次付款为x ，则有10000 = x + 250a?p1.5%48解得x = 1489.3613．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i =n解：p v = na?npi= 1nn+2 =(n + 1)nn2n4．已知：a?pn= x，a?p2n= y 。
试用x和y 表示d 。
解： a?p2n= a?pn+ a?p (1 ? d)则nny ? xd = 1 ? ( x ) n5．已知：a?p7= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。
计算i。
11p18p解：a?p = a?p + a?p v718711解得=i = 6.0%10?p +a∞?p6.证明： 11?v10s。
s10?p北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s?p + a∞?p=s?10p10+101 = 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。
解：p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：设每年退休金为x，选择65岁年初为比较日=解得x = 8101.658。
金融数学总复习.
期权和期货同属金融衍生品，只有一字之差，含 义却大不相同
权利义务不同 :期货交易中，买卖双方具有承担的权 利义务是对等的。交易双方必须按照最终的期货交易 价格执行合同。而在期权交易中，期权买方可以选择 行使权利也可以选择放弃行权，当价格对期权买入方 不利时，期权买入方可以放弃行使权利。期权卖方则 有被动履约的义务，如果买方要求行权，卖方必须按 照约定价格履约。 盈亏风险不同 期货交易中，买卖双方都面临盈亏风险都是无限的。 而在期权交易中，期权买方的潜在盈利是不封顶的， 潜在亏损空间却是有限的。而期权卖方则相反，收益 有限，亏损风险却是无限的。
10. 欧洲美元期货是一种（ ）。 A.短期利率期货 B.中期利率期货 C.长期利率期货 D.中长期利率期货
解：A【解析】欧洲美元存单的期限一般为3 到6个月，因此欧洲美元期货为短期利率期货。
11.2007年4月16日，某中国公司签订了一 份跨国订单，预计半年后将支付1000000 美元，为规避汇率风险，该公司与当天向 中国工商银行买入了半年期的1000000美 元的远期合约，起息日为2007年10月18 日。设工商银行4月16日远期外汇期限为6 个月美元兑人民币的现汇买入价和卖出价 分别为760.4和764.21.半年后（2007年 10月18日），中国工商银行的实际美元现 汇买入价与卖出价分别为749.63和752.63， 问该公司在远期合约上的盈亏如何？
利率期货
如果把期货合约的概念应用到短期利率期货时，它的 基础资产则为利率，也就是说，我们可以把交易的对 象想象成一份名义上的定期存款。 买进一份利率期货合约等同于到银行存入一笔存款； 而卖出一份利率期货合约则相当吸收一笔存款，或相 当于借款。 分为短期债券期货合约和中长期债券期货合约
（完整版）金融数学课后习题答案
（完整版）金融数学课后习题答案第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)A(0)=t2 + 2t + 33In = A(n) ? A(n ?1)= (n2 + 2n + 3) ?((n ?1)2 + 2(n ?1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n).解:(1)I = A(n) ? A(t)= In + In?1 + + It+1=n(n + 1)2t(t + 1)2(2)I = A(n) ? A(t)=Σnk=t+1Ik =Σnk=t+1Ik= 2n+1 ?2t+13. 已知累积函数的形式为: a(t) = at2 + b 。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
第1 页解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)A(0)= 1.72a = 0.08,b = 1∴A(5) = 100A(10) = A(0) ? a(10) = A(5) ? a(10)a(5)= 100 × 3 = 300.4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1)t. 解：(1)i5 =A(5) ? A(4)A(4)=5120≈4.17%i10 =A(10) ? A(9)A(9)=5145≈3.45%(2)i5 =A(5) ? A(4)A(4)=100(1 + 0.1)5 ?100(1 + 0.1)4100(1 + 0.1)4= 10%i10 =A(10) ? A(9)A(9)=100(1 + 0.1)10 ?100(1 + 0.1)9100(1 + 0.1)9= 10%第2 页5.设A(4) = 1000, in = 0.01n. 试计算A(7) 。
金融数学完整课件
金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。
与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。
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一、金融与金融数学
金融数学 是金融经济学的数学化。金融经济学的主要 研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通 过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。
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二、金融数学的发展历程
第二个时期为1969-1979 年：
这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人 物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔 斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、罗斯 （Ｓ.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克 (S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。
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补充： 金融数学基础
第一节 微积分在数理金融中的应用 第二节 线性代数在数理金融中的应用 第三节 随机过程在数理金融中的应用
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第三节 随机过程在数理金融中的应用
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
20பைடு நூலகம்0/3/10
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二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果 频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
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《金融数学》ppt课件(1-2)利息度量
重新整理得
1-
d
1
d (m) m
m
d
1-
1
d (m) m
m
d(m)
1 1
m1-(1-d)mm1-vm
a
20
Example：Find the present value of $1000 to be paid at the end of six year at 6% per annum payable in advance and convertible semiannually.
