以内完全平方数
平方数的规律及以内的平方表
精心整理平方数的规律及100以内的整数平方表(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.,等..a×ab×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数？相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.[答疑编号0518320101]【答案】6【解答】选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。
如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。
所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征：将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。
推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数.[答疑编号0518320102]【答案】31【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个.例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数.[答疑编号0518320103]【答案】9【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.涉及到完全平方的公式：例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.[答疑编号0518320104]【答案】156【解答】设加上100后为，加上168后为，那么，即.因为b＋a和b－a的奇偶性相同，所以只可能是，解得.因此原正整数是.例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？[答疑编号0518320105]【答案】1509【解答】设这个正整数是n,。
平方数的规律及以内的平方表
的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同..奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数(2)．；反之，如果完全平方数的6,则它的个位数字一定是(3)如果完全平方数的十位数字是奇数.，则它的十位数字一定是奇数个位数字是61. 4的倍数加4偶数的平方是的倍数;奇数的平方是(4). 8n+4型;偶数的平方为8n或(5)奇数的平方是8n+1型:3n,3n+1.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一. 5n型,能被5整除的数的平方为不能被5整除的数的平方为5n±1型(7)16n,16n+1,16n+4,16n+9.(8)平方数的形式具有下列形式2,5,8) 0,1,3,4,6,7,9.(没有(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是. a不是完全平方数的平方不能整除a,则(10)如果质数p能整除a,但p.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数n). 和(包括1是完全平方数的充分必要条件是(12)一个正整数nn有奇数个因数或整数乘以它本身乘以它,一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方如，方数叫数,也做立们就称这个数为完全立方么本身）,那我.等0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000222.为一组勾股数+y就称=zx,y,z如果正整数x,y,z满足不定方程x,2必定都是奇数. 和zx,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z五组常见的勾股数：222222222222222+21+15；5=29+12=17=13；720+24；=25；38+4=59+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：222222－2ab －b)(a+b)+b=a=a+b+2ab(a||||||a×ab×b2×a×ba×ab×b2×a×b2222+2×10×3=100+9+60=169=10例：13 =(10+3)+32222－2×90×2=90=8100+4+2－88360=7744 =(90-2)用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，22整3不能被49<<50,2+4+3+1=10所以,=2401<2431<2500=5049是否为质数，因为2431判定除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117. 28210， 16=256=2=1024=2，32③增加对数字的熟悉程度，比如2122=7744, 另外一些特殊结构的数字应该牢记，如=4096=288,6422=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的11=121,22)22222).也左右颠倒a左右颠倒后=961,(a=169,31=441,13=144,2112．。
平方数的规律及以内的平方表
平方数的规律及以内的平方表Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】平方数的规律及100以内的整数平方表规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2=a2+b2+2ab(a－b)2=a2+b2－2ab||||||a×a b×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
五年级奥数完全平方数
五年级奥数完全平方数五年级奥数完全平方数：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数在数学中，完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数字。
简单来说，完全平方数是一个整数乘以自己得到的结果。
例如，4、9、16和25都是完全平方数，因为它们分别是2、3、4和5的平方。
完全平方数的特点完全平方数具有一些独特的特点：1.所有正整数的平方根都是无限循环的小数。
不完全平方数的平方根是无限不循环的小数。
2.完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6和9。
如果一个数字的个位数不是这些数字中的任何一个，那么它就不是完全平方数。
3.完全平方数可以通过对一个整数的平方根进行取整来判断。
如果一个整数的平方根是一个整数，那么它就是完全平方数。
完全平方数的判断方法确定一个数字是否是完全平方数有多种方法：1. 数字求平方根的整数部分这是最简单的方法之一。
如果一个数字的平方根的整数部分等于原始数字，那么它就是完全平方数。
例如：import mathdef is_perfect_square(num):sqrt = int(math.sqrt(num))return sqrt * sqrt == numprint(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False2. 利用完全平方数的规律完全平方数的规律是，完全平方数是连续奇数之和，也可以表示为从1开始的连续奇数的和。
例如：def is_perfect_square(num):i =1while num >0:num -= ii +=2return num ==0print(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False这种方法的思想是，我们从1开始不断地减去连续的奇数，直到结果为0。
如果最终结果为0，那么原始数字就是完全平方数。
3. 二分查找我们可以利用二分查找的思路来判断一个数字是否为完全平方数。
小学奥数25完全平方数
2、7完全平方数2、7、1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*２,３*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数得平方得形式,则称这个数为完全平方数。
完全平方数就是非负数。
２、7、2性质推论例如:０,1,４,9,1６,２５,36,４9,64,81,100,121，14４,16９,1９6，2２５,２５6，２89,3２4,3６1,40０,44１,4８４,５2９…观察这些完全平方数,可以获得对它们得个位数、十位数、数字与等得规律性得认识。
下面我们来研究完全平方数得一些常用性质：性质1:末位数只能就是0，1，4,5,6,９。
