关于完全平方数和完全平方式
完全平方数和完全平方式
数学知识点：完全平方数和完全平方式填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=_________．2．若=5，则=_________．3．x2﹣3x+_________=（x﹣_________）2．4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是_________．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=_________6．已知=6，则=_________．7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=_________，a=_________．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=_________．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=_________．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是_________．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=_________．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=_________．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=_________．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是_________．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=_________．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=_________．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=_________．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=_________．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于_________．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=_________．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=_________．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=_________．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=_________．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=_________．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为_________；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是_________；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_________；_________（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：_________；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．数学知识点：完全平方数和完全平方式参考答案与试题解析填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=30．2．若=5，则=23．a+=253．x2﹣3x+=（x﹣）2．×（3x+4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是±5．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=﹣86．已知=6，则=32．+a+=36）2+7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=﹣，a=．，．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=±6．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=±4．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是±12．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=．，）．．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=±24．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=±12．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是±20．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=±2．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=±8．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=±8．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=±4．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于±3．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=±2．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=±4．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=±4．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=±12．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=±8．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．）2a+ab+bab+b+﹣26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=5；﹣5（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．（答案不唯一）。
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
数学史完全平方公式
数学史完全平方公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学史上有许多伟大的公式，其中之一便是完全平方公式。
完全平方公式是高中数学中非常基础且重要的一个公式，它用于将一个二次多项式因式分解成完全平方的形式。
在教学实践中，完全平方公式常常被用来简化计算和求解问题，因此熟练掌握完全平方公式对于学生来说至关重要。