i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息 d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息
a
27
思考题
某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利 率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。 请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利 率不变，为0.72%。 1年按360天计算，每月按30天计算。
a
29
回顾：
年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。
名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长 强度（月平均）。
问题：
哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实 际利率？
如何度量资金在每一个时点上的增长强度？
在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了 资金在一个时点上的增长强度。
a
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nominal annual rate of discount is 10%
Compounding times per year 1(每年)
2(每半年) 4(每季) 12(每月) 52(每周)
金融数学公式
公式汇总复利的累积函数：()()()()()⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=--tt dttmtm tmtm te e m d d m i i t a 01111δδ单利的累积函数：()it t a +=1 各种利息度量工具之间的关系：（1）()()nn n d v i i id ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅=+=111 （2）()1111-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-=δe m i d d i mm （3）d v -=1（4）id d i =- （5）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=111m m i m i（6）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n n n v n d n d11111 （7）()()nn mm n d m i -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+11（8）()i +=1ln δ第一章 利息基本计算1.1 利息基本函数 1.1.1 累积函数 实利率：)()()(112,21t a t a t a i t t -=1.1.2 单利和复利 单利：it t a +=1)( 复利：()ti t a +=1)(1.1.3 贴现函数贴现函数： 单利 ()()dt it t a -=+=11-1-1复利 ()()()ttd i t a -=+=11--1实贴现率：)()1()(n a n a n a d n --=贴现因子：()ii v -+=1 关系式：（1）d d i -=1 i iid <+=1 （2）iv d = （3）v d -=1 （4）id d i =-1.1.4 名利率和名贴现率名利率：()mm m i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+11名贴现率：()pp p i d ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11关系式：(1)()()m i d m m 111=-(2)()()()()2m d i m d m i m m m m ⋅=- 1.1.5 连续利息函数 利息力函数：()()t a t a t '=δ 利息力：()()d v i --=-=+=1ln ln 1ln δ累积函数：()δδe ds t a ts =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰0exp贴现力函数：()[]()[]t a t a t11--'-=δ 贴现函数：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-t s ds t a 01exp δ 关系式：（1）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1m m e m i δ (2)()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-p p e p d δ1 (3)()()δ==∞→∞→p p m m d i lim lim (4)()()i i d d m p ≤<<≤δ1.2 利息基本函数1.2.1 时间单位的确定 1.2.2 价值方程 1.2.3 等时间法 1.2.4 利率的计算第二章 年金2.1 基本年金 2.1.1 期末年金 现值：iv v v v a nnin -=+++=12终值：()()()()ii i i i s nn n in 11111121-+=+++++++=-- 关系式：(1)()ni n i n i a s +=1 (2)i s a in i n +=11 2.1.2 期初年金现值：dv v v v ann i n -=++++=-1112终值：()()()()di i i i s nn ni n 111112-+=++++++=-关系式：(1)()ni n i n i a s +=1(2)d sa i n i n += 11 (a)()i n i n i n i n a a a i a111-+=+= ，(b)()111-=+=+i n i n i n i n s s s i s，2.1.3 递延年金i n m i m i n m a v a