此为完全平方数得必要不充分条件，且定义为“一个数如果就是另一个整数得完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数，故0就是完全平方数性质２:奇数得平方得个位数字一定就是奇数,十位数字为偶数；偶数得平方得个位数字一定就是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一:１0a+1,10a+３，10ａ+5，１0ａ+7，10ａ+9分别平方后，得)1０a+3）2=10０ａ2+60a＋9=20a(５a+3)（10ａ+１)2=100a2+2０ａ+１＝20ａ(5ａ＋1)+1ﻫ＋9ﻫ(10a+5）2＝1００a２+100a+25=20(5a+5ａ＋1)+5(10a＋7)２=1０0a2+１４0a＋49＝２０ (５a+7ａ+2)+9（10a+9)2=100ａ2＋18０ａ＋81=20（５ａ+9a+4）+1综上各种情形可知:奇数得平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质３：如果完全平方数得十位数字就是奇数,则它得个位数字一定就是6;反之,如果完全平方数得个位数字就是6,则它得十位数字一定就是奇数。
证明已知m2＝１０ｋ+6，证明k为奇数。
因为ｋ得个位数为6,所以ｍ得个位数为4或6,于就是可设ｍ=１0n+４或10n+6。
则１0k+6＝(10n+４）２＝1０0+(8n＋1)ｘ10+６或１0k＋6＝(10n+6)2＝10０+(1２n+3）x1０+６即 k=１0+8n+1＝２(5＋4n）＋1或 k=1０+1２n+3＝2(5+6n)＋３∴ｋ为奇数。
平方数的规律及100以内的平方表(最新编写)
平方数的规律及100以内的整数平方表112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361202=400212=441222=484232=529242=576252=625262=676272=729282=784292=841302=900312=961322=1024332=1089342=1156352=1225362=1296372=1369382=1444392=1521402=1600412=1681422=1764432=1849442=1936452=2025462=2116472=2209482=2304492=2401502=2500512=2601522=2704532=2809542=2916552=3025562=3136572=3249582=3364592=3481602=3600612=3721622=3844632=3969642=4096652=4225662=4356672=4489682=4624692=4761702=4900712=5041722=5184732=5329742=5476752=5625762=5776772=5929782=6084792=6241802=6400812=6561822=6724832=6889842=7056852=7225862=7396872=7569882=7744892=7921902=8100912=8281922=8464932=8649942=8836952=9025962=9216972=9409982=9604992=98011002=10000规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，n超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为n2431492=2401<2431<2500=502,所以49<<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.×13×③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
平方数的规律及以内的平方表
数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8).不是完全平方数a则a,的平方不能整除p但a,能整除p如果质数(10)．.在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数(11)n).和(包括1一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(12)或整数乘以它本身乘以它,一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方也叫做立方数，如,本身）,那么我们就称这个数为完全立方数.等0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000222.为一组勾股数+y就称=zx,y,z如果正整数x,y,z满足不定方程x ,2必定都是奇数. 和zx,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z五组常见的勾股数：222222222222222 +21 ；+4=58 ；5；+12+15=1320 ；7=17+24=253=299+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：22222 2 －2ab =a + b b + 2ab (a(a+b)－= ab) +| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b2222+2×10×3=100+9+60=169 13=10=(10+3)+3例：2222－2×90×2=8100+4=90－88+2=(90-2)360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的都不必检查之间的所有质数是不是n到,只需检查3的因子即可，超过的筛选范围22,所以=2401<2431<2500=50是否为质数，因为了.例如，判定243149<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非49<5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.28210，=1024=2=256=2 ，3216③增加对数字的熟悉程度，比如2122=7744, 另外一些特殊结构的数字应该牢记，如=4096=288 ,6422=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的11=121,22)22222).也左右颠倒a左右颠倒后=961,(a=169,31=441,13=144,2112．。
平方数的规律及以内的平方表
平方数的规律及100以内的整数平方表(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2=a2+b2+2ab(a－b)2=a2+b2－2ab||||||a×a b×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
三、关于完全平方数
三、关于完全平方数三、关于完全平方数我们已经知道，个位数字为2，3，7，8的自然数不可能是完全平方数。
其实，一个整数是否为完全平方数，还可以用其它方法来判断。
例如，我们可以将完全平方数逐个列出：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，……10000，……在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
即如果n2＜a＜（n＋1）2，那么a不是完全平方数，下面将给出完全平方数应满足的条件，若这些条件之一不满足，则决不可能是完全平方数。
1．任何偶数的平方必为4的倍数，可表为4k形式；任何奇数的平方必为4的倍数加1，可表为4k＋1形式；任何整数被4除，只有四种可能性，即余数为0，1，2，3。
或者说整数只有4k，4k＋1，4k＋2，4k＋3四种形式。
显然形如4k＋2，4k＋3的整数不是完全平方数。
2．（k为整数）任何整数被3除，只有三种可能性，即余数为0，1，2。
或者说整数只有3k，3k＋1，3k＋2三种形式。
形如3k的整数平方后仍是3的倍数；形如3k＋1的整数平方后仍是3的倍数加1；形如3k＋2的整数平方后必为3的倍数加1。
即任何整数平方后只可能是3n或3n＋1的形式。
因此，形如3n ＋2的数不可能是完全平方数。
3．（n，k为整数）任何整数被5除的余数有0，1，2，3，4共五种情形。
形如5k的整数平方后仍是5的倍数；形如5k＋1和5k＋4的整数平方后必为5的倍数加1；形如5k＋2，5k＋3的整数，平方后必为5的倍数加4。
所以任何整数平方后只可能是5n，5n＋1，5n＋4的形式。
即形如5n＋2，5n＋3的数，不可能是完全平方数。
（这就是说完全平方数个位数字不可能是2，3，7，8）。
同理可知，形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7的数不是完全平方数；形如9n＋2，9n＋3，9n＋5，9n＋6，9n＋8的数不是完全平方数。
4．（n，足为整数）考察完全平方数的个位和十位上的数字。
完全平方数的性质
完全平方数的性质完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
平方数的规律及以内的平方表
平方数的规律及100以内的整数平方表规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数. 五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。