下面我们将从公式的定义、历史及应用等方面来探讨完全平方公式。
我们来看一下完全平方公式的定义。
在数学中，完全平方是指一个数等于某个数的平方，也就是说它可以写成某个数的平方的形式。
完全平方公式是指一个二次多项式能够被分解成两个完全平方的形式。
这个公式的一般形式如下所示：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2a 和b 是任意实数，a^2 和b^2 分别是a 和b 的平方。
这个公式对于我们将一个二次多项式展开成完全平方的形式提供了一个简便的方法。
接下来，让我们来看一下完全平方公式的历史。
完全平方公式最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得，他们提出了许多关于完全平方的理论和性质。
而完全平方公式本身的形式则是由阿拉伯数学家阿布·卡西姆·阿尔-哈桑在9世纪时发现的。
阿布·卡西姆·阿尔-哈桑是一位数学家、天文学家和物理学家，他在其著作《代数学》中首次提出了完全平方公式的一般形式。
从此以后，完全平方公式成为了代数学中重要的工具，并被广泛传播和应用。
在学习完全平方公式时，我们需要注意一些常见的公式变形。
我们可以通过完全平方公式将一个二次多项式展开成完全平方的形式，也可以通过反复利用公式的性质来将一个完全平方的形式化简成一个二次多项式。
我们还可以应用完全平方公式来求解一元二次方程和解析几何中的问题，这有助于我们更深入地理解完全平方公式的应用价值。
完全平方公式是数学中一个非常基础且重要的公式，它对于化简计算、解决问题以及证明定理等都有着重要的应用。
通过学习完全平方公式，我们可以更好地理解代数学中的各种概念和原理，提高数学的综合应用能力，从而更好地应对数学学习和研究中的各种挑战。
完全平方的12个公式
完全平方的12个公式完全平方是一种数学计算的方法，它可以帮助我们快速解决一些数学问题和计算。
它可以帮助我们快速计算一个数的平方。
完全平方有12种计算公式，它们分别是：1.平方根：平方根是所有完全平方计算的基础，它用来计算一个数的平方根，表达式为：√a = x。
2.除法法则：除法法则是一种简单的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a÷b = x，其中a和b都是完全平方数。
3.乘法法则：乘法法则是一种基本的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
4.加法法则：加法法则是一种有用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b = x，其中a和b都是完全平方数。
5.减法法则：减法法则是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a-b = x，其中a和b都是完全平方数。
6.指数规律：指数规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2 = x，其中a是完全平方数。
7.分数规律：分数规律是一种比较复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a/b = x，其中a和b都是完全平方数。
8.积分规律：积分规律是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
9.多项式规律：多项式规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：ax^2+bx+c=0，其中a,b,c都是完全平方数。
10.四平方和定理：四平方和定理是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b+c+d = x，其中a,b,c,d都是完全平方数。
11.指数公式：指数公式是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2+b^2+c^2 = x，其中a,b,c都是完全平方数。
完全平方数
完全平方数完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。
注意不要与完全平方式所混淆。
完全平方数性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。
因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则或即或∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。
性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
完全平方式是什么意思
完全平方式是什么意思
完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整
式 A，如果存在另一个实系数整式B，满足A=B^2的条件的话，则称A是完全平方式，亦可表示为 (a+b)²=a²+2ab+b²、 (a-b)²=a²-2ab+b ²。
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。
﹙a-b﹚²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
完全平方公式注意事项左边是一个二项式的完全平方。
右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
不要漏下一次项。
切勿混淆公式。
运算结果中符号不要错误。
完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
完全平方数和完全平方式
47. 完全平方数和完全平方式 作者德化一中 颜墀策 甲 内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 2)3(+a , x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.若整数m 能被质数q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0，则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式(ax+b)2中当a 、b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a 、b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中181① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙 例题例1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝(m －2)2＋(m －1)2＋m 2＋(m+1)2＋(m+2)2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2.m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当时，（m －1）x ⎩⎨⎧>−010m ，△＝2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即(2m)2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即 ∴ m=2. ⎩⎨⎧>==.125.0m m m ，或答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3.已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式， ∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0. 