a =-+2.1.4 永久年金期末年金现值：i a v v a i n n i 1lim 2==++=∞→∞期初年金现值：da v v ai n n i 1lim 12==+++=∞→∞ 2.1.5 剩余付款期不是标准时间单位的计算2.2 广义年金2.2.1 付款周期为利息换算周期整数倍的年金1、付款总次数为有限的情形(共付款kn次)期末年金现值：i k i n nk k s a v v v =+++ 2 终值:()ik in i k i n n s s s a i =+1 期初年金现值：i k i n a a 终值： ik in a s2、付款总次数为无限的情形 期末年金现值：ik k k is v v 12=++ 期初年金现值：ik k k ia v v 112=+++ 2.2.2 利息换算周期为付款周期整数倍的年金1、付款总次数为有限的情形(共付款mn 次) 期末年金现值：()()m n nm n m m m in i v v v v v m a -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-11121 终值：()()()()()m nnm in m i n ii i a s 111-+=+=期初年金现值：()()m n mn m m m in dv v v v m a -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-111121 终值：()()()()()m nnm i n m i n di i a s111-+=+=关系式：（1）()()i n m m i n a i i a = ，()()i n m m i n a dd a = ； （2）()()i n m m in s iis = ，()()i n m m in s dd s = ；（3）()()m m iii a =1 ，()()m m i d i s =1 ；（4）()()i n m m i a m i i ia ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1（5）()()i n m m i s m i ii s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1 2、付款总次数为无限的情形 期末年金现值：()()m m m m ii v v m a1121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞ 期末年金终值：()()m m m m id v v m a 11121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞ 2.2.3 连续年金 现值：i n nnnti n a ie v dt v a δδδδ=-=-==-⎰110终值：()()i n n nntin s ie i dt i s δδδδ=-=-+=+=⎰11110关系式：()()m in m m i n m i n a a a ∞→∞→==lim lim 2.3 变化年金2.3.1 一般变化年金 1、等量变化年金()inv aQa Q P A n i n i n -+-=n 期标准递增期末年金()1==Q P现值：()inv aIa n i n i n -=终值：()()()()[]in sin s i Ia Is in i n ni n i n 11+-=-=+=n 期标准递减期末年金()11-==Q P ， 现值：()ia n Da in i n -=终值：()()is i n Ds in ni n -+=1永久年金期末年金现值：()2i Q i P Ia +=∞ 期初年金现值；()idQ d P aI +=∞ 2、比例变化年金()()11-+=n k R现值：()()ki i k v k v k v n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++++-1111112 2.3.2 广义变化年金1、付款周期为利息换算周期整数倍的广义年金ik n i k i n n kk is v k n a a v k n v v A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++= 22 2、利息换算周期为付款周期整数倍的广义年金2.3.3 连续变化年金第三章 投资收益分析3.1 基本投资分析3.1.1 常用的三种基本分析方法和工具 3.1.2 再投资分析3.2 收益率计算 3.2.1 资本加权法 3.2.2 时间加权法3.2.3 投资额方法和投资年方法3.3 资本预算3.3.1 收益率方法和净现值方法3.3.2 回报率和融资率第四章本金利息分离技术4.1 摊还法4.1.1 未结贷款余额的计算4.1.2 摊还表4.2 偿债基金法4.2.1 偿债基金法的基本计算4.2.2 偿债基金方式的收益率分析4.2.3 偿债基金表4.3 偿债基金法与摊还法的比较4.4 其他偿还方式分析4.4.1 广义的摊还表和偿债基金表4.4.2 金额变化的摊还表和偿债基金表4.4.3 连续摊还计算第五章固定收益证券5.1 固定收益证券的类型和特点5.1.1 债券5.1.2 优先股票5.2 债券基本定价5.2.1 债券价格计算公式5.2.2 债券价值评估5.2.3 两次息票收入之间的账面价值的调整5.3 广义债券定价与收益分析5.3.1 广义债券价格5.3.2 早赎债券5.3.3 系列债券5.3.4 债券收益率分析第六章实际应用6.1 抵押贷款分析6.1.1 诚实贷款原则6.1.2 不动产抵押贷款6.1.3 APR的近似计算6.1.4 抵押贷款债务的证券化6.2 固定资产折旧分析6.3 资本化成本计算第七章利率风险分析7.1 利率风险的一般分析7.1.1 通货膨胀率与利率7.1.2 风险与利率7.2 利率的期限结构7.2.1 利率的期限结构的定义7.2.2 期限结构的理论7.2.3 期限结构的模型7.2.4 利率风险的度量7.3 资产负债管理7.3.1 免疫技术7.3.2 资产负债匹配技术第八章随机模型8.1 随机。
金融数学--第二章
n期标准期初年金现值
a (1 i)a (1 i)(v v2 vn )
ni
ni
(1 i) n vk (1 vn )(1 i) 1 vn
k 1
i
d
n期标准期末年金终值
(1 i)n 1
(1 i)n 1
s (1 i)s
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a
10
14t 0.05
又因为
a nt i
a ni
vnt
(1 i)t
i
1
所以有 1 v14t 10i
解得 t=0.2067 于是XC =[(1+i)t-1]/i=0.202719(万元)
例2.5 某人每年底存入1000元，年利率为 8%，希望经过若干年后达到25000元。若 最后一次不足1000元的存款将在正常存款的 一年后进行，试计算正常存款年数和最后一
解 假设投入的现金流为 （R ，R，R，……，0） 终值为100万元，则有
Rs 100 12 0.07
解得R=5.224485（万元）
定义2.5 若年金现金流首次发生在递延了一
段时间后进行，这样的年金称为递延年金。
例如，递延m期的n期期末标准现金流
（0，0，…，0，1，1，…，1）
这个现金流的现值可以认为是下面两个现金
ni
ni
i
d
结论2.2 a 和s 有如下关系 ni ni
(1)s a (1 i)n;(2) 1 1 d
ni
ni
as
ni
ni
证明 （2）由（Biblioteka ）有s a (1 i)n
ni
ni
所以
1 s
金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]
![金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1d1248e0be1e650e52ea99b5.png)
第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：20|7%10|7%50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+==2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有48|1.5%1000250X a =+解得X = 1489.363．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1。
试计算该年金的现值。
解：22|1( 1)1( 1)n n n n i nv n n n PV na n n n+-+-===+ 4．解： ]]]2(1)nn n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。
计算i 。
解：]]]718711a a a v =+解得i = 6.0%6.证明：]]]10101 110s a v s ∞+=- 证明：]]]1010101010(1)111(1)11i s a i i i s v i∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日15]7%100025]8%a s X =￢解得X = 8101.659．已知贴现率为10%，计算8]a 。
金融数学课件(南京大学)
2013-8-27
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二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
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二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
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一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
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一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
金融数学-第二章(系统数学课)
期初年金(annuity-due)
期初年金 —— 在合同生效时立即发生首次的 现金流，随后依次分期进行的年金方式 n 期标准期初年金——每次的年金金额为 1 个 货币单位，在合同生效时立即发生首次的现 金流，共计n次 时间流程图
利息理论应用
第二章-16
记号 a n | ——表示标准期初年金的现值之和 i
a
n |i
1 v v 2 v n1
1 vn d
s 记号
n |i s
——表示标准期初年金的终值之和
n |i
(1 i) (1 i)
n
2
(1 i)
n
(1 i ) 1 d
利息理论应用
第二章-17
a
n |i
s 与
利息理论应用
年金现金流是许多复杂现金流的基础，是 利率计算的最直接的一种应用 年金的计算问题主要包括年金的现值和终 值计算两大类
付款期 (payment period) —— 指两次年金收 取之间的时间间隔
注：默认为时间间隔相等
利息理论应用
第二章-3
2.1 基本年金
基本年金 —— 一种最简单的年金方式满足 1）付款时期间隔相等 2）每次付款额度相同 3）付款的频率与计息的频率相同
利息理论应用 第二章-30
例 现有十万元的投资，年利率 5%，每年底 定期收回 1 万元，试问：这样的定期回报可 以进行多少年?对不足 1 万元的最后一次回报 部分，按以下三种情况： 分别计算回报金额 ： A — 不足部分与最后一次正常回报同时收回 B — 不足部分在最后一次正常回报的下一年 底收回 C — 不足部分在最后一次正常回报的下一年 的某个等价时间收回
精算师考试金融数学课本知识精粹