要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=−=−=−.000a c c b b a ，， 解这个方程组，得a=b=c. 例4.已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.182可设△= m 2 (m 为整数)，即－4k=m 25）（－2 (m 为整数)， 解得，k=4252m −. ∵ k 是非负整数， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧−≥−.42502522的倍数是，m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m −. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5.求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝(8k)2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).即3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立；当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3，右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1.∴等式也不能成立.综上所述，不论k 、 m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.即△不是整数的平方. ∴假设方程有有理数根不能成立.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.（试与第46讲例题5的证法加以比较）丙 练习471. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.1834. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17；(B) 18； (C) 35 ；(D) 36. (1990年全国初中数学联赛题)6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a 、b 、c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 .(2001年全国初中数学联赛题)11. 已知四位数aabb 是完全平方数，试求a 和b 的值.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a 、b 是自然数且互质，试问关于x 的方程x 2－abx+21(a+b)=0是否有自然数解（即两根都是自然数）？如果有，把它求解出来；如果没有请给予证明.(1990年泉州市初二数学双基赛题)184。
完全平方数和完全平方式
第三十一讲完全平方数和完全平方式设n是自然数，若存在自然数m,使得n=m,则称n是一个完全平方数(或平方数)•常见的题型有:判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等•最常用的性质有：(1) 任何一个完全平方数的个位数字只能是0, 1 , 4, 5, 6, 9,个位数字是2, 3, 7, 8的数一定不是平方数；(2) 个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6,而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；(3) 在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；(4) 任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；(5) 任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n, 5n+1 , 5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；(6) 相邻两个整数之积不是完全平方数；(7) 如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数, 那么它的所有正因数的个数是奇数；(8) 偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数.例题求解【例1】n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和.思路点拨设3n+仁m,显然3卜m因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数).2则n =凹1=3k2 2k .32 2 2n+仁3k +2k+ 仁k + k +( k+1)2若m=3k+2,贝U n — =3k2 4k 132 2 2n+仁3k +4k+2= k +(k+1) +(k+1)故n+1是3个完全平方数之和.【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数. 思路点拨引入参数，利用奇偶分析求解.设所求正整数为x，则x+ 100=nf ----①x+168==n 2——②若rn=3k+1 ,其中m, n都是正整数，②一①得n2—m=68，即(n —(n+m)=22x 17.---- ③因n —m n+m具有相同的奇偶性，由③知n —m, n+m都是偶数.注意到0<n —m<n+m由③可得'n _m =2n 亠m =2 17解得n=18.代人②得x=156，即为所求.【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32, 16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由.思路点拨1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1 ,有2k+仁(k+1) 2- k2(k=1 , 2,,).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1) 2—(k —1)2 (k=2 , 3,,).即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”.2 2对于被 4 除余 2 的数4k+2 (k=0 , 1, 2, 3,,)，设4k+2=x —y =(x+y)(x —y)，其中x, y 为正整数，当x, y奇偶性相同时，(x+y)(x —y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x, y奇偶性相异时，(x+y)(x —y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾.所以不存在自然数x, y使得x2—y2=4k+2 .即形如4k+2的数均不为“智慧数”.因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”.因为1998=(1+3 X 665)+2 , 4X (665+1)=2664，所以2664 是第1996 个“智慧数”，2665 是第1997 个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667. 【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde满足下列条件：(1) 它的各位数字均不为零；(2) 它是一个完全平方数；(3) 它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bC以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数.试求出满足上述条件的所有五位数.思路点拨设M 2 = abcde ,且a =m2(—位数)，bc =n2(两位数)，de =t2(两位数)，则2 2 4 2 2 丄2M m 10 n 10 t ①由式①知M2=(m 102t)2=m21042mt 102t2②比较式①、式②得n2=2mt.因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数.故n 2=16 或36 或64.当n2=16时，得mt =8，则m=l, 2, 4, 8, t=8 , 4, 2, 1,后二解不合条件，舍去；故M 2 =11664 或41616.当n2=36时，得mt =18 .则m=2, 3, 1, t=9 , 6, 18.最后一解不合条件，舍去.故M 2 =43681 或93636 .当n2= 64 时，得mt =32 .贝U m=1 2, 4, 8, t=32 , 16, 8, 4 都不合条件，舍去.因此，满足条件的五位数只有4个：11 664 , 41 616 , 43 681 , 93 636 .【例5】(2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由.思路点拨不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1•若存在正整数满足n^ j *2002二m2; i, j =1, 2, 3, 4, rn是正整数；因为2002被4除余2,所以门口被4除应余2 或3.(1) 若正整数n1, n2, n s, n4中有两个是偶数，不妨设m , n2是偶数，贝U nj? 2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1, n2, n3, n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数.(2) 在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1,与nm j被4除余2或3的结论矛盾.综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数. 【例6】使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少？思路点拨若(n 2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了.•/ n2一19n+91=(n-9) 2 +(10 一n)2 2当n>10 时，(n -10) <n - 19n+19<(n-9)2•••当n>10时(n2—19n+19)不会成为完全平方数••• 当n w 10时，(n2—19n+91)才是完全平方数经试算，n=9和n=10时，n2—19n+91是完全平方数.所以满足题意的值有2个.【例7】(我爱数学夏令宫)已知a1 , a2，…,a2002的值都是1或一1，设m是这2002个数的两两乘积之和.(1) 求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；(2 )求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件.思路点拨(1) 佝a? 宀2002)2二a/ a200222m =2002 2m ,2学力训练(a 1 a 2 亠亠a 2002)「2002m2当 a i =a ?二…=a 2002 =1 或-1 时，m 取最大值 2003001.当a i , a 2厂，a 2002中恰有1001个1, 1001个-1时，m 取最小值一1001. (2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025 ,且站@^2002必为偶数，所以，当a 1 ：：日2 ：■ ■ a 2002 =46 或-46 ；即a 1，a 2，…，a 2002中恰有 1024个1，978个-1或恰有 1024个-1，978个1时，m 取最小值 1 2(462 -2002)二57 .【例8】(全国竞赛题)如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax 2 bx c 都是平方数(即整数的平方)， 证明： (1) 2a 、2b 都是整数；(2) a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数.反过来，如果(2)成立，是否对一切 x 的整数值，ax 2 bx c 的值都是平方数？ 思路点拨 (1)令x=0,得c=平方数=l 2 ；令 x= ± 1，得 a b ・c=m 2， a _b ，c 二 n 2，其中 m n 都是整数.所以，2a = m 2 • n 2「2c ， 2b =m 2「n 2 都是整数. (2) 如果2b 是奇数2k+l(k 是整数)，令x=4得16a 4b l^h 2，其中h 是整数.由于2a 是整数，所以16a 被4整除，有16a - 4b =16a ■ 4k ■ 2除以4余2. 而h -l = (h l )(h -l ) ，在 h 、丨的奇偶性不同时，(h l )(h -l)是奇数；在 h 、丨的奇偶性相同时，(h l)(h -l)能被4整除.因此，16a ，4b 严h 2 _l 2，从而2b 是偶数，b 是整数，a=m 2-c-b A 也是整数.在⑵ 成立时，ax 2 bx c 不一定对x 的整数值都是平方数. 例如，a=2, b=2, c=4, x=1时，ax 2 bx c =8 不是平方数. 另解⑵：令x= ± 2，得4a+2b+c=h 2， 4a — 2b+c=k 2，其中h 、k 为整数.两式相减得2 24b=h — k =(h+k)(h — k).由于4b=2(2b)是偶数，所以h 、k 的奇偶性相同，(h+k)(h — k)能被4整除. 因此，b 是整数，a =m 2 —c -b 也是整数.（A级）1.（山东省竞赛题）如果.,；-a是整数，那么a满足（）A. a>0,且a是完全平方数 B . a<0,且—a是完全平方数C . a>0，且a是完全平方数D . a< 0，且一a是完全平方数2.设n是自然数，如果n2的十位数字是7那么n2的末位数字是（）A. 1 B . 4 C. 5 D . 63 .（五羊杯，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00,且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是______ .4. 使得n2—19n+95为完全平方数的自然数n的值是_________ .5. 自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，贝U n= ______ .6. 两个两位数，它们的差是56,它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是7. 是否存在一个三位数abc （a , b, c取从1到9的自然数），使得abc - bca cab为完全平方数？&求证：四个连续自然数的积加I，其和必为完全平方数.（B级）1 .若x是自然数，设y = x42x32x22x 1，则（A . y一定是完全平方数.存在有限个，使y是完全平方数C. y 一定不是完全平方数.存在无限多个，使y是完全平方数2.已知a和b是两个完全平方数, b的个位数字为I，十位数字为x；b的个位数为6,十位数字为y,则x, y都是奇数.x, y都是偶数C. x是奇数，y是偶数.x为偶数，y为奇数3.若四位数xxyy是一个完全平方数，则这个四位数是4.________________________________________________________________ 设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是____________________________________________________ .5 .