第一篇：利息理论第一章：利息的根本概念tt 0nt 0'()=()()()(0)1)(dr a t a t a t eA n dt A n A δδδ⎰==-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎰、有关利息力:()()11(1)1(1)(1)2m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=、=131 t ti it did δδ⎧⎪⎪+⎨⎪=⎪-⎩、但贴单利率下的利息力：：现下的利息力4⎧⎪⎨⎪⎩严格单利法（英国法）投资期的确定常规单利法（欧洲大陆法）银行家规则（欧洲货币法）、11nk kk nkk s tt s-===∑∑5、等时间法：第二章 年金....1....1+i 11+i 1n n nn n n n n a a a a s s s s -+⎧==+⎪⎨⎪==-⎩（1） 、（1）......2mn m n mm n m n mv a a a v a a a ++⎧=-⎪⎨⎪=-⎩、3、零头付款问题：〔1〕上浮式〔2〕常规〔3〕扣减式 4：变利率年金〔1〕各付款期间段的利率不同 〔2〕各付款所依据的利率不同 5、付款频率与计息频率不同的年金 〔1〕付款频率低于计息频率的年金:1.......1........n k n kk n k nkk a s s is s a a s ia a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩现值期末付年金：永续年金现值：终值：现值：期初付年金：永续年金现值：终值:〔2〕付款频率高于计息频率的年金()()()()()()..()()()..()1:1.......(1)111........(1)1nm m n m nm m n m n n m m m n n m v a i i i i v a d d i s i ⎧⎧-=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+-⎪=⎪⎪⎩⎪⎨⎧-⎪=⎪⎪⎪⎪⎨+-⎪⎪=⎪⎪⎩⎩现值期末付年金：永续年金现值：终值：s 现值：期初付年金：永续年金现值：终值: 〔3〕连续年金〔注意：与永续年金的区别〕001(1)1(1)nn tn nnn t n v a v dt i s i dt δδ---⎧-==⎪⎪⎨+-⎪=+=⎪⎩⎰⎰6、根本年金变化〔1〕各年付款额为等差数列0..0-101()()()=()+()=()+()nn n nn nn n n n n n n n n n n n nn n n n a nv V pa Qi a n a nv Ia a i i a nv n a Da na i i V Ia v Da a a V Ia v Da a a ⋅⋅⋅⋅+⎧-=+⎪⎪⎪--⎪=+=⎪⎪--⎪=-=⎨⎪⎪=⋅⎪⎪=⋅⎪⎪⎪⎩现值期末付虹式年金：期末付平顶虹式年金:〔2〕各年付款额为等比数列0000:11()1:1:ni k V k n i V i k V i ki i k V <⎧+⎪-⎪+===⎨-+⎪⎪>⎩不存在不存在存在7、更一般变化的年金：〔1〕在()n Ia 的根底上，付款频率小于计息频率的形式0=nnk ka n v a k V is -〔2〕在()n Ia 的根底上，付款频率大于计息频率的形式()()..()()()()nm nm n n n m m n a nv Ia i a nv I a i ⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩（m ）每个计息期内的m 次付款额保持不变每个计息期内的m 次付款额保持不变 〔3〕连续变化年金：○1：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为t,其现值为 ()nn n a nvI a δ---=○2：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为()f t ,其现值为 0(0)()ntV f t v dt=⎰第三章 收益率1、收益率〔内部收益率〕 由(0)0ntt t V v R ===∑可求出 2、收益率的唯一性：〔1〕假设在0~n 期间内存在一时刻t ，t 之后的期间里现金流向是一致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，那么收益率唯一。
数理金融学与金融工程基础(第二版)-第二章课件1(02)-文档资料
2.有效市场假说与时间序列模型
• 有效市场假说是时间序列模型的基础原理。特别是， 有效市场假说也是回归分析的基本原理。 • 用 Pt 表示在时刻 t 的资产市场价格，在时刻 t 1 的市 场价格为 Pt 1 。时刻 t 与时刻 t 1 之间变化的原因是没 有预料到有关的市场信息。因此预测误差记为 t 1 Pt 1 Et Pt 1 （2.1.13） 其中 Et Pt 1表示在时刻t 对时刻 t 1 的市场价格Pt 1 的预测。 如果用 t 表示时刻 t 的信息集合或信息空间，那么 Et Pt 1 与 t 无关。
t 1 票收益的研究中，因为它 可以解释人们通过购买股票不可能获得超额利润。
• 事实上，如果把（2.1.13）改写为
（2.1.16） 那么在实际收益 Rt 1有增有减的情况下，平均收益或利 润 Et t 1 0 。这就是著名的有效市场假说与金融市场 理性行为分析模型基础。
Et Pt 1 被称为理性预期。这个概 • 在市场有效性假说下， 念可以被表述为 P t 1 Et P t 1 t 1 Et (Pt 1 Et Pt 1 ) Ett 1 0
（2.1.14）
• 其中 Et t 1 0 的含义就是预期正确，没有误差。所以 （2.1.14）式就表达了市场有效性假说的基本思想。 • 其中 t 1可以表示时刻 t 与时刻 t 1 之间持有资产或证 券预料不到的利润或损失。在大数定律和市场有效性 条件下它为零。（2.1.14）式就是我们大家都熟知的时 间序列模型。
• 而（2.1.13）式序列相关的情况就是我们所最熟知的 一阶自回归 t 1 t t 1 （2.1.15） 其中 t 1 是随机项，也就是干扰项。 • 方程（2.1.15）意味着本期预测的误差对下期有预期 作用。这就是重要的序列相关性质。 • 序列相关性质就意味着时刻 t 的信息对预测时刻 t 1 的市场价格 Pt 1 有作用。即明天的价格与今天的价格 有关，根据今天市场情况可以预测明天的价格。
金融数学博弈课件第二章1
a q1 c R2 (q1 ) 2 已知 q1 a c, 这与同时行动的古诺模型中得出的结 果相同. 但两者不同之处在于这里的R2 (q1 )是企业2对 企业1 已观测到的产量的真实反应， 而在古诺模型中 R2 (q1 )是企业2对假定的企业1的产量的最优反应. 且 企业1的产量选择是和企业2同时作出的. 由于企业1也 和企业2一样解出企业2的最优反应, 企业1就可以预测 到他如选择 q1， 企业2将根据 R2 (q1 )选择产量. 那么在 在博弈的第一阶段，企业1的问题就可表示为 max 1 (q1, R2 (q1 )) max q1 [a q1 R2 (q1 ) c] q 0 q 0