（全国联赛题）设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是___________第5页（共7页）6.（北京市竞赛，初二）p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则p的最大值为7 •有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列•若在队列中再增加都能120人或从队列中减去120人后, 组成一个正方形队列•问原长方形队列共有多少名战士？& 证明：399…9600…01是一个完全平方数.n各9 n个0国完全平方数和完全平方式'' A级L D2.D提示:设自然数n的末㈱位数为lOfl+6,(10a + 6)* = u2 x 101 + 2^x 10 + A1.2«A是偶数，要使十位数字是7,则X的十位数字必须是奇数,而便一位数b平方后的十位数字是奇数的，只有氐' 3. 1631提示:设"“仏为自然数)点的末阴位数字组成整数扎去掉此两位数字后得到整数眄矶= /c3(Jt为自然数)，则 1 电yW?9 ,x2■ 100A1+y,y = nc x- 100A1 = (x + 10A) (x - 10*)* 會澤 +104 = a r x -lOfc - 趴则\ 上沁样=10jt +A^11 T a =JV + 10斤鼻2h 若m>4t则x - lOi +6^41,a =x + 10m381,唯有 b = l t k =4,r =41 ,a =81 ,y=Sl t m~ 16,/VI68L显燃当k^3时用W 枪故丹= 1681为所求最大值.4+耳=5或n = 14提示:显然n = I f2,3 +4时，原式不是完全平方数+当心5时+ (ra - 101) - 13n+ 95^n a, r- n3一19w + 95 = (n-10)2^n =5T n2 - 19n +95 = (n J= -]9n + 95 = n J^n=5. J. n #3 或fi = 14”5.n =198& 提示：设佻-52 =>岬蔦”+ 37 = If3 i 则有t3 - m s= 89, A + m= 89t i-m = l t/. A = 43»n2 = 45J -37 = 198fi.6.7E 和22 提示沌-y = 56 p x2 -/ = m x 100(m 为正整数)，消去划得112y a 100m -3L36*y 三鲁-28t v 丁是一牛两位数，且m < 100,他=盘6或84.化y “2或47”当y =22时工=7g；当丁=47时寸= 103 (舍却.7.提示:M = abc + bca + cab = lll(a+6+c) ^3 x37(n + 6+ c)* /. a 4- 6 + c 必含有因数3 和37* 因3 + A +c^27,.\ a +o不含因数3工放这样的三位数忑不存在.8.|^：(n - l)ft(n + 1 ) (n + 2) + 1 = (»r s + n) ( JI J + n - 2) + 1 = (n + ft)5- 2(n J + n) + 1 = (a2 +n - 1 )J-B敎：1. C 提示：x+ +2x a+x2 <y<x +X1 + 1 +2x3+2JC J +2x^(^ +x)5<y<(x3 +it + 1)\2.D提示：a的个理数字为】，十检数字龙为偶数，而占的个位数字为&，易知它的十位数字y为奇数•3.7744 提示:/ ®i!)7 = ll(l00«+y)J&完全平方数，则有111 (100x +y). V lOOar+y =99x + (x + y) lil(j+y).而1坯*只有工+y = 】l*经检验JC =7,y =4.故这个四位数为7744.4.提示;丁m是一个完全平方数川m是陌的平方数，比用大且最小的整数是扁+i. 它的平方是(扁+1)'.5.厂-II提示山个连续雜数的平方和为(―”’ + (*4)2 + .・.*(工+4)7 + "*5尸=】】(/ 4- 10)=几当』+10 = 11时,#的垠小值为121* y= -1L6.户=_65 ■/ p 为负整数，ft取最大值.则有44*w20(n+p€452,.・. 2001 +p =445 = 1536. /. p= -65.7.设原有战士屉人，则恥+ 120,3* -120均为完全平方數设8x+12O=m2 & -120=^ '从而求得m = 32,n =28f8x =904；m = 164n = 4,8x = 136・8.原式=3 x IQ2**3 + (10" -1) K JO*42+6 x ]0'" + 1 =3 x KJ"" + IO2-*2- 10"*1 +6 x 10"*1 +1 -(2xlO BH)J -4X10"+I 41 =(2x10"+l -l)1 =]直詔(<+!)+*。
完全平方式的定义
完全平方式的定义完全平方式是一个数学概念，它指的是一个数可以被平方数整除。
换句话说，如果一个数n能够表示成m的形式，那么n就是一个完全平数。
例如，4、9、16、25等都是完全平数。
在数学中，完全平数是一个重要的概念，它与平方数、因数、素数等数学知识密切相关。
因此，我们有必要深入了解完全平方式的定义及其相关内容。
一、完全平方式的定义完全平方式的定义非常简单，它是指一个数n可以表示成m的形式，其中m为整数。
例如，16=4，25=5，36=6等都是完全平数。
完全平数也可以用另一种方式来表示，即n可以表示成p1^a1 * p2^a2 * … * pn^an的形式，其中p为素数，a为正整数，并且每个a都是偶数。
例如，36=2 * 3，100=2 * 5等都是完全平数。
二、完全平数的性质完全平数有许多有趣的性质，下面列举一些常见的性质。
1. 完全平数的个数是无限的。
证明：假设完全平数的个数有限，那么我们可以将它们按照大小排序，设最大的完全平数为N。
由于完全平数是无限的，所以一定存在一个更大的完全平数M>M，且M<N，这与N是最大的完全平数矛盾，因此假设不成立，完全平数的个数是无限的。
2. 完全平数的奇数次方根是无理数。
证明：假设√n是一个有理数，即√n=p/q，其中p和q互质。
那么n=p/q，即nq=p。
由于p是完全平数，所以p也是完全平数。
设p=m，那么nq=m，即n可以表示成m/q的形式，而这与n是完全平数矛盾，因此假设不成立，完全平数的奇数次方根是无理数。
3. 完全平数的因数个数是奇数。
证明：假设n是一个完全平数，即n=m。
那么n的因数可以表示成m的因数的平方。
设m的因数个数为k，那么n的因数个数为k。
由于k是奇数，所以k也是奇数，因此完全平数的因数个数是奇数。
4. 完全平数的因数和是完全平数。
证明：假设n是一个完全平数，即n=m。
那么n的因数可以表示成m的因数的平方。
设m的因数为p1、p2、…、pk，那么n的因数可以表示成p1、p2、…、pk的形式。
1-6 完全平方公式
(2) 原式＝－12ab；
(3) 原式＝4x2＋12xy＋9y2－1；
(4) 原式＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
2. 若a＋b＝7，ab＝6，求(a－b)2的值. 解：因为 (a－b)2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，
所以将a＋b＝7，ab＝6，代入上式得：
原式＝72－4×6＝25.
3. 已知x＋y＝－3，x－y＝7.
求：(1)xy的值；(2)x2＋y2的值. 解： (1) 因为 x＋ y＝－ 3，x－y＝7，所以 (x＋ y)2＝9，(x－y)2＝49，
所以
(2) x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝9＋20＝29.
式；
(3) 题可利用加法结合律变形为[(x＋y)－z]2或[x＋ (y－z)]2或[(x－z)＋y]2，再用完全平方公式计算；
(4) 题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可
逆用平方差公式进行计算.