当在博弈的第二阶段参与者2行动时，由于其前参 与者1已选择行动a1，他面临的决策问题可用下式表示 为 max u2 (a1 , a2 )
假定对A1中的每一个a1，参与者2的最优化问题只 有唯一解, 用R2(a1) 表示. 这就是参与者2对参与者1行 动的最优反应函数. 由于参与者1能和参与者2一样解出 2的问题， 参与者1可以预测到参与者2对1每一个可能的 这样1在第一阶段要解决的问题可 行动a1所做出的反应， 归结为：
1
由上式可得
a q1 c max q1 q1 0 2
1
ac ac q , q2 R2 (q1 ) 2 4 这就是斯塔克尔贝里双头垄断博弈的逆向归纳解. 斯塔克尔贝里模型解与古诺模型解的比较 1）古诺博弈纳什均衡产量 3 ac ac 2 * * q1 q2 (a c) (a c). 4 3 3 3 从而在斯塔克尔贝里博弈里相应的市场出清价格就比 较低. 3 1 3 2 1 2 * * PS a (a c) a c, PC a (a c) a c, 4 4 4 3 3 3 1 * PS PC (c a) 0, PS* PC . 12 不过在斯塔克尔贝里博弈中，企业1完全可以选择
金融数学第2章
策略：投资者今天可以卖空资产组合后立即买进 股票。
陈晓坤 （2013秋）
金融数学 (Financial Mathematics)
注
1、远期是在场外交易的，因此就有信用风 险，这可以体现在下面两个方面： 1) 从主观层面讲，恶意违约； 2) 从客观层面讲，无力履行远期，如破产 等客观因素。 2、远期在0时刻没有现金流量，即不需要支付升 水（期权在0时刻是需要支付升水的）。 注 ： 升水即购买者向出售者支付的费用。
从现在起40天后到期。如果执行价格是65美 元，今天股票价格为64.75美元，今天合约的价 格是多少？(设每年r=0.055)
陈晓坤 （2013秋）
金融数学 (Financial Mathematics)
3)资产组合的交易(trading a portfolio) 若某人并不持有诸如股票之类的根本资产而出售 该资产，之后再购买股票用于交付，这类活动被称 为卖空(short selling)资产。 第一套利机会
金融数学 (Financial Mathematics)
传闻—1995年2月，市场传闻财政部可能要以148 元的面值兑付327国债，而不是132元。 做空—管金生认为财政部不会再割肉掏出16亿元 来补贴327国债，决定率领万国证券做空。 1995年2月23日上午，财政部发布公告称327国债 将按148.50元兑付。 交锋－1995年2月23日上午一开盘，有财政部背景 的中经开公司大肆逼空万国证券，将前日148.21元 的收盘价一举攻到151.98元。同盟军辽国发突然改 做多头，327国债在1分钟内涨了2元！
金融数学 (Financial Mathematics)
在到期日这项资产组合复制了一股股票
合约价值 + 现金量 = 一股股票
金融数学-各章重要概念
第一章货币概述本章重要概念等价交换原则：商品交换中，相互交换的两种商品必须具有相等的价值（即生产这两种产品时，必须耗费同样多的人类劳动），这就是等价交换原则。
简单的偶然的价值形式：人类社会最初的商品交换相对应的商品价值形式，是价值形式发展过程中的原始阶段。
当时只是有了剩余产品而交换，还没有专门的商品生产，商品的价值只是偶然地通过另一种商品表现出来，所以称简单的或偶然的价值形式。
总和的扩大的价值形式：处在相对价值形式上的商品的价值不仅表现在某一种商品上，而且表现在一系列其他商品上。
这种商品价值的表现形式就是总和的扩大的价值形式。
一般价值形式：即一切商品的价值共同表现在某一种从商品世界中分离出来而充当一般等价物的商品上。
货币价值形式：即一切商品的价值固定地由一种特殊商品来表现，这种特殊商品（黄金、白银）固定地充当一般等价物。
它是价值形式的最高阶段。
信用货币：信用货币是由国家和银行提供信用保证的流通手段。
它通常由一国政府或金融管理当局发行，其发行量要求控制在经济发展的需要之内。
信用货币包括辅币、现钞、银行存款、电子货币等形态。
货币量层次划分：货币量层次划分，即是把流通中的货币量，主要按照其流动性的大小进行相含排列，分成若干层次并用符号代表的一种方法。
价值尺度：货币在表现商品的价值并衡量商品价值量的大小时，发挥价值尺度的职能。
这是货币最基本、最重要的职能。
价格标准：指包含一定重量的贵金属的货币单位。
在历史上，价格标准和货币单位曾经是一致的，随着商品经济的发展，货币单位名称和货币本身重量单位名称分离了。
流通手段：货币充当商品流通的媒介，就执行流通手段职能。
贮藏手段：当货币由于各种原因退出流通界，被持有者当作独立的价值形态和社会财富的绝对化身而保存起来时，货币就停止流通，发挥贮藏手段职能。
支付手段：当货币作为价值的独立形态进行单方面转移时，执行着支付手段职能。
如货币用于清偿债务，支付赋税、租金、工资等所执行的职能。
金融数学博弈论基础第二章3
2. 参与者2没有观测到参与者1的行动，从可行集
A2中选择一个行动a2, 3 两人的收益分别为 u1 (a1, a2 )和u2 (a1, a2 ).
定义 参与者的一个信息集指满足以下条件的决策 节的集合：
且 （1）在此信息集的每一个节都轮到该参与者行动， （2）当博弈的进行达到此信息集中的一个节，应该
而不能保证其他参与者也知道这一过程，（c）则保证 了博弈到该点为止的整个过程在所有参与者中是共同
知识. 原因如下：在n 之后的任何节，比如 n, 在 n应 该行动的参与者知道博弈到达了决策节n，从而即使 n
处于非单节的信息集， 由于在该信息集中的所有节都 在n 之下，在该信息集行动的参与者就知道博弈已经到 达了n 下面的某个决策节.
二人博弈的扩展式（树）表示 ①
L
R
②
②
L'
R' L' R'
(3, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(0, 0)
扩展式表示与标准式（策略式）的转换
参与者2
(L, L)
(L, R) (R, L) (R, R)
参与者1 L
R
3，1 2，1
3，1 0，0
1，2 2，1
1，2 0，0
静态博弈也可以用扩展式表述， 注意：静态博弈中参与者不一定要同时行动：只须 每个参与者在选择战略时不知道其他参与者的选择. 以两个参与者的静态博弈为例，将其表示为动态博 弈的形式.
（1）每一个决策结都是同一参与者的决策结；
（2）该参与者知道博弈进入该集合的某个决策结， 但不知道自己究竟处于哪一个决策结.
2.4.B 子博弈精炼纳什均衡 （回顾）前面第2.3.B 给出的子博弈精炼纳什均衡 战略，子博弈，共同知识等概念，仅限于重复博弈， 下面将子博弈精炼纳什均衡的概念 用于一般的完全信 息动态博弈. （回顾） 2.3.B子博弈的非正式定义，即从博弈进 行到的某一点开始，前面整个博弈的进行过程在所有 参与者中都是共同知识，始于该点的其余部分的博弈 就是原博弈的一个子博弈（限于重复博弈）.
金融数学PPT课件
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利息理论应用
第二章-16
例题：看涨期权 我们有一股股票，现价为100美元 ，在一年以后，股价可以是90美元或120美元， 概率并未给定，即期利率是5%（1美元今天投资 ，一年后价值1.05美元），一年之后的到期执行 价格为105美元的股票期权的价格是多少？
另外虽然从理论上如此，但是市场会自动的 调节从而使得无风险的套利机会丧失
2.2.4博弈论方法---一般公式
假设股票在时间t只有两个价值，如果股票处
于上涨的状态SU,那么衍生品的价格为U，
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补充例题
（循环的现金流）已知一笔现金流如下
X = ( x0 , x1 , x2 ,⋯ , xn ),
现在通过不断的重复这个现金流，得到无限 长度的现金流 X ∞。设每一期利率为i，P和A 分别表示现金流X的现值和终值。试由P和A 计算现金流 X ∞ 的现值 P∞ 。
解 把每n项看做一个整体，则 X ∞ = ( P, P,⋯ , P,⋯) 这是一个每期为X的n期的永续年金。 那么它的现值为：
t
例2.4 现有10万元的投资，年利率为5%， 每年年底定期收回1万元。试问：这样的定期 回报可以进行多少年？对不足1万元的最后一 次回报部分，按一下三种方式计算回报金 额。 方式A：不足1万元部分与最后一次正常回报 同时收回； 方式B：不足1万元部分在最后一次正常回报 的下一年底收回； 方式C：不足1万元部分在最后一次正常回报 的下一年的某个等价时间收回；
又因为
a14+t 0.05 = 10
an +t i (1 + i )t − 1 n +t = an i + v i
14 + t
所以有
1− v
= 10i
解得 t=0.2067 于是XC =[(1+i)t-1]/i=0.202719(万元)
例2.5 某人每年底存入1000元，年利率为 8%，希望经过若干年后达到25000元。若 最后一次不足1000元的存款将在正常存款的 一年后进行，试计算正常存款年数和最后一 次存款的金额。 解 设正常存款年数为n，则有 解得 14<n+t<15，取n=14 因此正常存款可以进行14年
第二章 年金
年金是根据一个事先确定的计划或者方 年金是根据一个事先确定的计划或者方 案在一段时间内持续的收付款行为。 例如，养老金、按揭贷款、固定收益资 产的定期收入。 分析方法是利用现金流分析方法，计算 现值和终值。
学习要点
一、基本年金现值与终值的计算 二、期末年金与期初年金的关系 三、延续年金与永续年金的现值 四、剩余付款期不是单位时间的年金的计算 五、实际应用
解（1）一次性还完的金额为 50（1+8%）10=107.946250(万元) 偿还利息为 107.946250-50=57.946250(万元) （2）所付利息为 50×8%×10=40(万元) （3）设每期还款额为R，还款现金流为 （0，R，R，…，R） 现金流的现值就是贷款金额，所以有
50 = ∑ R(1 + i ) − k
s14 0.05 + X A = 10 ×1.0514
解得XA=0.200684（万元） B方式的现金流为 （0，1，1，…，1，XB） 有如下的终值方程 15 (1 + 0.05) s14 0.05 + X A = 10 × 1.05 解得解得XB=0.210718（万元） C方式的现金流为 （0，1，1，…，1）和在14年后时间段为 t的现金流（0，XC ） 有如下的现值方程
解 （1）设正常回报为n年，则有
解得 14<n+t<15，取n=14 这种正常回报可以持续14年 （2）设这三种方式对应的不足部分的金额 为XA，XB，XC万元 A方式的现金流为 （0，1，1，…，1+ XA ） 有如下的终值方程
an +t 0.05 = 10(n为非负整数，t ∈ [ 0,1])
1000an+t 0.08 = 25000(n为非负整数，t ∈[ 0,1])
设最后一次存款额为X，则有
1000 × (1 + 0.08) s14 0.08 + X = 25000
解得X=-1152 即
1000 × (1 + 0.08) s14 0.08 > 25000
在15年底的时候，不需要再追加资金，本身 的投资已经超过了预期的目标。
n期标准期初年金现值
ɺɺn i = (1 + i )an i = (1 + i )(v + v 2 + ⋯ + v n ) a (1 − v )(1 + i ) 1 − v = (1 + i )∑ v = = i d k =1
n n k n
n期标准期末年金终值