解 (1) 方法1：(－x＋2y)2＝(2y－x)2＝4y2－4xy＋x2； 方法2：(－x＋2y)2＝[－(x－2y)]2＝(x－2y)2＝ x2－4xy＋4y2； (2) (－x－y)2＝[－(x＋y)]2＝(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2； (3) (x＋y－z)2＝[(x＋y)－z]2＝(x＋y)2－2(x＋y)· z＋ z2 ＝x2＋y2＋z2＋2xy－2zx－2yz； (4) 方法1：(x＋y)2－(x－y)2＝(x2＋2xy＋y2)－(x2－
方法 2 ：原式利用完全平方公式展开，去括号合并即
可得到结果；
(2)方法1：原式利用完全平方公式展开，合并即可得 到结果；
方法2：原式配方后，计算即可得到结果；
完全平方数和完全平方式
八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记
《平方差公式、完全平方公式》笔记
一、平方差公式
1.公式描述：两数和乘两数差，等于两数平方差。
2.公式结构：(a+b)(a−b)=a2−b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的重要公式之一，它适用于任何具有此结
构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算两数之和与两数之差
的积，也可以用于分解因式和求值。
二、完全平方公式
1.公式描述：首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后
加差平方。
2.公式结构：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的另一个重要公式，它适用于任何具有此
结构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算一个数的平方加上或
减去两倍的此数与另一数的积再加上或减去两倍的此数的平方，也可以用于分解因式和求值。
三、注意事项
1.在使用公式时要注意公式的结构以及字母的含义，避免出现错误。
2.在进行计算时要注意运算顺序和符号，确保计算结果的准确性。
3.在解决实际问题时要注意公式的应用范围和限制条件，避免出现错误的应
用。
初一人教版七年级下册数学完全平方公式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。
具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。
其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。
二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。
其中，a和b可以是任意实数或代数式。
三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。
这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。
展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。
这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。
对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。
这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。
四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。
这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。
乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。
这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。
正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。
如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。
五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。
三、关于完全平方数
三、关于完全平方数三、关于完全平方数我们已经知道，个位数字为2，3，7，8的自然数不可能是完全平方数。
其实，一个整数是否为完全平方数，还可以用其它方法来判断。
例如，我们可以将完全平方数逐个列出：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，……10000，……在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
即如果n2＜a＜（n＋1）2，那么a不是完全平方数，下面将给出完全平方数应满足的条件，若这些条件之一不满足，则决不可能是完全平方数。
1．任何偶数的平方必为4的倍数，可表为4k形式；任何奇数的平方必为4的倍数加1，可表为4k＋1形式；任何整数被4除，只有四种可能性，即余数为0，1，2，3。
或者说整数只有4k，4k＋1，4k＋2，4k＋3四种形式。
显然形如4k＋2，4k＋3的整数不是完全平方数。
2．（k为整数）任何整数被3除，只有三种可能性，即余数为0，1，2。
或者说整数只有3k，3k＋1，3k＋2三种形式。
形如3k的整数平方后仍是3的倍数；形如3k＋1的整数平方后仍是3的倍数加1；形如3k＋2的整数平方后必为3的倍数加1。
即任何整数平方后只可能是3n或3n＋1的形式。
因此，形如3n ＋2的数不可能是完全平方数。
3．（n，k为整数）任何整数被5除的余数有0，1，2，3，4共五种情形。
形如5k的整数平方后仍是5的倍数；形如5k＋1和5k＋4的整数平方后必为5的倍数加1；形如5k＋2，5k＋3的整数，平方后必为5的倍数加4。
所以任何整数平方后只可能是5n，5n＋1，5n＋4的形式。
即形如5n＋2，5n＋3的数，不可能是完全平方数。
（这就是说完全平方数个位数字不可能是2，3，7，8）。
同理可知，形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7的数不是完全平方数；形如9n＋2，9n＋3，9n＋5，9n＋6，9n＋8的数不是完全平方数。
4．（n，足为整数）考察完全平方数的个位和十位上的数字。
1422完全平方公式
1422完全平方公式完全平方公式是指将一个整数分解成两个数的平方和的形式。
数学上，如果一个整数可以写成两个整数的平方和的形式，那么它就是完全平方数。
完全平方公式的一般形式是：a^2=b^2+c^2其中，a是一个整数，b和c也是整数。
完全平方公式有很多应用，尤其是在解决一些数论问题时。
下面我们来介绍几个常见的应用。
1.找出完全平方数的因子：假设一个数n是完全平方数，我们要找出n的因子。
根据完全平方公式，可以将n分解成两个整数的平方和的形式：n=a^2=b^2+c^2、我们可以通过对b和c的遍历来找到满足等式的整数对。