(1+ i) −1 (1+ i) −1 ɺɺni = (1+ i)ni = s × (1+ i) = i d
n− n−1
这个终值可以写成
sn i
n k −1 = ∑ i k =0 k
n
结论2.1 an i 和sn i 有如下关系 结论
1 1 (1) sn i = an i (1 + i ) ;(2) = +1 an i sn i
n
证明 （2）由（1）有
sn i = an i (1 + i )
k =1
根据我们的生活习惯，都愿意选择稳定 点的还款方式，等额本息法的选择比较普 遍。如果感觉还款压力不大，可以选择等额 本金法，但是我们可以对等额本息法做一些 调整，例如缩短短款年限，使得整体的利息 变少。
定义2.3 若年金现金流在第一个付款期初首 定义 次发生，随后依次分期进行，则称这种年金 为期初年金 期初年金。 期初年金 （R ，R，R，……，0） 定义2.4 对于期初年金来说，如果每次付款 定义 为1个单位货币，共n期，则称之为n期标准期 期标准期 初年金。 初年金 （1，1，……，1，0） n期标准期初年金：（1，1，1，……，0）
共付利息为
∑R
k =1
10
k
− 50 = ∑ [9 − 0.4(k − 1)] − 50
k =1 10
10
= 40 − ∑ 0.4(k − 1) = 22(万元)
商业银行将上述还款方式称之为等额本金 等额本金 法。 比较一下，第（4）中还款方式所付的利息最 后少，而第（3）中还款方式最受欢迎。请大 家思考一下？
k =1
10
即50 = R ∑1.08− k
k =1
10
1 − 1.08−10 =R 0.08
解得R=7.451474（万元） 共付利息为 10R-50=24.514744（万元） 商业银行将上述还款方式称之为等额本息 等额本息 法。
（4）利用一般会计中的平均摊销的原理 每期还款额=固定本金+剩余本金产生的利息 第1年底还款额为 R1=50/10+50i=9（万元） 第2年底还款额为 R2=50/10+（50-5）i=8.6（万元） 第2年底还款额为 R3=50/10+（50-2×5）i=8.2（万元） 一般的，第k年底还款额为 Rk=50/10+[50-5（k-1)]i=9-0.4（k-1) （万元）
剩余付款期不是单位时间的 现金流的计算
当年金现金流的为整数时，同时要保证每一 期的支付也为整数，就会导致现值与现金流 不一致，产生零碎的部分，对这一部分需进 行处理。 对于任意的在[0，1]的t，定义如下的现值
an +t i = an i + v
n+t
(1 + i ) − 1 i
n n
ɺɺn i (1 + i ) n 1 + da ɺɺ an i (1 + i ) n
n
1 + (1 − v )(1 + i ) 1 + (1 + i ) − 1 1 = = = n n ɺɺ ɺɺ ɺɺ an i (1 + i ) an i (1 + i ) an i 结论2.3 结论
ɺɺ ɺɺ (1)an i = (1 + i )an i , an i = 1 + an −1i ; (2)ɺɺn i = (1 + i ) sn i , ɺɺn i = sn +1i − 1. s s
所以 1
n
1 + ian i (1 + i ) 1 +i = +i = n n sn i an i (1 + i ) an i (1 + i )
n
1 + (1 − v n )(1 + i ) n 1 + (1 + i ) n − 1 1 = = = n n an i (1 + i ) an i (1 + i ) an i
ni
定义2.6 若年金的现金流永远持续不断的支 定义 付下去，没有终结日期，这样的年金称为永 续年金。
1 1 ɺɺ ɺɺ a∞ i = lim an i = , a∞ i = lim an i = , n →∞ n →∞ i d
例2.3 某人留下遗产10万元，第一个10年 将每年利息付给甲，第二个10年将每年利息 付给乙，20年后将每年利息付给丙丙一直持 续下去，均在年底支付。假设年利率为 7%，计算三人的相对收益比例。
例2.2 某人从现值开始每年定期地投入相同 的一笔钱，希望在第12年底得到100万元的 回报。如果年利率为7%，实际上每年的投入 金额。 解 假设投入的现金流为 （R ，R，R，……，0） 终值为100万元，则有 解得R=5.224485（万元）
ɺɺ Rs12 0.07 = 100
定义2.5 若年金现金流首次发生在递延了一 定义 段时间后进行，这样的年金称为递延年金 递延年金。 递延年金 例如，递延m期的n期期末标准现金流 （0，0，…，0，1，1，…，1） 这个现金流的现值可以认为是下面两个现金 流现值的差 （0，1，…，1，1，1，…，1）和 （0，1，…，1 ） 即 am + n i − am i m 还可以表示为 v a
例2.1（商业银行还款方式） 现有10年期50 （商业银行还款方式） 万元贷款，年利率为8%。试计算以下四种 还款方式应付的利息： （1）在第10 年底一次付清； （2）每年年底偿还当年的利息，本金最后一 次付清； （3）每年年底偿还固定的金额，10年还清； ） （4）每年年底偿还额由固定本金和剩余贷款 ） 的利息组成，10年还清。