如果找到了满足等式的整数对(b,c)，那么n的因子就是(a,b)和(a,c)。
同时，我们还可以进一步将b和c进行分解，直到得到所有的因子。
2.生成完全平方数：完全平方公式也可以用于生成完全平方数。
我们可以通过枚举a和b，得到满足完全平方公式的c，然后计算出对应的完全平方数。
这种方法可以用于生成一系列完全平方数，例如：a=1,b=0,c=1，得到的完全平方数为1；a=2,b=1,c=3，得到的完全平方数为4；a=3,b=2,c=5，得到的完全平方数为9；...以此类推。
3.判断一个数是否是完全平方数：当我们要判断一个数n是否是完全平方数时，可以利用完全平方公式。
我们可以通过枚举a和b，计算c，然后判断c是否为整数。
如果c为整数，那么n就是一个完全平方数。
如果c不是整数，那么n不是完全平方数。
这是因为，完全平方公式表示了两个数的平方和等于另一个数的平方，所以要使等式成立，两个数的平方和（也就是c^2）必须是一个完全平方数。
如果c不是整数，那么c^2就不是完全平方数。
以上就是完全平方公式的一些应用。
总结一下，完全平方公式可以帮助我们找到完全平方数的因子，生成完全平方数，以及判断一个数是否是完全平方数。
这些应用在数论、代数和计算机科学等领域都有实际的应用。
如何判断一个数是不是完全平方数 下面是一些关于完全平方数的数学性质
如何判断一个数是不是完全平方数下面是一些关于完全平方数的数学性质，对排除完全平方数有一定的加速作用。
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m 的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
证明这是因为(2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
名人堂：众名人带你感受他们的驱动人生马云任志强李嘉诚柳传志史玉柱证明在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
平方方程知识点总结
平方方程知识点总结一、平方方程的基本概念1. 定义平方方程是指含有未知数的二次项（即$x^2$）的方程。
一般形式为$ax^2+bx+c=0$，其中$a$、$b$、$c$是给定的实数系数，而$x$是未知数。
2. 解的个数对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，当$a\neq0$时，方程有两个不同的实数根或者有两个共轭的复数根。
这是因为二次函数的图像在$y$轴两侧一定有交点，这两个交点就对应着方程的解。
3. 解的性质如果方程$ax^2+bx+c=0$有实数根$x_1$和$x_2$，则有以下关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
二、平方方程的解题方法1. 因式分解法当方程的二次项系数不大于2，而且可以进行因式分解时，可以使用因式分解法来解方程。
例如，对于方程$x^2-5x+6=0$，可以将$x^2-5x+6$分解为$(x-2)(x-3)$，从而得到方程的解为$x=2$或$x=3$。
2. 完全平方式当方程的二次项系数为1时，可以使用完全平方式来解方程。
例如，对于方程$x^2+4x+4=0$，可以将$x^2+4x+4$写成$(x+2)^2=0$，从而得到方程的解为$x=-2$。
3. 公式法一般来说，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，可以使用求根公式来解方程。
根据求根公式，方程的解为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
需要注意的是，$b^2-4ac$称为判别式，如果判别式大于0，则方程有两个不同的实数根；如果判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于0，则方程有两个共轭的复数根。
4. 完全平方式结合公式法对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，如果无法直接使用公式法来解方程，可以先用完全平方式将方程化为$(x+p)^2=q$的形式，然后再使用求根公式来解方程。
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关于完全平方数和完全平方式
试卷：马志刚 姓名：________
一、知识辅导：
（一）、定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
（二）. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
（三）. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
（四）. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
（五）. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中
① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.
2. 在整系数方程x 2+px+q=0中
① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
二、请你练习：
1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数可能是＿＿＿＿.
2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. （年全国初中数学联赛题）一串连续正整数的平方12，22，32， (1234567892)
和的个位数是＿＿.
6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？
7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.
12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.
14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+2
1(a+b)=0的自然数解. 15. (全国初中数学联赛题)恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )
(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36
三、以下几个题目有难度：你写试试吗？
1、求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
2、m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？
3、已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.
4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.
5、求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.。